الصيغ الرياضية - Mathematics, Physics & Chemistry

📐

جناح صيغ حساب المثلثات

متطابقات فيثاغورس، مجموع وفرق الزوايا، ضعف ونصف الزاوية، صيغة أويلر، وقوانين الجيب وجيب التمام.

92+ معادلة

📊

جدول قيم زوايا دائرة الوحدة القياسية

النسب المثلثية الدقيقة للزوايا المرجعية الشائعة بالدرجات والراديان

مرجع قياسي

الدرجات (x)	الراديان (rad)	sin(x)	cos(x)	tan(x)	csc(x)	sec(x)	cot(x)
0°	0	0	1	0	غير معرّف	1	غير معرّف
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3	2	2√3/3	√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1	√2	√2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3	2√3/3	2	√3/3
90°	π/2	1	0	غير معرّف	1	غير معرّف	0
120°	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	2√3/3	-2	-√3/3
135°	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	√2	-√2	-1
150°	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	2	-2√3/3	-√3
180°	π	0	-1	0	غير معرّف	-1	غير معرّف
270°	3π/2	-1	0	غير معرّف	-1	غير معرّف	0
360°	2π	0	1	0	غير معرّف	1	غير معرّف

🔄

الهويات المتبادلة والحاصل

8 صيغ

العلاقات الأساسية بين النسب المثلثية الأولية والمتبادلة

1

جيب متبادل

sin(x) = 1csc(x)

csc(x) ≠ 0; x ≠ nπ

2

قاطع التمام المتبادل

csc(x) = 1sin(x)

sin(x) ≠ 0; x ≠ nπ

3

جيب التمام متبادل

cos(x) = 1sec(x)

sec(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

4

القاطع المتبادل

sec(x) = 1cos(x)

cos(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

5

الظل المتبادل

tan(x) = 1cot(x)

cot(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

6

ظل التمام المتبادل

cot(x) = 1tan(x)

tan(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

7

حاصل الظل

tan(x) = sin(x)cos(x)

النسبة بين المقابل والمجاور في المثلث القائم

8

حاصل ظل التمام

cot(x) = cos(x)sin(x)

نسبة المجاور إلى المقابل في المثلث القائم

🪞

صيغ الزوايا المتقابلة (الدوال الزوجية والفردية)

6 صيغ

سلوك التماثل للدوال المثلثية في ظل زاوية سلبية

1

الزاوية السالبة الجيبية (وظيفة فردية)

sin(-x) = -sin(x)

متماثل فيما يتعلق بالأصل

2

زاوية جيب التمام السالبة (وظيفة زوجية)

cos(-x) = cos(x)

متماثل بالنسبة للمحور y

3

زاوية الظل السلبية (وظيفة فردية)

tan(-x) = -tan(x)

تناظر غريب حول الأصل

4

زاوية ظل التمام السالبة (دالة فردية)

cot(-x) = -cot(x)

تناظر غريب حول الأصل

5

الزاوية السالبة القاطعة (الدالة الزوجية)

sec(-x) = sec(x)

يرث حتى التماثل من جيب التمام

6

زاوية قاطع التمام السالبة (دالة فردية)

csc(-x) = -csc(x)

يرث التماثل الغريب من الجيب

📐

صيغ الوظائف المشتركة (الزوايا التكميلية)

6 صيغ

الهويات التي تربط الدوال المثلثية للزوايا التكميلية (π/2 - x أو 90° - x)

1

الوظيفة المشتركة الجيبية

sin(π2- x) = cos(x)

أيضًا: sin(90° - x) = cos(x)

2

وظيفة جيب التمام

cos(π2- x) = sin(x)

أيضًا: cos(90° - x) = sin(x)

3

وظيفة مشتركة الظل

tan(π2- x) = cot(x)

أيضًا: ظا(90° - x) = سرير(x)

4

دالة ظل التمام

cot(π2- x) = tan(x)

أيضًا: المهد(90° - x) = tan(x)

5

الوظيفة المشتركة القاطعة

sec(π2- x) = csc(x)

أيضًا: ثانية(90° - x) = csc(x)

6

الوظيفة المشتركة Cosecant

csc(π2- x) = sec(x)

أيضًا: CSC(90° - x) = ثانية(x)

🔺

الهويات الفيثاغورية والأشكال الجبرية

9 صيغ

مشتق مباشرة من دائرة الوحدة (x² + y² = 1) وعلم المثلثات للمثلث القائم الزاوية

1

هوية فيثاغورس الأولية

sin²(x) + cos²(x) = 1

الهوية الأساسية صالحة لجميع الزوايا الحقيقية x

2

جيب من حيث جيب التمام

sin(x) = ±√1 - cos²(x)

تم اختيار العلامة بناءً على ربع x

3

جيب التمام من حيث الجيب

cos(x) = ±√1 - sin²(x)

تم اختيار العلامة بناءً على ربع x

4

هوية فيثاغورس الظل القاطع

1 + tan²(x) = sec²(x)

تم الحصول عليه بقسمة sin²(x) + cos²(x) = 1 على cos²(x)

5

نموذج الفرق القاطع والمماس

sec²(x) - tan²(x) = 1

صالحة حيث cos(x) ≠ 0

6

هوية فيثاغورس ظل التمام وقاطع التمام

1 + cot²(x) = csc²(x)

تم الحصول عليه بقسمة sin²(x) + cos²(x) = 1 على sin²(x)

7

نموذج فرق قاطع التمام وظل التمام

csc²(x) - cot²(x) = 1

صالح حيث sin(x) ≠ 0

8

وحدة دائرة التطبيع الجذري

√sin²(x) + cos²(x) = 1

طول الوتر الهندسي على دائرة الوحدة

9

هويات وحدة المنتج

sin(x)·csc(x) = 1, cos(x)·sec(x) = 1, tan(x)·cot(x) = 1

المنتجات المتبادلة تساوي الوحدة

➕

جمع الزوايا وطرحها (الزوايا المركبة)

8 صيغ

صيغ النسب المثلثية لمجموع وفرق الزاويتين (A ± B)

1

جيب الزاوية مجموع

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

صيغة الزاوية المركبة الرئيسية لإضافة الجيب

2

جيب فرق الزاوية

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

صيغة الزاوية المركبة الرئيسية لفرق الجيب

3

جيب التمام لمجموع الزوايا

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

لاحظ علامة الطرح في توسيع مجموع جيب التمام

4

جيب التمام لفرق الزاوية

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

لاحظ علامة الجمع في توسيع فرق جيب التمام

5

ظل مجموع الزوايا

tan(A + B) = tan(A) + tan(B)1 - tan(A)tan(B)

يتطلب tan(A)tan(B) ≠ 1

6

ظل فرق الزاوية

tan(A - B) = tan(A) - tan(B)1 + tan(A)tan(B)

يتطلب tan(A)tan(B) ≠ -1

7

ظل التمام لمجموع الزوايا

cot(A + B) = cot(A)cot(B) - 1cot(B) + cot(A)

صيغة مركبة لمجموع ظل التمام

8

ظل التمام لفرق الزاوية

cot(A - B) = cot(A)cot(B) + 1cot(B) - cot(A)

الصيغة المركبة لفرق ظل التمام

✖️2️⃣

صيغ الزاوية المزدوجة (2x)

7 صيغ

التعبير عن دوال الزاوية المزدوجة (2x) بدلالة الزاوية المفردة (x)

1

زاوية جيبية مزدوجة

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

يتضمن شكل معلمات الظل العقلاني

2

زاوية جيب التمام المزدوجة (الفرق القياسي)

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

النتيجة المباشرة لـ cos(x + x)

3

زاوية جيب التمام المزدوجة (جيب التمام فقط)

cos(2x) = 2 cos²(x) - 1

أمر بالغ الأهمية للتكامل والحد من الطاقة

4

جيب التمام زاوية مزدوجة (جيب فقط)

cos(2x) = 1 - 2 sin²(x)

ضروري للتكامل واشتقاق نصف الزاوية

5

زاوية جيب التمام المزدوجة (معلمات الظل)

cos(2x) = 1 - tan²(x)1 + tan²(x)

علاقة استبدال Weierstrass لجيب التمام

6

زاوية مزدوجة الظل

tan(2x) = 2 tan(x)1 - tan²(x)

يتطلب tan²(x) ≠ 1

7

زاوية ظل التمام المزدوجة

cot(2x) = cot²(x) - 12 cot(x)

يتطلب سرير أطفال(x) ≠ 0

3️⃣

صيغ الزوايا الثلاثية (3x)

4 صيغ

الدوال المثلثية لـ 3x معبرًا عنها بأشكال متعددة الحدود أحادية الزاوية

1

زاوية ثلاثية جيبية

sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin³(x)

مفيدة لحل المعادلات التكعيبية والجبر

2

جيب التمام زاوية ثلاثية

cos(3x) = 4 cos³(x) - 3 cos(x)

مكعب تشيبيشيف المباشر متعدد الحدود T₃(x) = 4x³ - 3x

3

زاوية ثلاثية الظل

tan(3x) = 3 tan(x) - tan³(x)1 - 3 tan²(x)

يتطلب 3tan²(x) ≠ 1

4

زاوية ظل التمام الثلاثية

cot(3x) = 3 cot(x) - cot³(x)1 - 3 cot²(x)

يتطلب 3مهد²(x) ≠ 1

½

صيغ نصف الزاوية (x/2)

6 صيغ

الصيغ الدقيقة لأنصاف الزوايا مع الإشارة المحددة بواسطة الربع x/2

1

جيب نصف زاوية

sin(x2) = ±√1 - cos(x)2

± تم اختيار العلامة بناءً على الربع الذي يحتوي على x/2

2

جيب التمام نصف زاوية

cos(x2) = ±√1 + cos(x)2

± تم اختيار العلامة بناءً على الربع الذي يحتوي على x/2

3

نصف زاوية الظل (الشكل الجذري)

tan(x2) = ±√1 - cos(x)1 + cos(x)

صيغة نصف زاوية الجذر التربيعي للظل

4

نصف زاوية الظل (الشكل العقلاني 1)

tan(x2) = 1 - cos(x)sin(x)

لا يوجد غموض في الإشارة؛ دقيق للجميع x ≠ nπ

5

نصف زاوية الظل (الشكل العقلاني 2 / الفرق)

tan(x2) = sin(x)1 + cos(x) = csc(x) - cot(x)

يعادل الفرق csc(x) - cot(x)

6

ظل التمام نصف زاوية

cot(x2) = 1 + cos(x)sin(x) = csc(x) + cot(x)

يعادل مجموع CSC(x) + cot(x)

⚡

صيغ خفض الطاقة (القوى التربيعية والعليا)

7 صيغ

يحول قوى الدوال المثلثية إلى مضاعفات الدرجة الأولى لـ x (ضروري لتكامل حساب التفاضل والتكامل)

1

تخفيض الطاقة التربيعية الجيبية

sin²(x) = 1 - cos(2x)2

حساب التفاضل والتكامل الأساسي الاختزال العكسي: ∫sin²(x)dx

2

تخفيض قوة جيب التمام التربيعية

cos²(x) = 1 + cos(2x)2

حساب التفاضل والتكامل الأساسي الاختزال العكسي: ∫cos²(x)dx

3

تخفيض قوة تربيع الظل

tan²(x) = 1 - cos(2x)1 + cos(2x)

صيغة كسر جيب التمام العقلاني لـ tan²(x)

4

تخفيض الطاقة المكعب الجيبية

sin³(x) = 3 sin(x) - sin(3x)4

مشتقة مباشرة من هوية الزاوية الثلاثية sin(3x).

5

تخفيض طاقة جيب التمام المكعب

cos³(x) = 3 cos(x) + cos(3x)4

مشتقة مباشرة من هوية الزاوية الثلاثية cos(3x).

6

جيب الرابع تخفيض الطاقة

sin⁴(x) = 3 - 4 cos(2x) + cos(4x)8

تستخدم في سلسلة فورييه والتكاملات ذات الرتبة الأعلى

7

جيب التمام الرابع تخفيض الطاقة

cos⁴(x) = 3 + 4 cos(2x) + cos(4x)8

تستخدم في سلسلة فورييه والتكاملات ذات الرتبة الأعلى

✖️➡️➕

صيغ المنتج إلى المجموع

4 صيغ

يحول منتجات الجيب وجيب التمام إلى مصطلحات المجموع والفرق (حاسمة لميكانيكا الموجات والتكاملات)

1

جيب × منتج جيب

sin(A) sin(B) = ½ [cos(A - B) - cos(A + B)]

يحول منتجات التداخل الموجي إلى مكونات مضافة

2

جيب التمام × منتج جيب التمام

cos(A) cos(B) = ½ [cos(A - B) + cos(A + B)]

يحول منتجات جيب التمام إلى مكونات مضافة

3

منتج جيب التمام × جيب التمام

sin(A) cos(B) = ½ [sin(A + B) + sin(A - B)]

صيغة منتج تعديل الإشارة القياسية

4

جيب التمام × منتج الجيب

cos(A) sin(B) = ½ [sin(A + B) - sin(A - B)]

تحلل المنتج التكميلي

➕➡️✖️

صيغ المجموع إلى المنتج

6 صيغ

تحويل المبالغ والاختلافات في الدوال المثلثية إلى منتجات الضرب

1

جيب + مجموع جيب

sin(A) + sin(B) = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)

يفسر ظاهرة تردد الإيقاع في صوتيات الموجات الصوتية

2

جيب - فرق جيب

sin(A) - sin(B) = 2 sin(A - B2) cos(A + B2)

نموذج تحليل الموجة التفاضلية

3

جيب التمام + مجموع جيب التمام

cos(A) + cos(B) = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)

حتى تحويل المبلغ إلى المنتج

4

جيب التمام - فرق جيب التمام

cos(A) - cos(B) = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)

لاحظ العلامة السلبية الرائدة (أو الترتيب العكسي B - A)

5

الظل + مجموع الظل

tan(A) + tan(B) = sin(A + B)cos(A) cos(B)

حساب المنحدرات الظل مجتمعة

6

الظل - الفرق الظل

tan(A) - tan(B) = sin(A - B)cos(A) cos(B)

يحسب الفرق من المنحدرات الظل

📐

قوانين المثلث والعلاقات الهندسية

7 صيغ

قوانين حل المثلثات المائلة العامة (قانون الجيب وجيب التمام والظلال وصيغ مولويد)

1

قانون الجيوب

asin(A) = bsin(B) = csin(C) = 2R

R هو نصف قطر الدائرة المقيدة (circumradius)

a, b, c: أطوال جانبية A, B, C: زوايا متضادة R: محيط

2

قانون جيب التمام (الجانب أ / الزاوية أ)

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

يحل SAS (الزاوية الجانبية والجانبية) أو SSS (الجانب والجانبي)

3

قانون جيب التمام (الجانب ب والجانب ج)

b² = a² + c² - 2ac cos(B), c² = a² + b² - 2ab cos(C)

إصدارات متماثلة للجانبين ب و ج

4

قانون الظلال

a - ba + b = tan[½(A - B)]tan[½(A + B)]

تم استخدامه تاريخيًا للحسابات اللوغاريتمية في الملاحة

5

صيغة مولويد الأولى

a + bc = cos[½(A - B)]sin(½C)

صيغة ممتازة للتحقق من اتساق حل المثلث

6

صيغة مولويد الثانية

a - bc = sin[½(A - B)]cos(½C)

علاقة اتساق Mollweide التكميلية

7

مساحة المثلث المثلثية (SAS)

Area = ½ a b sin(C) = ½ b c sin(A) = ½ a c sin(B)

حساب المساحة من الجانبين والزاوية المضمنة

⭕

طول القوس والقطاعات والحركة الدائرية

3 صيغ

العلاقات التي تربط الزاوية بالراديان بالمسافة المنحنية ومساحة القطاع والسرعة الزاوية

1

صيغة طول القوس

S = r x

يجب التعبير عن الزاوية x بالراديان (x = x° × π / 180°)

S: طول القوس r: نصف قطر الدائرة x: الزاوية المركزية (راديان)

2

منطقة القطاع الدائري

Area = ½ r² x = ½ r S

x بالراديان؛ يساوي ½ × نصف القطر × طول القوس

3

السرعة الخطية والسرعة الزاوية

v = r ω, ω = xt = 2π f

يربط السرعة العرضية الخطية v بالسرعة الزاوية ω والتردد f

🌐

صيغة أويلر، دي موافر والمثلثات المعقدة

5 صيغ

جسر يربط بين التحليل المعقد الأسي وعلم المثلثات القطبية

1

صيغة أويلر

e^(ix) = cos(x) + i sin(x) = cis(x)

يربط الدالة الأسية مباشرة مع الجيب وجيب التمام؛ ل x=π يعطي e^(iπ) + 1 = 0

2

صيغة دي موافر

(r cis x)ⁿ = rⁿ cis(nx) = rⁿ [cos(nx) + i sin(nx)]

يحسب القوى وجذور الأعداد المركبة على الفور

3

الضرب والقسمة القطبية

(r₁ cis x)(r₂ cis φ) = r₁r₂ cis(x + φ),r₁ cis xr₂ cis φ = (r₁r₂) cis(x - φ)

تتضاعف/تقسم الأقدار؛ وسيطات الزاوية تضيف/تطرح

4

التعريف الأسي لجيب التمام

cos(x) = e^(ix) + e^(-ix)2

يعبر عن جيب التمام جبريا باستخدام الأسس المعقدة

5

التعريف الأسي للجيب

sin(x) = e^(ix) - e^(-ix)2i

يعبر عن جيب الجيب جبريا باستخدام الأسس المعقدة

↩️

الهويات المثلثية العكسية

6 صيغ

الخصائص وهويات فرع القيمة الرئيسية وصيغ مجموع الدوال الدائرية العكسية

1

الهويات التكميلية العكسية

sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x) = π2, tan⁻¹(x) + cot⁻¹(x) = π2, sec⁻¹(x) + csc⁻¹(x) = π2

صالحة في المجالات المعنية: x ∈ [-1, 1], x ∈ ℝ, |x| ≥ 1

2

معكوس صيغة مجموع الظل

tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x + y1 - xy)

إذا كانت xy > 1 وx,y > 0، أضف π إلى النتيجة

3

معكوس صيغة الفرق المماس

tan⁻¹(x) - tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x - y1 + xy)

صيغة طرح المماس العكسي القياسي

4

تمثيلات متعددة للظل العكسي المزدوج

2 tan⁻¹(x) = sin⁻¹(2x1 + x²) = cos⁻¹(1 - x²1 + x²) = tan⁻¹(2x1 - x²)

حاسم في حساب التفاضل والتكامل Weierstrass-تعويض t (t = tan(x/2))

5

الهويات العكسية للحجة السلبية

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹(x), tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹(x), cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹(x)

لاحظ أن cos⁻¹(-x) ينتج π - cos⁻¹(x)

6

علاقات الوظائف العكسية

csc⁻¹(x) = sin⁻¹(1x), sec⁻¹(x) = cos⁻¹(1x), cot⁻¹(x) = tan⁻¹(1x) [x > 0]

تعيين الوسيطة المتبادلة للوظائف العكسية

⚡

قواعد التفاضل والمشتقات

قواعد القوى والضرب والقسمة والسلسلة، ومشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية والمثلثية والزائدية.

44+ معادلة

⚡

قواعد وعمليات المشتقات الأساسية

9 صيغ

قواعد التمايز التشغيلية الأساسية للثوابت والقوى والمجموعات الجبرية

1

المشتق بالمبادئ الأولى (التعريف الحدي)

f'(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x))h

التعريف الأساسي للمشتقات على أنها معدل التغير اللحظي

2

القاعدة الثابتة

ddx [c] = 0

مشتقة أي ثابت c هي صفر

3

قاعدة القوة

ddx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

صالحة لجميع الأسس الحقيقية n (n ∈ ℝ)

4

قاعدة متعددة ثابتة

ddx [c·f(x)] = c·f'(x)

الثوابت عامل خارج التمايز

5

قاعدة المجموع والفرق

ddx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

التمايز هو عامل خطي

6

قاعدة المنتج (قاعدة لايبنيز)

ddx [f(x)·g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

التفريق أولاً، الاستمرار في الثانية، بالإضافة إلى الانتظار أولاً، التفريق ثانيًا

7

قاعدة القسمة

ddx [f(x)g(x)] = g(x)f'(x) - f(x)g'(x)[g(x)]²

يتطلب g(x) ≠ 0

8

قاعدة السلسلة (الوظائف المركبة)

ddx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

التفريق بين الدالة الخارجية التي تم تقييمها في الدالة الداخلية، وضربها في مشتقة الدالة الداخلية

9

قاعدة الوظيفة المتبادلة

ddx [1f(x)] = -f'(x)[f(x)]²

الاختصار المباشر للوظائف الترددية

📈

المشتقات الأسية واللوغاريتمية

7 صيغ

مشتقات الأسس الطبيعية والعامة والدوال اللوغاريتمية

1

المشتق الأسي الطبيعي

ddx [eˣ] = eˣ

الدالة الفريدة غير الصفرية تساوي مشتقتها الخاصة

2

المشتق الأسي الطبيعي المركب

ddx [e^(f(x))] = e^(f(x))·f'(x)

قاعدة السلسلة المطبقة على الأسي الطبيعي

3

المشتق الأسي للقاعدة العامة

ddx [aˣ] = aˣ·ln(a)

صالح لـ > 0، ≠ 1

4

مشتق اللوغاريتم الطبيعي

ddx [ln(x)] = 1x

بالنسبة للقيم المطلقة: d/dx [ln|x|] = 1 / x (x ≠ 0)

5

مشتق اللوغاريتم الطبيعي المركب

ddx [ln(f(x))] = f'(x)f(x)

المشتقة اللوغاريتمية / معدل التغير النسبي

6

مشتق اللوغاريتم الأساسي العام

ddx [log_a(x)] = 1x·ln(a)

تغيير صيغة التمايز الأساسية

7

القاعدة المتغيرة والأس المتغير (xˣ)

ddx [xˣ] = xˣ·(1 + ln(x))

مشتق باستخدام التمايز اللوغاريتمي y = xˣ ⇒ ln y = x ln x

📐

مشتقات الدوال المثلثية

7 صيغ

مشتقات جميع الدوال المثلثية القياسية الست (sin، cos، tan، cot، sec، csc)

1

مشتق من الجيب

ddx [sin(x)] = cos(x)

معدل التغير في الجيب هو جيب التمام

2

مشتق من جيب التمام

ddx [cos(x)] = -sin(x)

لاحظ الإشارة السلبية للدالة "co-".

3

مشتق من الظل

ddx [tan(x)] = sec²(x)

يساوي أيضًا 1 + tan²(x)

4

مشتق ظل التمام

ddx [cot(x)] = -csc²(x)

يساوي أيضًا -(1 + سرير²(x))

5

مشتق من القاطع

ddx [sec(x)] = sec(x)·tan(x)

منتج القاطع والظل

6

مشتق من كوزيكانت

ddx [csc(x)] = -csc(x)·cot(x)

منتج قاطع التمام وظل التمام بإشارة سالبة

7

شكل سلسلة مثلثية مركبة

ddx [sin(f(x))] = cos(f(x))·f'(x), ddx [cos(f(x))] = -sin(f(x))·f'(x)

قاعدة السلسلة المثلثية المعممة القياسية

↩️

المشتقات المثلثية العكسية

6 صيغ

مشتقات الجيب العكسي، وجيب التمام، والظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام

1

مشتق من الجيب العكسي

ddx [sin⁻¹(x)] = 1√1 - x²

المجال بدقة بين -1 و 1

2

مشتق من جيب التمام العكسي

ddx [cos⁻¹(x)] = -1√1 - x²

السلبية الدقيقة لمشتقة الجيب العكسية

3

مشتق من المماس العكسي

ddx [tan⁻¹(x)] = 11 + x²

صالحة لجميع الأعداد الحقيقية دون التفرد

4

مشتقة ظل التمام العكسي

ddx [cot⁻¹(x)] = -11 + x²

السلبية الدقيقة لمشتقة الظل العكسي

5

مشتق من القاطع العكسي

ddx [sec⁻¹(x)] = 1|x|·√x² - 1

يتطلب |x| > 1

6

مشتق من قاطع التمام المعكوس

ddx [csc⁻¹(x)] = -1|x|·√x² - 1

السلبية الدقيقة للمشتق القاطع العكسي

〰️

المشتقات الزائدية والعكسية الزائدية

9 صيغ

مشتقات سينه، كوش، تانه، والدوال العكسية لكل منها

1

مشتقة الجيب الزائدي (sinh x)

ddx [sinh(x)] = cosh(x)

لا تلاحظ أي علامة سلبية (على عكس جيب التمام العادي)

2

مشتق من جيب التمام الزائدي (cosh x)

ddx [cosh(x)] = sinh(x)

معدل التغير الإيجابي

3

مشتقة المماس الزائدي (tanh x)

ddx [tanh(x)] = sech²(x)

أمر بالغ الأهمية لتفعيل الانتشار العكسي للشبكة العصبية

4

مشتقة ظل التمام الزائدي (coth x)

ddx [coth(x)] = -csch²(x)

مربع قاطع التمام الزائدي السالب

5

مشتقة القاطع الزائدي (sech x)

ddx [sech(x)] = -sech(x)·tanh(x)

منتج زائدي سلبي

6

مشتق قاطع التمام الزائدي (csch x)

ddx [csch(x)] = -csch(x)·coth(x)

منتج زائدي سلبي

7

مشتق من الجيب الزائدي العكسي

ddx [arsinh(x)] = 1√x² + 1

صالحة لجميع x الحقيقي

8

مشتق من جيب التمام الزائدي العكسي

ddx [arcosh(x)] = 1√x² - 1

صالح لـ x> 1

9

مشتق من المماس الزائدي العكسي

ddx [artanh(x)] = 11 - x²

صالح لـ |x| < 1

🔬

تقنيات ونظريات التمايز المتقدمة

6 صيغ

التمايز الضمني، المنحنيات البارامترية، قاعدة لوبيتال، وتوسعات تايلور

1

المشتق الأول البارامترى (dy/dx)

dydx = dydtdxdt

حساب ميل منحنى الظل من المعادلات البارامترية x(t), y(t)

2

المشتق البارامترى الثانى (d²y/dx²)

d²ydx² = [ddt (dydx)]dxdt

يحسب تقعر المنحنيات البارامترية

3

قاعدة لوبيتال (حدود 0/0 أو ∞/∞)

lim[x→c] f(x)g(x) = lim[x→c] f'(x)g'(x)

يحل النهايات غير المحددة عن طريق اشتقاق البسط والمقام بشكل مستقل

4

نظرية القيمة المتوسطة (MVT)

f'(c) = f(b) - f(a)b - a

يضمن نقطة حيث معدل التغيير اللحظي يساوي متوسط معدل التغيير

5

توسعة متسلسلة تايلور حول x = a

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(a)n!)·(x - a)ⁿ

تقريب متعدد الحدود للوظائف القابلة للتفاضل على نحو سلس

6

توسيع سلسلة ماكلورين (أ = 0)

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(0)n!)·xⁿ

متسلسلة تايلور متمركزة عند نقطة الأصل (x = 0)

∫

التكامل والدوال الأصلية القياسية

الدوال الأصلية القياسية للامتحانات، والتكامل بالتعويض وبالأجزاء والدوال الأسية والمثلثية.

54+ معادلة

∫

قواعد وصلاحيات التكامل الأساسية

6 صيغ

قواعد الاشتقاق العكسي الأولية للثوابت والقوى الجبرية والتركيبات الخطية

1

التكامل المستمر

∫ k dx = k·x + C

المشتق العكسي للثابت k هو k·x + C

2

قاعدة قوة التكامل

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

صالح لجميع القوى الحقيقية n باستثناء n = -1

3

دالة متبادلة تكامل (1/x)

∫ (1x) dx = ln|x| + C

حالة خاصة حاسمة لـ n = -1 في قاعدة القوة

4

القاعدة الخطية للتكامل

∫ [a·f(x) ± b·g(x)] dx = a ∫ f(x) dx ± b ∫ g(x) dx

التكامل هو عملية وظيفية خطية

5

قاعدة القوة الخطية المركبة

∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

اختصار للقوى ذات الحدين الخطية

6

التكامل الخطي المركب المتبادل

∫ (1ax + b) dx = (1a)·ln|ax + b| + C

صيغة تكامل المقام الخطي القياسية

📈

التكاملات الأسية واللوغاريتمية

6 صيغ

المشتقات المضادة التي تتضمن eˣ الطبيعية، والقاعدة العامة aˣ، والمصطلحات اللوغاريتمية

1

التكامل الأسي الطبيعي

∫ eˣ dx = eˣ + C

الدالة تساوي المشتق العكسي الخاص بها حتى الثابت C

2

التكامل الأسي المقياس (eᵃˣ)

∫ e^(ax) dx = (1a)·e^(ax) + C

قاعدة التكامل الأسي القياسية

3

القاعدة العامة للتكامل الأسي (aˣ)

∫ aˣ dx = aˣln(a)+ C

يقسم على ln(a) لأن المشتق مضروب في ln(a)

4

تكامل اللوغاريتم الطبيعي

∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x + C

مشتق باستخدام التكامل بالأجزاء مع u = ln x, dv = dx

5

تكامل اللوغاريتم الأساسي العام

∫ log_a(x) dx = x·ln(x) - xln(a)+ C

تغيير التكامل الأساسي للوغاريتمات

6

تكامل المنتج (x · eˣ)

∫ x·eˣ dx = eˣ(x - 1) + C

التكامل الكلاسيكي عن طريق تطبيق الأجزاء

📐

التكاملات المثلثية الأساسية

6 صيغ

المشتقات العكسية المباشرة المقابلة للمشتقات المثلثية القياسية

1

تكامل الجيب

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

لاحظ العلامة السلبية في المشتق العكسي للجيب

2

تكامل جيب التمام

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

المشتق العكسي المثلثي القياسي المباشر

3

تكامل مربع القاطع

∫ sec²(x) dx = tan(x) + C

لأن مشتقة الظل هي قاطع مربع

4

تكامل مربع كوزكانت

∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C

لأن مشتق ظل التمام هو -csc²(x)

5

تكامل القاطع × الظل

∫ sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C

انعكاس المشتق المباشر لـ sec(x)

6

تكامل قاطع التمام × ظل التمام

∫ csc(x) cot(x) dx = -csc(x) + C

انعكاس المشتق المباشر لـ csc(x)

⚡

التكاملات المثلثية الموسعة والمربعة

8 صيغ

تكاملات حدود tan، وcot، وsec، وcsc، والمربعات المثلثية

1

تكامل الظل

∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C = -ln|cos(x)| + C

يتم تقييمها عن طريق الاستبدال u = cos(x)

2

تكامل ظل التمام

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C = -ln|csc(x)| + C

يتم تقييمها عن طريق الاستبدال u = sin(x)

3

جزء لا يتجزأ من سيكانت

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

التكامل الحسابي الشهير مضروبًا في (sec x + tan x)/(sec x + tan x)

4

جزء لا يتجزأ من كوزيكانت

∫ csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C = ln|tan(x2)| + C

تكامل قاطع التمام اللوغاريتمي القياسي

5

تكامل مربع الجيب (sin² x)

∫ sin²(x) dx = (x2) - (sin(2x)4) + C

تم تقييمها باستخدام هوية تخفيض الطاقة sin²(x) = (1 - cos 2x)/2

6

تكامل جيب التمام التربيعي (cos² x)

∫ cos²(x) dx = (x2) + (sin(2x)4) + C

تم تقييمها باستخدام هوية تخفيض الطاقة cos²(x) = (1 + cos 2x)/2

7

تكامل مربع الظل (tan²x)

∫ tan²(x) dx = tan(x) - x + C

تم التقييم باستخدام الهوية tan²(x) = sec²(x) - 1

8

تكامل ظل التمام التربيعي (cot² x)

∫ cot²(x) dx = -cot(x) - x + C

تم تقييمها باستخدام الهوية cot²(x) = csc²(x) - 1

↩️

التكاملات الناتجة عن الدوال المثلثية العكسية

5 صيغ

تكاملات الكسور الجبرية القياسية التي تكون مشتقاتها العكسية دوالًا مثلثية عكسية

1

تكامل العائد جيب معكوس

∫ (1√a² - x²) dx = sin⁻¹(xa) + C

لاحظ عدم وجود عامل 1/a خارج الجيب العكسي

2

تكامل العائد المماس العكسي

∫ (1a² + x²) dx = (1a)·tan⁻¹(xa) + C

المعامل 1/a مطلوب على عكس الجيب العكسي

3

تكامل العائد القاطع العكسي

∫ (1x·√x² - a²) dx = (1a)·sec⁻¹(|x|a) + C

يتضمن معامل 1/a والقيمة المطلقة |x|

4

تكامل 1 / (x² - a²)

∫ (1x² - a²) dx = (12a)·ln|(x - a)x + a| + C

تم الحصول عليه عن طريق تحليل الكسور الجزئية 1/(x²-a²)

5

تكامل 1 / (a² - x²)

∫ (1a² - x²) dx = (12a)·ln|(a + x)a - x| + C

تم الحصول عليه عن طريق تحليل الكسور الجزئية 1/(a²-x²)

√

التكاملات الجذرية التربيعية الخاصة

4 صيغ

التكاملات الجذرية القياسية تم حلها عن طريق الاستبدال المثلثي (x = a sin θ، a tan θ، a sec θ)

1

تكامل √(a² - x²)

∫ √a² - x² dx = (x2)√a² - x² + (a²2)sin⁻¹(xa) + C

تستخدم لحساب مناطق القطاع الدائرية والإهليلجية

2

تكامل √(x² + a²)

∫ √x² + a² dx = (x2)√x² + a² + (a²2)ln|x + √x² + a²| + C

تم الحل باستخدام الاستبدال x = a tan θ أو القطع الزائد x = a sinh u

3

تكامل √(x² - a²)

∫ √x² - a² dx = (x2)√x² - a² - (a²2)ln|x + √x² - a²| + C

تم الحل باستخدام الاستبدال x = a sec θ أو القطع الزائد x = a cosh u

4

تكامل 1 / √(x² ± a²)

∫ (1√x² ± a²) dx = ln|x + √x² ± a²| + C

يساوي أيضًا arsinh(x/a) وarcosh(x/a) على التوالي

〰️

تكاملات الدالة الزائدية

6 صيغ

المشتقات العكسية للأشكال المثلثية سينه، كوش، تانه والقطع الزائد

1

تكامل الجيب الزائدي (sinh x)

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

موجب cosh(x) + C (لا توجد إشارة سالبة)

2

تكامل جيب التمام الزائدي (cosh x)

∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

المشتق العكسي الزائدي المباشر

3

تكامل المماس الزائدي (tanh x)

∫ tanh(x) dx = ln(cosh x) + C

بما أن cosh x > 0 لكل x الحقيقي، فلا توجد قيمة مطلقة مطلوبة

4

تكامل القاطع الزائدي التربيعي (sech² x)

∫ sech²(x) dx = tanh(x) + C

المشتق العكسي المباشر ذو العائد tanh(x)

5

تكامل قاطع التمام الزائدي التربيعي (csch² x)

∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C

ظل التمام الزائدي السالب

6

تكامل sech(x) · tanh(x)

∫ sech(x) tanh(x) dx = -sech(x) + C

المشتق العكسي لمنتج الظل القاطع الزائدي

🛠️

تقنيات وأساليب التكامل

4 صيغ

طرق التكامل التحليلي العامة: الأجزاء والتعويض والكسور الجزئية

1

التكامل بصيغة الأجزاء

∫ u dv = u·v - ∫ v du

اختر u باستخدام قاعدة LIATE (اللوغاريتمي، المثلثات العكسية، الجبرية، المثلثات، الأسية)

2

التكامل عن طريق استبدال U (تغيير المتغيرات)

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du

يعكس قاعدة سلسلة التمايز

3

التعويض بنصف الزاوية باستخدام Weierstrass (t = tan(x/2))

sin(x) = 2t1+t², cos(x) = 1-t²1+t², dx = 2dt1+t²

يحول أي تكامل مثلثي عقلاني إلى تكامل جبري متعدد الحدود عقلاني

4

صيغة المشتق اللوغاريتمي (∫ f'(x)/f(x) dx)

∫ (f'(x)f(x)) dx = ln|f(x)| + C

عندما يكون البسط مشتقًا تمامًا من المقام

📊

التكاملات المحددة والنظريات الأساسية

5 صيغ

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (FTC)، وخصائص التماثل، وقاعدة لايبنيز

1

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (الجزء الأول - اشتقاق التكامل)

ddx [ ∫xa f(t) dt ] = f(x)

يربط التفاضل والتكامل كعمليات رياضية عكسية

2

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (الجزء الثاني – نظرية التقييم)

∫ba f(x) dx = F(b) - F(a)

يقيم المساحة الصافية والتغير المتراكم خلال الفترة [a، b]

3

قاعدة لايبنتز للتفاضل تحت علامة التكامل

ddx [ ∫v(x)u(x) f(t) dt ] = f(v(x))·v'(x) - f(u(x))·u'(x)

امتدت قاعدة السلسلة إلى حدود التكامل الدنيا والعليا المتغيرة

4

تماثل تكاملي محدد للدالة الزوجية/الفردية على [-a, a]

Even: ∫a-a f(x) dx = 2 ∫a0 f(x) dx, Odd: ∫a-a f(x) dx = 0

التبسيط اللحظي لحدود التكامل المتماثل [-a, a]

5

نظرية القيمة المتوسطة للتكاملات المحددة

f_avg = (1b - a)·∫ba f(x) dx = f(c)

حساب القيمة المتوسطة الحقيقية للدالة المستمرة على [a، b]

🔁

صيغ التخفيض المثلثية

4 صيغ

صيغ التخفيض العودية لدمج القوى المثلثية الأعلى (sinⁿ x، cosⁿ x، tanⁿ x، secⁿ x)

1

صيغة تخفيض الطاقة الجيبية

∫ sinⁿ(x) dx = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x)n+ (n - 1n) ∫ sinⁿ⁻²(x) dx

يقلل من قوة الجيب بمقدار 2 في كل تكرار

2

صيغة تخفيض طاقة جيب التمام

∫ cosⁿ(x) dx = cosⁿ⁻¹(x)sin(x)n+ (n - 1n) ∫ cosⁿ⁻²(x) dx

يقلل من قوة جيب التمام بمقدار 2 في كل تكرار

3

صيغة تخفيض الطاقة الظل

∫ tanⁿ(x) dx = tanⁿ⁻¹(x)n - 1 - ∫ tanⁿ⁻²(x) dx

التخفيض الجبري السريع لـ tanⁿ(x)

4

صيغة تخفيض الطاقة القاطعة

∫ secⁿ(x) dx = secⁿ⁻²(x)tan(x)n - 1 + (n - 2n - 1) ∫ secⁿ⁻²(x) dx

يقلل من القوى الأعلى للقاطع (على سبيل المثال ∫sec³ x dx)

🧮

جناح الرياضيات الشامل

المتطابقات الجبرية، الهندسة، المصفوفات، المتجهات، المتسلسلات، المعادلات التفاضلية والاحتمالات.

54+ معادلة

🔢

الفصل الأول: المتطابقات الجبرية ومتعددات الحدود والمتباينات

9 صيغ

توسعات ذات الحدين، مجموع/الفرق بين المكعبات، علاقات فيتا، نظرية ذات الحدين، والمتباينات الأساسية

1

صيغة المعادلة التربيعية وجذورها

x = -b ± √b² - 4ac2a

حلول المعادلة التربيعية القياسية ax² + bx + c = 0; المميز Δ = b² - 4ac يحدد الطبيعة الحقيقية/المعقدة

x: جذور المعادلة التربيعية a, b, c: معاملات متعددة الحدود (أ ≠ 0) Δ = b² - 4ac: المميز (Δ > 0 حقيقي مميز، Δ = 0 متكرر، Δ < 0 اقترانات معقدة)

2

هويات توسيع المربع والمكعب ذات الحدين

(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

التوسعات الأساسية متعددة الحدود من ذوات الحدين الجبرية

a, b: المصطلحات الجبرية أو الأعداد الحقيقية

3

هوية مربع ثلاثي الحدود

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

توسيع مربع مجموع ثلاثة حدود

a, b, c: المتغيرات الجبرية

4

تحليل الفرق ومجموع المكعبات

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

العوامل الجبرية الدقيقة لمجموع واختلاف الحدود المكعبة

a, b: المصطلحات الأساسية

5

هوية أويلر المكعبة ذات الثلاثة متغيرات

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

حالة خاصة: إذا كان a + b + c = 0، فإن a³ + b³ + c³ = 3abc

a, b, c: المتغيرات الحقيقية أو المعقدة

6

نظرية ذات الحدين العامة

(x + y)ⁿ = ∑[k = 0 to n] (n!k!(n - k)!)·xⁿ⁻ᵏ·yᵏ

يوسع أي قوة عددية موجبة لمجموع ذي الحدين باستخدام المعاملات التوافقية

n: قوة عدد صحيح غير سلبي k: فهرس المصطلح (0 إلى n)

7

صيغ فييتا لجذور متعددة الحدود

Quadratic: r₁ + r₂ = -ba, r₁·r₂ = ca; Cubic: ∑ r_i = -ba, ∑ r_i r_j = ca, r₁r₂r₃ = -da

العلاقات المباشرة بين جذور كثيرات الحدود والمعاملات

r_i: جذور كثيرة الحدود P(x) = 0

8

AM-GM-HM الكلاسيكية تعني عدم المساواة

AM ≥ GM ≥ HM ⟹ a₁ + a₂ + ... + a_nn ≥ ⁿ√a₁·a₂·...·a_n ≥ n1a₁+1a₂+ ... +1a_n

تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كانت جميع العناصر a₁ = a₂ = ... = a_n

AM: المتوسط الحسابي GM: المتوسط الهندسي HM: الوسط التوافقي

9

عدم المساواة بين كوشي وشوارتز

(∑[i = 1 to n] a_i·b_i)² ≤ (∑[i = 1 to n] a_i²)·(∑[i = 1 to n] b_i²)

عدم المساواة الشاملة في مساحات المنتجات الداخلية الحقيقية/المعقدة

a_i, b_i: تسلسلات الأعداد الحقيقية أو مكونات المتجهات

📐

الفصل الثاني: الهندسة الإحداثية ثنائية الأبعاد والأقسام المخروطية

8 صيغ

المسافة، وصيغ القسم، والخطوط المستقيمة، والدوائر، والقطع المكافئ، والقطع الناقص، والقطع الزائد

1

المسافة الإقليدية ثنائية الأبعاد وصيغة القسم

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², x = m·x₂ ± n·x₁m ± n

مسافة الخط المستقيم وتقسيم النسبة الداخلية/الخارجية لقطعة الخط التي تربط (x₁، y₁) و (x₂، y₂)

d: المسافة الإقليدية m : n: نسبة تقسيم القسم

2

مثلث رباط الحذاء وصيغة منطقة المضلع

Area = ½·|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

حساب المساحة المستوية من إحداثيات 3 رؤوس؛ منطقة الصفر تعني العلاقة الخطية المتداخلة

(x_i, y_i): إحداثيات قمة الرأس

3

معادلات الخط المستقيم والمسافة المتعامدة

y - y₁ = m·(x - x₁), d_perp = |A·x₀ + B·y₀ +C|√A² + B²

معادلة نقطة الميل وأقصر مسافة عمودية من النقطة (x₀، y₀) إلى الخط Ax + By + C = 0

m: ميل الخط (tan θ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) d_perp: المسافة العمودية إلى الخط

4

الزاوية بين خطين متقاطعين

tan(θ) = |(m₂ - m₁)1 + m₁·m₂|

زاوية التقاطع الحادة الخطوط المتوازية لها m₁ = m₂; الخطوط المتعامدة لها m₁·m₂ = -1

m₁, m₂: ميلي الخطين المتقاطعين

5

الدائرة القياسية والنموذج العام

(x - h)² + (y - k)² = r², x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ⟹ r = √g² + f² - c

معادلة دائرة مركزها (h, k) ونصف قطرها r

(h, k): إحداثيات مركز الدائرة r: نصف قطر الدائرة

6

شكل القطع المكافئ القياسي والانحراف

y² = 4ax, Focus: (a, 0), Directrix: x = -a, Latus Rectum: 4a, e = 1

موضع النقاط على مسافة متساوية من التركيز والدليل (الانحراف المركزي e = 1)

a: معلمة المسافة البؤرية

7

الشكل القياسي للقطع الناقص، الانحراف المركزي والمساحة

x²a²+y²b² = 1, e = √1 -b²a², Foci: (±ae, 0), Area = π·a·b

القطع الناقص الأفقي القياسي مع المحور شبه الرئيسي أ، والمحور شبه الأصغر ب، والانحراف e < 1

a, b: المحاور شبه الكبرى وشبه الصغرى e: الانحراف (0 <e <1)

8

الشكل القياسي للقطع الزائد والخطوط المقاربة

x²a²-y²b² = 1, e = √1 +b²a², Asymptotes: y = ±(ba)·x

مقطع مخروطي مع انحراف e > 1 وخطوط مقاربة خطية تمر عبر نقطة الأصل

e: الانحراف الزائدي (e > 1)

🧊

الفصل الثالث: الهندسة الصلبة ثلاثية الأبعاد والقياس

6 صيغ

المسافة ثلاثية الأبعاد، المجالات، الأسطوانات، المخاريط، الكسرات، الحلقات، ومعادلات المستوى ثلاثي الأبعاد

1

صيغة المسافة ثلاثية الأبعاد ومعادلة المجال

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)², (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

المسافة الإقليدية في الفضاء الديكارتي ثلاثي الأبعاد ومعادلة المجال مع المركز (x₀، y₀، z₀) ونصف القطر R

d: المسافة المكانية ثلاثية الأبعاد R: نصف قطر المجال

2

صيغ قياس المجال والأسطوانة

Sphere: V = (43)·π·R³, A = 4·π·R²; Cylinder: V = π·r²·h, A_total = 2·π·r·(r + h)

السعة الحجمية وصيغ مساحة السطح الإجمالية للمجالات والأسطوانات الصلبة ثلاثية الأبعاد

R, r: نصف القطر h: ارتفاع الاسطوانة

3

المخروط الدائري الأيمن وحجم الإحباط

Cone: V = (13)·π·r²·h, l = √r² + h²; Frustum: V = (13)·π·h·(R² + r² + R·r)

الارتفاع المائل l، مساحة السطح الجانبية A_lat = π·r·l، وحجم المخروط المقطوع

R, r: قاعدة وأعلى نصف قطرها من frustum h: الارتفاع العمودي l: ارتفاع مائل

4

حجم ومساحة سطح توروس (دونات).

V_torus = 2·π²·R·r², A_torus = 4·π²·R·r

مجسم الدوران الناتج عن تدوير دائرة نصف قطرها r حول محور عند نصف القطر الرئيسي R من المركز (R ≥ r)

R: نصف القطر الرئيسي (المسافة من مركز الأنبوب إلى مركز الحيد) r: نصف القطر الصغير (نصف قطر الأنبوب)

5

معادلة الطائرة ثلاثية الأبعاد والمتجه العادي

A·(x - x₀) + B·(y - y₀) + C·(z - z₀) = 0 ⟹ Ax + By + Cz + D = 0

معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة (x₀, y₀, z₀) مع المتجه العادي n = <A, B, C>

A, B, C: أعداد الاتجاه للناقل العادي

6

أقصر مسافة بين خطوط الانحراف في 3D

d = |(a₂ - a₁)·(b₁ × b₂)||b₁ × b₂|

لحساب أقصر مسافة مطلقة بين خطين ثلاثي الأبعاد غير متقاطعين وغير متوازيين r₁ = a₁ + lectb₁ وr₂ = a₂ + μb₂

a₁, a₂: ضع المتجهات على الخطين 1 و 2 b₁, b₂: متجهات الاتجاه للخطوط 1 و 2

📊

الفصل الرابع: الجبر الخطي ونظرية المصفوفات

5 صيغ

المحددات، معكوسات المصفوفة، قاعدة كرامر، القيم الذاتية، المتجهات الذاتية، ونظرية كايلي هاملتون

1

محدد المصفوفة (2×2 و3×3)

det(A_2x2) = ad - bc, det(A_3x3) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

حجم تحجيم القيمة العددية في ظل التحول الخطي؛ يشير det(A) = 0 إلى مصفوفة مفردة غير قابلة للعكس

det(A): محدد المصفوفة أ

2

المصفوفة العكسية والصيغة المساعدة

A⁻¹ = (1det(A))·adj(A) = (1det(A))·(C)^T

معكوس المصفوفة حيث adj(A) هو تبديل مصفوفة العامل المساعد C

A⁻¹: مصفوفة معكوسة مضاعفة مثل A · A⁻¹ = I adj(A): المصفوفة المساعدة / الكلاسيكية المجاورة

3

قاعدة كرامر للأنظمة الخطية

x_i = det(A_i)det(A)

صيغة جبرية صريحة لحل نظام المعادلات الخطية n Ax = b حيث يحتوي A_i على عمود i تم استبداله بـ b

x_i: مكونات ناقلات الحل A_i: مصفوفة تم تشكيلها عن طريق استبدال العمود i بمتجه الثوابت b

4

القيم الذاتية والمعادلات المميزة

det(A - λ·I) = 0, (A - λ·I)·v = 0

الجذور المميزة متعددة الحدود تسفر عن قيم ذاتية عددية π؛ المتجهات المقابلة غير الصفرية v هي متجهات ذاتية

λ: القيمة الذاتية العددية I: مصفوفة الهوية v: المتجه الذاتي

5

تتبع ومحددة علاقات القيمة الذاتية

tr(A) = ∑[i = 1 to n] λ_i = ∑[i = 1 to n] a_ii, det(A) = ∏[i = 1 to n] λ_i

تتبع المصفوفة يساوي مجموع القيم الذاتية؛ المحدد يساوي حاصل ضرب جميع القيم الذاتية

tr(A): أثر المصفوفة (مجموع العناصر القطرية الرئيسية) λ_i: مجموعة من جميع القيم الذاتية

🧭

الفصل الخامس: حساب التفاضل والتكامل والمشغلين الميدانيين

5 صيغ

منتجات النقطة والتقاطع، المنتجات الثلاثية، التدرج، التباعد، التجعيد، واللابلاسيان

1

منتجات النقطة المتجهة (العددية) والتقاطعية (المتجهة).

u·v = |u||v|·cos(θ) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z, |u × v| = |u||v|·sin(θ)

نواتج المتجهات الأساسية: منتج النقطة ينتج عنه إسقاط عددي؛ المنتج المتقاطع ينتج عنه ناقلات متعامدة

u·v: المنتج العددي u × v: منتج ناقل θ: الزاوية بين المتجهات

2

المنتجات الثلاثية (العددية الثلاثية وقاعدة BAC-CAB)

[u v w] = u·(v × w), a × (b × c) = b·(a·c) - c·(a·b)

المنتج الثلاثي العددي يحسب حجم متوازي السطوح. تعمل قاعدة BAC-CAB على توسيع المنتجات المتقاطعة المزدوجة

[u v w]: حجم متوازي السطوح المتكون من المتجهات u، v، w

3

تدرج الحقل العددي (∇f)

∇f = (∂f∂x)·î + (∂f∂y)·ĵ + (∂f∂z)·k̂

متجه يشير في اتجاه الحد الأقصى لمعدل زيادة الدالة العددية f؛ الحجم يساوي أقصى ميل

∇f: مجال ناقل التدرج f(x, y, z): مجال عددي قابل للتفاضل

4

التباعد (∇·F) والالتفاف (∇×F) لحقول المتجهات

∇·F = ∂F_x∂x+∂F_y∂y+∂F_z∂z,  ∇ × F = (∂F_z∂y-∂F_y∂z)·î + (∂F_x∂z-∂F_z∂x)·ĵ + (∂F_y∂x-∂F_x∂y)·k̂

يقيس التباعد كثافة التدفق الخارجي (∇·F = 0 ملف لولبي)؛ يقيس الضفيرة الدوامة الدورانية (∇×F = 0 غير دورانية)

∇·F: تباعد المجال العددي ∇ × F: مجال ناقلات الضفيرة

5

عامل لابلاس (∇²f)

∇²f = ∇·(∇f) = ∂²f∂x² + ∂²f∂y² + ∂²f∂z²

عامل تفاضلي من الدرجة الثانية يحكم الإمكانات التوافقية وانتشار الحرارة وانتشار الموجات

∇²f: حقل لابلاس العددي (∇²f = 0 هو معادلة لابلاس)

🔄

الفصل السادس: نظريات التكامل متعدد المتغيرات

4 صيغ

نظرية جرين، نظرية ستوكس، نظرية غاوس للتباعد، والجاكوبيان

1

نظرية جرين في المستوى

∮[C] (L dx + M dy) = ∬[D] (∂M∂x - ∂L∂y) dA

يربط التكامل الخطي عكس اتجاه عقارب الساعة حول المنحنى المغلق البسيط الموجه بشكل إيجابي C بالتكامل المزدوج على المنطقة المغلقة D

C: منحنى الحدود ∂D D: منطقة مستوية مغلقة ثنائية الأبعاد

2

نظرية ستوكس للالتفاف

∮[C] F·dr = ∬[S] (∇ × F)·dS

يربط خط الدوران المتكامل على طول المنحنى الحدودي C بالتدفق السطحي المتكامل للضفيرة ∇×F على السطح القابل للتوجيه S

F: مجال المتجهات S: سطح أملس موجه يحده منحنى C

3

نظرية غاوس للتباعد

∯[S] F·dS = ∭[V] (∇·F) dV

التدفق الصافي الخارجي لحقل المتجه F عبر السطح المغلق S يساوي تكامل حجم التباعد ∇·F في جميع أنحاء الحجم الداخلي V

S: سطح حدودي مغلق ∂V V: الحجم المكاني المغلق ثلاثي الأبعاد

4

المحدد اليعقوبي لاستبدال الإحداثيات

J = ∂(x, y)∂(u, v) = (∂x∂u)(∂y∂v) - (∂x∂v)(∂y∂u), dx dy = |J| du dv

عامل قياس المساحة/الحجم أثناء التغيير متعدد المتغيرات للمتغيرات (القطبية: J = r؛ الكروية: J = ρ² sin φ)

J: محدد المصفوفة اليعقوبية

🌐

الفصل السابع: الأعداد المركبة والتحليل المركب

4 صيغ

صيغة أويلر، نظرية دي موافر، تحليل كوشي ريمان، ونظرية بقايا كوشي

1

تمثيل القطبية المعقدة والمعامل وأويلر

z = x + iy = r·(cos(θ) + i·sin(θ)) = r·e^(iθ), r = √x² + y², θ = tan⁻¹(yx)

التمثيل الهندسي للعدد المركب في مستوى أرجاند

r = |z|: المعامل / الحجم المطلق θ: زاوية مرحلة الحجة الرئيسية i: الوحدة التخيلية (i² = -1)

2

نظرية دي موافر وجذور الوحدة n

(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ) = e^(inθ), z_k = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)n)

يحسب القوى الصحيحة/الكسرية والجذور n المتماثلة في المستوى المعقد

n: مؤشر الطاقة أو الجذر k: فهرس الفرع الجذري (0، 1، ...، n-1)

3

معادلات كوشي ريمان التحليلية

∂u∂x = ∂v∂y, ∂u∂y = -(∂v∂x)

الشروط الضرورية والكافية للدالة المعقدة f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) لتكون مجسمة / معقدة-مختلفة

u(x, y): الجزء الحقيقي من الوظيفة المعقدة v(x, y): جزء وهمي من وظيفة معقدة

4

صيغة كوشي للتكامل ونظرية المخلفات

f(z₀) = (12πi)·∮[C] (f(z)z - z₀) dz, ∮[C] f(z) dz = 2πi·∑ Res(f, z_k)

يقيم التكاملات الكنتورية عبر التفردات والبقايا المغلقة Res(f, z₀) = lim[z→z₀] (z - z₀)f(z)

Res(f, z_k): بقايا في القطب المعزول z_k

📈

الفصل الثامن: المتتابعات والمتسلسلات اللانهائية وتحليل فورييه

4 صيغ

المتسلسلة الهندسية وAGP، وموسعات تايلور وماكلورين، ومتسلسلة فورييه

1

التقدم الهندسي (المجموع المحدود واللانهائي)

S_n = a·(1 - rⁿ)1 - r, S_∞ = a1 - r (|r| < 1)

مجموع التقدم الهندسي مع الحد الأول أ والنسبة المشتركة ص

a: الفصل الدراسي الأول r: النسبة المشتركة S_∞: المجموع اللانهائي (يتقارب إذا |r| < 1)

2

توسيع سلسلة تايلور وماكلورين

f(x) = ∑[n = 0 to ∞] (fⁿ(a)n!)·(x - a)ⁿ = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)2!)(x - a)² + ...

تمثيل الدالة الملساء كمجموع متعدد الحدود لانهائي للمشتقات عند نقطة التمدد a (Maclaurin عندما يكون a = 0)

fⁿ(a): المشتق n من f تم تقييمه عند النقطة a n!: مضروب (ن! = ن · (ن - 1) · ... · 1)

3

متسلسلة ماكلورين القياسية (eˣ، sin x، cos x، ln(1+x))

eˣ = 1 + x +x²2!+x³3!+ ..., sin x = x -x³3!+x⁵5!- ..., cos x = 1 -x²2!+x⁴4!- ...

تمثيلات متسلسلة قوى لا نهائية مع نصف قطر تقارب لا نهائي (R = ∞)

x: متغير حقيقي أو معقد

4

توسيع سلسلة فورييه للوظيفة الدورية

f(x) = a₀2+ ∑[n = 1 to ∞] [a_n·cos(nπxL) + b_n·sin(nπxL)]

يتحلل الشكل الموجي الدوري للفترة 2L إلى مجموع لا نهائي من المكونات المتعامدة الجيبية التوافقية

a_n, b_n: معاملات فورييه الطيفية: a_n = (1/L) ∫[-L إلى L] f(x) cos(nπx/L) dx 2L: الفترة الأساسية للوظيفة

⚡

الفصل التاسع: المعادلات التفاضلية (ODE وPDE)

4 صيغ

عوامل التكامل من الدرجة الأولى، ومعامل ODEs للمعامل الثابت من الدرجة الثانية، وتحويلات لابلاس، وPDEs

1

ODE الخطي من الدرجة الأولى (طريقة عامل التكامل)

dydx + P(x)·y = Q(x) ⟹ y·e^(∫ P dx) = ∫ Q(x)·e^(∫ P dx) dx + C

طريقة الحل العامة باستخدام عامل التكامل I(x) = exp(∫P dx)

I(x): عامل التكامل e^(∫ P dx) C: ثابت التكامل التعسفي

2

ODE الخطي المتجانس من الدرجة الثانية (الجذور المميزة)

a·y'' + b·y' + c·y = 0 ⟹ a·λ² + b·λ + c = 0, λ = -b ± √b² - 4ac2a

تحدد الجذور شكل الحل: حقيقي مميز (C₁e^lect₁x + C₂e^lect₂x)، متكرر ((C₁ + C₂x)e^lectx)، مركب α±iβ (e^αx(C₁cos βx + C₂sin βx))

λ: جذور المعادلة المميزة C₁, C₂: ثوابت الحدود/الحالة الأولية

3

تحويل لابلاس والملكية المشتقة

L{f(t)} = F(s) = ∫∞0 e^(-st)·f(t) dt, L{f'(t)} = s·F(s) - f(0)

يحول المعادلات التفاضلية الخطية إلى معادلات جبرية في مجال التردد المعقد

F(s): دالة لابلاس للمجال S s: معلمة التردد المعقدة (σ + iω)

4

المعادلات التفاضلية الجزئية الكلاسيكية (الموجة، الحرارة، لابلاس)

Wave: ∂²u∂t² = c²·(∂²u∂x²);   Heat: ∂u∂t = α·(∂²u∂x²);   Laplace: ∂²u∂x² + ∂²u∂y² = 0

ثلاث معادلات تفاضلية جزئية خطية أساسية من الدرجة الثانية تحكم الفيزياء والهندسة

c: سرعة انتشار الموجة α: ثابت الانتشار الحراري

🎲

الفصل العاشر: الاحتمالية والتوزيعات الإحصائية

5 صيغ

نظرية بايز، القيمة المتوقعة، التباين، التوزيعات ذات الحدين، بواسون، والتوزيعات الطبيعية الغوسية

1

نظرية بايز وقانون الاحتمال الكلي

P(A | B) = P(B | A)·P(A)P(B) = P(B | A)·P(A)∑ P(B | A_i)·P(A_i)

حساب الاحتمال الخلفي P(A|B) بالنظر إلى الاحتمال السابق P(A) والاحتمال الشرطي P(B|A)

P(A | B): الاحتمال الخلفي للحدث (أ) مع وقوع الحدث (ب). P(A): الاحتمال المسبق لـ A P(B | A): احتمالية B بالنظر إلى A

2

القيمة المتوقعة وعلاقات التباين

E[X] = ∑ x_i·P(x_i), Var(X) = E[X²] - (E[X])² = σ², SD(X) = σ = √Var(X)

اللحظات المركزية الأولى والثانية تقيس متوسط المركز والتشتت حول المتوسط

E[X]: التوقع الرياضي / متوسط عدد السكان (μ) Var(X): التباين السكاني (σ²) σ: الانحراف المعياري

3

التوزيع الاحتمالي ذو الحدين

P(X = k) = (n!k!(n - k)!)·pᵏ·(1 - p)ⁿ⁻ᵏ, μ = n·p, σ² = n·p·(1 - p)

احتمال نجاحات k بالضبط في تجارب برنولي المستقلة مع احتمال النجاح p

n: مجموع التجارب المستقلة k: عدد النجاحات p: احتمالية النجاح لكل تجربة

4

توزيع احتمالية بواسون

P(X = k) = λᵏ·e^(-λ)k!, μ = λ, σ² = λ

نماذج لوقوع الأحداث المنفصلة النادرة في فترة زمنية ثابتة/مكانية بمعدل متوسط ثابت α

λ: متوسط معلمة معدل الحدوث (× > 0) k: عدد الأحداث (0، 1، 2...)

5

التوزيع الطبيعي الغوسي وZ-Score

f(x) = (1σ·√2π)·e^(-(x - μ)²2σ²), Z = X - μσ

دالة كثافة الاحتمالية المستمرة المتماثلة على شكل جرس تحكم نظرية الحد المركزي

μ: مركز التوزيع المتوسط σ: معلمة انتشار الانحراف المعياري Z: درجة Z موحدة (مسافة بدون أبعاد من المتوسط بوحدات σ)

⚛️

جناح الفيزياء الشامل

علم الحركة، قوانين نيوتن، الديناميكا الدورانية، الجاذبية، الديناميكا الحرارية، معادلات ماكسويل، البصريات والفيزياء الكمية.

158+ معادلة

🏃

الفصل 1: الحركية والحركة 1D/2D

13 صيغ

معادلات الحركة، الإزاحة، السرعة المتوسطة واللحظية، التسارع، ومسار المقذوف

1

متوسط السرعة

v_avg = ΔxΔt = x_f - x_it_f - t_i

نسبة الإزاحة الكلية إلى إجمالي الفترة الزمنية المتخذة

v_avg: متوسط السرعة Δx: النزوح Δt: لقد انقضى الوقت

2

السرعة اللحظية

v = dxdt = lim[Δt→0] (ΔxΔt)

مشتق لأول مرة لمتجه إحداثيات الموقع بالنسبة للوقت

v: السرعة اللحظية x(t): وظيفة الموقف من الوقت

3

تسريع لحظي

a = dvdt = d²xdt² = v·(dvdx)

معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن أو الموقع

a: تسريع v: سرعة

4

معادلة SUVAT الأولى للحركة (السرعة-الزمن)

v = u + a·t

يربط السرعة النهائية بالسرعة الأولية في ظل تسارع منتظم أ

v: السرعة النهائية u: السرعة الأولية a: تسارع مستمر t: لقد انقضى الوقت

5

المعادلة الثانية للحركة (زمن الإزاحة)

s = u·t + ½·a·t²

يحسب إجمالي الإزاحة الخطية في ظل تسارع ثابت

s: النزوح u: السرعة الأولية a: تسارع مستمر t: لقد انقضى الوقت

6

معادلة SUVAT الثالثة للحركة (السرعة-الإزاحة)

v² = u² + 2·a·s

علاقة حركية مستقلة عن الزمن لتسارع ثابت

v: السرعة النهائية u: السرعة الأولية a: تسارع مستمر s: النزوح

7

النزوح في ن الثانية

s_n = u + (a2)·(2n - 1)

يحسب الإزاحة خلال الثانية n من الحركة على وجه التحديد

s_n: الإزاحة في n-الثانية n: الرقم الثاني (ن = 1، 2، 3...)

8

الإزاحة باستخدام السرعة المتوسطة

s = ½·(u + v)·t

صالحة للحركة تحت تسارع خطي ثابت منتظم

s: النزوح u, v: السرعات الأولية والنهائية

9

أقصى ارتفاع للقذيفة

H_max = u²·sin²θ2g

ذروة الارتفاع العمودي الذي تم الوصول إليه بواسطة مقذوف تم إطلاقه بزاوية θ

u: إطلاق السرعة الأولية θ: زاوية الإطلاق أفقية g: تسارع الجاذبية (9.81 م/ث²)

10

إجمالي وقت طيران المقذوف

T = 2u·sinθg

إجمالي الوقت المحمول جواً منذ الإطلاق وحتى الهبوط على أرض مستوية

T: إجمالي زمن الرحلة u: سرعة الإطلاق الأولية

11

المدى الأفقي للقذيفة

R = u²·sin(2θ)g

أقصى مسافة أفقية مقطوعة (الحد الأقصى عند زاوية الإطلاق θ = 45°)

R: النطاق الأفقي u: سرعة الإطلاق θ: زاوية الإسقاط

12

معادلة مسار القطع المكافئ للقذيفة

y = x·tanθ -g·x²2u²·cos²θ = x·tanθ·(1 -xR)

إحداثيات المسار الديكارتي (x، y) توضح حركة مكافئة خالصة

(x, y): إحداثيات الموقع لحظية R: النطاق الأفقي

13

ناقل السرعة النسبية

v_(AB) = v_A - v_B, v_(AB) = √v_A² + v_B² - 2v_A·v_B·cosθ

سرعة الجسم A المرصودة من الإطار المرجعي للجسم المتحرك B

v_(AB): السرعة النسبية لـ A w.r.t B θ: الزاوية بين متجهات السرعة

⚖️

الفصل الثاني: قوانين الحركة والاحتكاك والديناميكيات الدائرية

12 صيغ

قوانين نيوتن الثلاثة، الزخم الخطي، الدفع، الاحتكاك الساكن/الحركي، قوة الجذب المركزي، والزوايا الجانبية

1

الزخم الخطي

p = m·v

منتج الكتلة والسرعة؛ يتم حفظها في أنظمة معزولة بدون أي قوة خارجية

p: الزخم الخطي m: كتلة v: سرعة

2

قانون نيوتن الثاني للحركة

F_net = dpdt = m·a (for constant mass)

صافي القوة الخارجية يساوي المعدل اللحظي للتغير في الزخم الخطي

F_net: صافي القوة المحصلة m: كتلة بالقصور الذاتي a: تسريع

3

نظرية الدفع والزخم

J = ∫ F dt = F_avg·Δt = Δp = m·v_f - m·v_i

إن دفع القوة خلال المدة Δt يساوي التغير الكلي في الزخم الناتج

J: دفعة F_avg: متوسط قوة التأثير Δp: التغير في الزخم الخطي

4

الحد الأقصى للاحتكاك الثابت

f_s(max) = μ_s·N

قوة مقاومة ذاتية الضبط تعارض ميل الحركة النسبية حتى العتبة

f_s: قوة الاحتكاك الساكنة μ_s: معامل الاحتكاك الساكن (بدون أبعاد) N: قوة الاتصال رد الفعل الطبيعي

5

الاحتكاك الحركي / المنزلق

f_k = μ_k·N

قوة مقاومة ثابتة تعارض حركة الانزلاق النسبية النشطة (عادةً μ_k < μ_s)

f_k: قوة الاحتكاك الحركي μ_k: معامل الاحتكاك الحركي N: القوة العادية

6

زاوية الاحتكاك وزاوية السكون

tan(θ_repose) = μ_s, tan(λ) = f_s(max)N = μ_s

الحد الأدنى لزاوية الميل التي يبدأ عندها الجسم في الانزلاق تحت تأثير الجاذبية

θ_repose: زاوية الاستراحة μ_s: معامل الاحتكاك الساكن

7

التسارع المركزي

a_c = v²r = ω²·r = v·ω = 4π²·rT²

تسارع موجه شعاعيًا إلى الداخل لمسار دائري نصف قطره r

a_c: التسارع المركزي v: السرعة الخطية العرضية ω: السرعة الزاوية r: نصف قطر الانحناء

8

القوة الجاذبة المركزية

F_c = m·v²r = m·ω²·r

صافي القوة الداخلية المطلوبة للحفاظ على حركة المسار الدائري

F_c: القوة الجاذبة المركزية m: كتلة الكائن r: نصف قطر المدار / بدوره

9

السرعة الآمنة المثلى على الطريق المنحني

v_opt = √r·g·tanθ

السرعة التي تتفاوض بها السيارة عند المنعطف دون أي احتكاك جانبي

v_opt: سرعة مصرفية مثالية θ: زاوية الارتفاع المصرفية r: نصف قطر المنحنى الدائري

10

أقصى سرعة آمنة على الطريق المتعرج مع الاحتكاك

v_max = √[r·g·(μ_s + tanθ)1 - μ_s·tanθ ]

الحد الأقصى للسرعة قبل حدوث الانزلاق إلى الخارج على السطح المغطى بالاحتكاك

v_max: سرعة الدوران القصوى μ_s: معامل الاحتكاك الثابت على الطريق

11

الفترة الزمنية للبندول المخروطي

T = 2π·√L·cosθg, Tension: T_string = m·gcosθ

فترة بوب تصف الدائرة الأفقية لزاوية المخروط θ وطول السلسلة L

T: فترة الثورة L: طول السلسلة θ: زاوية شبه عمودية مع عمودية

12

الحركة الدائرية العمودية السرعات الحرجة

v_bottom ≥ √5gr, v_top ≥ √gr, T_bottom - T_top = 6mg

الحد الأدنى من السرعات اللازمة لإكمال حلقة عمودية دون تباطؤ السلسلة

r: نصف قطر الحلقة العمودية T_bottom, T_top: التوترات سلسلة في أدنى وأعلى النقاط

⚡

الفصل الثالث: الشغل والطاقة والقوة والاصطدامات

11 صيغ

نظرية الشغل والطاقة، الطاقة الحركية/الموضعية، مرونة الزنبرك، القوى المحافظة، القدرة، الاصطدامات المرنة/غير المرنة

1

الشغل المنجز بالقوة الثابتة

W = F·d·cosθ = F·d

المنتج النقطي العددي لمتجه القوة ومتجه الإزاحة

W: تم الانتهاء من العمل الميكانيكي F: حجم القوة المطبقة d: النزوح θ: الزاوية بين القوة والإزاحة

2

الشغل المبذول بواسطة القوة المتغيرة (تكاملية)

W = ∫x_fx_i F(x) dx

المنطقة الواقعة تحت الرسم البياني للقوة والإزاحة بين المواضع الأولية والنهائية

F(x): وظيفة القوة المعتمدة على الموقع dx: عنصر الإزاحة متناهية الصغر

3

نظرية العمل والطاقة

W_net = ΔK = K_f - K_i = ½m·v_f² - ½m·v_i²

صافي الشغل الذي تبذله جميع القوى (المحافظة، غير المحافظة، الخارجية) يساوي التغير في الطاقة الحركية

W_net: صافي العمل المنجز ΔK: التغير في الطاقة الحركية

4

الطاقة الحركية (العلاقة مع الزخم)

K = ½·m·v² = p²2m, p = √2m·K

الطاقة التي يمتلكها الجسم نتيجة لحالته الحركية

K: الطاقة الحركية p: الزخم الخطي m: كتلة

5

طاقة الجاذبية الكامنة (بالقرب من الأرض)

U_g = m·g·h

الطاقة الكامنة المخزنة في كتلة m مرفوعة إلى الارتفاع الرأسي h في مجال منتظم g

U_g: الطاقة الكامنة الجاذبية m: كتلة h: الارتفاع فوق المسند المرجعي

6

الطاقة الكامنة المرنة للربيع (قانون هوك)

U_s = ½·k·x², F_spring = -k·x

الطاقة المخزنة عندما يتم تمديد/ضغط نابض ثابت الصلابة k بواسطة x

U_s: الطاقة الكامنة في الربيع k: صلابة الربيع ثابتة x: النزوح من استطالة التوازن

7

القوة المحافظة باعتبارها التدرج السلبي المحتمل

F = -dUdx, F_vec = -∇U = -(∂U∂x i + ∂U∂y j + ∂U∂z k)

تشير القوى المحافظة دائمًا إلى اتجاه الانخفاض الحاد في طاقة الوضع

U: المجال العددي للطاقة المحتملة ∇U: التدرج من الطاقة المحتملة

8

الطاقة الميكانيكية (المتوسطة واللحظية)

P = dWdt = F·v·cosθ = F·v

المعدل الزمني الذي يتم فيه تنفيذ العمل الميكانيكي أو نقل الطاقة

P: قوة F: قوة v: سرعة

9

معامل الرد (الاصطدامات)

e = v₂ - v₁u₁ - u₂ = Relative velocity of separationRelative velocity of approach

يقيس المرونة: e=1 (الطاقة الحركية محفوظة)، e=0 (الأجسام تلتصق ببعضها البعض)

u₁, u₂: السرعات قبل الاصطدام v₁, v₂: السرعات بعد الاصطدام e: معامل الاسترداد (0 ≥ ه ≥ 1)

10

السرعات النهائية في التصادم المرن 1D

v₁ = [m₁ - m₂m₁ + m₂]·u₁ + [2m₂m₁ + m₂]·u₂,  v₂ = [2m₁m₁ + m₂]·u₁ + [m₂ - m₁m₁ + m₂]·u₂

السرعات الدقيقة بعد التصادم لكتلتين تصطدمان بشكل مرن في بعد واحد

m₁, m₂: كتل من الأجسام المتصادمة u₁, u₂: السرعات الأولية v₁, v₂: السرعات النهائية بعد الاصطدام

11

فقدان الطاقة الحركية في الاصطدام غير المرن

ΔK_loss = ½·[m₁·m₂m₁ + m₂ ]·(u₁ - u₂)²·(1 - e²)

الطاقة الحركية تتحول إلى تشوه حراري داخلي وطاقة صوتية

ΔK_loss: الطاقة الحركية المفقودة e: معامل الرد

🔄

الفصل الرابع: الحركة الدورانية وعزم القصور الذاتي

11 صيغ

عزم الدوران، والزخم الزاوي، وحركية الدوران، ونظريات المحاور المتوازية/المتعامدة، وديناميكيات التدحرج

1

مركز الإحداثيات الجماعية

r_cm = ∑ m_i·r_i∑ m_i = (1M) ∫ r dm

متوسط موضع توزيع الكتلة للأجسام الصلبة المنفصلة أو المستمرة

r_cm: مركز ناقل موضع الكتلة M: إجمالي كتلة النظام (∑ m_i)

2

المعادلات الحركية الدورانية

ω = ω₀ + α·t, θ = ω₀·t + ½α·t², ω² = ω₀² + 2α·θ

المكافئات الدورانية لـ SUVAT للتسارع الزاوي الثابت α

θ: الإزاحة الزاوية ω₀, ω: السرعة الزاوية الأولية والنهائية α: التسارع الزاوي t: وقت

3

عزم الدوران (لحظة القوة)

τ = r × F = r·F·sinθ = I·α = dLdt

المكافئ الدوراني للقوة الخطية المسببة للتسارع الزاوي α

τ: عزم الدوران r: مسافة ذراع الذراع لحظة I: لحظة الجمود α: التسارع الزاوي

4

الزخم الزاوي والحفظ

L = r × p = I·ω, τ_net = 0 ⟹ L = const

يتم الحفاظ عليه عندما يكون صافي عزم الدوران الخارجي المؤثر على النظام صفرًا (على سبيل المثال، المتزلج على الجليد)

L: الزخم الزاوي I: لحظة الجمود ω: السرعة الزاوية

5

نظرية المحور الموازي (شتاينر)

I = I_cm + M·d²

لحظة القصور الذاتي حول أي محور موازي للمحور المركزي مفصولة بالمسافة د

I: عزم القصور الذاتي حول المحور الموازي للهدف I_cm: لحظة القصور الذاتي من خلال مركز الكتلة M: الكتلة الكلية للجسم d: المسافة العمودية بين المحاور

6

نظرية المحور العمودي (الصفائح المستوية)

I_z = I_x + I_y

ينطبق حصريًا على الأجسام المستوية ثنائية الأبعاد الموجودة في المستوى xy

I_z: لحظة القصور الذاتي حول المحور Z الطبيعي I_x, I_y: لحظات القصور الذاتي حول المحورين x وy في المستوى

7

نصف قطر الدوران

k = √IM, I = M·k²

مسافة شعاعية فعالة يمكن تركيز الكتلة بأكملها فيها دون تغيير I

k: نصف قطر الدوران I: لحظة الجمود M: كتلة

8

الطاقة الحركية الدورانية

K_rot = ½·I·ω²

الطاقة الحركية المرتبطة حصريًا بالدوران حول محور ثابت أو متحرك

K_rot: الطاقة الحركية الدورانية I: لحظة الجمود ω: السرعة الزاوية

9

إجمالي الطاقة الحركية في حركة التدحرج البحتة

K_total = K_trans + K_rot = ½M·v_cm² + ½I_cm·ω² = ½M·v_cm²·(1 +k²R²)

الطاقة الحركية الانتقالية والدورانية المجمعة للتدحرج النقي دون الانزلاق (v_cm = ωR)

K_total: إجمالي الطاقة المتداول v_cm: مركز سرعة الكتلة k: نصف قطر الدوران R: نصف القطر الخارجي

10

تسارع تدحرج الجسم إلى أسفل المنحدر

a = g·sinθ1 + I_cmM·R² = g·sinθ1 +k²R²

التسارع الخطي أسفل مستوى مائل من المنحدر θ (Solid Sphere > Disc > Ring)

a: تسارع المتداول الخطي θ: زاوية مائلة

11

اللحظات القياسية للقصور الذاتي المرجعي

Thin Rod: 112 ML², Ring: MR², Solid Disc: ½MR²,Solid Sphere: 25 MR²,Hollow Sphere: 23 MR²

عزم القصور الذاتي المركزي للأجسام الهندسية القياسية المنتظمة

M: كتلة R, L: نصف القطر / الطول

🪐

الفصل الخامس: الجاذبية العالمية والميكانيكا المدارية

10 صيغ

قانون نيوتن العالمي للجاذبية، إمكانات الجاذبية، سرعة الهروب، السرعة المدارية، قوانين كبلر، ومدارات الأقمار الصناعية

1

قانون نيوتن للجاذبية العالمية

F = G·(M·m)r²

جاذبية التربيع العكسي بين أي نقطتين مفصولتين بالمسافة r

G: ثابت الجاذبية العالمي (6.6743 × 10⁻¹¹ نيوتن·م²/كجم²) M, m: تفاعل الجماهير النقطية r: الفصل بين المراكز

2

تسارع الجاذبية السطحية

g = G·MR² = (43)·π·G·ρ·R

تسارع السقوط الحر على سطح كرة كوكبية كتلتها M ونصف قطرها R

g: الجاذبية السطحية (الأرض ~9.81 م/ث²) M: كتلة الكوكب R: نصف قطر الكوكب ρ: متوسط الكثافة

3

تباين الجاذبية مع الارتفاع ح

g_h = g·(RR + h)² ≈ g·(1 -2hR) [for h ≪ R]

انخفاض تسارع الجاذبية مع الارتفاع h فوق سطح الكوكب

g_h: الجاذبية على ارتفاع ح h: الارتفاع فوق سطح الأرض R: نصف قطر الأرض (~6,371 كم)

4

تغير الجاذبية مع العمق د

g_d = g·(1 -dR)

النقصان الخطي لتسارع الجاذبية داخل الأرض (يصبح صفرًا عند المركز d = R)

g_d: الجاذبية في العمق د d: العمق تحت الأرض

5

طاقة الجاذبية الكامنة (العالمية)

U(r) = -G·M·mr

طاقة الحالة المرتبطة السلبية مع الإشارة صفر عند الانفصال اللانهائي r → ∞

U(r): الطاقة الكامنة الجاذبية r: المسافة من المركز

6

إمكانات الجاذبية V(r)

V(r) = -G·Mr, E_g = -dVdr

العمل المنجز في جلب كتلة اختبار الوحدة من اللانهاية إلى المسافة r

V(r): إمكانات الجاذبية

7

سرعة الهروب

v_esc = √2G·MR = √2g·R

الحد الأدنى للسرعة الأولية المطلوبة لمقذوف غير مزود بالطاقة للهروب من الجاذبية الكوكبية (حوالي 11.2 كم/ثانية بالنسبة للأرض)

v_esc: سرعة الهروب M: كتلة الكوكب R: نصف قطر الكوكب

8

السرعة المدارية للقمر الصناعي

v_orb = √G·MR + h = v_esc√2 (near surface)

السرعة الدائرية المطلوبة لمدار مستقر حول الكوكب (~7.92 كم/ثانية بالقرب من سطح الأرض)

v_orb: السرعة المدارية h: الارتفاع المداري فوق السطح

9

الفترة الزمنية المدارية للقمر الصناعي

T = 2π·(R + h)^(32)√GM = 2π·√r³GM

الوقت اللازم للقمر الصناعي لإكمال دورة كاملة (24 ساعة للمدار الثابت بالنسبة للأرض عند الساعة ~35,786 كم)

T: الفترة المدارية r: نصف القطر المداري (R + h)

10

قانون كبلر الثالث (القانون التوافقي)

T²a³ = 4π²G·M = const

مربع الدورة المدارية يتناسب طرديا مع مكعب نصف المحور الرئيسي أ

T: الفترة المدارية a: المحور المداري شبه الرئيسي

🧱

الفصل السادس: الخواص الميكانيكية للمواد الصلبة والمرونة

5 صيغ

قانون هوك، الإجهاد، الانفعال، معامل يونغ، معامل الحجم، معامل القص، نسبة بواسون، وكثافة الطاقة المرنة

1

قانون هوك ومعامل يونغ

Stress = Y·Strain ⟹ FA = Y·(ΔLL)

العلاقة الخطية بين إجهاد الشد/الضغط والانفعال الطولي ضمن حد المرونة

Y: معامل يونغ للمرونة σ = FA: ضغط ε = ΔLL: سلالة طولية (بلا أبعاد) ΔL: استطالة / ضغط

2

معامل السائبة والانضغاط

B = - V·(ΔPΔV), K = 1B

مقاومة المادة للضغط الحجمي الموحد تحت الضغط الهيدروستاتيكي ΔP

B: معامل السائبة K: الانضغاطية ΔP: زيادة الضغط الهيدروستاتيكي المطبق ΔVV: سلالة كسور الحجمي

3

معامل القص (معامل الصلابة)

G = η = FAθ = F·LA·Δx

مقاومة تشويه القص العرضي الزاوي θ دون تغيير الحجم

G or η: معامل القص / الصلابة θ: تشويه زاوية القص Δx: الإزاحة العلوية الجانبية

4

نسبة بواسون

ν = -Lateral StrainLongitudinal Strain = -ΔddΔLL

نسبة الانكماش العرضي إلى التمدد الطولي (الحدود النظرية: -1 < ν < 0.5؛ العملي: 0 إلى 0.5)

ν: نسبة بواسون (بدون أبعاد) d: القطر/السمك العرضي L: طول

5

كثافة طاقة الانفعال المرن

u = ½·Stress·Strain = ½·Y·(Strain)² = (Stress)²2Y

الطاقة الكامنة المرنة المخزنة لكل وحدة حجم في مادة مرنة مشوهة

u: إجهاد كثافة الطاقة U_total: إجمالي طاقة الانفعال = u × الحجم

💧

الفصل السابع: ميكانيكا الموائع والهيدروستاتيكا واللزوجة

10 صيغ

الضغط الهيدروستاتيكي، طفو أرخميدس، معادلة الاستمرارية، نظرية برنولي، تدفق توريتشيلي، قانون ستوكس، السرعة الحدية، والتوتر السطحي

1

الضغط الهيدروستاتيكي مع العمق

P = P₀ + ρ·g·h

إجمالي الضغط المطلق عند العمق h في السائل الساكن ذي الكثافة ρ

P: الضغط المطلق في العمق P₀: الضغط الجوي (101,325 باسكال) ρ: كثافة السوائل h: عمود العمق تحت سطح السائل

2

مبدأ باسكال (الرفع الهيدروليكي)

P₁ = P₂ ⟹ F₁A₁ = F₂A₂

ينتقل الضغط المطبق على السائل المغلق غير القابل للضغط بشكل متساوٍ

F₁, F₂: القوى المؤثرة على مكابس الإدخال والإخراج A₁, A₂: مساحات المقطع العرضي لسطح المكبس

3

مبدأ الطفو لأرخميدس

F_B = ρ_fluid·V_submerged·g = Weight of displaced fluid

قوة الطفو إلى الأعلى تساوي وزن السائل المزاح بواسطة الجسم المغمور

F_B: قوة الدفع المزدهرة ρ_fluid: كثافة الوسط السائل V_sub: حجم الكائن المغمور

4

معادلة الاستمرارية (حفظ الكتلة)

A₁·v₁ = A₂·v₂ = dVdt = Q (Flow Rate)

بالنسبة لتدفق سائل ثابت غير قابل للضغط، يظل معدل التفريغ الحجمي Q ثابتًا

A₁, A₂: مناطق الأنابيب المستعرضة v₁, v₂: سرعات تدفق السوائل Q: تفريغ معدل تدفق الحجم

5

نظرية برنولي (حفظ الطاقة)

P + ½·ρ·v² + ρ·g·h = constant

يكون مجموع الضغط الساكن والضغط الحركي الديناميكي والإمكانات الهيدروستاتية ثابتًا على طول الخط الانسيابي

P: ضغط السوائل الساكنة ½ρv²: رأس الضغط الديناميكي ρgh: الضغط المحتمل الجاذبية

6

قانون تورشيللي لسرعة التدفق

v_efflux = √2·g·h

سرعة خروج السائل من خزان ذو فتحة صغيرة يفتح على عمق h تحت السطح المفتوح

v_efflux: سرعة التدفق h: عمق فتحة الفتحة أسفل قمة السائل

7

قانون ستوكس للسحب اللزج

F_v = 6π·η·r·v

تثبيط قوة السحب اللزجة التي تتعرض لها كرة صغيرة تتحرك عبر السائل الصفحي

F_v: قوة مقاومة لزجة η: معامل اللزوجة الديناميكية r: نصف قطر المجال v: السرعة من خلال السوائل

8

السرعة النهائية للكرة المتساقطة

v_t = 2·r²·(ρ - σ)·g9η

سرعة ثابتة ثابتة يتم تحقيقها عندما تساوي الجاذبية قوة الطفو + السحب اللزج

v_t: السرعة الطرفية ρ: كثافة المجال σ: كثافة السوائل المحيطة η: لزوجة السوائل الديناميكية

9

الضغط الزائد في القطرة والفقاعة

ΔP_drop = 2TR, ΔP_bubble = 4TR

يونغ لابلاس الضغط الداخلي الزائد: تحتوي فقاعة الصابون على واجهتين من الهواء السائل الحر

T: معامل التوتر السطحي R: نصف قطر القطرة / انحناء الفقاعة ΔP: الضغط الداخلي الزائد عن المحيط

10

صعود الشعيرات الدموية / الاكتئاب (قانون جورين)

h = 2T·cosθρ·g·r

يرتفع السائل في أنبوب شعري ضيق نصف قطره r بزاوية اتصال θ

h: ارتفاع ارتفاع العمود الشعري θ: زاوية تلامس الغضروف المفصلي السائل والصلب r: نصف قطر الأنبوب الشعري الداخلي

🌡️

الفصل الثامن: الفيزياء الحرارية والنظرية الحركية للغازات

7 صيغ

التمدد الحراري، قياس السعرات الحرارية، قانون الغاز المثالي، الضغط النظري الحركي، السرعات الجزيئية (RMS/avg/mp)، والسعات الحرارية المولية

1

التمدد الحراري (الخطي، السطحي، الحجمي)

ΔL = α·L₀·ΔT, ΔA = 2α·A₀·ΔT, ΔV = 3α·V₀·ΔT = γ·V₀·ΔT

توسع الأبعاد الجزئي المتناسب مع زيادة درجة الحرارة ΔT (β = 2α، γ = 3α)

α: معامل التمدد الحراري الخطي ΔT: تغير درجة الحرارة (T_f - T_i)

2

الحرارة المحسوسة والحرارة الكامنة لتغير الطور

Q = m·c·ΔT, Q_phase = m·L

الحرارة المطلوبة لرفع درجة الحرارة أو التأثير على انتقال الطور الصلب/السائل/الغازي متساوي الحرارة

Q: الطاقة الحرارية الممتصة أو المنطلقة c: السعة الحرارية النوعية (الماء: 4186 جول/كجم·ك) L: الحرارة الكامنة النوعية (الانصهار / التبخير)

3

معادلة حالة الغاز المثالي

P·V = n·R·T = N·k_B·T

المعادلة التأسيسية المتعلقة بالضغط والحجم ودرجة الحرارة وكمية الغاز المثالي

P: الضغط المطلق V: مقدار n: عدد الشامات R: ثابت الغاز العالمي (8.31446 J/(mol·K)) k_B: ثابت بولتزمان (1.38065 × 10⁻²³J/K) T: درجة الحرارة المطلقة

4

النظرية الحركية لضغط الغاز

P = ⅓·ρ·v_rms² = ⅓·(N·mV)·v_rms²

الاشتقاق الإحصائي المجهري لضغط الغاز العياني من اصطدامات الزخم الجزيئي

ρ: كثافة الغاز (M_total / V) v_rms: الجذر المتوسط التربيعي للسرعة الجزيئية

5

RMS، متوسط سرعات الغاز وأكثرها احتمالاً

v_rms = √3RTM, v_avg = √8RTπM, v_mp = √2RTM

سرعات توزيع السرعة الجزيئية المميزة لماكسويل-بولتزمان (v_rms > v_avg > v_mp)

M: الكتلة المولية للغاز T: درجة الحرارة المطلقة

6

الطاقة الداخلية ودرجات الحرية

U = (f2)·n·R·T, E_k(per molecule) = (f2)·k_B·T

نظرية التوزيع المتساوي: كل درجة تربيعية للحرية f تساهم بـ ½ k_B T لكل جزيء

f: درجات الحرية (أحادي=3، ضياء=5، بولي=6) U: إجمالي الطاقة الحرارية الداخلية

7

علاقة ماير ونسبة السعة الحرارية γ

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v = 1 + (2f)

العلاقة بين السعات الحرارية المولية عند الضغط الثابت (C_p) والحجم الثابت (C_v)

C_p, C_v: السعات الحرارية المولية γ: مؤشر ثابت الحرارة / نسبة بواسون (أحادي=1.67، ضياء=1.40)

🔥

الفصل التاسع: الديناميكا الحرارية وانتقال الحرارة

10 صيغ

القانون الأول للديناميكا الحرارية، عمليات العمل الديناميكية الحرارية (متساوي الحرارة، ثابت الحرارة، متساوي الضغط، متساوي التوتر)، كفاءة محرك كارنو، قانون ستيفان-بولتزمان، وإزاحة فيينا

1

القانون الأول للديناميكا الحرارية

ΔU = Q - W ⟹ Q = ΔU + W, W = ∫ P dV

حفظ الطاقة للأنظمة الديناميكية الحرارية (Q في النظام، W الشغل الذي ينجزه النظام)

ΔU: التغير في الطاقة الداخلية (n C_v ΔT) Q: تضاف الحرارة إلى النظام W: العمل المنجز عن طريق توسيع النظام

2

العمل المنجز في عملية متساوية الحرارة (T = const، ΔU = 0)

W_iso = n·R·T·ln(V_fV_i) = n·R·T·ln(P_iP_f)

التمدد/الضغط شبه الاستاتيكي القابل للعكس عند درجة حرارة ثابتة تمامًا

W_iso: تم إنجاز العمل متساوي الحرارة V_i, V_f: المجلدات الأولية والنهائية

3

العملية الأدياباتيكية والعمل المنجز (Q = 0، PV^γ = const)

P·V^γ = const, W_adi = P_i·V_i - P_f·V_fγ - 1 = n·R·(T_i - T_f)γ - 1

عملية عكسية مع تبادل حراري صفر مع المناطق المحيطة (T V^(γ-1) = const)

W_adi: العمل الأديابي γ: نسبة السعة الحرارية (C_p / C_v)

4

العمل متساوي الضغط (P = const) ومتساوي الضغط (V = const).

W_isobaric = P·ΔV = n·R·ΔT, W_isochoric = 0 (since dV = 0)

تحت ضغط ثابت، يتم العمل بمساحة مستطيلة PΔV؛ في ظل حجم ثابت، يتم تنفيذ أي عمل

P: الضغط المستمر ΔV: تغيير الحجم

5

محرك كارنو الحراري ذو الكفاءة القصوى

η = W_outQ_in = 1 - (Q_CQ_H) = 1 - (T_CT_H)

الحد الديناميكي الحراري العلوي النظري لكفاءة التشغيل بين درجات الحرارة T_H وT_C

η: الكفاءة الحرارية (0 ≥ η < 1) T_H: درجة حرارة الخزان الساخن T_C: درجة حرارة خزان الحوض البارد

6

معامل الأداء (الثلاجة / المضخة الحرارية)

COP_ref = Q_CW = T_CT_H - T_C, COP_hp = Q_HW = T_HT_H - T_C

يتم تسليم طاقة التبريد أو التدفئة الناتجة لكل وحدة من مدخلات عمل الضاغط الميكانيكي

COP: معامل الأداء W: مطلوب مدخلات العمل

7

التوصيل الحراري (قانون فورييه)

dQdt = k·A·(T_H - T_C)L

معدل التوصيل الحراري في الحالة المستقرة عبر لوح من التوصيل الحراري k وسمك L

dQdt: معدل انتقال الحرارة k: الموصلية الحرارية A: منطقة التوصيل مستعرضة L: سمك البلاطة

8

قانون ستيفان بولتزمان للإشعاع الحراري

P = e·σ·A·(T⁴ - T₀⁴)

صافي القدرة الإشعاعية التي يشعها جسم رمادي من الابتعاثية e في البيئة المحيطة عند T₀

P: الطاقة الإشعاعية المنبعثة σ: ثابت ستيفان-بولتزمان (5.67037 × 10⁻⁸ واط/(م²·ك⁴)) e: ابتعاثية السطح (0 < e ≥ 1، الجسم الأسود = 1) T: درجة حرارة السطح المطلقة

9

قانون الإزاحة في فيينا (ذروة الطول الموجي)

λ_max·T = b = 2.89777 × 10⁻³ m·K

يتناسب الطول الموجي لذروة انبعاث طيف الجسم الأسود عكسيا مع درجة الحرارة المطلقة

λ_max: الطول الموجي لذروة الإشعاع الطيفي T: درجة الحرارة المطلقة b: ثابت الإزاحة في فيينا

10

قانون نيوتن للتبريد

dTdt = -k·(T - T_env) ⟹ T(t) = T_env + (T₀ - T_env)·e^(-kt)

يتناسب معدل فقدان الحرارة عن طريق الحمل الحراري/الإشعاع مع درجة الحرارة الزائدة عن درجة الحرارة المحيطة

T(t): درجة الحرارة في الوقت ر T_env: درجة الحرارة المحيطة المحيطة k: معدل التبريد ثابت

⏳

الفصل العاشر: الحركة التوافقية البسيطة والاهتزازات

8 صيغ

حركيات SHM، البندول البسيط، أنظمة الكتلة الزنبركية، النوابض المتسلسلة/المتوازية، البندول الفيزيائي، الطاقة الكلية، والاهتزازات المخمده

1

الإزاحة والسرعة والتسارع في SHM

x = A·sin(ωt + φ), v = dxdt = ω·√A² - x², a = d²xdt² = -ω²·x

الحركية الأساسية للـ SHM الخطي مع تحديد حالة الاستعادة a ∝ -x

A: السعة ω = 2πf: التردد الزاوي φ: زاوية عصر المرحلة الأولية x: النزوح لحظية

2

الفترة الزمنية للبندول البسيط (الزوايا الصغيرة)

T = 2π·√Lg, f = (12π)·√gL

فترة البندول بطول L في مجال الجاذبية المنتظم g (مستقل عن كتلة بوب m)

T: الفترة الزمنية للتذبذب L: الطول الفعال للبندول g: التسارع الناتج عن الجاذبية

3

الفترة الزمنية للمذبذب الربيعي الشامل

T = 2π·√mk, ω = √km

فترة تذبذب كتلة الكتلة m على زنبرك صلابة أفقي أو رأسي عديم الاحتكاك k

T: فترة التذبذب m: كتلة متذبذبة k: ثابت الربيع

4

مجموعات الربيع (سلسلة ومتوازية)

1k_series = 1k₁+1k₂, k_parallel = k₁ + k₂

صلابة الزنبرك المكافئة للينابيع المتعددة المترابطة على التوالي أو بالتوازي

k_s, k_p: ثوابت الربيع المكافئة

5

فترة البندول الفيزيائية (المركبة).

T = 2π·√Im·g·d = 2π·√k_g² + d²g·d

تذبذب جسم صلب عشوائي متمحور على مسافة d من مركز كتلته

I: عزم القصور الذاتي حول المحور المحوري للتعليق d: المسافة من محور التعليق إلى مركز الكتلة

6

فترة التواء البندول

T = 2π·√Iκ, τ = -κ·θ

التذبذب الدوراني للقرص المدعوم بسلك مع ثابت الصلابة الالتوائية κ

I: عزم القصور الذاتي حول محور السلك الالتوائي κ: ثابت الزنبرك الالتوائي (استعادة عزم الدوران لكل راديان)

7

إجمالي الطاقة الميكانيكية في SHM

E = K + U = ½m·v² + ½k·x² = ½k·A² = ½m·ω²·A²

يظل إجمالي الطاقة الميكانيكية ثابتًا تمامًا، ويتناوب بين الأشكال الحركية والمحتملة

E: إجمالي الطاقة الميكانيكية الثابتة A: سعة التذبذب

8

المذبذب التوافقي المخمد

x(t) = A₀·e^(-γt)·cos(ω't + φ), ω' = √ω₀² - γ², γ = b2m

تتحلل السعة بشكل كبير مع عامل التوهين التخميد γ تحت المقاومة اللزجة F = -bv

b: معامل التخميد اللزج γ: معامل التخميد (ب / 2 م) ω': التردد الزاوي المخمد

🔊

الفصل 11: حركة الموجة والصوت والصوتيات

9 صيغ

معادلة الموجة، سرعة الموجة على الأوتار، سرعة الصوت في السوائل/الغازات، مقياس شدة الديسيبل، الموجات الموقوفة في الأنابيب/الأوتار، النبضات، وتأثير دوبلر

1

معادلة الموجة المتحركة التوافقية

y(x, t) = A·sin(k·x ∓ ω·t + φ), k = 2πλ, ω = 2π·f

الإزاحة العرضية أو الطولية للوسط عند الإحداثي x والوقت t (- لاتجاه +x)

y(x,t): إزاحة الموجة A: سعة الموجة k: رقم الموجة الزاوي λ: الطول الموجي f: تكرار

2

علاقة سرعة الموجة

v = f·λ = ωk = λT

علاقة السرعة الأساسية التي تربط الطول الموجي المكاني والتردد الزمني

v: سرعة انتشار الموجة f: تكرار λ: الطول الموجي

3

سرعة الموجة المستعرضة على الوتر الممدود

v = √T_tensionμ, μ = mL (Linear mass density)

سرعة الانتشار على سلسلة مشدودة يحكمها التوتر T والكتلة لكل وحدة طول μ

v: سرعة الموجة المستعرضة T_tension: سلسلة التوتر الميكانيكي μ: كثافة الكتلة الخطية

4

سرعة الصوت في الغاز المثالي (صيغة لابلاس)

v_sound = √γ·Pρ = √γ·R·TM

سرعة الموجة الصوتية الأديباتية في الغاز عند درجة حرارة T (~ 343 م/ث في الهواء عند 20 درجة مئوية)

v_sound: السرعة الصوتية للصوت γ: مؤشر ثابت الحرارة (1.40 للهواء ثنائي الذرة) M: الكتلة المولية للغاز (0.029 كجم/مول للهواء)

5

مستوى شدة الصوت (مقياس الديسيبل)

β = 10·log₁₀(II₀), I₀ = 10⁻¹² Wm²

مقياس الديسيبل اللوغاريتمي بالنسبة إلى عتبة السمع البشري I₀

β: مستوى شدة الصوت I: شدة الصوت الصوتية I₀: عتبة السمع (10⁻¹² واط/م²)

6

الموجات الموقوفة (سلسلة ثابتة وأنبوب مفتوح)

f_n = n·(v2L) = n·f₁ (n = 1, 2, 3, 4...)

الترددات التوافقية لسلسلة ثابتة عند كلا الطرفين أو لأنبوب الأرغن مفتوح عند كلا الطرفين (جميع التوافقيات موجودة)

f_n: تردد التوافقي n L: طول السلسلة/الأنبوب n: ترتيب الأعداد الصحيحة التوافقية

7

موجات واقفة في أنبوب مغلق من طرف واحد

f_n = (2n - 1)·(v4L) (n = 1, 2, 3... ⟹ 1f₁, 3f₁, 5f₁...)

ترددات الرنين في أنبوب مغلق من أحد طرفيه (يدعم التوافقيات الفردية فقط: الأول والثالث والخامس...)

f_n: التردد الصوتي الرنان L: طول الأنبوب

8

تردد النبض

f_beat = |f₁ - f₂|

تعديل الشدة البناء/الهدام الدوري عندما تتراكب موجتان من الترددات القريبة

f_beat: فاز تردد التعديل f₁, f₂: ترددات مصدرين متراكبين

9

تأثير دوبلر للموجات الصوتية

f' = f·[v ± v_observerv ∓ v_source ]

تحول التردد الظاهري بسبب الحركة النسبية للمراقب (v_o) والمصدر (v_s) عبر الوسط

f': لوحظ التردد الواضح f: مصدر التردد المنبعث الحقيقي v: سرعة الصوت في الوسط v_o, v_s: سرعات المراقب والمصدر (+ تجاه، - بعيدًا)

⚡

الفصل 12: الكهرباء الساكنة والسعة

11 صيغ

قانون كولوم، المجال الكهربائي، الإمكانات الكهربائية، ثنائي القطب الكهربائي، قانون غاوس، السعة، المكثفات المتسلسلة/المتوازية، وكثافة طاقة المجال

1

قانون كولومب للقوة الكهروستاتيكية

F = (14πε₀)·(|q₁·q₂|r²) = k_e·(|q₁·q₂|r²)

التربيع العكسي للكهرباء الساكنة أو التنافر بين شحنتين نقطيتين ثابتتين

k_e = 14πε₀: ثابت كولوم (~8.98755 × 10⁹ نيوتن·م²/C²) ε₀: سماحية المساحة الحرة (8.85419 × 10⁻¹² C²/(N·m²)) q₁, q₂: مقادير الشحنات الكهربائية r: المسافة الفاصلة

2

المجال الكهربائي لنقطة الشحن

E = Fq₀ = (14πε₀)·(qr²)·r̂

القوة المؤثرة لكل وحدة شحنة اختبار إيجابية q₀ موضوعة في المجال الكهربائي

E: شدة المجال الكهربائي q: تهمة نقطة المصدر

3

الجهد الكهربي والعلاقة بالمجال

V = (14πε₀)·(qr), E = -dVdr = -∇V

العمل المنجز لجلب شحنة الاختبار الإيجابية للوحدة من اللانهاية إلى المسافة r بدون تسارع

V: الإمكانات الكهربائية E: المجال الكهربائي

4

الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية لزوج الشحن

U = (14πε₀)·(q₁·q₂)r

الطاقة المخزنة في تكوين شحنتين تفصل بينهما مسافة r (موجبة للمثل وسالبة للخلاف)

U: الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية

5

عزم ثنائي القطب الكهربائي وعزم الدوران والطاقة الكامنة

p = q·2a, τ = p × E = p·E·sinθ, U = - p·E = - p·E·cosθ

يشير ناقل ثنائي القطب من الشحنة السالبة إلى الشحنة الموجبة؛ يتماشى مع المجال الخارجي E

p: عزم ثنائي القطب الكهربائي τ: استعادة عزم الدوران U: الطاقة المحتملة لثنائي القطب

6

قانون غاوس للكهرباء الساكنة

Φ_E = ∮ E·dA = Q_enclosedε₀

إجمالي التدفق الكهربائي عبر أي سطح غوسي مغلق يساوي الشحنة المغلقة مقسومة على ε₀

Φ_E: التدفق الكهربائي Q_enclosed: صافي الرسوم الداخلية مغلقة

7

المجال الكهربائي لشحن الخط والورقة اللانهائية

E_line = λ2πε₀·r, E_sheet = σ2ε₀, E_cond = σε₀

مشتق من قانون غاوس لكثافة الشحنة الخطية الموحدة σ وكثافة الشحنة السطحية σ

λ: كثافة الشحنة الخطية σ: كثافة الشحنة السطحية

8

سعة المكثف ذو اللوحة الموازية

C = κ·ε₀·Ad

السعة المتناسبة مع مساحة اللوحة A وثابت العزل الكهربائي κ؛ يتناسب عكسيا مع الانفصال د

C: السعة κ: ثابت العزل الكهربائي للوسط (الفراغ κ = 1) A: منطقة تداخل اللوحة d: مسافة فصل اللوحة

9

المكثفات في التركيبات التسلسلية والتوازية

1C_series = 1C₁+1C₂+ ..., C_parallel = C₁ + C₂ + ...

في السلسلة: الشحنة Q متطابقة عبر جميع المكثفات؛ على التوازي: الجهد V متطابق

C_s, C_p: السعة المكافئة

10

الطاقة الكهروستاتيكية المخزنة في المكثف

U = ½·C·V² = Q²2C = ½·Q·V

الطاقة المخزونة في المجال الكهربائي بين ألواح المكثف المشحونة بفرق الجهد V

U: الطاقة الكهروستاتيكية المخزنة Q: الشحنة المخزنة (Q = C·V) V: فرق الجهد المحتمل

11

كثافة طاقة المجال الكهربائي

u_E = ½·ε₀·E²

الطاقة الكهروستاتيكية المخزنة لكل وحدة حجم من المساحة التي يشغلها المجال الكهربائي E

u_E: كثافة الطاقة E: حجم المجال الكهربائي

🔌

الفصل الثالث عشر: دوائر الكهرباء والتيار المستمر

9 صيغ

سرعة الانجراف، قانون أوم، المقاومة، الاعتماد على درجة الحرارة، قوانين كيرشوف (KCL/KVL)، جسر ويتستون، المقاومة الداخلية، ودوائر RC

1

التيار الكهربائي وسرعة الانجراف

I = n·e·A·v_d, v_d = e·E·τm

يربط التيار العياني I بسرعة انجراف الإلكترون المجهرية v_d ووقت الاسترخاء τ

I: حاضِر n: كثافة الإلكترون الحرة لكل وحدة حجم e: شحنة الإلكترون الأولية (1.602 × 10⁻¹⁹ C) A: منطقة المقطع العرضي للموصل v_d: سرعة الانجراف τ: يعني وقت استرخاء الاصطدام

2

الكثافة الحالية وقانون أوم المجهري

j = IA = σ·E = Eρ, σ = 1ρ = n·e²·τm

الشكل المتجه لقانون أوم الذي يربط الكثافة الحالية j بالمجال الكهربائي E والموصلية σ

j: الكثافة الحالية σ: الموصلية الكهربائية ρ: المقاومة

3

المقاومة والمقاومة ومعامل درجة الحرارة

R = ρ·(LA), R(T) = R₀·[1 + α·(T - T₀)]

موازين المقاومة مع الطول ودرجة الحرارة؛ عكسيا مع مساحة المقطع A

R: المقاومة الكهربائية ρ: المقاومة الكهربائية للمواد α: معامل درجة الحرارة للمقاومة

4

قانون أوم وتبديد الطاقة الكهربائية

V = I·R, P = V·I = I²·R = V²R, H = I²·R·t

قانون جول للتدفئة: الطاقة الكهربائية تتبدد على شكل حرارة في المقاومة R

V: فرق الجهد المحتمل I: حاضِر P: تبديد الطاقة الكهربائية H: تبدد الحرارة الحرارية جول

5

المقاومات على التوالي والتوازي

R_series = R₁ + R₂ + ...,1R_parallel = 1R₁+1R₂+ ...

قواعد المقاومة المكافئة للجمع بين عناصر الشبكة

R_s, R_p: مقاومة الدائرة المكافئة

6

القوة الدافعة الكهربائية للخلية والمقاومة الداخلية

V = E_emf - I·r, I = E_emfR + r

الجهد الطرفي V أقل من الدائرة المفتوحة EMF ℰ بسبب المقاومة الداخلية r أثناء التفريغ

ℰ: القوة الدافعة الكهربائية ذات الدائرة المفتوحة EMF V: جهد الخرج الطرفي r: المقاومة الداخلية للبطارية/الخلية R: مقاومة دائرة الحمل الخارجية

7

قوانين كيرشوف للتيار والجهد (KCL & KVL)

KCL (Junction): ∑ I_in = ∑ I_out, KVL (Loop): ∑ ΔV = ∑ E_emf - ∑ I·R = 0

يمثل KCL الحفاظ على الشحنة؛ يمثل KVL الحفاظ على الطاقة الكهروستاتيكية في الحلقات المغلقة

∑ I: مجموع تيارات الوصلات العقدية ∑ ΔV: مجموع قطرات فرع المحتملة في الحلقة

8

حالة توازن جسر ويتستون

R₁R₂ = R₃R₄ ⟹ I_galvanometer = 0

يستخدم في جسر العدادات وصندوق البريد لقياس الدقة للمقاومة غير المعروفة

R₁, R₂, R₃, R₄: أربع مقاومات لذراع الجسر

9

RC دائرة الشحن والتفريغ العابرة

Charging: q(t) = Q₀·(1 - e^(-tRC)), Discharging: q(t) = Q₀·e^(-tRC), τ = R·C

يتم شحن المكثف إلى 63.2% من الحد الأقصى Q₀ في ثابت مرة واحدة τ = RC (التفريغ إلى 36.8%)

τ = RC: ثابت وقت السعة Q₀: الحد الأقصى لشحن الحالة المستقرة (C·V₀)

🧲

الفصل الرابع عشر: المغناطيسية وبيوت-سافارت وقوة لورنتز

10 صيغ

قوة لورنتز المغناطيسية، قوة السلك الحالية، نصف قطر السيكلوترون، قانون بيوت-سافارت، مجال السلك المستقيم، الملف اللولبي/الحلقي، التيارات المتوازية، وعزم ثنائي القطب المغناطيسي

1

قوة لورنتز المغناطيسية المؤثرة على الشحنة المتحركة

F_B = q·(v × B) = q·v·B·sinθ

قوة الانحراف العمودية المؤثرة على شحنة متحركة في المجال المغناطيسي (بدون شغل)

F_B: القوة المغناطيسية q: حجم الشحنة v: ناقل السرعة B: كثافة التدفق المغناطيسي θ: الزاوية بين السرعة والمجال المغناطيسي

2

إجمالي قوة لورنتز المجمعة (الحقول E + B)

F_total = q·(E + v × B)

القوة المتراكبة في المجالات الكهربائية والمغناطيسية المتزامنة (محدد السرعة: v = E/B)

E: المجال الكهربائي B: المجال المغنطيسي

3

القوة المغناطيسية المؤثرة على الموصل الحامل للتيار

F = I·(L × B) = I·L·B·sinθ

القوة المؤثرة على سلك مستقيم طوله L يحمل تيارًا وضعته في مجال منتظم B

F: القوة المغناطيسية المؤثرة على السلك I: تيار الموصل L: متجه الطول في الاتجاه الحالي

4

نصف قطر وتردد مدار السيكلوترون

r = m·vq·B, f = q·B2π·m, T = 2π·mq·B

معلمات المدار الحلزوني/الدائري للجسيمات المشحونة في المجال المغناطيسي المستعرض (التردد لا يعتمد على السرعة)

r: جيروراديوس / نصف قطر لارمور f: تردد الرنين السيكلوتروني

5

قانون بيوت-سافارت للمغناطيسية

dB = (μ₀4π)·[I·dl × r̂r²] = μ₀·I·dl·sinθ4π·r²

المجال المغناطيسي المتناهي الصغر الناتج عن العنصر الحالي I dl على مسافة r

μ₀4π: ثابت النفاذية المغناطيسية (10⁻⁷ T·m/A) μ₀: نفاذية الفراغ (4π × 10⁻⁷ H/m أو T·m/A) dl: ناقل عنصر الطول

6

المجال المغناطيسي لسلك مستقيم طويل

B = μ₀·I2π·r

مجال مغناطيسي دائري متحد المركز على مسافة شعاعية r من سلك مستقيم طويل بلا حدود

B: كثافة التدفق المغناطيسي I: تيار ثابت r: المسافة العمودية من محور السلك

7

المجال المغناطيسي للحلقة الدائرية (المركز والمحور)

B_center = μ₀·N·I2R, B_axis = μ₀·N·I·R²[2·(R² + x²)^(32)]

المجال المغناطيسي الناتج عن ملف دائري عدد دورات N نصف قطرها R على مسافة x على طول المحور

N: عدد اللفات الدائرية R: نصف قطر الحلقة x: المسافة على طول محور الملف المركزي

8

قانون الدائرة أمبير ومجال الملف اللولبي

∮ B·dl = μ₀·I_encl, B_solenoid = μ₀·n·I (n = NL)

مجال مغناطيسي محوري داخلي موحد داخل ملف لولبي ملفوف بإحكام بعدد n من الدورات لكل وحدة طول

B_solenoid: المجال المغناطيسي الأساسي n = NL: يتحول لكل وحدة الطول

9

القوة بين سلكين متوازيين يحملان تيارًا

FL = μ₀·I₁·I₂2π·d

قوة الجذب للتيارات الموازية في نفس الاتجاه؛ طارد للتيارات المضادة للتوازي (تعريف SI Ampere)

FL: القوة لكل وحدة الطول d: المسافة الفاصلة بين الموصلات المتوازية

10

عزم ثنائي القطب المغناطيسي وعزم الدوران في الحلقة الحالية

M = N·I·A, τ = M × B = N·I·A·B·sinθ, U = - M·B

مبدأ تشغيل الجلفانومتر ذو الملف المتحرك، ومحركات التيار المستمر، والعزوم المغناطيسية الذرية

M: عزم ثنائي القطب المغناطيسي A: حلقة ناقلات المنطقة المغلقة τ: انحراف عزم الدوران

⚡

الفصل الخامس عشر: الحث الكهرومغناطيسي ودوائر التيار المتردد

10 صيغ

قانون فاراداي، قانون لينز، المجالات الكهرومغناطيسية المتحركة، الحث الذاتي/المتبادل، كثافة الطاقة المغناطيسية، قيم RMS، المعاوقة في دوائر LCR، الرنين، والمحولات

1

قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي وقانون لينز

E_ind = - N·(dΦ_Bdt), Φ_B = B·A = B·A·cosθ

القوة الدافعة الكهربائية المستحثة تساوي المعدل الزمني السلبي لتغير التدفق المغناطيسي خلال الحلقة (لينز يعارض السبب)

ℰ: القوة الدافعة الكهربائية المستحثة (EMF) Φ_B: التدفق المغناطيسي N: عدد المنعطفات

2

EMF الحركة في موصل متحرك

E_motional = B·L·v·sinθ

المجالات الكهرومغناطيسية المستحثة عبر طرفي قضيب موصل بطول L يتحرك بسرعة v عبر المجال B

ℰ: EMF متحرك B: المجال المغنطيسي L: طول الموصل v: سرعة

3

الحث الذاتي والحث المتبادل

E_self = - L·(dIdt), E_mutual = - M·(dI₁dt), L_solenoid = μ₀·n²·A·l

مقاومة التغيير في التيار في ملف (ذاتي) أو في ملف مجاور (متبادل)

L, M: الحث الذاتي والمتبادل dIdt: معدل التغير الحالي

4

الطاقة المغناطيسية في المحث وكثافة الطاقة

U_B = ½·L·I², u_B = B²2μ₀

الطاقة الكامنة المخزنة في المجال المغناطيسي المنشأ داخل ملف حث نشط

U_B: الطاقة المغناطيسية المخزنة u_B: كثافة الطاقة المغناطيسية

5

RMS وقيم الذروة للتيار المتردد/الجهد

V_rms = V₀√2 ≈ 0.707 V₀, I_rms = I₀√2 ≈ 0.707 I₀

قيمة تسخين DC مكافئة فعالة للجهد والتيار المتناوب الجيبي

V_rms, I_rms: قيم الجذر المتوسط التربيعي (على سبيل المثال، 230 فولت / 120 فولت) V₀, I₀: السعات الجيبية الذروة

6

المفاعلة الحثية والسعوية

X_L = ω·L = 2π·f·L, X_C = 1ω·C = 12π·f·C

معارضة التيار المتردد المعتمدة على التردد لتدفق التيار التي توفرها المحاثات والمكثفات

X_L: المفاعلة الحثيّة (التيار يتأخر عن الجهد بمقدار 90 درجة) X_C: المفاعلة السعوية (التيار يقود الجهد بمقدار 90 درجة) f: تردد التيار المتردد

7

سلسلة مقاومة دائرة LCR وزاوية الطور

Z = √[ R² + (X_L - X_C)² ], tanφ = X_L - X_CR

إجمالي ناقل مقاومة المعاوقة الكهربائية المتناوبة في دوائر R-L-C المتسلسلة

Z: إجمالي مقاومة الدائرة φ: زاوية الطور بين الجهد والتيار

8

تردد الرنين وعامل الجودة Q لدائرة LCR

f₀ = 12π·√L·C, Q = ω₀·LR = (1R)·√LC

حالة الرنين X_L = X_C حيث تصل مقاومة الدائرة إلى الحد الأدنى المطلق Z = R ويتم تعظيم التيار

f₀: تردد الرنين الكهربائي الطبيعي Q: عامل الجودة / حدة الرنين (بلا أبعاد)

9

التيار المتردد القوة الحقيقية وعامل الطاقة

P_avg = V_rms·I_rms·cosφ, Power Factor: cosφ = RZ

الطاقة الحقيقية المستهلكة بالواط (الدوائر التفاعلية النقية مع cosφ = 0 تستهلك طاقة متوسطة صفر)

P_avg: متوسط الطاقة الكهربائية الحقيقية cosφ: عامل القدرة (0 ≥ cosφ ≥ 1)

10

محول يتحول نسبة والكفاءة

V_sV_p = N_sN_p = I_pI_s = k, η = P_outP_in = V_s·I_sV_p·I_p

تصعيد (k > 1) أو تنحي (k < 1) تحويل جهد التيار المتردد المتبادل مع الحفاظ على الطاقة

V_p, V_s: الفولتية الأولية والثانوية N_p, N_s: يتحول الملف الابتدائي والثانوي I_p, I_s: التيارات الأولية والثانوية

⚛️

الفصل السادس عشر: البصريات والكم والفيزياء النووية الحديثة

12 صيغ

معادلات المرآة/العدسة، قانون سنيل، شق يونغ المزدوج، التأثير الكهروضوئي، موجات المادة دي برولي، ذرة بور، الاضمحلال الإشعاعي، والنسبية للكتلة والطاقة

1

صيغة المرآة الكروية والتكبير

1f = 1v+1u, m = -vu = h_ih_o

يربط البعد البؤري f ومسافة الصورة v ومسافة الكائن u باتفاقية الإشارة الديكارتية القياسية

f: الطول البؤري (f = R/2) u: مسافة الكائن من القطب v: مسافة الصورة من القطب m: التكبير العرضي الخطي

2

قانون سنيل للانكسار والانعكاس الداخلي الكلي

n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂, sin(θ_c) = n₂n₁ (for n₁ > n₂)

ثني شعاع الضوء عبر الحدود البصرية والزاوية الحرجة θ_c للانعكاس الداخلي الكامل

n₁, n₂: معاملات الانكسار للوسائط (n = c / v) θ₁, θ₂: زوايا السقوط والانكسار θ_c: الزاوية الحرجة للانعكاس الداخلي الكلي

3

صيغة صانع العدسة ومعادلة العدسة الرقيقة

1f = (n - 1)·(1R₁-1R₂),1f = 1v-1u, P = 1f(m)

يحسب الطاقة الضوئية P بالديوبتر (D = m⁻¹) من معامل الانكسار n ونصف قطر الانحناء R₁، R₂

f: البعد البؤري للعدسة P: القوة البصرية للعدسة R₁, R₂: نصف قطر الانحناء الكروي

4

عرض هامش التداخل ذو الشق المزدوج ليونغ

β = λ·Dd, y_n(bright) = n·(λ·Dd), y_n(dark) = (2n - 1)·(λ·D2d)

تباعد الهوامش المكانية β بين أطراف التداخل المتتالية على الشاشة على مسافة D

β: تباعد عرض هامش λ: الطول الموجي للضوء D: المسافة من الشقوق إلى الشاشة d: المسافة الفاصلة الشق

5

معادلة أينشتاين الكهروضوئية

E_photon = h·f = Φ₀ + K_max = h·f₀ + e·V_s

تتغلب طاقة الفوتون hf على وظيفة العمل المعدني Φ₀ وتضفي أقصى قدر من الطاقة الحركية K_max

h: ثابت بلانك (6.62607 × 10⁻³⁴J·s) f: حادثة تردد الفوتون Φ₀ = h·f₀: وظيفة عتبة العمل للمعادن V_s: وقف الجهد المحتمل

6

الطول الموجي لموجات دي برولي

λ = hp = hm·v = h√2m·K = h√2m·q·V

ازدواجية الموجة والجسيم: كل جسيم متحرك يرتبط بطول موجة كم دي برولي

λ: الطول الموجي لدي برولي p: زخم الجسيمات V: تسريع الجهد المحتمل

7

نموذج بور للهيدروجين الذري (الطاقة ونصف القطر)

r_n = n²·h²·ε₀π·m·e² = 0.529·n² Å, E_n = -13.6n² eV

نصف قطر مدار الإلكترون الكمي r_n وحالات الطاقة الثابتة المرتبطة E_n للذرات الشبيهة بالهيدروجين

n: رقم الكم الرئيسي (ن = 1، 2، 3...) E_n: إجمالي الطاقة للمستوى المداري n

8

صيغة ريدبيرج لسلسلة الهيدروجين الطيفية

1λ = R_H·[1n₁²-1n₂²] (Lyman n₁ = 1, Balmer n₁ = 2, Paschen n₁ = 3)

حساب الأطوال الموجية للخط الطيفي للانبعاث/الامتصاص في التحولات الذرية (n₂ > n₁)

R_H: ثابت ريدبيرج (1.097373 × 10⁷ م⁻¹) n₁, n₂: مستويات الطاقة الكمومية الدنيا والعليا

9

العيب الشامل وطاقة الربط النووي

Δm = [Z·m_p + (A - Z)·m_n] - M_nucleus, E_b = Δm·c² = Δm(amu) × 931.5 MeV

الطاقة اللازمة لتفكيك نواة الذرة إلى البروتونات والنيوترونات المكونة لها

Δm: خلل جماعي E_b: إجمالي طاقة الربط النووي

10

قانون الاضمحلال الإشعاعي ونصف العمر

N(t) = N₀·e^(-λt), T_half = ln(2)λ ≈ 0.693λ, A = λ·N

معدل الاضمحلال الإحصائي للنويدات المشعة غير المستقرة (النشاط المقاس بوحدة بيكريل بيكريل = الاضمحلال/الثانية)

N(t): عدد النوى المشعة غير المتحللة المتبقية T_half: فترة نصف العمر λ: ثابت الاضمحلال الإشعاعي A: نشاط

11

معادلة أينشتاين للطاقة الجماعية والطاقة النسبية

E = m·c² = γ·m₀·c², E² = (p·c)² + (m₀·c²)²

علاقة طاقة ثابتة رباعية الزخم تربط إجمالي الطاقة النسبية E والزخم p وكتلة الراحة m₀

c: سرعة الضوء في الفراغ (299,792,458 م/ث) m₀: بقية الكتلة الثابتة γ: عامل لورنتز

12

تمدد الزمن النسبي وانكماش الطول

Δt = γ·Δt₀ = Δt₀√1 -v²c², L = L₀γ = L₀·√1 -v²c²

الساعات المتحركة تعمل بشكل أبطأ (تمدد الزمن)؛ يتم تقصير القضبان المتحركة في اتجاه الحركة (تقلص الطول)

Δt₀, L₀: الوقت المناسب ومدة الراحة المناسبة v: السرعة النسبية لإطار المراقب

🧪

جناح الكيمياء الشامل

قوانين الغازات، الديناميكا الحرارية الكيميائية، سرعة التفاعل، ثوابت الاتزان، معادلة نيرنست، الأس الهيدروجيني والانحلال الإشعاعي.

83+ معادلة

🧪

الفصل الأول: مفهوم المول وقياس العناصر الكيميائية وشروط التركيز

10 صيغ

التحويلات الكمية بين الكتلة والمول، وعلاقة أفوجادرو، والمولارية، والمولالية، والحياة الطبيعية، وجزء في المليون، ونواتج التفاعل

1

مفهوم الخلد وكتلة العينة وعدد الجسيمات

n = mM = NN_A

العلاقة الأساسية للتحويل بين كتلة العينة والشامات والجسيمات الأولية

n: عدد الشامات m: كتلة العينة M: الكتلة المولية للمادة N: إجمالي عدد الجسيمات (الذرات، الجزيئات، الأيونات) N_A: ثابت أفوجادرو (6.02214 × 10²³ mol⁻¹)

2

حجم الغاز المولي عند STP

V = n·V_m = n·22.414 L

الحجم الذي يشغله مول واحد من أي غاز مثالي عند درجة الحرارة والضغط القياسيين

V: حجم الغاز في STP n: عدد الشامات V_m: حجم الغاز المولي القياسي (22.414 لتر/مول عند 1 ضغط جوي، 22.71 لتر/مول عند 1 بار)

3

المولارية (التركيز المولي)

M = n_soluteV_solution = w_B × 1000M_B × V_mL

عدد مولات المذاب المذابة في لتر من المحلول

M: تركيز المولارية w_B: كتلة المذاب المذاب M_B: الكتلة المولية للمذاب V_mL: حجم المحلول بالملليلتر

4

المولالية (تركيز مستقل عن درجة الحرارة)

m = n_soluteW_solvent = w_B × 1000M_B × W_A

عدد مولات المذاب لكل كيلوجرام من المذيب النقي؛ لا يتغير مع التغيرات في درجات الحرارة الحرارية

m: تركيز المولالية w_B: الكتلة المذابة W_A: كتلة المذيب بالجرام M_B: الكتلة المولية للمذاب

5

الحالة الطبيعية والوزن المعادل

N = w_B × 1000E_B × V_mL = M·n_factor

التركيز المكافئ للجرام لكل لتر؛ يمثل العامل n الحموضة أو القاعدة أو تغير التكافؤ

N: الحياة الطبيعية E_B: الوزن المعادل (عامل M / n) n_factor: عامل التكافؤ / عدد التبادل الإلكتروني M: المولارية

6

قانون الكسر المولي والجمع

X_A = n_An_A + n_B, X_A + X_B = 1

النسبة بدون أبعاد لشامات المكونات إلى إجمالي مولات المحلول

X_A: الكسر المولي للمكون A n_A, n_B: الشامات من المكونات الفردية

7

النسبة المئوية للكتلة (٪ وزن / وزن) والأجزاء لكل مليون (جزء في المليون)

%(ww) = (w_solutew_total) × 100, ppm = (w_solutew_total) × 10⁶

تستخدم مقاييس تركيز التتبع على نطاق واسع في اختبار المياه وتحليل الغلاف الجوي

w_solute: الكتلة المذابة w_total: كتلة الحل الكلي ppm: تركيز أجزاء في المليون

8

صيغة تخفيف المحلول الحجمي

M₁·V₁ = M₂·V₂, N₁·V₁ = N₂·V₂

حفظ الخلد المذاب أثناء تخفيف المذيب من الحجم الأولي إلى الحجم النهائي

M₁, N₁: تركيز المخزون قبل التخفيف V₁: حجم قسامة المخزون M₂, N₂: الهدف التركيز المخفف V₂: حجم المحلول المخفف النهائي

9

نسبة العائد من التفاعل الكيميائي

% Yield = (Actual YieldTheoretical Yield) × 100

نسبة المنتج الذي تم الحصول عليه تجريبيا إلى الحد الأقصى من العناصر المتفاعلة من الحد من المواد المتفاعلة

Actual Yield: كتلة المنتج المعزول من التجربة Theoretical Yield: حساب الكتلة المتكافئة

10

التجريبية لمضاعف الصيغة الجزيئية

n = M_molecularM_empirical, Molecular Formula = (Empirical Formula)_n

مقياس مضاعف صحيح لأبسط نسبة ذرية للعدد الصحيح إلى الصيغة الجزيئية الفعلية

n: مضاعف العناصر المتكافئة المتكاملة (1، 2، 3...) M_molecular: الكتلة الجزيئية الفعلية M_empirical: كتلة الصيغة التجريبية

⚛️

الفصل الثاني: التركيب الذري وميكانيكا الكم والنشاط الإشعاعي

8 صيغ

مدارات نموذج بور، تحولات ريدبيرج الطيفية، ازدواجية دي برولي الموجية والجسيمية، مبدأ هايزنبرغ، وحركية الاضمحلال

1

علاقة طاقة الفوتون بلانك-آينشتاين

E = h·ν = h·cλ = h·c·ν_bar

الطاقة الكمية التي يحملها فوتون كهرومغناطيسي بتردد ν وطول موجة π

E: طاقة الفوتون الكمومية h: ثابت بلانك (6.62607 × 10⁻³⁴J·s) c: سرعة الضوء (2.998 × 10⁸ م/ث) λ: الطول الموجي ν_bar: الرقم الموجي (1/×)

2

نصف قطر المدار الذري المشابه للهيدروجين

r_n = n²·h²·ε₀π·m·Z·e² = 0.529·(n²Z) Å

نصف القطر المداري الكمي للذرات الهيدروجينية ذات العدد الذري النووي Z

r_n: نصف قطر مدار n-th Bohr n: رقم الكم الرئيسي (1، 2، 3...) Z: العدد الذري النووي (الشحنة)

3

مستويات الطاقة الإلكترونية بوهر

E_n = -13.6·(Z²n²) eV = -2.18 × 10⁻¹⁸·(Z²n²) J

إجمالي طاقة الربط الكمية للإلكترون المرتبط في الغلاف الرئيسي n

E_n: إجمالي الطاقة المدارية للإلكترون Z: العدد الذري n: المستوى الكمي الرئيسي

4

معادلة طيف الانبعاث لريدبرج

1λ = R_H·Z²·(1n₁²-1n₂²)

يتنبأ بالأطوال الموجية الانتقالية الطيفية (Lyman n₁=1، Balmer n₁=2، Paschen n₁=3، Brackett n₁=4، Pfund n₁=5)

R_H: ثابت ريدبيرج (1.09677 × 10⁷ م⁻¹) n₁: حالة طاقة أقل n₂: حالة طاقة متحمسة أعلى (n₂ > n₁)

5

دي برولي المادة الطول الموجي

λ = hp = hm·v = h√2·m·E_k = h√2·m·q·V

تظهر ازدواجية الموجة والجسيم أن الجسيمات المتحركة تظهر طولًا موجيًا يتناسب عكسيًا مع الزخم

λ: الطول الموجي لدي برولي m: كتلة الجسيمات v: سرعة الجسيمات V: تسريع الإمكانات الكهروستاتيكية

6

مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ

Δx·Δp ≥ h4π, ΔE·Δt ≥ h4π

حد الكم الأساسي على الدقة المتزامنة للموضع والزخم المترافق

Δx: عدم اليقين في الموقف المكاني Δp: عدم اليقين في الزخم الخطي Δv: عدم اليقين في السرعة

7

معادلة أينشتاين للطاقة الحركية الكهروضوئية

h·ν = Φ + K_max = h·ν₀ + ½·m·v_max²

الحفاظ على الطاقة أثناء امتصاص الفوتون وانبعاث الإلكترون الضوئي

Φ: وظيفة العمل للسطح المعدني (h·ν₀) ν₀: تردد قطع العتبة V_s: توقف الإمكانات

8

قانون الاضمحلال الإشعاعي النووي ونصف العمر

N(t) = N₀·e^(-λ·t), t_½ = ln(2)λ = 0.693λ

معدل التفكك النووي التلقائي من الدرجة الأولى ونصف العمر الإشعاعي

N(t): النوى المشعة غير المتحللة المتبقية في الوقت t N₀: عدد النوى المشعة الأولي عند t = 0 λ: ثابت الاضمحلال الإشعاعي t_½: نصف العمر الإشعاعي

💨

الفصل الثالث: الحالة الغازية ونظرية الحركة الجزيئية

8 صيغ

علاقات الغاز المثالية، وضغوط دالتون الجزئية، وانصباب غراهام، والسرعات الجزيئية، والغازات الحقيقية لفان دير فال

1

قانون الغاز المثالي وعلاقة كثافة الغاز

P·V = n·R·T, P·M = ρ·R·T

معادلة حالة الغاز المثالي الذي يربط الضغط والحجم ودرجة الحرارة والكثافة

P: ضغط الغاز V: حجم الغاز n: المبلغ في الشامات R: ثابت الغاز (0.0821 لتر·atm/(mol·K) = 8.314 J/(mol·K)) T: درجة الحرارة المطلقة ρ: كثافة كتلة الغاز

2

قانون الغاز المشترك (بويل، تشارلز، جاي لوساك)

P₁·V₁T₁ = P₂·V₂T₂

يوحد قوانين غاز بويل (PV=k)، وتشارلز (V/T=k)، وجاي-لوساك (P/T=k)

P₁, V₁, T₁: ضغط الحالة الأولي والحجم ودرجة الحرارة المطلقة P₂, V₂, T₂: ضغط الحالة النهائية والحجم ودرجة الحرارة المطلقة

3

قانون دالتون للضغوط الجزئية

P_total = P_A + P_B + P_C, P_A = X_A·P_total

الضغط الكلي في خليط الغاز غير المتفاعل يساوي مجموع الضغوط الجزئية الفردية

P_total: إجمالي ضغط الحاوية P_A: الضغط الجزئي للغاز أ X_A: الكسر المولي للغاز A في الخليط

4

قانون غراهام للانتشار والانصباب

r₁r₂ = √M₂M₁ = √ρ₂ρ₁ = V₁t₁V₂t₂

يتناسب معدل انصباب/انتشار الغاز من خلال ثقب صغير مسامي عكسيًا مع الجذر التربيعي للكتلة المولية

r₁, r₂: معدلات الانتشار/الانصباب M₁, M₂: الكتل المولية للغازات

5

RMS، متوسط السرعات الجزيئية وأكثرها احتمالا

u_rms = √3RTM, u_avg = √8RTπM, u_mp = √2RTM

نسب سرعة توزيع ماكسويل-بولتزمان: u_mp : u_avg : u_rms = 1 : 1.128 : 1.224 = √2 : √(8/π) : √3

u_rms: جذر متوسط مربع السرعة u_avg: متوسط السرعة الحسابية u_mp: السرعة الأكثر احتمالا في ذروة التوزيع M: الكتلة المولية بالكيلو جرام لكل مول

6

طاقة الغاز الحركية ومتوسط الطاقة الحركية

E_k,total = (32)·n·R·T, E_k,molecule = (32)·k_B·T

تعتمد الطاقة الحركية الكلية ولكل جزيء على درجة الحرارة المطلقة

k_B: ثابت بولتزمان (1.38065 × 10⁻²³J/K) T: درجة الحرارة المطلقة

7

معادلة فان دير فالس للغازات الحقيقية

(P +a·n²V²)·(V - n·b) = n·R·T

يصحح قانون الغاز المثالي لقوى التجاذب بين الجزيئات (أ) ويستبعد الحجم الجزيئي المحدود (ب)

a: معامل الجذب بين الجزيئات b: الحجم المستبعد / معامل الحجم المشترك (4 × الحجم الجزيئي)

8

عامل الانضغاط والثوابت الحرجة

Z = P·V_mR·T, T_c = 8a27Rb, P_c = a27b², V_c = 3b

يقيس الانحراف عن السلوك المثالي (Z=1). فوق درجة الحرارة الحرجة لا يمكن تسييل غاز T_c

Z: عامل الانضغاط (Z > 1 انحراف إيجابي، Z < 1 سلبي) T_c: درجة الحرارة الحرجة P_c: الضغط الحرج V_c: الحجم المولي الحرج

🔥

الفصل الرابع: الديناميكا الحرارية الكيميائية والكيمياء الحرارية

9 صيغ

القانون الأول، قانون هيس، طاقات الروابط، تغيرات الإنتروبيا، طاقة جيبس الحرة، اقتران التوازن

1

القانون الأول للديناميكا الحرارية وأعمال التمدد

ΔU = q + w, w = -P_ext·ΔV = -∫ P_ext dV

اتفاقية IUPAC: الشغل المبذول على النظام يكون موجبًا (+)، الشغل المنجز على النظام يكون سالبًا (-)

ΔU: التغير في الطاقة الداخلية q: الحرارة التي يمتصها النظام w: العمل المنجز على/بواسطة النظام P_ext: الضغط الخارجي المعاكس

2

العمل متساوي الحرارة العكسي للغاز المثالي

w_rev = -n·R·T·ln(V₂V₁) = -2.303·n·R·T·log(P₁P₂)

أقصى قدر ممكن من العمل الديناميكي الحراري الذي تم الحصول عليه أثناء التمدد متساوي الحرارة شبه الثابت

w_rev: الحد الأقصى للعمل القابل للعكس V₁, V₂: المجلدات الأولية والموسعة

3

تعريف المحتوى الحراري وعلاقة الخلد الغازي

H = U + P·V ⟹ ΔH = ΔU + Δn_g·R·T

يربط حرارة التفاعل عند ضغط ثابت (ΔH = q_p) وحجم ثابت (ΔU = q_v)

ΔH: تغير الانثالبي ΔU: تغير الطاقة الداخلية Δn_g: التغير في الشامات الغازية: ∑ n_g(النواتج) - ∑ n_g(المواد المتفاعلة)

4

السعات الحرارية المولية وعلاقة ماير

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v, ΔH = n·C_p·ΔT, ΔU = n·C_v·ΔT

علاقات السعة الحرارية المحددة للغازات أحادية الذرة (γ=1.66)، ثنائية الذرة (γ=1.40)، والغازات متعددة الذرات

C_p: السعة الحرارية المولية عند ضغط ثابت C_v: السعة الحرارية المولية عند حجم ثابت γ: نسبة السعة الحرارية الأديباتية (مؤشر بواسون)

5

المحتوى الحراري القياسي للتفاعل من المحتوى الحراري للتكوين

ΔH_rxn° = ∑ ν_p·ΔH_f°(products) - ∑ ν_r·ΔH_f°(reactants)

حساب المحتوى الحراري للتفاعل القياسي (ΔH_f° للعناصر النقية في الحالات القياسية يساوي صفرًا)

ΔH_rxn°: المحتوى الحراري للتفاعل القياسي ΔH_f°: المحتوى الحراري القياسي للتكوين ν_p, ν_r: معاملات العناصر الكيميائية

6

التفاعل الحراري من طاقات تفكك السندات

ΔH_rxn = ∑ Bond Energy(broken in reactants) - ∑ Bond Energy(formed in products)

يتم تقريب محتوى التفاعل الغازي من متوسط طاقات تفكك الرابطة التساهمية

B.E.: المحتوى الحراري لتفكك السندات

7

قانون كيرشوف لدرجة الحرارة والمحتوى الحراري

ΔH_T2 = ΔH_T1 + ΔC_p·(T₂ - T₁)

يقيم حرارة التفاعل عند درجات حرارة مختلفة عندما تكون السعات الحرارية معروفة

ΔC_p: ∑ C_p(المنتجات) - ∑ C_p(المواد المتفاعلة)

8

معيار جيبس للطاقة الحرة والعفوية

ΔG = ΔH - T·ΔS

يحدد اتجاه التفاعل الديناميكي الحراري عند درجة حرارة وضغط ثابتين

ΔG: غيبس تغيير الطاقة الحرة ΔH: تغير الانثالبي ΔS: تغيير الانتروبيا T: درجة الحرارة المطلقة

9

اقتران ثابت قياسي للطاقة الحرة والتوازن

ΔG° = -R·T·ln(K_eq) = -2.303·R·T·log(K_eq)

الرابط الأساسي الذي يربط إمكانات الديناميكا الحرارية الكيميائية بثوابت التوازن العيانية

ΔG°: تغيير الطاقة الحرة القياسية K_eq: ثابت التوازن الديناميكي الحراري

⚖️

الفصل الخامس: التوازن الكيميائي ومبدأ لو شاتيليه

5 صيغ

قانون الفعل الجماعي، علاقات Kc وKp، حاصل التفاعل Q، درجة التفكك، ومعادلة فان تي هوف

1

قانون ثوابت توازن الفعل الكتلي (Kc & Kp)

K_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b, K_p = P_C^c·P_D^dP_A^a·P_B^b

نسبة تركيزات المنتج إلى تركيزات المواد المتفاعلة مرفوعة إلى القوى المتكافئة عند التوازن

K_c: ثابت التوازن في التركيزات المولية K_p: ثابت التوازن في الضغوط الجزئية

2

العلاقة بين Kp و Kc

K_p = K_c·(R·T)^(Δn_g)

يتعلق بثوابت توازن الضغط والتركيز. إذا كانت Δn_g = 0، فإن K_p = K_c

Δn_g: التغير في مولات الغاز المتكافئة R: ثابت الغاز (0.0821 لتر·atm/(mol·K)) T: درجة الحرارة المطلقة بالكلفن

3

حاصل التفاعل (Q) ومعيار الاتجاه

Q_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b

حساب النسبة اللحظية غير المتوازنة للتنبؤ بالاتجاه التلقائي نحو التوازن

Q_c: حاصل التفاعل غير المتوازن اللحظي K_c: ثابت التوازن

4

فانت هوف درجة الحرارة التوازن Isochore

ln(K₂K₁) = (ΔH°R)·(1T₁-1T₂)

يتنبأ بانزياحات ثابتة في التوازن مع درجة الحرارة (يزداد K مع T بالنسبة للحرارة الماصة للحرارة ΔH > 0)

K₁, K₂: ثوابت التوازن عند درجات الحرارة T₁ و T₂ ΔH°: المحتوى الحراري للتفاعل القياسي

5

درجة التفكك (α) من كثافة البخار

α = D - d(n - 1)·d = M_theoretical - M_observed(n - 1)·M_observed

جزء من الجزيئات الأولية المنفصلة عند التوازن حيث n عبارة عن مولات من المنتجات لكل مول من المادة المتفاعلة

α: درجة التفكك (0 ≥ α ≥ 1) D: كثافة البخار النظرية الأولية d: كثافة بخار التوازن الملحوظة n: عدد مولات المنتج المنتجة لكل مول متفاعل

🧪

الفصل السادس: التوازن الأيوني والأحماض والقواعد والمخازن المؤقتة

6 صيغ

تخفيف أوستفالد، ومقاييس الأس الهيدروجيني، ومعادلات هندرسون-هاسيلبالش المنظمة، والتحلل المائي الملحي، ومنتج الذوبان Ksp

1

قانون تخفيف أوستوالد للإلكتروليتات الضعيفة

K_a = C·α²1 - α ≈ C·α² ⟹ α = √K_aC

صالح للأحماض / القواعد الضعيفة عندما يكون جزء التفكك α << 1

K_a: ثابت التأين الحمضي C: التركيز المولي الأولي α: درجة التأين

2

التأين التلقائي للمياه ومقياس pH-pOH

K_w = [H⁺]·[OH⁻] = 1.0 × 10⁻¹⁴, pH + pOH = pK_w = 14

المقاييس اللوغاريتمية الأساسية: pH = -log₁₀[H⁺] وpOH = -log₁₀[OH⁻]

[H⁺]: مولية أيون الهيدرونيوم [OH⁻]: مولية أيون الهيدروكسيد K_w: منتج التأين الذاتي للمياه

3

معادلة هندرسون-هاسلبالخ (المخزن الحمضي)

pH = pK_a + log₁₀([Conjugate Base][Weak Acid]) = pK_a + log₁₀([Salt][Acid])

يحسب الرقم الهيدروجيني لخليط منظم حمضي (على سبيل المثال CH₃COOH + CH₃COONa)

pK_a: -log₁₀(K_a) للحمض الضعيف [A⁻]: تركيز القاعدة المترافقة / الملح [HA]: تركيز الحمض الضعيف غير المنفصل

4

معادلة هندرسون-هاسلبالخ (المخزن المؤقت الأساسي)

pOH = pK_b + log₁₀([Conjugate Acid][Weak Base]), pH = 14 - pOH

حساب pOH وpH للمحلول المنظم الأساسي (مثل NH₄OH + NH₄Cl)

pK_b: -log₁₀(K_b) للقاعدة الضعيفة [Salt]: التركيز المولي للملح المرافق [Base]: التركيز المولي للقاعدة الضعيفة

5

صيغ التحلل المائي للملح

WA-SB: pH = 7 + ½pK_a + ½log(C), SA-WB: pH = 7 - ½pK_b - ½log(C), WA-WB: pH = 7 + ½pK_a - ½pK_b

يحسب الرقم الهيدروجيني الناتج عن التحلل الكاتيوني/الأنيوني للحمض الضعيف والأملاح القاعدية الضعيفة

C: التركيز المولي للمحلول الملحي

6

ثابت ناتج الذوبان (Ksp) والذوبان المولي (S)

A_x B_y ⇌ x A^(y+) + y B^(x-) ⟹ K_sp = x^x·y^y·S^(x+y)

ثابت التوازن للأملاح قليلة الذوبان (1:1 ملح: K_sp = S²؛ 1:2 ملح: K_sp = 4S³؛ 1:3 ملح: K_sp = 27S⁴)

K_sp: ثابت منتج الذوبان S: الذوبان المولي للملح

⏱️

الفصل السابع: الحركية الكيميائية وديناميكيات التفاعل

6 صيغ

قوانين المعدلات التفاضلية والمتكاملة، معادلات نصف العمر، طاقة التنشيط أرهينيوس، ونظرية التصادم

1

معدل التفاعل العام والتعبير عن قانون المعدل

Rate = -(1a)·(d[A]dt) = (1c)·(d[C]dt) = k·[A]^m·[B]^n

ترتيب التفاعل الكلي = م + ن؛ ثابت المعدل k له وحدات (mol/L)^(1-n) · s⁻¹

k: ثابت معدل التفاعل النوعي m, n: أوامر رد الفعل المحددة تجريبيا

2

قانون المعدل المتكامل ذو النظام الصفري ونصف العمر

[A] = [A]₀ - k·t, t_½ = [A]₀2k

المعدل مستقل عن تركيز المادة المتفاعلة؛ عمر النصف يتناسب طرديا مع التركيز الأولي

[A]₀: التركيز الأولي عند t = 0 [A]: التركيز المتبقي عند الزمن t k: ثابت معدل الطلب الصفري

3

قانون المعدل المتكامل من الدرجة الأولى ونصف العمر

k = (2.303t)·log([A]₀[A]), [A] = [A]₀·e^(-k·t), t_½ = ln(2)k = 0.693k

عمر النصف من الدرجة الأولى مستقل تمامًا عن تركيز المادة المتفاعلة الأولية

k: ثابت معدل الدرجة الأولى t_½: فترة نصف العمر

4

قانون المعدل المتكامل من الدرجة الثانية ونصف العمر

1[A] = 1[A]₀ + k·t, t_½ = 1k·[A]₀

عمر النصف يتناسب عكسيا مع تركيز المادة المتفاعلة الأولية

k: ثابت معدل الدرجة الثانية

5

معادلة أرهينيوس لمعدل درجة الحرارة

k = A·e^(-E_aR·T) ⟹ ln(k) = ln(A) -E_aR·T

يقيس تسارع المعدل الأسي مع درجة الحرارة وحاجز طاقة التنشيط

k: معدل ثابت A: عامل التردد قبل الأسي أرينيوس E_a: طاقة التنشيط R: ثابت الغاز (8.314 J/(mol·K)) T: درجة الحرارة المطلقة

6

صيغة نسبة أرينيوس لدرجتي الحرارة

log(k₂k₁) = (E_a2.303·R)·(T₂ - T₁T₁·T₂)

حساب طاقة التنشيط E_a من ثوابت المعدل المقاسة عند درجتي حرارة مختلفتين

k₁, k₂: ثوابت المعدل عند درجات الحرارة T₁ وT₂

⚡

الفصل الثامن: الكيمياء الكهربائية والخلايا الكلفانية

6 صيغ

إمكانات المجالات الكهرومغناطيسية القياسية، ومعادلة نيرنست، والأعمال الكهربائية لجيبس، وموصلية كولراوش، وقوانين فاراداي للتحليل الكهربائي

1

إمكانات الخلية القياسية (EMF)

E_cell° = E_cathode° - E_anode° = E_reduction(RHE)° - E_reduction(LHE)°

القوة الدافعة الكهربائية في ظل الظروف القياسية (تركيز 1 مولار، ضغط غاز 1 جو، 298 كلفن)

E_cell°: القوة الدافعة الكهربائية القياسية E_cathode°: إمكانات التخفيض القياسية للكاثود E_anode°: إمكانية التخفيض القياسية للأنود

2

معادلة نرنست عند 298 كلفن (25 درجة مئوية)

E_cell = E_cell° - (0.0591n)·log₁₀(Q)

يحسب إمكانات الخلايا الكهروكيميائية غير القياسية لأنشطة المواد المتفاعلة/المنتجات غير الوحدة

E_cell: إمكانات الخلية الفعلية n: عدد مولات الإلكترونات المنقولة لكل مول من التفاعل المتوازن Q: حاصل التفاعل ([أيونات الأنود] / [أيونات الكاثود]) F: ثابت فاراداي (96,485 C/mol e⁻)

3

طاقة جيبس الحرة وإمكانات الخلية القياسية

ΔG° = -n·F·E_cell°, E_cell° = (0.0591n)·log₁₀(K_c)

يربط إمكانات الخلية الكهروكيميائية القياسية بأقصى قدر من العمل الكهربائي غير المتوسع والتوازن

ΔG°: معيار جيبس تغيير الطاقة الحرة K_c: ثابت التوازن الكهروكيميائي

4

الموصلية الكهربية النوعية والمولية

κ = G·(lA) = (1R)·G*, Λ_m = κ × 1000M

الموصلية المولية لكل مول من الإلكتروليت (الوحدات: S·cm²·mol⁻¹)

κ: الموصلية المحددة (الموصلية كهربائيا) G*: ثابت الخلية (لتر / أ) Λ_m: الموصلية المولية M: المولارية من المنحل بالكهرباء

5

قانون كولراوش للهجرة الأيونية المستقلة

Λ_m° = ν₊·λ₊° + ν₋·λ₋°, α = Λ_mΛ_m°

عند التخفيف اللانهائي، يساهم كل أيون بشكل مستقل في التوصيل المولي؛ يحدد تفكك المنحل بالكهرباء ضعيفة α

Λ_m°: الحد من الموصلية المولية عند التخفيف اللانهائي λ₊°, λ₋°: الحد من الموصلية الأيونية للكاتيون والأنيون α: درجة التفكك الكهربائي

6

قوانين فاراداي للتحليل الكهربائي

m = Z·I·t = M·I·tn·F,m₁E₁ = m₂E₂

تتناسب الكتلة المترسبة أو المحررة عند القطب مع الشحنة Q (ثابت فاراداي F = 96485 C/mol)

m: كتلة المادة المحررة/المودعة Z: المعادل الكهروكيميائي (هـ/96485) I: التيار الكهربائي t: مدة التحليل الكهربائي E: الوزن المعادل (م / ن)

💧

الفصل التاسع: الحلول والخواص التجميعية

6 صيغ

قانون راؤول لضغط البخار وارتفاع درجة الغليان والاكتئاب المتجمد والضغط الأسموزي وعامل فان هوف

1

قانون راؤول والتخفيض النسبي لضغط البخار

P_A = X_A·P_A°,P_A° - P_AP_A° = X_B = n_Bn_A + n_B

إن خفض ضغط البخار النسبي يساوي الكسر المولي من المذاب غير المتطاير

P_A°: ضغط بخار المذيب النقي P_A: ضغط بخار المحلول X_B: الكسر المولي للمذاب غير المتطاير

2

ارتفاع نقطة الغليان (تنظير الإبوليو)

ΔT_b = i·K_b·m = i·(K_b × w_B × 1000M_B × w_A)

يعتمد ثابت الصمغ K_b فقط على طبيعة المذيب: K_b = (R·T_b²·M_solvent) / (1000·ΔH_vap)

ΔT_b: ارتفاع نقطة الغليان K_b: ثابت ارتفاع نقطة الغليان المولالية (0.512 كيلوجرام/مول للماء) m: مولية الحل i: عامل فان 'ت هوف

3

اكتئاب نقطة التجمد (التنظير البردي)

ΔT_f = i·K_f·m = i·(K_f × w_B × 1000M_B × w_A)

ثابت التبريد K_f: K_f = (R·T_f²·M_solvent) / (1000·ΔH_fus) (1.86 K·kg/mol للماء)

ΔT_f: اكتئاب نقطة التجمد K_f: ثابت الاكتئاب في نقطة التجمد المولالية m: المولالية

4

قانون فانت هوف للضغط الأسموزي

Π = i·C·R·T = i·(n_BV)·R·T = i·(w_B·R·T)M_B·V

الضغط الهيدروستاتيكي مطلوب لمنع تناضح المذيبات تمامًا عبر الغشاء شبه المنفذ

Π: الضغط الأسموزي C: التركيز المولي M_B: الكتلة المولية المذابة (تستخدم على نطاق واسع للبوليمرات/البروتينات)

5

عامل فان هوف (i) للتفكك والارتباط

i = 1 + (n - 1)·α_diss, i = 1 + (1n- 1)·α_assoc

حسابات الكتل الجزيئية غير الطبيعية بسبب تأين المنحل بالكهرباء أو ثنائي في المحلول

i: عامل فانت هوف (i> 1 للتفكك، i <1 للارتباط) α: درجة الارتباط/التفكك n: عدد الأيونات أو الدرجة الترابطية

6

قانون هنري لذوبان الغاز في السائل

p_gas = K_H·X_gas, m_gas = k_H·p_gas

يتناسب الغاز المذاب في السائل طرديًا مع الضغط الجزئي فوق السائل (K_H يزداد مع T)

p_gas: الضغط الجزئي للغاز فوق السائل K_H: ثابت قانون هنري X_gas: الكسر المولي للغاز المذاب

🧊

الفصل العاشر: الحالة الصلبة وعلم البلورات

4 صيغ

كثافة خلية الوحدة، الأشكال الهندسية البلورية المكعبة (SC، BCC، FCC)، قواعد نسبة نصف القطر، وحيود أشعة براغ السينية

1

صيغة كثافة الخلية البلورية

ρ = z·Ma³·N_A

كثافة الكتلة البلورية النظرية من طول حافة الشبكة a وعدد الذرات الفعال z

ρ: كثافة الكريستال z: العدد الفعال للذرات لكل وحدة خلية (SC: 1، BCC: 2، FCC: 4) M: الكتلة المولية للمادة a: وحدة طول حافة الخلية N_A: عدد أفوجادرو (6.022 × 10²³ مول⁻¹)

2

هندسة الشبكة المكعبة وكفاءة التعبئة

SC: r = a2 (52.4%), BCC: r = (√34)·a (68.0%), FCC: r = a2√2 (74.0%)

العلاقات الهندسية بين نصف القطر الذري r وطول الحافة a وكفاءة التعبئة لملء الفراغ

r: نصف القطر الذري a: طول حافة شعرية

3

الحد من قواعد نسبة نصف القطر وهندسة التنسيق

Linear: <0.155 (CN 2),  Triangular: 0.155-0.225 (CN 3),  Tetrahedral: 0.225-0.414 (CN 4),  Octahedral: 0.414-0.732 (CN 6),  Cubic: 0.732-1.000 (CN 8)

يتنبأ برقم التنسيق البلوري الأيوني (CN) والهندسة الخلالية من نسبة نصف قطر الكاتيون/الأنيون

r₊r₋: نسبة نصف قطر الكاتيون إلى الأنيون

4

قانون براغ لحيود الأشعة السينية

n·λ = 2·d·sin(θ)

حالة التداخل البناء للأشعة السينية أحادية اللون المنتشرة بواسطة طائرات شبكية بلورية متباعدة d

n: عدد صحيح لترتيب الحيود (1، 2، 3...) λ: الطول الموجي للأشعة السينية d: التباعد بين الكواكب بين طائرات شعرية θ: براج نظرة خاطفة / زاوية الانتثار

🧲

الفصل 11: كيمياء السطح والحالة الغروية

3 صيغ

متساوي الحرارة لامتزاز فروندليتش ولانجموير، قاعدة هاردي شولز، وإمكانات زيتا

1

فروندليتش ايزوثرم الامتزاز

xm = k·P^(1n) ⟹ log(xm) = log(k) + (1n)·log(P)

نموذج تجريبي لامتصاص الغاز على سطح صلب ممتز ضمن نطاقات ضغط معتدلة

x: كتلة الغاز الممتز m: كتلة المادة الماصة الصلبة P: توازن ضغط الغاز k, n: ثوابت الامتزاز لزوج معين من الغازات الممتزة

2

لانجميور أحادي الطبقة الامتزاز متساوي الحرارة

xm = a·P1 + b·P ⟹ Pxm = 1a+ (ba)·P

نموذج نظري يفترض تغطية سطحية أحادية الطبقة متجانسة ومواقع متطابقة موضعية

a, b: معلمات الامتزاز والامتزاز الحركي لانجميور P: ضغط التوازن

3

قاعدة هاردي شولز للتخثر الغروي

Coagulating Power ∝ (Valency of Oppositely Charged Ion)⁴

تزداد قوة تخثر أيون الإلكتروليت بشكل كبير مع تكافؤ الشحنة z

z: تهمة التكافؤ من أيون التخثر النشط

🔗

الفصل 12: الروابط الكيميائية والتركيب الجزيئي

5 صيغ

العزوم ثنائية القطب، خاصية بولينج الأيونية، ترتيب الروابط المدارية الجزيئية، الشحنات الرسمية، والعزوم المغناطيسية المغزلية فقط

1

عزم ثنائي القطب الكهربائي (ديبي)

μ = q·d, 1 Debye (D) = 3.33564 × 10⁻³⁰ C·m = 10⁻¹⁸ esu·cm

يقيس القطبية الكهربائية الجزيئية من فصل الشحنة q على مسافة الرابطة d

μ: عزم ثنائي القطب الجزيئي q: حجم الشحنة الجزئية المنفصلة d: مسافة السندات بين الرسوم

2

بولينج النسبة المئوية للأحرف الأيونية

% Ionic = 16·|χ_A - χ_B| + 3.5·(χ_A - χ_B)²

تقدير النسبة المئوية للصفة الأيونية للرابطة التساهمية من فرق السالبية الكهربية Δχ

χ_A, χ_B: بولينج السالبية الكهربية للذرات المرتبطة

3

ترتيب السندات المدارية الجزيئية (MO).

Bond Order = ½·(N_b - N_a)

صافي استقرار الترابط: يشير ترتيب السندات> 0 إلى جزيء مستقر؛ ترتيب الرابطة الأعلى يعني طول الرابطة الأقصر وطاقة الرابطة الأعلى

N_b: عدد الإلكترونات في المدارات الجزيئية الرابطة (BMO) N_a: عدد الإلكترونات في المدارات الجزيئية المضادة للترابط (ABMO)

4

الشحنة الرسمية على ذرة هيكل لويس

FC = V - N_lone - ½·N_bonding

مسك دفاتر إلكترونات التكافؤ لتحديد بنية لويس الرنينية الأكثر استقرارًا

V: إلكترونات التكافؤ للذرة المحايدة الحرة N_lone: إلكترونات زوجية وحيدة غير مرتبطة N_bonding: إجمالي إلكترونات الترابط المشتركة

5

العزم المغناطيسي الدوراني فقط للأيونات المعدنية الانتقالية

μ_s = √n·(n + 2) BM

يحسب العزم المغناطيسي البارامغناطيسي من عدد الإلكترونات d غير المقترنة n (n=1: 1.73 BM، n=2: 2.83 BM، n=3: 3.87 BM، n=4: 4.90 BM، n=5: 5.92 BM)

μ_s: تدور فقط لحظة مغناطيسية n: عدد الإلكترونات غير المتزاوجة

⚗️

الفصل 13: تفاعلات الأكسدة والاختزال والمعايرة الحجمية

3 صيغ

أرقام الأكسدة، والأوزان المكافئة، وتحييد الأكسدة، وقياس العناصر المتفاعلة غير المتناسبة

1

الوزن المكافئ للعوامل المؤكسدة والمختزلة

E = Molar MassNumber of electrons gained or lost per molecule

مثال: KMnO₄ في الوسط الحمضي (n=5) E = M/5؛ في وسط محايد (ن = 3) E = M/3؛ في الوسط الأساسي (ن=1) E = M/1

E: الوزن المعادل M: الكتلة المولية

2

قانون المعادلات الكيميائية وقانون المعايرة

N₁·V₁ = N₂·V₂ ⟹ n₁·M₁·V₁ = n₂·M₂·V₂

عند نقطة التكافؤ المتكافئة، فإن مكافئات المعايرة تساوي مكافئات الحليلة

N₁, N₂: الظروف الطبيعية للحلول التفاعلية V₁, V₂: كميات عيار المستهلكة n₁, n₂: ن-عوامل تفاعل الأنواع الكيميائية

3

الوزن المكافئ في تفاعلات عدم التناسب

E_total = E_oxidation + E_reduction = Mn₁+Mn₂

لتفاعلات الأكسدة والاختزال حيث يخضع نفس العنصر الكيميائي للأكسدة والاختزال في وقت واحد

n₁, n₂: تغيرات الإلكترون في نصف تفاعلات الأكسدة والاختزال

🌿

الفصل الرابع عشر: مبادئ الكيمياء العضوية والكيمياء المجسمة

4 صيغ

مؤشر نقص الهيدروجين (IHD)، والدوران البصري النوعي، والفائض التماثلي، ومعادلة هاميت

1

مؤشر نقص الهيدروجين (درجة عدم التشبع)

IHD = C + 1 - (H2) - (X2) + (N2)

يحدد العدد الإجمالي للحلقات والروابط π (الرابطة المزدوجة = 1، الرابطة الثلاثية = 2، حلقة البنزين = 4)

C: عدد ذرات الكربون H: عدد ذرات الهيدروجين X: عدد ذرات الهالوجين (F، Cl، Br، I) N: عدد ذرات النيتروجين

2

قانون الدوران البصري النوعي لبيوت

[α]_D^T = α_obsl·c

تم قياس النشاط البصري اللولبي القياسي باستخدام قياس استقطاب الصوديوم D-line (589 نانومتر).

[α]_D^T: دوران بصري محدد α_obs: زاوية الدوران البصرية المرصودة في مقياس الاستقطاب l: طول مسار أنبوب عينة القطبية c: تركيز محلول العينة

3

الفائض التماثلي (٪ ee) والنقاء البصري

% ee = (|R -S|R + S) × 100 = (α_obsα_pure) × 100

يقيس الفائض اللولبي لمتساوٍ واحد على الخليط الراسيمي (يحتوي الخليط بنسبة 50:50 على 0% ee)

% ee: نسبة الفائض الأنانتيوميري [R], [S]: النسب المئوية المولية للمضادات الضوئية R و S

4

علاقة هاميت الخطية للطاقة الحرة

log(KK₀) = σ·ρ, log(kk₀) = σ·ρ

يتعلق بالتأثيرات الإلكترونية الفوقية/البديلة (σ) وحساسية التفاعل (ρ) بمعدلات حمض البنزويك المستبدل

σ: ثابت هاميت البديل (سحب الإلكترون σ > 0، التبرع σ < 0) ρ: حساسية رد الفعل ثابتة K, K₀: ثوابت التوازن مع وبدون بديل