Formules - Mathematics, Physics & Chemistry

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Suite de Formules Trigonométriques

Identités remarquables, somme/différence d'angles, angles doubles/moitié, formule d'Euler, lois des sinus et cosinus.

92+ Équations

📊

Tableau des Valeurs d'Angles du Cercle Trigonométrique Standard

Rapports trigonométriques exacts pour les angles de référence en degrés et radians

Référence Standard

Degrés (x)	Radians (rad)	sin(x)	cos(x)	tan(x)	csc(x)	sec(x)	cot(x)
0°	0	0	1	0	indéfini	1	indéfini
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3	2	2√3/3	√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1	√2	√2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3	2√3/3	2	√3/3
90°	π/2	1	0	indéfini	1	indéfini	0
120°	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	2√3/3	-2	-√3/3
135°	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	√2	-√2	-1
150°	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	2	-2√3/3	-√3
180°	π	0	-1	0	indéfini	-1	indéfini
270°	3π/2	-1	0	indéfini	-1	indéfini	0
360°	2π	0	1	0	indéfini	1	indéfini

🔄

Identités réciproques et quotient

8 formules

Relations fondamentales entre les rapports trigonométriques primaires et réciproques

1

Sinus réciproque

sin(x) = 1csc(x)

csc(x) ≠ 0; x ≠ nπ

2

Cosécante réciproque

csc(x) = 1sin(x)

sin(x) ≠ 0; x ≠ nπ

3

Cosinus réciproque

cos(x) = 1sec(x)

sec(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

4

Sécante réciproque

sec(x) = 1cos(x)

cos(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

5

Tangente réciproque

tan(x) = 1cot(x)

cot(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

6

Cotangente Réciproque

cot(x) = 1tan(x)

tan(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

7

Quotient tangent

tan(x) = sin(x)cos(x)

Rapport entre l'opposé et l'adjacent dans un triangle rectangle

8

Quotient cotangent

cot(x) = cos(x)sin(x)

Rapport entre Adjacent et Opposé dans un triangle rectangle

🪞

Formules d'angle opposé (fonctions paires et impaires)

6 formules

Comportement de symétrie des fonctions trigonométriques sous négation d'angle

1

Angle sinusoïdal négatif (fonction impaire)

sin(-x) = -sin(x)

Symétrique par rapport à l'origine

2

Angle négatif cosinus (fonction paire)

cos(-x) = cos(x)

Symétrique par rapport à l'axe y

3

Angle négatif de la tangente (fonction impaire)

tan(-x) = -tan(x)

Étrange symétrie autour de l'origine

4

Angle négatif cotangent (fonction impaire)

cot(-x) = -cot(x)

Étrange symétrie autour de l'origine

5

Angle négatif sécant (fonction paire)

sec(-x) = sec(x)

Hérite d'une symétrie paire du cosinus

6

Angle négatif cosécant (fonction impaire)

csc(-x) = -csc(x)

Hérite d'une symétrie étrange du sinus

📐

Formules de cofonction (angles complémentaires)

6 formules

Identités reliant les fonctions trigonométriques d'angles complémentaires (π/2 - x ou 90° - x)

1

Cofonction sinusoïdale

sin(π2- x) = cos(x)

Aussi : sin(90° - x) = cos(x)

2

Cofonction cosinus

cos(π2- x) = sin(x)

Aussi : cos(90° - x) = sin(x)

3

Cofonction tangente

tan(π2- x) = cot(x)

Aussi : tan(90° - x) = cot(x)

4

Cofonction cotangente

cot(π2- x) = tan(x)

Aussi : cot(90° - x) = tan(x)

5

Cofonction sécante

sec(π2- x) = csc(x)

Aussi : sec(90° - x) = csc(x)

6

Cofonction cosécante

csc(π2- x) = sec(x)

Aussi : csc(90° - x) = sec(x)

🔺

Identités pythagoriciennes et formes algébriques

9 formules

Dérivé directement du cercle unité (x² + y² = 1) et de la trigonométrie du triangle rectangle

1

Identité pythagoricienne primaire

sin²(x) + cos²(x) = 1

Identité fondamentale valable pour tous les angles réels x

2

Sinus en termes de cosinus

sin(x) = ±√1 - cos²(x)

Signe choisi en fonction du quadrant de x

3

Cosinus en termes de sinus

cos(x) = ±√1 - sin²(x)

Signe choisi en fonction du quadrant de x

4

Identité pythagoricienne tangente-sécante

1 + tan²(x) = sec²(x)

Obtenu en divisant sin²(x) + cos²(x) = 1 par cos²(x)

5

Forme de différence sécante-tangente

sec²(x) - tan²(x) = 1

Valable où cos(x) ≠ 0

6

Identité pythagoricienne cotangente-cosécante

1 + cot²(x) = csc²(x)

Obtenu en divisant sin²(x) + cos²(x) = 1 par sin²(x)

7

Forme de différence cosécante-cotangente

csc²(x) - cot²(x) = 1

Valable où sin(x) ≠ 0

8

Normalisation radicale du cercle unitaire

√sin²(x) + cos²(x) = 1

Longueur géométrique de l'hypoténuse sur le cercle unité

9

Identités d'unité de produit

sin(x)·csc(x) = 1, cos(x)·sec(x) = 1, tan(x)·cot(x) = 1

Les produits réciproques égalent l'unité

➕

Addition et soustraction d'angles (angles composés)

8 formules

Formules pour les rapports trigonométriques de la somme et de la différence de deux angles (A ± B)

1

Sinus de la somme des angles

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Formule d'angle composé clé pour l'addition de sinus

2

Sinus de la différence d'angle

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Formule d'angle composé clé pour la différence sinusoïdale

3

Cosinus de la somme des angles

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Notez le signe moins dans l'expansion de la somme des cosinus

4

Cosinus de la différence d'angle

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Notez le signe plus dans l'expansion de la différence cosinus

5

Tangente de la somme des angles

tan(A + B) = tan(A) + tan(B)1 - tan(A)tan(B)

Nécessite tan(A)tan(B) ≠ 1

6

Tangente de la différence d'angle

tan(A - B) = tan(A) - tan(B)1 + tan(A)tan(B)

Nécessite tan(A)tan(B) ≠ -1

7

Cotangente de la somme des angles

cot(A + B) = cot(A)cot(B) - 1cot(B) + cot(A)

Formule composée pour la somme cotangente

8

Cotangente de la différence d'angle

cot(A - B) = cot(A)cot(B) + 1cot(B) - cot(A)

Formule composée pour la différence cotangente

✖️2️⃣

Formules à double angle (2x)

7 formules

Exprimer les fonctions d'angle double (2x) en termes d'angle simple (x)

1

Sinusoïdal Double Angle

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

Comprend un formulaire de paramétrage de tangente rationnelle

2

Cosinus double angle (différence standard)

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Conséquence directe de cos(x + x)

3

Cosinus double angle (cosinus uniquement)

cos(2x) = 2 cos²(x) - 1

Crucial pour l’intégration et la réduction de puissance

4

Cosinus double angle (sinus uniquement)

cos(2x) = 1 - 2 sin²(x)

Crucial pour l’intégration et la dérivation du demi-angle

5

Cosinus double angle (paramétrage de la tangente)

cos(2x) = 1 - tan²(x)1 + tan²(x)

Relation de substitution de Weierstrass pour le cosinus

6

Tangente Double Angle

tan(2x) = 2 tan(x)1 - tan²(x)

Nécessite tan²(x) ≠ 1

7

Cotangente Double Angle

cot(2x) = cot²(x) - 12 cot(x)

Nécessite un lit bébé(x) ≠ 0

3️⃣

Formules triple angle (3x)

4 formules

Fonctions trigonométriques de 3x exprimées sous formes polynomiales à un seul angle

1

Triple angle sinusoïdal

sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin³(x)

Utile pour résoudre des équations cubiques et de l'algèbre

2

Cosinus Triple Angle

cos(3x) = 4 cos³(x) - 3 cos(x)

Polynôme de Chebyshev cubique direct T₃(x) = 4x³ - 3x

3

Tangente Triple Angle

tan(3x) = 3 tan(x) - tan³(x)1 - 3 tan²(x)

Nécessite 3tan²(x) ≠ 1

4

Triple angle cotangent

cot(3x) = 3 cot(x) - cot³(x)1 - 3 cot²(x)

Nécessite 3lits de bébé²(x) ≠ 1

½

Formules demi-angle (x/2)

6 formules

Formules exactes pour les demi-angles de signe déterminé par le quadrant de x/2

1

Demi-angle sinusoïdal

sin(x2) = ±√1 - cos(x)2

± signe choisi en fonction du quadrant contenant x/2

2

Cosinus demi-angle

cos(x2) = ±√1 + cos(x)2

± signe choisi en fonction du quadrant contenant x/2

3

Demi-angle tangent (forme radicale)

tan(x2) = ±√1 - cos(x)1 + cos(x)

Forme de demi-angle de racine carrée pour la tangente

4

Demi-angle tangent (forme rationnelle 1)

tan(x2) = 1 - cos(x)sin(x)

Aucune ambiguïté de signe ; exact pour tout x ≠ nπ

5

Demi-angle tangent (Forme rationnelle 2 / Différence)

tan(x2) = sin(x)1 + cos(x) = csc(x) - cot(x)

Équivalent à la différence csc(x) - cot(x)

6

Demi-angle cotangent

cot(x2) = 1 + cos(x)sin(x) = csc(x) + cot(x)

Équivalent à la somme csc(x) + cot(x)

⚡

Formules de réduction de puissance (puissances carrées et supérieures)

7 formules

Convertit les puissances des fonctions trigonométriques en multiples du premier degré de x (essentiel pour l'intégration du calcul)

1

Réduction de puissance sinusoïdale carrée

sin²(x) = 1 - cos(2x)2

Réduction primitive du calcul fondamental : ∫sin²(x)dx

2

Réduction de puissance au carré du cosinus

cos²(x) = 1 + cos(2x)2

Réduction primitive de calcul fondamental : ∫cos²(x)dx

3

Réduction de puissance tangente au carré

tan²(x) = 1 - cos(2x)1 + cos(2x)

Forme de fraction cosinus rationnelle pour tan²(x)

4

Réduction de puissance sinusoïdale cubique

sin³(x) = 3 sin(x) - sin(3x)4

Dérivé directement de l'identité triple angle sin(3x)

5

Réduction de puissance cubique en cosinus

cos³(x) = 3 cos(x) + cos(3x)4

Dérivé directement de l'identité triple angle cos(3x)

6

Réduction de puissance sinusoïdale quatrième

sin⁴(x) = 3 - 4 cos(2x) + cos(4x)8

Utilisé pour les séries de Fourier et les intégrales d'ordre supérieur

7

Cosinus Quatrième réduction de puissance

cos⁴(x) = 3 + 4 cos(2x) + cos(4x)8

Utilisé pour les séries de Fourier et les intégrales d'ordre supérieur

✖️➡️➕

Formules produit-somme

4 formules

Convertit les produits du sinus et du cosinus en termes de somme et de différence (crucial pour la mécanique des vagues et les intégrales)

1

Produit sinusoïdal × sinusoïdal

sin(A) sin(B) = ½ [cos(A - B) - cos(A + B)]

Transforme les produits d'interférence d'ondes en composants additifs

2

Produit cosinus × cosinus

cos(A) cos(B) = ½ [cos(A - B) + cos(A + B)]

Transforme les produits cosinus en composants additifs

3

Produit sinus × cosinus

sin(A) cos(B) = ½ [sin(A + B) + sin(A - B)]

Formule de produit de modulation de signal standard

4

Produit cosinus × sinus

cos(A) sin(B) = ½ [sin(A + B) - sin(A - B)]

Décomposition des produits complémentaires

➕➡️✖️

Formules somme-produit

6 formules

Convertit les sommes et les différences des fonctions trigonométriques en produits multiplicatifs

1

Somme sinusoïdale + sinusoïdale

sin(A) + sin(B) = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)

Explique le phénomène de fréquence de battement dans l'acoustique des ondes acoustiques

2

Sinus - Différence sinusoïdale

sin(A) - sin(B) = 2 sin(A - B2) cos(A + B2)

Formulaire d'analyse d'onde différentielle

3

Somme cosinus + cosinus

cos(A) + cos(B) = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)

Même conversion somme-produit

4

Cosinus - Différence de cosinus

cos(A) - cos(B) = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)

Notez le premier signe négatif (ou l'ordre inverse B - A)

5

Tangente + Somme Tangente

tan(A) + tan(B) = sin(A + B)cos(A) cos(B)

Calcule les pentes tangentes combinées

6

Tangente - Différence de tangente

tan(A) - tan(B) = sin(A - B)cos(A) cos(B)

Calcule la différence des pentes tangentes

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Lois des triangles et relations géométriques

7 formules

Lois pour résoudre des triangles obliques généraux (loi des sinus, cosinus, tangentes et formules de Mollweide)

1

Loi des sinus

asin(A) = bsin(B) = csin(C) = 2R

R est le rayon du cercle circonscrit (circumradius)

a, b, c: Longueurs des côtés A, B, C: Angles opposés R: Circonstance

2

Loi des cosinus (côté a / angle A)

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

Résout SAS (Side-Angle-Side) ou SSS (Side-Side-Side)

3

Loi des cosinus (côté b et côté c)

b² = a² + c² - 2ac cos(B), c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Versions symétriques pour côtés b et c

4

Loi des tangentes

a - ba + b = tan[½(A - B)]tan[½(A + B)]

Historiquement utilisé pour les calculs logarithmiques en navigation

5

La première formule de Mollweide

a + bc = cos[½(A - B)]sin(½C)

Excellente formule pour vérifier la cohérence du solveur de triangle

6

Deuxième formule de Mollweide

a - bc = sin[½(A - B)]cos(½C)

Relation de cohérence Mollweide complémentaire

7

Aire du triangle trigonométrique (SAS)

Area = ½ a b sin(C) = ½ b c sin(A) = ½ a c sin(B)

Calcule la surface de deux côtés et l'angle inclus

⭕

Longueur d'arc, secteurs et mouvement circulaire

3 formules

Relations reliant l'angle en radians à la distance courbe, à la surface du secteur et à la vitesse angulaire

1

Formule de longueur d'arc

S = r x

L'angle x DOIT être exprimé en radians (x = x° × π / 180°)

S: Longueur de l'arc r: Rayon du cercle x: Angle central (radians)

2

Zone du secteur circulaire

Area = ½ r² x = ½ r S

x en radians ; est égal à ½ × rayon × longueur de l'arc

3

Vitesse linéaire et vitesse angulaire

v = r ω, ω = xt = 2π f

Relie la vitesse tangentielle linéaire v à la vitesse angulaire ω et à la fréquence f

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Formule d'Euler, De Moivre et Trig complexe

5 formules

Pont reliant l'analyse complexe exponentielle et la trigonométrie polaire

1

Formule d'Euler

e^(ix) = cos(x) + i sin(x) = cis(x)

Relie la fonction exponentielle directement au sinus et au cosinus ; pour x=π donne e^(iπ) + 1 = 0

2

La formule de De Moivre

(r cis x)ⁿ = rⁿ cis(nx) = rⁿ [cos(nx) + i sin(nx)]

Calcule instantanément les puissances et les racines des nombres complexes

3

Multiplication et division polaires

(r₁ cis x)(r₂ cis φ) = r₁r₂ cis(x + φ),r₁ cis xr₂ cis φ = (r₁r₂) cis(x - φ)

Les grandeurs multiplient/divisent ; arguments d'angle ajouter/soustraire

4

Définition exponentielle du cosinus

cos(x) = e^(ix) + e^(-ix)2

Exprime algébriquement le cosinus en utilisant des exponentielles complexes

5

Définition exponentielle du sinus

sin(x) = e^(ix) - e^(-ix)2i

Exprime algébriquement le sinus en utilisant des exponentielles complexes

↩️

Identités trigonométriques inverses

6 formules

Propriétés, identités de branche de valeur principale et formules de somme pour les fonctions circulaires inverses

1

Identités complémentaires inverses

sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x) = π2, tan⁻¹(x) + cot⁻¹(x) = π2, sec⁻¹(x) + csc⁻¹(x) = π2

Valable sur les domaines respectifs : x ∈ [-1, 1], x ∈ ℝ, |x| ≥ 1

2

Formule de somme tangente inverse

tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x + y1 - xy)

Si xy > 1 et x,y > 0, ajoutez π au résultat

3

Formule de différence de tangente inverse

tan⁻¹(x) - tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x - y1 + xy)

Formule standard de soustraction de tangente inverse

4

Représentations multiples à double tangente inverse

2 tan⁻¹(x) = sin⁻¹(2x1 + x²) = cos⁻¹(1 - x²1 + x²) = tan⁻¹(2x1 - x²)

Crucial pour le calcul Weierstrass t-substitution (t = tan(x/2))

5

Identités inverses d’arguments négatifs

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹(x), tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹(x), cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹(x)

Notez que cos⁻¹(-x) produit π - cos⁻¹(x)

6

Relations de fonctions réciproques inverses

csc⁻¹(x) = sin⁻¹(1x), sec⁻¹(x) = cos⁻¹(1x), cot⁻¹(x) = tan⁻¹(1x) [x > 0]

Mappage d'arguments réciproques pour les fonctions inverses

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Règles de Dérivation & Dérivées

Règles de puissance, produit, quotient et chaîne, dérivées exponentielles, logarithmiques et trigonométriques.

44+ Équations

⚡

Règles et opérations fondamentales en matière de produits dérivés

9 formules

Règles de différenciation opérationnelle de base pour les constantes, les puissances et les combinaisons algébriques

1

Dérivée par premiers principes (définition limite)

f'(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x))h

Définition fondamentale du dérivé comme taux de variation instantané

2

Règle constante

ddx [c] = 0

La dérivée de toute constante c est nulle

3

Règle de puissance

ddx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

Valable pour tous les exposants réels n (n ∈ ℝ)

4

Règle multiple constante

ddx [c·f(x)] = c·f'(x)

Facteur constant hors différenciation

5

Règle de somme et de différence

ddx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

La différenciation est un opérateur linéaire

6

Règle du produit (règle de Leibniz)

ddx [f(x)·g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Différenciez d'abord, maintenez en deuxième, plus maintenez en premier, différenciez en deuxième

7

Règle du quotient

ddx [f(x)g(x)] = g(x)f'(x) - f(x)g'(x)[g(x)]²

Nécessite g(x) ≠ 0

8

Règle de chaîne (fonctions composites)

ddx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

Différencier la fonction externe évaluée à l'intérieur, multiplier par la dérivée de l'intérieur

9

Règle de fonction réciproque

ddx [1f(x)] = -f'(x)[f(x)]²

Raccourci direct pour les fonctions alternatives

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Dérivées exponentielles et logarithmiques

7 formules

Dérivés d'exponentielles de base naturelles et générales et de fonctions logarithmiques

1

Dérivée exponentielle naturelle

ddx [eˣ] = eˣ

L'unique fonction non nulle égale à sa propre dérivée

2

Dérivé exponentiel naturel composite

ddx [e^(f(x))] = e^(f(x))·f'(x)

Règle de chaîne appliquée à l'exponentielle naturelle

3

Dérivée exponentielle de base générale

ddx [aˣ] = aˣ·ln(a)

Valable pour a > 0, a ≠ 1

4

Dérivée du logarithme naturel

ddx [ln(x)] = 1x

Pour les valeurs absolues : d/dx [ln|x|] = 1 / x (x ≠ 0)

5

Dérivée du logarithme naturel composite

ddx [ln(f(x))] = f'(x)f(x)

Dérivée logarithmique / taux de variation relatif

6

Dérivée du logarithme de base générale

ddx [log_a(x)] = 1x·ln(a)

Changement de formule de différenciation de base

7

Base variable et exposant variable (xˣ)

ddx [xˣ] = xˣ·(1 + ln(x))

Dérivé par différenciation logarithmique y = xˣ ⇒ ln y = x ln x

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Dérivées de fonctions trigonométriques

7 formules

Dérivées des six fonctions trigonométriques standards (sin, cos, tan, cot, sec, csc)

1

Dérivée du sinus

ddx [sin(x)] = cos(x)

Le taux de changement du sinus est le cosinus

2

Dérivée du cosinus

ddx [cos(x)] = -sin(x)

Notez le signe négatif pour la fonction "co-"

3

Dérivée de la tangente

ddx [tan(x)] = sec²(x)

Également égal à 1 + tan²(x)

4

Dérivée de Cotangente

ddx [cot(x)] = -csc²(x)

Également égal à -(1 + cot²(x))

5

Dérivé de sécante

ddx [sec(x)] = sec(x)·tan(x)

Produit de sécante et de tangente

6

Dérivé du Cosécant

ddx [csc(x)] = -csc(x)·cot(x)

Produit de cosécante et cotangente de signe négatif

7

Forme de chaîne trigonométrique composite

ddx [sin(f(x))] = cos(f(x))·f'(x), ddx [cos(f(x))] = -sin(f(x))·f'(x)

Règle de chaîne trigonométrique généralisée standard

↩️

Dérivées trigonométriques inverses

6 formules

Dérivées du sinus inverse, du cosinus, de la tangente, de la cotangente, de la sécante et de la cosécante

1

Dérivée du sinus inverse

ddx [sin⁻¹(x)] = 1√1 - x²

Domaine strictement compris entre -1 et 1

2

Dérivée du cosinus inverse

ddx [cos⁻¹(x)] = -1√1 - x²

Négatif exact de la dérivée sinusoïdale inverse

3

Dérivée de la tangente inverse

ddx [tan⁻¹(x)] = 11 + x²

Valable pour tous les nombres réels sans singularité

4

Dérivée de la cotangente inverse

ddx [cot⁻¹(x)] = -11 + x²

Négatif exact de la dérivée tangente inverse

5

Dérivée de la sécante inverse

ddx [sec⁻¹(x)] = 1|x|·√x² - 1

Nécessite |x| > 1

6

Dérivé de la cosécante inverse

ddx [csc⁻¹(x)] = -1|x|·√x² - 1

Négatif exact de la dérivée sécante inverse

〰️

Dérivés hyperboliques et hyperboliques inverses

9 formules

Dérivés de sinh, cosh, tanh et leurs fonctions inverses respectives

1

Dérivé du sinus hyperbolique (sinh x)

ddx [sinh(x)] = cosh(x)

Ne remarquez aucun signe négatif (contrairement au cosinus régulier)

2

Dérivé du cosinus hyperbolique (cosh x)

ddx [cosh(x)] = sinh(x)

Taux de changement positif

3

Dérivée de la tangente hyperbolique (tanh x)

ddx [tanh(x)] = sech²(x)

Crucial pour la rétropropagation de l’activation du réseau neuronal

4

Dérivé de la cotangente hyperbolique (coth x)

ddx [coth(x)] = -csch²(x)

Cosécante hyperbolique négative au carré

5

Dérivé de la sécante hyperbolique (sech x)

ddx [sech(x)] = -sech(x)·tanh(x)

Produit hyperbolique négatif

6

Dérivé du cosécant hyperbolique (csch x)

ddx [csch(x)] = -csch(x)·coth(x)

Produit hyperbolique négatif

7

Dérivé du sinus hyperbolique inverse

ddx [arsinh(x)] = 1√x² + 1

Valable pour tous les x réels

8

Dérivé du cosinus hyperbolique inverse

ddx [arcosh(x)] = 1√x² - 1

Valable pour x > 1

9

Dérivée de la tangente hyperbolique inverse

ddx [artanh(x)] = 11 - x²

Valable pour |x| < 1

🔬

Techniques et théorèmes avancés de différenciation

6 formules

Différenciation implicite, courbes paramétriques, règle de L’Hôpital et développements de Taylor

1

Dérivée première paramétrique (dy/dx)

dydx = dydtdxdt

Calcule la pente tangente de la courbe à partir des équations paramétriques x(t), y(t)

2

Dérivée seconde paramétrique (d²y/dx²)

d²ydx² = [ddt (dydx)]dxdt

Calcule la concavité des courbes paramétriques

3

Règle de L'Hôpital (Limites 0/0 ou ∞/∞)

lim[x→c] f(x)g(x) = lim[x→c] f'(x)g'(x)

Résout les limites indéterminées en différenciant indépendamment le numérateur et le dénominateur

4

Théorème de la valeur moyenne (MVT)

f'(c) = f(b) - f(a)b - a

Garantit un point où le taux de changement instantané est égal au taux de changement moyen

5

Développement de la série de Taylor autour de x = a

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(a)n!)·(x - a)ⁿ

approximation polynomiale de fonctions différentiables lisses

6

Expansion de la série Maclaurin (a = 0)

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(0)n!)·xⁿ

Série de Taylor centrée à l'origine (x = 0)

∫

Intégration & Primitives Standards

Primitives standard d'examen, exponentielles, trigonométriques, intégration par substitution et par parties.

54+ Équations

∫

Règles et pouvoirs fondamentaux d’intégration

6 formules

Règles primitives élémentaires pour les constantes, les puissances algébriques et les combinaisons linéaires

1

Intégrale constante

∫ k dx = k·x + C

La primitive d'une constante k est k·x + C

2

Règle de puissance d'intégration

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

Valable pour toutes les puissances réelles n sauf n = -1

3

Fonction réciproque intégrale (1/x)

∫ (1x) dx = ln|x| + C

Cas particulier crucial pour n = -1 dans la règle de puissance

4

Règle de linéarité d'intégration

∫ [a·f(x) ± b·g(x)] dx = a ∫ f(x) dx ± b ∫ g(x) dx

L'intégration est une opération fonctionnelle linéaire

5

Règle de puissance composite linéaire

∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

Raccourci pour les puissances binomiales linéaires

6

Intégrale réciproque composite linéaire

∫ (1ax + b) dx = (1a)·ln|ax + b| + C

Formule d'intégration du dénominateur linéaire standard

📈

Intégrales exponentielles et logarithmiques

6 formules

Primitives impliquant eˣ naturel, base générale aˣ et termes logarithmiques

1

Intégrale Exponentielle Naturelle

∫ eˣ dx = eˣ + C

La fonction est égale à sa propre primitive jusqu'à la constante C

2

Intégrale exponentielle mise à l'échelle (eᵃˣ)

∫ e^(ax) dx = (1a)·e^(ax) + C

Règle d'intégration exponentielle à l'échelle standard

3

Intégrale exponentielle de base générale (aˣ)

∫ aˣ dx = aˣln(a)+ C

Divise par ln(a) car la dérivée multipliée par ln(a)

4

Logarithme naturel intégral

∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x + C

Dérivé par intégration par parties avec u = ln x, dv = dx

5

Logarithme de base général intégral

∫ log_a(x) dx = x·ln(x) - xln(a)+ C

Changement d'intégration de base pour les logarithmes

6

Produit intégral (x · eˣ)

∫ x·eˣ dx = eˣ(x - 1) + C

Application d'intégration classique par pièces

📐

Intégrales trigonométriques de base

6 formules

Primitives directes correspondant aux dérivées trigonométriques standards

1

Intégrale du sinus

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

Notez le signe négatif dans la primitive du sinus

2

Intégrale du cosinus

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Primitive trigonométrique standard directe

3

Intégrale de sécante au carré

∫ sec²(x) dx = tan(x) + C

Parce que la dérivée de la tangente est sécante au carré

4

Intégrale de Cosécante au carré

∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C

Parce que la dérivée de la cotangente est -csc²(x)

5

Intégrale de Sécante × Tangente

∫ sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C

Inversion dérivée directe de sec(x)

6

Intégrale de Cosécante × Cotangente

∫ csc(x) cot(x) dx = -csc(x) + C

Inversion dérivée directe de csc(x)

⚡

Intégrales trigonométriques étendues et carrées

8 formules

Intégrales des termes trigonométriques tan, cot, sec, csc et carré

1

Intégrale de la Tangente

∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C = -ln|cos(x)| + C

Évalué par substitution u = cos(x)

2

Intégrale de Cotangente

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C = -ln|csc(x)| + C

Évalué par substitution u = sin(x)

3

Intégrale de Sécante

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Célèbre calcul intégral multiplié par (sec x + tan x)/(sec x + tan x)

4

Intégrale de Cosécante

∫ csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C = ln|tan(x2)| + C

Intégrale cosécante logarithmique standard

5

Intégrale du sinus au carré (sin² x)

∫ sin²(x) dx = (x2) - (sin(2x)4) + C

Évalué à l'aide de l'identité de réduction de puissance sin²(x) = (1 - cos 2x)/2

6

Intégrale du cosinus carré (cos² x)

∫ cos²(x) dx = (x2) + (sin(2x)4) + C

Évalué à l'aide de l'identité de réduction de puissance cos²(x) = (1 + cos 2x)/2

7

Intégrale de la Tangente au Carré (tan² x)

∫ tan²(x) dx = tan(x) - x + C

Évalué selon l'identité tan²(x) = sec²(x) - 1

8

Intégrale de Cotangente au Carré (cot² x)

∫ cot²(x) dx = -cot(x) - x + C

Évalué selon l'identité cot²(x) = csc²(x) - 1

↩️

Intégrales produisant des fonctions trigonométriques inverses

5 formules

Intégrales de fractions algébriques standard dont les primitives sont des fonctions trigonométriques inverses

1

Sinus inverse à rendement intégral

∫ (1√a² - x²) dx = sin⁻¹(xa) + C

Remarquez qu'il n'y a pas de facteur 1/a à l'extérieur pour le sinus inverse

2

Tangente inverse à rendement intégral

∫ (1a² + x²) dx = (1a)·tan⁻¹(xa) + C

Le coefficient 1/a est requis contrairement au sinus inverse

3

Sécante inverse à rendement intégral

∫ (1x·√x² - a²) dx = (1a)·sec⁻¹(|x|a) + C

Comprend le coefficient 1/a et la valeur absolue |x|

4

Intégrale de 1 / (x² - a²)

∫ (1x² - a²) dx = (12a)·ln|(x - a)x + a| + C

Obtenu par décomposition en fraction partielle 1/(x²-a²)

5

Intégrale de 1 / (a² - x²)

∫ (1a² - x²) dx = (12a)·ln|(a + x)a - x| + C

Obtenu par décomposition en fraction partielle 1/(a²-x²)

√

Intégrales radicales spéciales à racine carrée

4 formules

Intégrales radicales standards résolues par substitution trigonométrique (x = un sin θ, un tan θ, un sec θ)

1

Intégrale de √(a² - x²)

∫ √a² - x² dx = (x2)√a² - x² + (a²2)sin⁻¹(xa) + C

Utilisé pour calculer les zones de secteurs circulaires et elliptiques

2

Intégrale de √(x² + a²)

∫ √x² + a² dx = (x2)√x² + a² + (a²2)ln|x + √x² + a²| + C

Résolu en utilisant la substitution x = a tan θ ou hyperbolique x = a sinh u

3

Intégrale de √(x² - a²)

∫ √x² - a² dx = (x2)√x² - a² - (a²2)ln|x + √x² - a²| + C

Résolu en utilisant la substitution x = a sec θ ou hyperbolique x = a cosh u

4

Intégrale de 1 / √(x² ± a²)

∫ (1√x² ± a²) dx = ln|x + √x² ± a²| + C

Également égal à arsinh(x/a) et arcosh(x/a) respectivement

〰️

Intégrales de fonctions hyperboliques

6 formules

Primitives pour les formes trigonométriques sinh, cosh, tanh et hyperbolique

1

Intégrale du sinus hyperbolique (sinh x)

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

Cosh positif(x) + C (pas de signe négatif)

2

Intégrale du cosinus hyperbolique (cosh x)

∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

Primitive hyperbolique directe

3

Intégrale de la tangente hyperbolique (tanh x)

∫ tanh(x) dx = ln(cosh x) + C

Puisque cosh x > 0 pour tout x réel, aucune valeur absolue n'est requise

4

Intégrale de la sécante hyperbolique au carré (sech² x)

∫ sech²(x) dx = tanh(x) + C

Primitive directe donnant tanh(x)

5

Intégrale de la cosécante hyperbolique au carré (csch² x)

∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C

Cotangente hyperbolique négative

6

Intégrale de sech(x) · tanh(x)

∫ sech(x) tanh(x) dx = -sech(x) + C

Primitive du produit sécant-tangent hyperbolique

🛠️

Techniques et méthodes d'intégration

4 formules

Méthodes générales d'intégration analytique : parties, substitution et fractions partielles

1

Formule d'intégration par pièces

∫ u dv = u·v - ∫ v du

Choisissez-vous en utilisant la règle LIATE (Logarithmique, Trigonométrique Inverse, Algébrique, Trigonométrique, Exponentiel)

2

Intégration par U-Substitution (Changement de Variables)

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du

Inverse la règle de chaîne de différenciation

3

Substitution demi-angle de Weierstrass (t = tan(x/2))

sin(x) = 2t1+t², cos(x) = 1-t²1+t², dx = 2dt1+t²

Transforme toute intégrale trigonométrique rationnelle en intégrale algébrique polynomiale rationnelle

4

Forme dérivée logarithmique (∫ f'(x)/f(x) dx)

∫ (f'(x)f(x)) dx = ln|f(x)| + C

Chaque fois que le numérateur est la dérivée exacte du dénominateur

📊

Intégrales définies et théorèmes fondamentaux

5 formules

Théorème fondamental du calcul (FTC), propriétés de symétrie et règle de Leibniz

1

Théorème fondamental du calcul (Partie 1 - Différenciation de l'intégrale)

ddx [ ∫xa f(t) dt ] = f(x)

Relie la différenciation et l'intégration en tant qu'opérations mathématiques inverses

2

Théorème fondamental du calcul (Partie 2 - Théorème d'évaluation)

∫ba f(x) dx = F(b) - F(a)

Évalue la superficie nette et la variation accumulée sur l'intervalle [a, b]

3

Règle de Leibniz pour différencier sous le signe intégral

ddx [ ∫v(x)u(x) f(t) dt ] = f(v(x))·v'(x) - f(u(x))·u'(x)

Règle de chaîne étendue aux limites d'intégration inférieures et supérieures variables

4

Symétrie de fonction intégrale paire/impaire définie sur [-a, a]

Even: ∫a-a f(x) dx = 2 ∫a0 f(x) dx, Odd: ∫a-a f(x) dx = 0

Simplification instantanée pour les limites d'intégration symétriques [-a, a]

5

Théorème de la valeur moyenne pour les intégrales définies

f_avg = (1b - a)·∫ba f(x) dx = f(c)

Calcule la vraie valeur moyenne d'une fonction continue sur [a, b]

🔁

Formules de réduction trigonométrique

4 formules

Formules de réduction récursive pour intégrer des puissances trigonométriques supérieures (sinⁿ x, cosⁿ x, tanⁿ x, secⁿ x)

1

Formule de réduction de puissance sinusoïdale

∫ sinⁿ(x) dx = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x)n+ (n - 1n) ∫ sinⁿ⁻²(x) dx

Réduit la puissance du sinus de 2 à chaque itération

2

Formule de réduction de puissance cosinus

∫ cosⁿ(x) dx = cosⁿ⁻¹(x)sin(x)n+ (n - 1n) ∫ cosⁿ⁻²(x) dx

Réduit la puissance du cosinus de 2 à chaque itération

3

Formule de réduction de puissance tangente

∫ tanⁿ(x) dx = tanⁿ⁻¹(x)n - 1 - ∫ tanⁿ⁻²(x) dx

Réduction algébrique rapide pour tanⁿ(x)

4

Formule de réduction de puissance sécante

∫ secⁿ(x) dx = secⁿ⁻²(x)tan(x)n - 1 + (n - 2n - 1) ∫ secⁿ⁻²(x) dx

Réduit les puissances de sécante supérieures (par exemple ∫sec³ x dx)

🧮

Suite Complète de Mathématiques

Identités algébriques, géométrie 2D/3D, matrices, vecteurs, séries, équations différentielles et probabilités.

54+ Équations

🔢

Chapitre 1 : Identités algébriques, polynômes et inégalités

9 formules

Développements binomiaux, somme/différence de cubes, relations de Vieta, théorème binomial et inégalités fondamentales

1

Formule et racines d'équation quadratique

x = -b ± √b² - 4ac2a

Solutions de l'équation quadratique standard ax² + bx + c = 0 ; le discriminant Δ = b² - 4ac détermine la nature réelle/complexe

x: Racines de l'équation quadratique a, b, c: Coefficients polynomiaux (a ≠ 0) Δ = b² - 4ac: Discriminant (Δ > 0 réel distinct, Δ = 0 répété, Δ < 0 conjugué complexe)

2

Identités d'expansion binomiales carrées et cubiques

(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Développements polynomiaux fondamentaux des binômes algébriques

a, b: Termes algébriques ou nombres réels

3

Identité du carré trinôme

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

Développement du carré d'une somme de trois termes

a, b, c: Variables algébriques

4

Factorisation de la différence et de la somme des cubes

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Factorisations algébriques exactes pour la somme et la différence de termes cubiques

a, b: Conditions de base

5

Identité cubique à trois variables d'Euler

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

Cas particulier : si a + b + c = 0, alors a³ + b³ + c³ = 3abc

a, b, c: Variables réelles ou complexes

6

Théorème binomial général

(x + y)ⁿ = ∑[k = 0 to n] (n!k!(n - k)!)·xⁿ⁻ᵏ·yᵏ

Développe toute puissance entière positive d'une somme binomiale à l'aide de coefficients combinatoires

n: Puissance entière non négative k: Indice de terme (0 à n)

7

Les formules de Vieta pour les racines polynomiales

Quadratic: r₁ + r₂ = -ba, r₁·r₂ = ca; Cubic: ∑ r_i = -ba, ∑ r_i r_j = ca, r₁r₂r₃ = -da

Relations directes entre les racines polynomiales et les coefficients

r_i: Racines du polynôme P(x) = 0

8

AM-GM-HM Classique signifie Inégalité

AM ≥ GM ≥ HM ⟹ a₁ + a₂ + ... + a_nn ≥ ⁿ√a₁·a₂·...·a_n ≥ n1a₁+1a₂+ ... +1a_n

L'égalité est vraie si et seulement si tous les éléments a₁ = a₂ = ... = a_n

AM: Moyenne arithmétique GM: Moyenne géométrique HM: Moyenne harmonique

9

Inégalité de Cauchy-Schwarz

(∑[i = 1 to n] a_i·b_i)² ≤ (∑[i = 1 to n] a_i²)·(∑[i = 1 to n] b_i²)

Inégalité universelle dans les espaces de produits internes réels/complexes

a_i, b_i: Séquences de nombres réels ou de composantes vectorielles

📐

Chapitre 2 : Géométrie des coordonnées 2D et sections coniques

8 formules

Distances, formules de section, lignes droites, cercles, paraboles, ellipses et hyperboles

1

Formule de distance et de section euclidienne 2D

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², x = m·x₂ ± n·x₁m ± n

Distance en ligne droite et division du rapport interne/externe du segment de ligne reliant (x₁, y₁) et (x₂, y₂)

d: Distance euclidienne m : n: Ratio de division sectorielle

2

Formule Triangle de Lacet et Zone de Polygone

Area = ½·|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

Calcule la zone planaire à partir des coordonnées de 3 sommets ; la zone nulle implique la colinéarité

(x_i, y_i): Coordonnées du sommet

3

Équations en ligne droite et distance perpendiculaire

y - y₁ = m·(x - x₁), d_perp = |A·x₀ + B·y₀ +C|√A² + B²

Équation point-pente et distance perpendiculaire la plus courte du point (x₀, y₀) à la ligne Ax + By + C = 0

m: Pente de la ligne (tan θ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) d_perp: Distance perpendiculaire à la ligne

4

Angle entre deux lignes sécantes

tan(θ) = |(m₂ - m₁)1 + m₁·m₂|

Angle d'intersection aigu ; les lignes parallèles ont m₁ = m₂ ; les lignes perpendiculaires ont m₁·m₂ = -1

m₁, m₂: Pentes des deux lignes qui se croisent

5

Cercle standard et formulaire général

(x - h)² + (y - k)² = r², x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ⟹ r = √g² + f² - c

Équation de cercle de centre (h, k) et de rayon r

(h, k): Coordonnées du centre du cercle r: Rayon du cercle

6

Forme standard et excentricité de la parabole

y² = 4ax, Focus: (a, 0), Directrix: x = -a, Latus Rectum: 4a, e = 1

Lieu des points équidistants du foyer et de la directrice (excentricité e = 1)

a: Paramètre de distance focale

7

Forme standard d'ellipse, excentricité et surface

x²a²+y²b² = 1, e = √1 -b²a², Foci: (±ae, 0), Area = π·a·b

Ellipse horizontale standard avec demi-grand axe a, demi-petit axe b et excentricité e < 1

a, b: Axes semi-majeurs et semi-mineurs e: Excentricité (0 < e < 1)

8

Forme standard et asymptotes de l'hyperbole

x²a²-y²b² = 1, e = √1 +b²a², Asymptotes: y = ±(ba)·x

Section conique d'excentricité e > 1 et asymptotes linéaires passant par l'origine

e: Excentricité hyperbolique (e > 1)

🧊

Chapitre 3 : Géométrie solide 3D et mensuration

6 formules

Distance 3D, sphères, cylindres, cônes, troncs de tronc, tores et équations planes 3D

1

Formule de distance 3D et équation de sphère

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)², (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

Distance euclidienne dans l'équation d'espace cartésien 3D et de sphère avec centre (x₀, y₀, z₀) et rayon R

d: Distance spatiale 3D R: Rayon de la sphère

2

Formules de mensuration des sphères et des cylindres

Sphere: V = (43)·π·R³, A = 4·π·R²; Cylinder: V = π·r²·h, A_total = 2·π·r·(r + h)

Formules de capacité volumétrique et de surface totale pour les sphères et cylindres solides 3D

R, r: Rayons h: Hauteur du cylindre

3

Volume du cône circulaire droit et du tronc de tronc

Cone: V = (13)·π·r²·h, l = √r² + h²; Frustum: V = (13)·π·h·(R² + r² + R·r)

Hauteur inclinée l, surface latérale A_lat = π·r·l et volume du tronc de cône

R, r: Rayons de base et supérieur du tronc de tronc h: Hauteur verticale l: Hauteur inclinée

4

Volume et surface du tore (beignet)

V_torus = 2·π²·R·r², A_torus = 4·π²·R·r

Solide de révolution généré par la rotation d'un cercle de rayon r autour d'un axe de grand rayon R à partir du centre (R ≥ r)

R: Rayon majeur (distance du centre du tube au centre du tore) r: Petit rayon (rayon du tube)

5

Équation plane 3D et vecteur normal

A·(x - x₀) + B·(y - y₀) + C·(z - z₀) = 0 ⟹ Ax + By + Cz + D = 0

Équation du plan passant par le point (x₀, y₀, z₀) de vecteur normal n = <A, B, C>

A, B, C: Numéros de direction du vecteur normal

6

Distance la plus courte entre les lignes inclinées en 3D

d = |(a₂ - a₁)·(b₁ × b₂)||b₁ × b₂|

Calcule la distance absolue la plus courte entre deux lignes 3D non sécantes et non parallèles r₁ = a₁ + λb₁ et r₂ = a₂ + μb₂

a₁, a₂: Positionner les vecteurs sur les lignes 1 et 2 b₁, b₂: Vecteurs directeurs des lignes 1 et 2

📊

Chapitre 4 : Algèbre linéaire et théorie matricielle

5 formules

Déterminants, inverses matriciels, règle de Cramer, valeurs propres, vecteurs propres et théorème de Cayley-Hamilton

1

Déterminant matriciel (2×2 et 3×3)

det(A_2x2) = ad - bc, det(A_3x3) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Volume de mise à l'échelle des valeurs scalaires sous transformation linéaire ; det(A) = 0 indique une matrice singulière non inversible

det(A): Déterminant de la matrice A

2

Formule matricielle inverse et adjugée

A⁻¹ = (1det(A))·adj(A) = (1det(A))·(C)^T

Matrice inverse où adj(A) est la transposée de la matrice cofacteur C

A⁻¹: Matrice inverse multiplicative telle que A · A⁻¹ = I adj(A): Adjugate / Matrice adjointe classique

3

Règle de Cramer pour les systèmes linéaires

x_i = det(A_i)det(A)

Formule algébrique explicite pour résoudre un système de n équations linéaires Ax = b où A_i a la colonne i remplacée par b

x_i: Composantes du vecteur de solution A_i: Matrice formée en remplaçant la i-ème colonne par le vecteur de constantes b

4

Valeurs propres et équation caractéristique

det(A - λ·I) = 0, (A - λ·I)·v = 0

Les racines polynomiales caractéristiques donnent des valeurs propres scalaires λ ; les vecteurs non nuls correspondants v sont des vecteurs propres

λ: Scalaire de valeur propre I: Matrice d'identité v: Vecteur propre

5

Relations de trace et de valeurs propres déterminantes

tr(A) = ∑[i = 1 to n] λ_i = ∑[i = 1 to n] a_ii, det(A) = ∏[i = 1 to n] λ_i

La trace matricielle est égale à la somme des valeurs propres ; le déterminant est égal au produit de toutes les valeurs propres

tr(A): Trace de matrice (somme des principaux éléments diagonaux) λ_i: Ensemble de toutes les valeurs propres

🧭

Chapitre 5 : Calcul vectoriel et opérateurs de terrain

5 formules

Produits points et croisés, produits triples, dégradé, divergence, boucle et laplacien

1

Produits vectoriels à points (scalaires) et croisés (vecteurs)

u·v = |u||v|·cos(θ) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z, |u × v| = |u||v|·sin(θ)

Produits vectoriels fondamentaux : le produit scalaire donne une projection scalaire ; le produit croisé donne un vecteur orthogonal

u·v: Produit scalaire u × v: Produit vectoriel θ: Angle entre les vecteurs

2

Produits triples (triple scalaire et règle BAC-CAB)

[u v w] = u·(v × w), a × (b × c) = b·(a·c) - c·(a·b)

Le triple produit scalaire calcule le volume du parallélépipède ; La règle BAC-CAB étend les produits doubles croisés

[u v w]: Volume du parallélépipède formé par les vecteurs u, v, w

3

Dégradé d'un champ scalaire (∇f)

∇f = (∂f∂x)·î + (∂f∂y)·ĵ + (∂f∂z)·k̂

Vecteur pointant dans la direction du taux d’augmentation maximum de la fonction scalaire f ; la magnitude est égale à la pente maximale

∇f: Champ vectoriel dégradé f(x, y, z): Champ scalaire différentiable

4

Divergence (∇·F) et boucle (∇×F) des champs vectoriels

∇·F = ∂F_x∂x+∂F_y∂y+∂F_z∂z,  ∇ × F = (∂F_z∂y-∂F_y∂z)·î + (∂F_x∂z-∂F_z∂x)·ĵ + (∂F_y∂x-∂F_x∂y)·k̂

La divergence mesure la densité de flux sortant (∇·F = 0 est solénoïdal) ; Curl mesure le tourbillon de rotation (∇×F = 0 est irrotationnel)

∇·F: Champ scalaire de divergence ∇ × F: Champ vectoriel de boucle

5

Opérateur laplacien (∇²f)

∇²f = ∇·(∇f) = ∂²f∂x² + ∂²f∂y² + ∂²f∂z²

Opérateur différentiel du second ordre régissant les potentiels harmoniques, la diffusion de chaleur et la propagation des ondes

∇²f: Champ scalaire laplacien (∇²f = 0 est l'équation de Laplace)

🔄

Chapitre 6 : Théorèmes intégraux multivariés

4 formules

Théorème de Green, théorème de Stokes, théorème de divergence de Gauss et jacobiens

1

Théorème de Green dans le plan

∮[C] (L dx + M dy) = ∬[D] (∂M∂x - ∂L∂y) dA

Relie l'intégrale de ligne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour d'une courbe fermée simple orientée positivement C à l'intégrale double sur la région fermée D

C: Courbe limite ∂D D: Région planaire 2D fermée

2

Théorème de boucle de Stokes

∮[C] F·dr = ∬[S] (∇ × F)·dS

Relie l'intégrale de la ligne de circulation le long de la courbe limite C à l'intégrale du flux de surface de la boucle ∇×F sur la surface orientable S

F: Champ vectoriel S: Surface lisse orientée délimitée par la courbe C

3

Théorème de divergence de Gauss

∯[S] F·dS = ∭[V] (∇·F) dV

Le flux net vers l'extérieur du champ vectoriel F à travers la surface fermée S est égal à l'intégrale de volume de la divergence ∇·F dans tout le volume intérieur V

S: Surface limite fermée ∂V V: Volume spatial 3D fermé

4

Déterminant jacobien pour la substitution de coordonnées

J = ∂(x, y)∂(u, v) = (∂x∂u)(∂y∂v) - (∂x∂v)(∂y∂u), dx dy = |J| du dv

Facteur d'échelle surface/volume lors du changement multivariable des variables (polaire : J = r ; sphérique : J = ρ² sin φ)

J: Déterminant de la matrice jacobienne

🌐

Chapitre 7 : Nombres complexes et analyse complexe

4 formules

Formule d'Euler, théorème de De Moivre, analyticité de Cauchy-Riemann et théorème des résidus de Cauchy

1

Représentation complexe de polaire, de module et d'Euler

z = x + iy = r·(cos(θ) + i·sin(θ)) = r·e^(iθ), r = √x² + y², θ = tan⁻¹(yx)

Représentation géométrique d'un nombre complexe dans le plan d'Argand

r = |z|: Module / grandeur absolue θ: Angle de phase de l'argument principal i: Unité imaginaire (i² = -1)

2

Théorème de De Moivre et n-ième racines de l'unité

(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ) = e^(inθ), z_k = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)n)

Calcule les puissances entières/fractionnaires et les nièmes racines symétriques dans le plan complexe

n: Index de puissance ou racine k: Indice de branche racine (0, 1, ..., n-1)

3

Équations d'analyticité de Cauchy-Riemann

∂u∂x = ∂v∂y, ∂u∂y = -(∂v∂x)

Conditions nécessaires et suffisantes pour que la fonction complexe f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) soit holomorphe / complexe-différentiable

u(x, y): Partie réelle d'une fonction complexe v(x, y): Partie imaginaire d'une fonction complexe

4

Formule intégrale et théorème des résidus de Cauchy

f(z₀) = (12πi)·∮[C] (f(z)z - z₀) dz, ∮[C] f(z) dz = 2πi·∑ Res(f, z_k)

Évalue les intégrales de contour via les singularités et les résidus inclus Res(f, z₀) = lim[z→z₀] (z - z₀)f(z)

Res(f, z_k): Résidu au pôle isolé z_k

📈

Chapitre 8 : Séquences, séries infinies et analyse de Fourier

4 formules

Séries géométriques et AGP, développements de Taylor et Maclaurin et séries de Fourier

1

Progression géométrique (somme finie et infinie)

S_n = a·(1 - rⁿ)1 - r, S_∞ = a1 - r (|r| < 1)

Somme de la progression géométrique de premier terme a et de raison r

a: Premier mandat r: Raison commune S_∞: Somme infinie (converge si |r| < 1)

2

Extension de la série Taylor & Maclaurin

f(x) = ∑[n = 0 to ∞] (fⁿ(a)n!)·(x - a)ⁿ = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)2!)(x - a)² + ...

Représentation de la fonction lisse comme somme polynomiale infinie de dérivées au point d'expansion a (Maclaurin quand a = 0)

fⁿ(a): n-ième dérivée de f évaluée au point a n!: Factorielle (n! = n · (n - 1) · ... · 1)

3

Série Maclaurin standard (eˣ, sin x, cos x, ln(1+x))

eˣ = 1 + x +x²2!+x³3!+ ..., sin x = x -x³3!+x⁵5!- ..., cos x = 1 -x²2!+x⁴4!- ...

Représentations de séries entières infinies avec un rayon de convergence infini (R = ∞)

x: Variable réelle ou complexe

4

Expansion en série de Fourier de la fonction périodique

f(x) = a₀2+ ∑[n = 1 to ∞] [a_n·cos(nπxL) + b_n·sin(nπxL)]

Décompose la forme d'onde périodique de la période 2L en somme infinie de composantes orthogonales sinusoïdales harmoniques

a_n, b_n: Coefficients spectraux de Fourier : a_n = (1/L) ∫[-L à L] f(x) cos(nπx/L) dx 2L: Période de fonction fondamentale

⚡

Chapitre 9 : Équations différentielles (ODE et PDE)

4 formules

Facteurs d'intégration du premier ordre, EDO à coefficient constant du second ordre, transformées de Laplace et EDP

1

ODE linéaire du 1er ordre (méthode du facteur d'intégration)

dydx + P(x)·y = Q(x) ⟹ y·e^(∫ P dx) = ∫ Q(x)·e^(∫ P dx) dx + C

Méthode de solution générale utilisant le facteur d'intégration I(x) = exp(∫P dx)

I(x): Facteur d'intégration e^(∫ P dx) C: Constante arbitraire d'intégration

2

ODE homogène linéaire du 2ème ordre (racines caractéristiques)

a·y'' + b·y' + c·y = 0 ⟹ a·λ² + b·λ + c = 0, λ = -b ± √b² - 4ac2a

Les racines déterminent la forme de la solution : réel distinct (C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x), répété ((C₁ + C₂x)e^λx), complexe α±iβ (e^αx(C₁cos βx + C₂sin βx))

λ: Racines de l'équation caractéristique C₁, C₂: Constantes de condition aux limites/initiales

3

Transformation de Laplace et propriété dérivée

L{f(t)} = F(s) = ∫∞0 e^(-st)·f(t) dt, L{f'(t)} = s·F(s) - f(0)

Transforme les équations différentielles linéaires en équations algébriques dans le domaine s des fréquences complexes

F(s): Fonction de domaine s de Laplace s: Paramètre de fréquence complexe (σ + iω)

4

Équations aux dérivées partielles classiques (onde, chaleur, Laplace)

Wave: ∂²u∂t² = c²·(∂²u∂x²);   Heat: ∂u∂t = α·(∂²u∂x²);   Laplace: ∂²u∂x² + ∂²u∂y² = 0

Trois équations aux dérivées partielles linéaires fondamentales du second ordre régissant la physique et l'ingénierie

c: Vitesse de propagation des ondes α: Constante de diffusivité thermique

🎲

Chapitre 10 : Probabilités et distributions statistiques

5 formules

Théorème de Bayes, valeur attendue, variance, distributions binomiales, de Poisson et normales gaussiennes

1

Théorème de Bayes et loi de la probabilité totale

P(A | B) = P(B | A)·P(A)P(B) = P(B | A)·P(A)∑ P(B | A_i)·P(A_i)

Calcule la probabilité postérieure P(A|B) étant donné la probabilité antérieure P(A) et la vraisemblance conditionnelle P(B|A)

P(A | B): Probabilité a posteriori qu'un événement A donné, un événement B se soit produit P(A): Probabilité a priori de A P(B | A): Probabilité de B étant donné A

2

Relations entre valeur attendue et écart

E[X] = ∑ x_i·P(x_i), Var(X) = E[X²] - (E[X])² = σ², SD(X) = σ = √Var(X)

Premier et deuxième moments centraux mesurant le centre moyen et la dispersion autour de la moyenne

E[X]: Espérance mathématique / moyenne de la population (μ) Var(X): Variance de population (σ²) σ: Écart type

3

Distribution de probabilité binomiale

P(X = k) = (n!k!(n - k)!)·pᵏ·(1 - p)ⁿ⁻ᵏ, μ = n·p, σ² = n·p·(1 - p)

Probabilité d'exactement k succès dans n essais de Bernoulli indépendants avec une probabilité de succès p

n: Essais totalement indépendants k: Nombre de succès p: Probabilité de réussite par essai

4

Distribution de probabilité de Poisson

P(X = k) = λᵏ·e^(-λ)k!, μ = λ, σ² = λ

Modélise des occurrences d'événements discrets rares dans un intervalle de temps/espace fixe avec un taux moyen constant λ

λ: Paramètre de taux d'occurrence moyen (λ > 0) k: Nombre d'événements (0, 1, 2...)

5

Distribution normale gaussienne et score Z

f(x) = (1σ·√2π)·e^(-(x - μ)²2σ²), Z = X - μσ

Fonction de densité de probabilité continue symétrique en forme de cloche régissant le théorème central limite

μ: Centre moyen de distribution σ: Paramètre d'écart type Z: Score Z standardisé (distance sans dimension de la moyenne en unités de σ)

⚛️

Suite Complète de Physique

Cinématique, lois de Newton, dynamique de rotation, gravitation, thermodynamique, équations de Maxwell, optique et physique quantique.

158+ Équations

🏃

Chapitre 1 : Cinématique et mouvement 1D/2D

13 formules

Équations de mouvement, déplacement, vitesse moyenne et instantanée, accélération et trajectoire du projectile

1

Vitesse moyenne

v_avg = ΔxΔt = x_f - x_it_f - t_i

Rapport du déplacement total à l'intervalle de temps total pris

v_avg: Vitesse moyenne Δx: Déplacement Δt: Temps écoulé

2

Vitesse instantanée

v = dxdt = lim[Δt→0] (ΔxΔt)

Dérivée première temporelle du vecteur de coordonnées de position par rapport au temps

v: Vitesse instantanée x(t): Position en fonction du temps

3

Accélération instantanée

a = dvdt = d²xdt² = v·(dvdx)

Taux de changement de vitesse par rapport au temps ou à la position

a: Accélération v: Vitesse

4

SUVAT 1ère équation de mouvement (vitesse-temps)

v = u + a·t

Relie la vitesse finale à la vitesse initiale sous accélération uniforme a

v: Vitesse finale u: Vitesse initiale a: Accélération constante t: Temps écoulé

5

SUVAT 2ème équation de mouvement (déplacement-temps)

s = u·t + ½·a·t²

Calcule le déplacement linéaire total sous accélération constante

s: Déplacement u: Vitesse initiale a: Accélération constante t: Temps écoulé

6

SUVAT 3ème équation de mouvement (vitesse-déplacement)

v² = u² + 2·a·s

Relation cinématique indépendante du temps pour une accélération constante

v: Vitesse finale u: Vitesse initiale a: Accélération constante s: Déplacement

7

Déplacement dans la n-ième seconde

s_n = u + (a2)·(2n - 1)

Calcule le déplacement spécifiquement pendant la nième seconde de mouvement

s_n: Déplacement en n-ème seconde n: Deuxième nombre (n = 1, 2, 3...)

8

Déplacement utilisant la vitesse moyenne

s = ½·(u + v)·t

Valable pour un mouvement sous accélération linéaire constante et uniforme

s: Déplacement u, v: Vitesses initiales et finales

9

Hauteur maximale du projectile

H_max = u²·sin²θ2g

Altitude verticale maximale atteinte par un projectile lancé selon l'angle θ

u: Vitesse initiale de lancement θ: Angle de lancement avec horizontal g: Accélération gravitationnelle (9,81 m/s²)

10

Temps de vol total du projectile

T = 2u·sinθg

Temps de vol total entre le lancement et l'atterrissage sur sol plat

T: Temps de vol total u: Vitesse de lancement initiale

11

Portée horizontale du projectile

R = u²·sin(2θ)g

Distance horizontale maximale parcourue (maximum à l'angle de lancement θ = 45°)

R: Plage horizontale u: Vitesse de lancement θ: Angle de projection

12

Équation de trajectoire parabolique du projectile

y = x·tanθ -g·x²2u²·cos²θ = x·tanθ·(1 -xR)

Coordonnées du chemin cartésien (x, y) démontrant un mouvement parabolique pur

(x, y): Coordonnées de position instantanées R: Plage horizontale

13

Vecteur de vitesse relative

v_(AB) = v_A - v_B, v_(AB) = √v_A² + v_B² - 2v_A·v_B·cosθ

Vitesse du corps A observée à partir du référentiel du corps en mouvement B

v_(AB): Vitesse relative de A par rapport à B θ: Angle entre les vecteurs de vitesse

⚖️

Chapitre 2 : Lois du mouvement, de la friction et de la dynamique circulaire

12 formules

Les trois lois de Newton : moment linéaire, impulsion, frottement statique/cinétique, force centripète et angles d'inclinaison

1

Moment linéaire

p = m·v

Produit de la masse et de la vitesse ; conservé dans des systèmes isolés sans force externe

p: Moment linéaire m: Masse v: Vitesse

2

Deuxième loi du mouvement de Newton

F_net = dpdt = m·a (for constant mass)

La force externe nette est égale au taux instantané de changement du moment linéaire

F_net: Force résultante nette m: Masse inertielle a: Accélération

3

Théorème d'impulsion-impulsion

J = ∫ F dt = F_avg·Δt = Δp = m·v_f - m·v_i

L'impulsion d'une force sur la durée Δt est égale au changement total de l'impulsion produite

J: Impulsion F_avg: Force d'impact moyenne Δp: Changement de quantité de mouvement linéaire

4

Friction de limitation statique maximale

f_s(max) = μ_s·N

Force résistive auto-ajustable s'opposant à la tendance du mouvement relatif jusqu'au seuil

f_s: Force de frottement statique μ_s: Coefficient de frottement statique (sans dimension) N: Force de contact de réaction normale

5

Friction cinétique/glissante

f_k = μ_k·N

Force résistive constante s'opposant au mouvement de glissement relatif actif (généralement μ_k < μ_s)

f_k: Force de friction cinétique μ_k: Coefficient de frottement cinétique N: Force normale

6

Angle de friction et angle de repos

tan(θ_repose) = μ_s, tan(λ) = f_s(max)N = μ_s

Angle d'inclinaison minimum auquel un corps commence à glisser sous l'effet de la gravité

θ_repose: Angle de repos μ_s: Coefficient de frottement statique

7

Accélération centripète

a_c = v²r = ω²·r = v·ω = 4π²·rT²

Accélération dirigée radialement vers l'intérieur pour une trajectoire circulaire de rayon r

a_c: Accélération centripète v: Vitesse linéaire tangentielle ω: Vitesse angulaire r: Rayon de courbure

8

Force centripète

F_c = m·v²r = m·ω²·r

Force intérieure nette requise pour maintenir un mouvement de trajectoire circulaire

F_c: Force centripète m: Masse de l'objet r: Rayon d'orbite/tour

9

Vitesse de sécurité optimale sur route courbe avec inclinaison

v_opt = √r·g·tanθ

Vitesse à laquelle un véhicule négocie un virage sans usure par frottement latéral

v_opt: Vitesse bancaire idéale θ: Angle d'élévation incliné r: Rayon de courbe circulaire

10

Vitesse maximale de sécurité sur route inclinée avec friction

v_max = √[r·g·(μ_s + tanθ)1 - μ_s·tanθ ]

Limite de vitesse supérieure avant un dérapage vers l'extérieur sur une surface inclinée avec friction

v_max: Vitesse de rotation maximale μ_s: Coefficient de friction statique sur route

11

Période du pendule conique

T = 2π·√L·cosθg, Tension: T_string = m·gcosθ

Période de bob décrivant un cercle horizontal d'angle de cône θ et de longueur de corde L

T: Période de révolution L: Longueur de chaîne θ: Angle semi-vertical avec vertical

12

Vitesses critiques de mouvement circulaire vertical

v_bottom ≥ √5gr, v_top ≥ √gr, T_bottom - T_top = 6mg

Vitesses seuils minimales pour réaliser une boucle verticale sans relâchement des cordes

r: Rayon de la boucle verticale T_bottom, T_top: Tensions des cordes aux points les plus bas et les plus élevés

⚡

Chapitre 3 : Travail, énergie, puissance et collisions

11 formules

Théorème de l'énergie de travail, énergie cinétique/potentielle, élasticité du ressort, forces conservatrices, puissance et collisions élastiques/inélastiques

1

Travail effectué par force constante

W = F·d·cosθ = F·d

Produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement

W: Travaux mécaniques effectués F: Ampleur de la force appliquée d: Déplacement θ: Angle entre force et déplacement

2

Travail effectué par force variable (intégrale)

W = ∫x_fx_i F(x) dx

Zone sous le graphique Force-Déplacement entre les positions initiale et finale

F(x): Fonction de force dépendant de la position dx: Élément de déplacement infinitésimal

3

Théorème travail-énergie

W_net = ΔK = K_f - K_i = ½m·v_f² - ½m·v_i²

Le travail net effectué par toutes les forces (conservatrices, non conservatrices, externes) est égal à un changement d'énergie cinétique

W_net: Travaux de réseau terminés ΔK: Changement d'énergie cinétique

4

Énergie cinétique (relation avec l'élan)

K = ½·m·v² = p²2m, p = √2m·K

Énergie possédée par un corps en raison de son état de mouvement

K: Énergie cinétique p: Moment linéaire m: Masse

5

Énergie potentielle gravitationnelle (près de la Terre)

U_g = m·g·h

Énergie potentielle stockée dans une masse m élevée à une hauteur verticale h dans un champ uniforme g

U_g: Énergie potentielle gravitationnelle m: Masse h: Hauteur au dessus de la référence

6

Énergie potentielle élastique du ressort (loi de Hooke)

U_s = ½·k·x², F_spring = -k·x

Énergie stockée lorsqu'un ressort de rigidité constante k est étiré/comprimé de x

U_s: Énergie potentielle du printemps k: Rigidité du ressort constante x: Déplacement par rapport à l'allongement à l'équilibre

7

Force conservatrice comme gradient potentiel négatif

F = -dUdx, F_vec = -∇U = -(∂U∂x i + ∂U∂y j + ∂U∂z k)

Les forces conservatrices pointent toujours dans la direction de la diminution d’énergie potentielle la plus forte

U: Champ scalaire d'énergie potentielle ∇U: Gradient d'énergie potentielle

8

Puissance mécanique (moyenne et instantanée)

P = dWdt = F·v·cosθ = F·v

Taux de temps auquel le travail mécanique est effectué ou l'énergie transférée

P: Pouvoir F: Forcer v: Vitesse

9

Coefficient de restitution (collisions)

e = v₂ - v₁u₁ - u₂ = Relative velocity of separationRelative velocity of approach

Mesure l'élasticité : e=1 (énergie cinétique conservée), e=0 (les objets collent ensemble)

u₁, u₂: Vitesses avant collision v₁, v₂: Vitesses après collision e: Coefficient de restitution (0 ≤ e ≤ 1)

10

Vitesses finales dans une collision élastique 1D

v₁ = [m₁ - m₂m₁ + m₂]·u₁ + [2m₂m₁ + m₂]·u₂,  v₂ = [2m₁m₁ + m₂]·u₁ + [m₂ - m₁m₁ + m₂]·u₂

Vitesses exactes après collision pour deux masses entrant en collision élastiquement en 1 dimension

m₁, m₂: Masses de corps en collision u₁, u₂: Vitesses initiales v₁, v₂: Vitesses finales après la collision

11

Perte d'énergie cinétique lors d'une collision inélastique

ΔK_loss = ½·[m₁·m₂m₁ + m₂ ]·(u₁ - u₂)²·(1 - e²)

Énergie cinétique convertie en déformation thermique interne et énergie acoustique

ΔK_loss: Énergie cinétique perdue e: Coefficient de restitution

🔄

Chapitre 4 : Mouvement de rotation et moment d'inertie

11 formules

Couple, moment cinétique, cinématique de rotation, théorèmes des axes parallèles/perpendiculaires et dynamique de roulement

1

Coordonnées du centre de masse

r_cm = ∑ m_i·r_i∑ m_i = (1M) ∫ r dm

Position moyenne de distribution de masse pour les corps solides discrets ou continus

r_cm: Vecteur de position du centre de masse M: Masse totale du système (∑ m_i)

2

Équations cinématiques de rotation

ω = ω₀ + α·t, θ = ω₀·t + ½α·t², ω² = ω₀² + 2α·θ

Equivalents rotationnels de SUVAT pour une accélération angulaire constante α

θ: Déplacement angulaire ω₀, ω: Vitesse angulaire initiale et finale α: Accélération angulaire t: Temps

3

Couple (moment de force)

τ = r × F = r·F·sinθ = I·α = dLdt

Equivalent rotationnel de la force linéaire provoquant une accélération angulaire α

τ: Couple r: Distance du levier du bras de moment I: Moment d'inertie α: Accélération angulaire

4

Moment angulaire et conservation

L = r × p = I·ω, τ_net = 0 ⟹ L = const

Conservé lorsque le couple externe net agissant sur le système est nul (par exemple, patineur artistique)

L: Moment angulaire I: Moment d'inertie ω: Vitesse angulaire

5

Théorème des axes parallèles (Steiner)

I = I_cm + M·d²

Moment d'inertie autour de tout axe parallèle à l'axe centroïde séparé par la distance d

I: Moment d'inertie autour de l'axe parallèle cible I_cm: Moment d'inertie passant par le centre de masse M: Masse totale du corps d: Distance perpendiculaire entre les axes

6

Théorème de l'axe perpendiculaire (lames planaires)

I_z = I_x + I_y

S'applique exclusivement aux corps planaires 2D situés dans le plan xy

I_z: Moment d'inertie par rapport à l'axe z normal I_x, I_y: Moments d'inertie autour des axes x et y dans le plan

7

Rayon de giration

k = √IM, I = M·k²

Distance radiale effective à laquelle toute la masse pourrait être concentrée sans altérer I

k: Rayon de giration I: Moment d'inertie M: Masse

8

Énergie cinétique de rotation

K_rot = ½·I·ω²

Énergie cinétique associée exclusivement au spin de rotation autour d'un axe fixe ou mobile

K_rot: Énergie cinétique de rotation I: Moment d'inertie ω: Vitesse angulaire

9

Énergie cinétique totale dans un mouvement de roulement pur

K_total = K_trans + K_rot = ½M·v_cm² + ½I_cm·ω² = ½M·v_cm²·(1 +k²R²)

Énergie cinétique de translation et de rotation combinée pour un roulement pur sans glissement (v_cm = ωR)

K_total: Énergie totale de roulement v_cm: Vitesse du centre de masse k: Rayon de giration R: Rayon extérieur

10

Accélération du déroulement du corps vers le bas de l'inclinaison

a = g·sinθ1 + I_cmM·R² = g·sinθ1 +k²R²

Accélération linéaire sur un plan incliné de pente θ (Sphère solide > Disque > Anneau)

a: Accélération de roulement linéaire θ: Angle d'inclinaison

11

Référence des moments d'inertie standard

Thin Rod: 112 ML², Ring: MR², Solid Disc: ½MR²,Solid Sphere: 25 MR²,Hollow Sphere: 23 MR²

Moments d'inertie centraux pour les corps géométriques uniformes standards

M: Masse R, L: Rayon / Longueur

🪐

Chapitre 5 : Gravitation universelle et mécanique orbitale

10 formules

Loi universelle de la gravitation de Newton, potentiel gravitationnel, vitesse de fuite, vitesse orbitale, lois de Kepler et orbites des satellites

1

Loi de Newton sur la gravitation universelle

F = G·(M·m)r²

Attraction carrée inverse entre deux masses ponctuelles séparées par la distance r

G: Constante gravitationnelle universelle (6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²) M, m: Masses ponctuelles en interaction r: Séparation entre centres

2

Accélération gravitationnelle de surface

g = G·MR² = (43)·π·G·ρ·R

Accélération de chute libre à la surface d'une sphère planétaire de masse M et de rayon R

g: Gravité de surface (Terre ~9,81 m/s²) M: Masse de la planète R: Rayon de la planète ρ: Densité moyenne

3

Variation de la gravité avec l'altitude h

g_h = g·(RR + h)² ≈ g·(1 -2hR) [for h ≪ R]

Diminution de l'accélération gravitationnelle avec la hauteur h au-dessus de la surface planétaire

g_h: Gravité à l'altitude h h: Hauteur au dessus du sol R: Rayon terrestre (~ 6 371 km)

4

Variation de la gravité avec la profondeur d

g_d = g·(1 -dR)

Diminution linéaire de l'accélération gravitationnelle à l'intérieur de la Terre (devient nulle au centre d = R)

g_d: Gravité en profondeur d d: Profondeur sous terre

5

Énergie potentielle gravitationnelle (universelle)

U(r) = -G·M·mr

Énergie d'état lié négative avec référence zéro à séparation infinie r → ∞

U(r): Énergie potentielle gravitationnelle r: Distance du centre

6

Potentiel gravitationnel V(r)

V(r) = -G·Mr, E_g = -dVdr

Travail effectué pour amener la masse de test unitaire de l'infini à la distance r

V(r): Potentiel gravitationnel

7

Vitesse de fuite

v_esc = √2G·MR = √2g·R

Vitesse initiale minimale requise pour qu'un projectile non propulsé échappe à la gravité planétaire (~11,2 km/s pour la Terre)

v_esc: Vitesse de fuite M: Masse de la planète R: Rayon de la planète

8

Vitesse orbitale du satellite

v_orb = √G·MR + h = v_esc√2 (near surface)

Vitesse circulaire requise pour une orbite stable autour de la planète (~7,92 km/s près de la surface de la Terre)

v_orb: Vitesse orbitale h: Altitude orbitale au-dessus de la surface

9

Période de temps orbitale du satellite

T = 2π·(R + h)^(32)√GM = 2π·√r³GM

Temps nécessaire à un satellite pour effectuer une révolution complète (24 heures pour une orbite géostationnaire à h ~ 35 786 km)

T: Période orbitale r: Rayon orbital (R + h)

10

Troisième loi de Kepler (loi harmonique)

T²a³ = 4π²G·M = const

Le carré de période orbitale est strictement proportionnel au cube de demi-grand axe a

T: Période orbitale a: Demi-grand axe orbital

🧱

Chapitre 6 : Propriétés mécaniques des solides et élasticité

5 formules

Loi de Hooke, contrainte, déformation, module d'Young, module de volume, module de cisaillement, coefficient de Poisson et densité d'énergie élastique

1

Loi de Hooke et module de Young

Stress = Y·Strain ⟹ FA = Y·(ΔLL)

Relation linéaire entre la contrainte de traction/compression et la déformation longitudinale dans la limite élastique

Y: Module d'élasticité de Young σ = FA: Stresser ε = ΔLL: Déformation longitudinale (sans dimension) ΔL: Allongement / Compression

2

Module de masse et compressibilité

B = - V·(ΔPΔV), K = 1B

Résistance de la substance à une compression volumétrique uniforme sous pression hydrostatique ΔP

B: Module de masse K: Compressibilité ΔP: Augmentation de la pression hydrostatique appliquée ΔVV: Déformation fractionnaire volumétrique

3

Module de cisaillement (module de rigidité)

G = η = FAθ = F·LA·Δx

Résistance à la distorsion tangentielle angulaire θ sans altération du volume

G or η: Module de cisaillement / Rigidité θ: Distorsion de l'angle de cisaillement Δx: Déplacement latéral supérieur

4

Coefficient de Poisson

ν = -Lateral StrainLongitudinal Strain = -ΔddΔLL

Rapport entre la contraction transversale et l'expansion longitudinale (limites théoriques : -1 < ν < 0,5 ; pratique : 0 à 0,5)

ν: Coefficient de Poisson (sans dimension) d: Diamètre/épaisseur transversal L: Longueur

5

Densité d'énergie de déformation élastique

u = ½·Stress·Strain = ½·Y·(Strain)² = (Stress)²2Y

Énergie potentielle élastique stockée par unité de volume dans un matériau élastique déformé

u: Densité d'énergie de déformation U_total: Énergie de déformation totale = u × Volume

💧

Chapitre 7 : Mécanique des fluides, hydrostatique et viscosité

10 formules

Pression hydrostatique, flottabilité d'Archimède, équation de continuité, théorème de Bernoulli, efflux de Torricelli, loi de Stokes, vitesse terminale et tension superficielle

1

Pression hydrostatique avec profondeur

P = P₀ + ρ·g·h

Pression absolue totale à la profondeur h dans un fluide statique de densité ρ

P: Pression absolue en profondeur P₀: Pression atmosphérique (101 325 Pa) ρ: Densité du fluide h: Colonne de profondeur sous la surface du fluide

2

Principe de Pascal (ascenseur hydraulique)

P₁ = P₂ ⟹ F₁A₁ = F₂A₂

La pression appliquée au fluide incompressible enfermé est transmise sans diminution de manière égale

F₁, F₂: Forces sur les pistons d'entrée et de sortie A₁, A₂: Sections transversales de la surface du piston

3

Principe de flottabilité d'Archimède

F_B = ρ_fluid·V_submerged·g = Weight of displaced fluid

Force de poussée ascendante égale au poids du fluide déplacé par un objet immergé

F_B: Force de poussée verticale ρ_fluid: Densité du milieu fluide V_sub: Volume de l'objet immergé

4

Équation de continuité (conservation de la masse)

A₁·v₁ = A₂·v₂ = dVdt = Q (Flow Rate)

Pour un débit de fluide incompressible constant, le débit volumétrique Q reste constant

A₁, A₂: Zones de tuyaux en coupe transversale v₁, v₂: Vitesses d'écoulement des fluides Q: Débit volumique de décharge

5

Théorème de Bernoulli (conservation de l'énergie)

P + ½·ρ·v² + ρ·g·h = constant

La somme de la pression statique, de la pression cinétique dynamique et du potentiel hydrostatique est constante le long d'un courant

P: Pression du fluide statique ½ρv²: Tête de pression dynamique ρgh: Pression potentielle gravitationnelle

6

Loi de Torricelli sur la vitesse d'efflux

v_efflux = √2·g·h

Vitesse du liquide sortant d'un réservoir à petit orifice s'ouvrant à une profondeur h sous la surface ouverte

v_efflux: Vitesse d'efflux h: Profondeur du trou d'orifice sous le dessus du liquide

7

Loi de Stokes sur la traînée visqueuse

F_v = 6π·η·r·v

Retarder la force de traînée visqueuse subie par une petite sphère se déplaçant dans un fluide laminaire

F_v: Force résistive visqueuse η: Coefficient de viscosité dynamique r: Rayon de la sphère v: Vitesse dans le fluide

8

Vitesse terminale de la chute de la sphère

v_t = 2·r²·(ρ - σ)·g9η

Vitesse constante constante atteinte lorsque la gravité est égale à la force de flottabilité + la traînée visqueuse

v_t: Vitesse terminale ρ: Densité de sphère σ: Densité du fluide environnant η: Viscosité du fluide dynamique

9

Pression excessive dans les gouttelettes et les bulles

ΔP_drop = 2TR, ΔP_bubble = 4TR

Surpression interne de Young-Laplace : la bulle de savon possède 2 interfaces liquide-air libres

T: Coefficient de tension superficielle R: Rayon de courbure des gouttelettes/bulles ΔP: Excès de pression interne par rapport à la température ambiante

10

Ascension capillaire/Dépression (Loi de Jurin)

h = 2T·cosθρ·g·r

Le liquide monte en hauteur dans un tube capillaire étroit de rayon r avec un angle de contact θ

h: Hauteur d'élévation de la colonne capillaire θ: Angle de contact ménisque liquide-solide r: Rayon du tube capillaire interne

🌡️

Chapitre 8 : Physique thermique et théorie cinétique des gaz

7 formules

Expansion thermique, calorimétrie, loi des gaz parfaits, pression théorique cinétique, vitesses moléculaires (RMS/avg/mp) et capacités thermiques molaires

1

Expansion thermique (linéaire, superficielle, volumétrique)

ΔL = α·L₀·ΔT, ΔA = 2α·A₀·ΔT, ΔV = 3α·V₀·ΔT = γ·V₀·ΔT

Expansion dimensionnelle fractionnaire proportionnelle à l'augmentation de la température ΔT (β = 2α, γ = 3α)

α: Coefficient de dilatation thermique linéaire ΔT: Changement de température (T_f - T_i)

2

Chaleur sensible et chaleur latente de changement de phase

Q = m·c·ΔT, Q_phase = m·L

Chaleur nécessaire pour augmenter la température ou effectuer une transition isotherme de phase solide/liquide/gazeuse

Q: Énergie thermique absorbée ou libérée c: Capacité thermique spécifique (eau : 4 186 J/kg·K) L: Chaleur latente spécifique (fusion / vaporisation)

3

Équation d’état des gaz parfaits

P·V = n·R·T = N·k_B·T

Équation constitutive reliant la pression, le volume, la température et la quantité de gaz parfait

P: Pression absolue V: Volume n: Nombre de taupes R: Constante universelle des gaz (8,31446 J/(mol·K)) k_B: Constante de Boltzmann (1,38065 × 10⁻²³ J/K) T: Température absolue

4

Théorie cinétique de la pression des gaz

P = ⅓·ρ·v_rms² = ⅓·(N·mV)·v_rms²

Dérivation statistique microscopique de la pression macroscopique des gaz à partir de collisions de moments moléculaires

ρ: Densité du gaz (M_total / V) v_rms: Vitesse moléculaire moyenne quadratique

5

RMS, vitesses de gaz moyennes et les plus probables

v_rms = √3RTM, v_avg = √8RTπM, v_mp = √2RTM

Vitesses caractéristiques de distribution de la vitesse moléculaire Maxwell-Boltzmann (v_rms > v_avg > v_mp)

M: Masse molaire du gaz T: Température absolue

6

Énergie interne et degrés de liberté

U = (f2)·n·R·T, E_k(per molecule) = (f2)·k_B·T

Théorème d'équipartition : chaque degré de liberté quadratique f contribue à ½ k_B T par molécule

f: Degrés de liberté (mono=3, dia=5, poly=6) U: Énergie thermique interne totale

7

Relation de Mayer et rapport de capacité thermique γ

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v = 1 + (2f)

Relation entre les capacités thermiques molaires à pression constante (C_p) et à volume constant (C_v)

C_p, C_v: Capacités calorifiques molaires γ: Indice adiabatique / Coefficient de Poisson (mono=1,67, dia=1,40)

🔥

Chapitre 9 : Thermodynamique et transfert de chaleur

10 formules

Première loi de la thermodynamique, processus de travail thermodynamiques (isotherme, adiabatique, isobare, isochore), rendement du moteur de Carnot, loi de Stefan-Boltzmann et déplacement de Wien

1

Première loi de la thermodynamique

ΔU = Q - W ⟹ Q = ΔU + W, W = ∫ P dV

Conservation de l'énergie pour les systèmes thermodynamiques (Q dans le système, W travail effectué par le système)

ΔU: Changement d'énergie interne (n C_v ΔT) Q: Chaleur ajoutée au système W: Travail effectué par le système en expansion

2

Travail effectué dans un processus isotherme (T = const, ΔU = 0)

W_iso = n·R·T·ln(V_fV_i) = n·R·T·ln(P_iP_f)

Expansion/compression quasi-statique réversible à température strictement constante

W_iso: Travaux isothermes effectués V_i, V_f: Volumes initiaux et finaux

3

Processus adiabatique et travail effectué (Q = 0, PV^γ = const)

P·V^γ = const, W_adi = P_i·V_i - P_f·V_fγ - 1 = n·R·(T_i - T_f)γ - 1

Processus réversible avec échange thermique nul avec l'environnement (T V^(γ-1) = const)

W_adi: Travail adiabatique γ: Rapport de capacité thermique (C_p / C_v)

4

Travail isobare (P = const) et isochore (V = const)

W_isobaric = P·ΔV = n·R·ΔT, W_isochoric = 0 (since dV = 0)

Sous pression constante, le travail est une zone rectangulaire PΔV ; à volume constant, aucun travail n'est effectué

P: Pression constante ΔV: Changement de volume

5

Moteur Thermique Carnot Efficacité Maximale

η = W_outQ_in = 1 - (Q_CQ_H) = 1 - (T_CT_H)

Limite thermodynamique supérieure théorique du rendement de fonctionnement entre les températures T_H et T_C

η: Efficacité thermique (0 ≤ η < 1) T_H: Température du réservoir chaud T_C: Température du réservoir du dissipateur froid

6

Coefficient de Performance (Réfrigérateur / Pompe à Chaleur)

COP_ref = Q_CW = T_CT_H - T_C, COP_hp = Q_HW = T_HT_H - T_C

Énergie de sortie de refroidissement ou de chauffage fournie par unité de travail du compresseur mécanique

COP: Coefficient de performance W: Contribution au travail requise

7

Conduction thermique (loi de Fourier)

dQdt = k·A·(T_H - T_C)L

Taux de conduction thermique en régime permanent à travers une dalle de conductivité thermique k et d'épaisseur L

dQdt: Taux de transfert de chaleur k: Conductivité thermique A: Zone de conduction transversale L: Épaisseur de la dalle

8

Loi de Stefan-Boltzmann du rayonnement thermique

P = e·σ·A·(T⁴ - T₀⁴)

Puissance radiative nette rayonnée par un corps gris d'émissivité e dans l'environnement ambiant à T₀

P: Puissance rayonnante émise σ: Constante de Stefan-Boltzmann (5,67037 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)) e: Émissivité de la surface (0 < e ≤ 1, corps noir = 1) T: Température de surface absolue

9

Loi de déplacement de Wien (longueur d'onde maximale)

λ_max·T = b = 2.89777 × 10⁻³ m·K

La longueur d'onde d'émission maximale du spectre du corps noir est inversement proportionnelle à la température absolue

λ_max: Longueur d'onde de la radiance spectrale maximale T: Température absolue b: Constante de déplacement de Wien

10

La loi du refroidissement de Newton

dTdt = -k·(T - T_env) ⟹ T(t) = T_env + (T₀ - T_env)·e^(-kt)

Le taux de perte de chaleur par convection/rayonnement est proportionnel à l'excès de température par rapport à la température ambiante.

T(t): Température au temps t T_env: Température ambiante ambiante k: Vitesse de refroidissement constante

⏳

Chapitre 10 : Mouvements et oscillations harmoniques simples

8 formules

Cinématique du SHM, pendule simple, systèmes ressort-masse, ressorts série/parallèle, pendule physique, énergie totale et oscillations amorties

1

Déplacement, vitesse et accélération dans SHM

x = A·sin(ωt + φ), v = dxdt = ω·√A² - x², a = d²xdt² = -ω²·x

Cinématique fondamentale du SHM linéaire avec définition de la condition de restauration a ∝ -x

A: Amplitude ω = 2πf: Fréquence angulaire φ: Angle d'époque de phase initiale x: Déplacement instantané

2

Période de temps du pendule simple (petits angles)

T = 2π·√Lg, f = (12π)·√gL

Période du pendule de longueur L dans un champ gravitationnel uniforme g (indépendant de la masse du bob m)

T: Période d'oscillation L: Longueur effective du pendule g: Accélération due à la gravité

3

Période de temps de l'oscillateur à ressort-masse

T = 2π·√mk, ω = √km

Période d'oscillation de la masse du bloc m sur un ressort sans frottement horizontal ou vertical de raideur k

T: Période d'oscillation m: Masse oscillante k: Constante de ressort

4

Combinaisons de ressorts (série et parallèle)

1k_series = 1k₁+1k₂, k_parallel = k₁ + k₂

Rigidité de ressort équivalente pour plusieurs ressorts couplés en série ou en parallèle

k_s, k_p: Constantes de ressort équivalentes

5

Période du pendule physique (composé)

T = 2π·√Im·g·d = 2π·√k_g² + d²g·d

Oscillation d'un corps rigide arbitraire pivoté à une distance d de son centre de masse

I: Moment d'inertie autour de l'axe de pivotement de la suspension d: Distance du pivot de suspension au centre de masse

6

Période du pendule de torsion

T = 2π·√Iκ, τ = -κ·θ

Oscillation rotationnelle d'un disque supporté par un fil avec une rigidité en torsion constante κ

I: Moment d'inertie autour de l'axe du fil de torsion κ: Constante du ressort de torsion (couple de restauration par radian)

7

Énergie mécanique totale en SHM

E = K + U = ½m·v² + ½k·x² = ½k·A² = ½m·ω²·A²

L'énergie mécanique totale reste strictement constante, alternant entre formes cinétiques et potentielles

E: Énergie mécanique constante totale A: Amplitude des oscillations

8

Oscillateur Harmonique Amorti

x(t) = A₀·e^(-γt)·cos(ω't + φ), ω' = √ω₀² - γ², γ = b2m

L'amplitude décroît de façon exponentielle avec le facteur d'atténuation d'amortissement γ sous résistance visqueuse F = -bv

b: Coefficient d'amortissement visqueux γ: Coefficient d'amortissement (b/2m) ω': Fréquence angulaire amortie

🔊

Chapitre 11 : Mouvement des vagues, son et acoustique

9 formules

Équation des vagues, vitesse des vagues sur les cordes, vitesse du son dans les fluides/gaz, échelle d'intensité en décibels, ondes stationnaires dans les tuyaux/cordes, battements et effet Doppler

1

Équation d'onde harmonique progressive

y(x, t) = A·sin(k·x ∓ ω·t + φ), k = 2πλ, ω = 2π·f

Déplacement transversal ou longitudinal du milieu à la coordonnée x et au temps t (- pour la direction +x)

y(x,t): Déplacement des vagues A: Amplitude des vagues k: Numéro d'onde angulaire λ: Longueur d'onde f: Fréquence

2

Relation avec la vitesse des vagues

v = f·λ = ωk = λT

Relation de vitesse fondamentale reliant la longueur d'onde spatiale et la fréquence temporelle

v: Vitesse de propagation des ondes f: Fréquence λ: Longueur d'onde

3

Vitesse de l'onde transversale sur une corde tendue

v = √T_tensionμ, μ = mL (Linear mass density)

Vitesse de propagation sur une corde tendue régie par la tension T et la masse par unité de longueur μ

v: Vitesse des ondes transversales T_tension: Tension mécanique des cordes μ: Densité de masse linéaire

4

Vitesse du son dans les gaz parfaits (formule de Laplace)

v_sound = √γ·Pρ = √γ·R·TM

Vitesse des ondes acoustiques adiabatiques dans le gaz à température T (~343 m/s dans l'air à 20°C)

v_sound: Vitesse acoustique du son γ: Indice adiabatique (1,40 pour l'air diatomique) M: Masse molaire du gaz (0,029 kg/mol pour l'air)

5

Niveau d'intensité sonore (échelle de décibels)

β = 10·log₁₀(II₀), I₀ = 10⁻¹² Wm²

Échelle de décibels logarithmique par rapport au seuil d'audition humaine I₀

β: Niveau d'intensité sonore I: Intensité sonore acoustique I₀: Seuil d'audition (10⁻¹² W/m²)

6

Ondes stationnaires (corde fixe et tuyau ouvert)

f_n = n·(v2L) = n·f₁ (n = 1, 2, 3, 4...)

Fréquences harmoniques pour une corde fixée aux deux extrémités ou un tuyau d'orgue ouvert aux deux extrémités (toutes les harmoniques présentes)

f_n: Fréquence de la nième harmonique L: Longueur de ficelle/tuyau n: Ordre entier harmonique

7

Ondes stationnaires dans un tuyau fermé à une extrémité

f_n = (2n - 1)·(v4L) (n = 1, 2, 3... ⟹ 1f₁, 3f₁, 5f₁...)

Fréquences de résonance dans un tuyau fermé à une extrémité (supporte uniquement les harmoniques impaires : 1ère, 3ème, 5ème...)

f_n: Fréquence acoustique résonante L: Longueur du tuyau

8

Fréquence de battement

f_beat = |f₁ - f₂|

Modulation périodique d'intensité constructive/destructrice lorsque deux ondes de fréquences proches se superposent

f_beat: Fréquence de modulation des battements f₁, f₂: Fréquences de deux sources superposées

9

Effet Doppler pour les ondes sonores

f' = f·[v ± v_observerv ∓ v_source ]

Fréquence apparente décalée en raison du mouvement relatif de l'observateur (v_o) et de la source (v_s) à travers le milieu

f': Fréquence apparente observée f: Source vraie fréquence émise v: Vitesse du son en milieu v_o, v_s: Vitesses de l'observateur et de la source (+ vers, - loin)

⚡

Chapitre 12 : Électrostatique et capacité

11 formules

Loi de Coulomb, champ électrique, potentiel électrique, dipôle électrique, loi de Gauss, capacité, condensateurs série/parallèle et densité d'énergie de champ

1

Loi de Coulomb sur la force électrostatique

F = (14πε₀)·(|q₁·q₂|r²) = k_e·(|q₁·q₂|r²)

Attraction ou répulsion électrostatique carrée inverse entre deux charges ponctuelles stationnaires

k_e = 14πε₀: Constante de Coulomb (~8,98755 × 10⁹ N·m²/C²) ε₀: Permittivité de l'espace libre (8,85419 × 10⁻¹² C²/(N·m²)) q₁, q₂: Ampleurs de charge électrique r: Distance de séparation

2

Champ électrique de charge ponctuelle

E = Fq₀ = (14πε₀)·(qr²)·r̂

Force subie par unité de charge d'essai positive q₀ placée dans un champ électrique

E: Intensité du champ électrique q: Frais à la source

3

Potentiel électrique et relation avec le champ

V = (14πε₀)·(qr), E = -dVdr = -∇V

Travail effectué pour amener la charge de test positive unitaire de l'infini à la distance r sans accélération

V: Potentiel électrique E: Champ électrique

4

Énergie potentielle électrostatique de la paire de charges

U = (14πε₀)·(q₁·q₂)r

Énergie stockée dans une configuration de deux charges séparées par la distance r (positive pour les semblables, négative pour les dissemblables)

U: Énergie potentielle électrostatique

5

Moment dipolaire électrique, couple et énergie potentielle

p = q·2a, τ = p × E = p·E·sinθ, U = - p·E = - p·E·cosθ

Le vecteur dipolaire pointe de la charge négative à la charge positive ; s'aligne avec le champ externe E

p: Moment dipolaire électrique τ: Restauration du couple U: Énergie potentielle du dipôle

6

Loi électrostatique de Gauss

Φ_E = ∮ E·dA = Q_enclosedε₀

Le flux électrique total à travers toute surface gaussienne fermée est égal à la charge fermée divisée par ε₀

Φ_E: Flux électrique Q_enclosed: Charge intérieure nette ci-jointe

7

Champ électrique de charge de ligne et feuille infinie

E_line = λ2πε₀·r, E_sheet = σ2ε₀, E_cond = σε₀

Dérivé de la loi de Gauss pour la densité de charge linéaire uniforme λ et la densité de charge de surface σ

λ: Densité de charge linéaire σ: Densité de charge superficielle

8

Capacité du condensateur à plaques parallèles

C = κ·ε₀·Ad

Capacité proportionnelle à la surface de la plaque A et à la constante diélectrique κ ; inversement proportionnel à la séparation d

C: Capacitance κ: Constante diélectrique du milieu (vide κ = 1) A: Zone de chevauchement des plaques d: Distance de séparation des plaques

9

Condensateurs en combinaisons série et parallèle

1C_series = 1C₁+1C₂+ ..., C_parallel = C₁ + C₂ + ...

En série : la charge Q est identique sur tous les condensateurs ; en parallèle : la tension V est identique

C_s, C_p: Capacité équivalente

10

Énergie électrostatique stockée dans un condensateur

U = ½·C·V² = Q²2C = ½·Q·V

Énergie stockée dans le champ électrique entre les plaques du condensateur chargée à la différence de potentiel V

U: Énergie électrostatique stockée Q: Charge stockée (Q = C·V) V: Différence de potentiel de tension

11

Densité énergétique du champ électrique

u_E = ½·ε₀·E²

Énergie électrostatique stockée par unité de volume d'espace occupé par le champ électrique E

u_E: Densité énergétique E: Ampleur du champ électrique

🔌

Chapitre 13 : Circuits électriques et continus actuels

9 formules

Vitesse de dérive, loi d'Ohm, résistivité, dépendance à la température, lois de Kirchhoff (KCL/KVL), pont de Wheatstone, résistance interne et circuits RC

1

Courant électrique et vitesse de dérive

I = n·e·A·v_d, v_d = e·E·τm

Relie le courant macroscopique I à la vitesse de dérive des électrons microscopiques v_d et au temps de relaxation τ

I: Actuel n: Densité d'électrons libres par unité de volume e: Charge électronique élémentaire (1,602 × 10⁻¹⁹ C) A: Surface de la section transversale du conducteur v_d: Vitesse de dérive τ: Temps de relaxation moyen en cas de collision

2

Densité de courant et loi d'Ohm microscopique

j = IA = σ·E = Eρ, σ = 1ρ = n·e²·τm

Forme vectorielle de la loi d'Ohm reliant la densité de courant j au champ électrique E et à la conductivité σ

j: Densité de courant σ: Conductivité électrique ρ: Résistivité

3

Résistance, résistivité et coefficient de température

R = ρ·(LA), R(T) = R₀·[1 + α·(T - T₀)]

Échelles de résistance avec longueur et température ; inversement avec la section transversale A

R: Résistance électrique ρ: Résistivité électrique du matériau α: Coefficient de température de résistance

4

Loi d'Ohm et dissipation de l'énergie électrique

V = I·R, P = V·I = I²·R = V²R, H = I²·R·t

Loi de chauffage de Joule : puissance électrique dissipée sous forme de chaleur dans une résistance R

V: Différence de potentiel de tension I: Actuel P: Dissipation de puissance électrique H: Chaleur thermique Joule dissipée

5

Résistances en série et parallèle

R_series = R₁ + R₂ + ...,1R_parallel = 1R₁+1R₂+ ...

Règles de résistance équivalentes pour combiner les éléments du réseau

R_s, R_p: Résistance de circuit équivalente

6

Force électromotrice cellulaire et résistance interne

V = E_emf - I·r, I = E_emfR + r

La tension aux bornes V est inférieure à la FEM ℰ en circuit ouvert en raison de la résistance interne r pendant la décharge

ℰ: Force électromotrice en circuit ouvert EMF V: Tension de sortie aux bornes r: Résistance interne de la batterie/cellule R: Résistance du circuit de charge externe

7

Lois de courant et de tension de Kirchhoff (KCL et KVL)

KCL (Junction): ∑ I_in = ∑ I_out, KVL (Loop): ∑ ΔV = ∑ E_emf - ∑ I·R = 0

KCL représente la conservation de charge ; KVL représente la conservation de l'énergie électrostatique en boucles fermées

∑ I: Somme des courants de jonction nodale ∑ ΔV: Somme des chutes de potentiel de branchement dans la boucle

8

État d’équilibre du pont de Wheatstone

R₁R₂ = R₃R₄ ⟹ I_galvanometer = 0

Utilisé dans le pont de compteur et la boîte postale pour une mesure précise d'une résistance inconnue

R₁, R₂, R₃, R₄: Quatre résistances de bras de pont

9

Transitoire de charge et de décharge du circuit RC

Charging: q(t) = Q₀·(1 - e^(-tRC)), Discharging: q(t) = Q₀·e^(-tRC), τ = R·C

Le condensateur se charge à 63,2 % du Q₀ maximum en une seule fois constante de temps τ = RC (décharge à 36,8 %)

τ = RC: Constante de temps capacitive Q₀: Charge maximale en régime permanent (C·V₀)

🧲

Chapitre 14 : Magnétisme, force de Biot-Savart et de Lorentz

10 formules

Force de Lorentz magnétique, force du fil actuel, rayon du cyclotron, loi de Biot-Savart, champ du fil droit, solénoïde/toroïde, courants parallèles et couple dipolaire magnétique

1

Force de Lorentz magnétique sur une charge mobile

F_B = q·(v × B) = q·v·B·sinθ

Force de déviation perpendiculaire agissant sur une charge en mouvement dans un champ magnétique (zéro travail effectué)

F_B: Force magnétique q: Ampleur de la charge v: Vecteur de vitesse B: Densité de flux magnétique θ: Angle entre la vitesse et le champ magnétique

2

Force de Lorentz totale combinée (champs E + B)

F_total = q·(E + v × B)

Force superposée dans des champs électriques et magnétiques simultanés (sélecteur de vitesse : v = E/B)

E: Champ électrique B: Champ magnétique

3

Force magnétique sur le conducteur porteur de courant

F = I·(L × B) = I·L·B·sinθ

Force exercée sur un fil droit de longueur L parcouru par un courant I placé dans un champ uniforme B

F: Force magnétique sur le fil I: Courant de conducteur L: Vecteur de longueur dans la direction actuelle

4

Rayon et fréquence de l’orbite du cyclotron

r = m·vq·B, f = q·B2π·m, T = 2π·mq·B

Paramètres d'orbite hélicoïdale/circulaire de particules chargées dans un champ magnétique transversal (la fréquence est indépendante de la vitesse)

r: Rayon gyroscopique / Rayon de Larmor f: Fréquence de résonance du cyclotron

5

Loi de Biot-Savart de la magnétostatique

dB = (μ₀4π)·[I·dl × r̂r²] = μ₀·I·dl·sinθ4π·r²

Champ magnétique infinitésimal généré par l'élément actuel I dl à la distance r

μ₀4π: Constante de perméabilité magnétique (10⁻⁷ T·m/A) μ₀: Perméabilité du vide (4π × 10⁻⁷ H/m ou T·m/A) dl: Vecteur d'élément de longueur

6

Champ magnétique d'un fil long et droit

B = μ₀·I2π·r

Champ magnétique circulaire concentrique à une distance radiale r d'un fil droit infiniment long

B: Densité de flux magnétique I: Courant constant r: Distance perpendiculaire à l'axe du fil

7

Champ magnétique de la boucle circulaire (centre et axe)

B_center = μ₀·N·I2R, B_axis = μ₀·N·I·R²[2·(R² + x²)^(32)]

Champ magnétique produit par une bobine circulaire de N tours de rayon R à distance x le long de l'axe

N: Nombre de tours circulaires R: Rayon de boucle x: Distance le long de l'axe central de la bobine

8

Loi circuitique et champ solénoïde d'Ampère

∮ B·dl = μ₀·I_encl, B_solenoid = μ₀·n·I (n = NL)

Champ magnétique axial interne uniforme à l'intérieur d'un solénoïde étroitement enroulé avec n tours par unité de longueur

B_solenoid: Champ magnétique central n = NL: Tours par unité de longueur

9

Force entre deux fils porteurs de courant parallèles

FL = μ₀·I₁·I₂2π·d

Force attractive pour les courants parallèles dans la même direction ; répulsif pour les courants antiparallèles (définition SI Ampere)

FL: Force par unité de longueur d: Distance de séparation entre conducteurs parallèles

10

Moment dipolaire magnétique et couple sur la boucle de courant

M = N·I·A, τ = M × B = N·I·A·B·sinθ, U = - M·B

Principe de fonctionnement du galvanomètre à bobine mobile, des moteurs à courant continu et des moments magnétiques atomiques

M: Moment dipolaire magnétique A: Vecteur de zone fermée en boucle τ: Couple de déviation

⚡

Chapitre 15 : Circuits d'induction électromagnétique et de courant alternatif

10 formules

Loi de Faraday, loi de Lenz, force électromagnétique de mouvement, inductance propre/mutuelle, densité d'énergie magnétique, valeurs RMS, impédance dans les circuits LCR, résonance et transformateurs

1

Loi de Faraday sur l'induction électromagnétique et loi de Lenz

E_ind = - N·(dΦ_Bdt), Φ_B = B·A = B·A·cosθ

La force électromotrice induite est égale au taux temporel négatif de changement du flux magnétique à travers la boucle (Lenz s'oppose à la cause)

ℰ: Force électromotrice induite (FEM) Φ_B: Flux magnétique N: Nombre de tours

2

EMF motionnel dans le conducteur en mouvement

E_motional = B·L·v·sinθ

FEM induite aux extrémités d'une tige conductrice de longueur L se déplaçant à la vitesse v à travers le champ B

ℰ: FEM mouvement B: Champ magnétique L: Longueur du conducteur v: Vitesse

3

Auto-inductance et inductance mutuelle

E_self = - L·(dIdt), E_mutual = - M·(dI₁dt), L_solenoid = μ₀·n²·A·l

Opposition au changement de courant dans une bobine (auto) ou une bobine adjacente couplée (mutuelle)

L, M: Inductance personnelle et mutuelle dIdt: Taux de changement actuel

4

Énergie magnétique dans l'inducteur et densité d'énergie

U_B = ½·L·I², u_B = B²2μ₀

Énergie potentielle stockée dans le champ magnétique établi à l'intérieur d'un inducteur sous tension

U_B: Énergie magnétique stockée u_B: Densité d'énergie magnétique

5

Valeurs efficaces et maximales du courant/tension alternatif

V_rms = V₀√2 ≈ 0.707 V₀, I_rms = I₀√2 ≈ 0.707 I₀

Pouvoir calorifique DC équivalent effectif pour tension et courant alternatifs sinusoïdaux

V_rms, I_rms: Valeurs efficaces (par exemple réseau 230 V/120 V) V₀, I₀: Amplitudes sinusoïdales maximales

6

Réactance inductive et capacitive

X_L = ω·L = 2π·f·L, X_C = 1ω·C = 12π·f·C

Opposition CA dépendant de la fréquence au flux de courant offert par les inductances et les condensateurs

X_L: Réactance inductive (le courant est en retard sur la tension de 90°) X_C: Réactance capacitive (le courant dépasse la tension de 90°) f: Fréquence CA

7

Impédance et angle de phase du circuit série LCR

Z = √[ R² + (X_L - X_C)² ], tanφ = X_L - X_CR

Vecteur d'opposition d'impédance électrique CA total combiné dans les circuits R-L-C en série

Z: Impédance totale du circuit φ: Angle de phase entre tension et courant

8

Fréquence de résonance et facteur de qualité Q du circuit LCR

f₀ = 12π·√L·C, Q = ω₀·LR = (1R)·√LC

Condition de résonance X_L = X_C où l'impédance du circuit atteint le minimum absolu Z = R et le courant est maximisé

f₀: Fréquence de résonance électrique naturelle Q: Facteur de qualité / Netteté de résonance (sans dimension)

9

Puissance réelle CA et facteur de puissance

P_avg = V_rms·I_rms·cosφ, Power Factor: cosφ = RZ

Puissance réelle consommée en watts (les circuits réactifs purs avec cosφ = 0 consomment une puissance sans watts moyenne nulle)

P_avg: Puissance électrique moyenne réelle cosφ: Facteur de puissance (0 ≤ cosφ ≤ 1)

10

Rapport de transformation et efficacité du transformateur

V_sV_p = N_sN_p = I_pI_s = k, η = P_outP_in = V_s·I_sV_p·I_p

Transformation mutuelle de tension alternative élévatrice (k > 1) ou abaisseuse (k < 1) préservant la puissance

V_p, V_s: Tensions primaire et secondaire N_p, N_s: Tours de bobines primaire et secondaire I_p, I_s: Courants primaires et secondaires

⚛️

Chapitre 16 : Optique, physique quantique et nucléaire moderne

12 formules

Équations miroir/lentille, loi de Snell, double fente de Young, effet photoélectrique, ondes de matière de Broglie, atome de Bohr, désintégration radioactive et relativité masse-énergie

1

Formule de miroir sphérique et grossissement

1f = 1v+1u, m = -vu = h_ih_o

Relie la distance focale f, la distance de l'image v et la distance de l'objet u avec la convention de signe cartésienne standard

f: Distance focale (f = R/2) u: Distance de l'objet au pôle v: Distance de l'image par rapport au pôle m: Grossissement transversal linéaire

2

Loi de Snell sur la réfraction et la réflexion interne totale

n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂, sin(θ_c) = n₂n₁ (for n₁ > n₂)

Courbure du rayon lumineux à travers les limites optiques et l'angle critique θ_c pour une réflexion interne complète

n₁, n₂: Indices de réfraction des milieux (n = c/v) θ₁, θ₂: Angles d'incidence et de réfraction θ_c: Angle critique pour une réflexion interne totale

3

Formule de Lens Maker et équation de lentille mince

1f = (n - 1)·(1R₁-1R₂),1f = 1v-1u, P = 1f(m)

Calcule la puissance optique P en dioptries (D = m⁻¹) à partir de l'indice de réfraction n et des rayons de courbure R₁, R₂

f: Distance focale de l'objectif P: Puissance optique de l'objectif R₁, R₂: Rayons de courbure sphérique

4

Largeur de frange d'interférence à double fente de Young

β = λ·Dd, y_n(bright) = n·(λ·Dd), y_n(dark) = (2n - 1)·(λ·D2d)

Espacement spatial des franges β entre des franges d'interférence consécutives sur un écran à la distance D

β: Espacement de la largeur des franges λ: Longueur d'onde de la lumière D: Distance des fentes à l'écran d: Distance de séparation des fentes

5

L'équation photoélectrique d'Einstein

E_photon = h·f = Φ₀ + K_max = h·f₀ + e·V_s

L'énergie photonique hf surmonte la fonction de travail du métal Φ₀ et confère une énergie cinétique maximale K_max

h: Constante de Planck (6,62607 × 10⁻³⁴ J·s) f: Fréquence des photons incidents Φ₀ = h·f₀: Fonction de travail de seuil du métal V_s: Tension potentielle d'arrêt

6

De Broglie Longueur d'onde des ondes de matière

λ = hp = hm·v = h√2m·K = h√2m·q·V

Dualité onde-particule : chaque particule en mouvement est associée à une longueur d'onde quantique de Broglie

λ: Longueur d'onde de De Broglie p: Moment des particules V: Tension potentielle accélératrice

7

Modèle atomique de l'hydrogène de Bohr (énergie et rayon)

r_n = n²·h²·ε₀π·m·e² = 0.529·n² Å, E_n = -13.6n² eV

Rayons orbitaux électroniques quantifiés r_n et états d'énergie stationnaires liés E_n pour les atomes de type hydrogène

n: Nombre quantique principal (n = 1, 2, 3...) E_n: Énergie totale du n-ème niveau orbital

8

Formule de Rydberg pour la série spectrale de l'hydrogène

1λ = R_H·[1n₁²-1n₂²] (Lyman n₁ = 1, Balmer n₁ = 2, Paschen n₁ = 3)

Calcule les longueurs d'onde des raies spectrales d'émission/absorption dans les transitions atomiques (n₂ > n₁)

R_H: Constante de Rydberg (1,097373 × 10⁷ m⁻¹) n₁, n₂: Niveaux d'énergie quantique inférieur et supérieur

9

Défaut de masse et énergie de liaison nucléaire

Δm = [Z·m_p + (A - Z)·m_n] - M_nucleus, E_b = Δm·c² = Δm(amu) × 931.5 MeV

Énergie nécessaire pour démanteler un noyau atomique en protons et neutrons constitutifs individuels

Δm: Défaut de masse E_b: Énergie de liaison nucléaire totale

10

Loi de désintégration radioactive et demi-vie

N(t) = N₀·e^(-λt), T_half = ln(2)λ ≈ 0.693λ, A = λ·N

Taux de désintégration statistique des radionucléides instables (Activité mesurée en Becquerels Bq = désintégrations/s)

N(t): Nombre de noyaux radioactifs non décomposés restants T_half: Période de demi-vie λ: Constante de désintégration radioactive A: Activité

11

L'équivalence masse-énergie et l'énergie relativiste d'Einstein

E = m·c² = γ·m₀·c², E² = (p·c)² + (m₀·c²)²

Relation énergétique invariante à quatre impulsions reliant l'énergie relativiste totale E, l'impulsion p et la masse au repos m₀

c: Vitesse de la lumière dans le vide (299 792 458 m/s) m₀: Masse invariante de repos γ: Facteur de Lorentz

12

Dilatation relativiste du temps et contraction de la longueur

Δt = γ·Δt₀ = Δt₀√1 -v²c², L = L₀γ = L₀·√1 -v²c²

Les horloges en mouvement fonctionnent plus lentement (dilatation du temps) ; les tiges mobiles sont raccourcies dans le sens du mouvement (contraction de la longueur)

Δt₀, L₀: Temps approprié et durée de repos appropriée v: Vitesse relative du cadre d'observation

🧪

Suite Complète de Chimie

Lois des gaz parfaits/réels, thermodynamique chimique, cinétique, constantes d'équilibre, équation de Nernst, pH et désintégration nucléaire.

83+ Équations

🧪

Chapitre 1 : Concept de taupe, termes de stœchiométrie et de concentration

10 formules

Conversions quantitatives masse-mole, relation d'Avogadro, molarité, molalité, normalité, ppm et rendements de réaction

1

Concept de taupe, masse d'échantillon et nombre de particules

n = mM = NN_A

Relation fondamentale de conversion entre la masse de l'échantillon, les taupes et les particules élémentaires

n: Nombre de taupes m: Masse de l'échantillon M: Masse molaire de la substance N: Nombre total de particules (atomes, molécules, ions) N_A: Constante d'Avogadro (6,02214 × 10²³ mol⁻¹)

2

Volume molaire de gaz à STP

V = n·V_m = n·22.414 L

Volume occupé par une mole de tout gaz parfait à température et pression standard

V: Volume de gaz à STP n: Nombre de taupes V_m: Volume molaire de gaz standard (22,414 L/mol à 1 atm, 22,71 L/mol à 1 bar)

3

Molarité (Concentration molaire)

M = n_soluteV_solution = w_B × 1000M_B × V_mL

Nombre de moles de soluté dissous par litre de volume de solution

M: Concentration molaire w_B: Masse de soluté dissous M_B: Masse molaire du soluté V_mL: Volume de solution en millilitres

4

Molalité (concentration indépendante de la température)

m = n_soluteW_solvent = w_B × 1000M_B × W_A

Moles de soluté par kilogramme de solvant pur ; ne varie pas avec les changements de température thermique

m: Concentration de molalité w_B: Masse de soluté W_A: Masse de solvant en grammes M_B: Masse molaire du soluté

5

Normalité et poids équivalent

N = w_B × 1000E_B × V_mL = M·n_factor

Concentration équivalente en grammes par litre ; Le facteur n représente l'acidité, la basicité ou le changement de valence

N: Normalité E_B: Poids équivalent (facteur M/n) n_factor: Facteur de Valence / Nombre d'échanges d'électrons M: Molarité

6

Loi de fraction taupe et de sommation

X_A = n_An_A + n_B, X_A + X_B = 1

Rapport sans dimension des moles de composants aux moles de solution totale

X_A: Fraction molaire du composant A n_A, n_B: Taupes de composants individuels

7

Pourcentage de masse (% p/p) et parties par million (ppm)

%(ww) = (w_solutew_total) × 100, ppm = (w_solutew_total) × 10⁶

Mesures de concentration en traces largement utilisées dans les analyses de l'eau et l'analyse atmosphérique

w_solute: Masse de soluté w_total: Masse totale de la solution ppm: Concentration en parties par million

8

Formule de dilution de solution volumétrique

M₁·V₁ = M₂·V₂, N₁·V₁ = N₂·V₂

Conservation des moles de soluté pendant la dilution du solvant du volume initial au volume final

M₁, N₁: Concentration du stock avant dilution V₁: Volume aliquote du stock M₂, N₂: Concentration diluée cible V₂: Volume final de la solution diluée

9

Rendement en pourcentage de la réaction chimique

% Yield = (Actual YieldTheoretical Yield) × 100

Rapport du produit obtenu expérimentalement au maximum stoechiométrique du réactif limitant

Actual Yield: Masse de produit isolé issu de l'expérience Theoretical Yield: Masse stœchiométrique calculée

10

Multiplicateur de formule empirique à moléculaire

n = M_molecularM_empirical, Molecular Formula = (Empirical Formula)_n

Multiplicateur entier mettant à l'échelle le rapport atomique de nombre entier le plus simple par rapport à la formule moléculaire réelle

n: Multiplicateur stœchiométrique intégral (1, 2, 3...) M_molecular: Masse moléculaire réelle M_empirical: Masse de formule empirique

⚛️

Chapitre 2 : Structure atomique, mécanique quantique et radioactivité

8 formules

Orbites du modèle de Bohr, transitions spectrales de Rydberg, dualité onde-particule de Broglie, principe de Heisenberg et cinétique de désintégration

1

Relation énergétique des photons de Planck-Einstein

E = h·ν = h·cλ = h·c·ν_bar

Énergie quantifiée transportée par un photon électromagnétique de fréquence ν et de longueur d'onde λ

E: Énergie quantique photonique h: Constante de Planck (6,62607 × 10⁻³⁴ J·s) c: Vitesse de la lumière (2,998 × 10⁸ m/s) λ: Longueur d'onde ν_bar: Nombre d'onde (1/λ)

2

Rayon de l'orbite atomique de type hydrogène de Bohr

r_n = n²·h²·ε₀π·m·Z·e² = 0.529·(n²Z) Å

Rayon orbital quantifié des atomes d'hydrogène de numéro atomique nucléaire Z

r_n: Rayon de la n-ième orbite de Bohr n: Nombre quantique principal (1, 2, 3...) Z: Numéro atomique nucléaire (charge)

3

Niveaux d'énergie électroniques Bohr

E_n = -13.6·(Z²n²) eV = -2.18 × 10⁻¹⁸·(Z²n²) J

Énergie de liaison totale quantifiée de l'électron lié dans la n-ième couche principale

E_n: Énergie orbitale totale des électrons Z: Numéro atomique n: Niveau quantique principal

4

Équation du spectre d'émission de Rydberg

1λ = R_H·Z²·(1n₁²-1n₂²)

Prédit les longueurs d'onde de transition spectrale (Lyman n₁=1, Balmer n₁=2, Paschen n₁=3, Brackett n₁=4, Pfund n₁=5)

R_H: Constante de Rydberg (1,09677 × 10⁷ m⁻¹) n₁: État énergétique inférieur n₂: État d'énergie excité plus élevé (n₂ > n₁)

5

Longueur d'onde de la matière de Broglie

λ = hp = hm·v = h√2·m·E_k = h√2·m·q·V

Dualité onde-particule montrant que les particules en mouvement présentent une longueur d'onde inversement proportionnelle à l'impulsion

λ: longueur d'onde de Broglie m: Masse des particules v: Vitesse des particules V: Potentiel électrostatique accélérateur

6

Le principe d'incertitude de Heisenberg

Δx·Δp ≥ h4π, ΔE·Δt ≥ h4π

Limite quantique fondamentale sur la précision simultanée de la position et de l'élan conjugué

Δx: Incertitude dans la position spatiale Δp: Incertitude sur la quantité de mouvement linéaire Δv: Incertitude sur la vitesse

7

L'équation de l'énergie cinétique photoélectrique d'Einstein

h·ν = Φ + K_max = h·ν₀ + ½·m·v_max²

Conservation de l'énergie pendant l'absorption de photons et l'émission de photoélectrons

Φ: Fonction d'extraction de la surface métallique (h·ν₀) ν₀: Fréquence de coupure seuil V_s: Potentiel d'arrêt

8

Loi sur la désintégration radioactive nucléaire et demi-vie

N(t) = N₀·e^(-λ·t), t_½ = ln(2)λ = 0.693λ

Taux de désintégration nucléaire spontanée de premier ordre et demi-vie radioactive

N(t): Noyaux radioactifs non décomposés restant au temps t N₀: Nombre initial de noyaux radioactifs à t = 0 λ: Constante de désintégration radioactive t_½: Demi-vie radioactive

💨

Chapitre 3 : État gazeux et théorie moléculaire cinétique

8 formules

Relations des gaz parfaits, pressions partielles de Dalton, épanchement de Graham, vitesses moléculaires et gaz réels de Van der Waals

1

Loi des gaz parfaits et relation entre la densité du gaz

P·V = n·R·T, P·M = ρ·R·T

Équation d'état du gaz parfait reliant la pression, le volume, la température et la densité

P: Pression du gaz V: Volume de gaz n: Montant en taupes R: Constante des gaz (0,0821 L·atm/(mol·K) = 8,314 J/(mol·K)) T: Température absolue ρ: Densité massique du gaz

2

Droit combiné des gaz (Boyle, Charles, Gay-Lussac)

P₁·V₁T₁ = P₂·V₂T₂

Unifie les lois sur les gaz de Boyle (PV=k), Charles (V/T=k) et Gay-Lussac (P/T=k)

P₁, V₁, T₁: Pression, volume et température absolue à l'état initial P₂, V₂, T₂: Pression, volume et température absolue à l'état final

3

Loi des pressions partielles de Dalton

P_total = P_A + P_B + P_C, P_A = X_A·P_total

La pression totale dans un mélange gazeux non réactif est égale à la somme des pressions partielles individuelles

P_total: Pression totale du conteneur P_A: Pression partielle du gaz A X_A: Fraction molaire du gaz A dans le mélange

4

Loi de Graham de diffusion et d'épanchement

r₁r₂ = √M₂M₁ = √ρ₂ρ₁ = V₁t₁V₂t₂

Le taux d’épanchement/diffusion de gaz à travers un trou d’épingle poreux est inversement proportionnel à la racine carrée de la masse molaire

r₁, r₂: Taux de diffusion/épanchement M₁, M₂: Masses molaires des gaz

5

RMS, vitesses moléculaires moyennes et les plus probables

u_rms = √3RTM, u_avg = √8RTπM, u_mp = √2RTM

Rapports de vitesse de distribution Maxwell-Boltzmann : u_mp : u_avg : u_rms = 1 : 1,128 : 1,224 = √2 : √(8/π) : √3

u_rms: Vitesse quadratique moyenne u_avg: Vitesse arithmétique moyenne u_mp: Vitesse la plus probable à la distribution de pointe M: Masse molaire en kilogrammes par mole

6

Énergie du gaz cinétique et énergie cinétique moyenne

E_k,total = (32)·n·R·T, E_k,molecule = (32)·k_B·T

Énergie cinétique de translation totale et par molécule dépendant uniquement de la température absolue

k_B: Constante de Boltzmann (1,38065 × 10⁻²³ J/K) T: Température absolue

7

Équation de Van der Waals pour les gaz réels

(P +a·n²V²)·(V - n·b) = n·R·T

Corrige la loi des gaz parfaits pour les forces d'attraction intermoléculaires (a) et le volume moléculaire fini exclu (b)

a: Coefficient d'attraction intermoléculaire b: Coefficient volume exclu / co-volume (4 × volume moléculaire)

8

Facteur de compressibilité et constantes critiques

Z = P·V_mR·T, T_c = 8a27Rb, P_c = a27b², V_c = 3b

Mesure l’écart par rapport au comportement idéal (Z=1). Au-dessus de la température critique T_c, le gaz ne peut pas être liquéfié

Z: Facteur de compressibilité (Z > 1 écart positif, Z < 1 négatif) T_c: Température critique P_c: Pression critique V_c: Volume molaire critique

🔥

Chapitre 4 : Thermodynamique chimique et thermochimie

9 formules

Première loi, loi de Hess, énergies de liaison, changements d'entropie, énergie libre de Gibbs et couplage d'équilibre

1

Première loi de la thermodynamique et des travaux d'expansion

ΔU = q + w, w = -P_ext·ΔV = -∫ P_ext dV

Convention IUPAC : le travail effectué sur le système est positif (+), le travail effectué par le système est négatif (-)

ΔU: Changement d'énergie interne q: Chaleur absorbée par le système w: Travail effectué sur/par le système P_ext: Pression adverse externe

2

Travail isotherme réversible du gaz parfait

w_rev = -n·R·T·ln(V₂V₁) = -2.303·n·R·T·log(P₁P₂)

Travail thermodynamique maximal possible obtenu lors d'une lente expansion isotherme quasi-statique

w_rev: Travail réversible maximum V₁, V₂: Volumes initiaux et augmentés

3

Définition de l'enthalpie et relation entre les taupes gazeuses

H = U + P·V ⟹ ΔH = ΔU + Δn_g·R·T

Relie la chaleur de réaction à pression constante (ΔH = q_p) et à volume constant (ΔU = q_v)

ΔH: Changement d'enthalpie ΔU: Changement d'énergie interne Δn_g: Evolution des taupes gazeuses : ∑ n_g(produits) - ∑ n_g(réactifs)

4

Capacités thermiques molaires et relation de Mayer

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v, ΔH = n·C_p·ΔT, ΔU = n·C_v·ΔT

Relations de capacité thermique spécifique pour les gaz monoatomiques (γ=1,66), diatomiques (γ=1,40) et polyatomiques

C_p: Capacité thermique molaire à pression constante C_v: Capacité thermique molaire à volume constant γ: Rapport de capacité thermique adiabatique (indice de Poisson)

5

Enthalpie standard de réaction des enthalpies de formation

ΔH_rxn° = ∑ ν_p·ΔH_f°(products) - ∑ ν_r·ΔH_f°(reactants)

Calcule l'enthalpie de réaction standard (ΔH_f° des éléments purs dans les états standard est nul)

ΔH_rxn°: Enthalpie de réaction standard ΔH_f°: Enthalpie standard de formation ν_p, ν_r: Coefficients stœchiométriques

6

Enthalpie de réaction des énergies de dissociation des liaisons

ΔH_rxn = ∑ Bond Energy(broken in reactants) - ∑ Bond Energy(formed in products)

Rapproche les enthalpies de réaction gazeuse à partir des énergies moyennes de dissociation des liaisons covalentes

B.E.: Enthalpie de dissociation des liaisons

7

Loi température-enthalpie de Kirchhoff

ΔH_T2 = ΔH_T1 + ΔC_p·(T₂ - T₁)

Évalue la chaleur de réaction à différentes températures lorsque les capacités thermiques sont connues

ΔC_p: ∑ C_p(produits) - ∑ C_p(réactifs)

8

Critère d’énergie libre et de spontanéité de Gibbs

ΔG = ΔH - T·ΔS

Détermine la direction de la réaction thermodynamique à température et pression constantes

ΔG: Changement d'énergie gratuit de Gibbs ΔH: Changement d'enthalpie ΔS: Changement d'entropie T: Température absolue

9

Énergie libre standard et couplage constant d'équilibre

ΔG° = -R·T·ln(K_eq) = -2.303·R·T·log(K_eq)

Lien fondamental reliant les potentiels thermodynamiques chimiques aux constantes d’équilibre macroscopiques

ΔG°: Changement d'énergie gratuit standard K_eq: Constante d'équilibre thermodynamique

⚖️

Chapitre 5 : Équilibre chimique et principe de Le Chatelier

5 formules

Loi d'action de masse, relations Kc et Kp, quotient de réaction Q, degré de dissociation et équation de Van t Hoff

1

Loi des constantes d'équilibre d'action de masse (Kc et Kp)

K_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b, K_p = P_C^c·P_D^dP_A^a·P_B^b

Rapport des concentrations de produits aux concentrations de réactifs élevé aux puissances stoechiométriques à l'équilibre

K_c: Constante d'équilibre en concentrations molaires K_p: Constante d'équilibre en pressions partielles

2

Relation entre Kp et Kc

K_p = K_c·(R·T)^(Δn_g)

Relie les constantes d'équilibre de pression et de concentration ; si Δn_g = 0, alors K_p = K_c

Δn_g: Modification des moles stœchiométriques de gaz R: Constante des gaz (0,0821 L·atm/(mol·K)) T: Température absolue en Kelvin

3

Quotient de réaction (Q) et critère de direction

Q_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b

Calcule le rapport instantané hors équilibre pour prédire la direction spontanée vers l'équilibre

Q_c: Quotient de réaction instantané hors équilibre K_c: Constante d'équilibre

4

Isochore d'équilibre de température de Van 't Hoff

ln(K₂K₁) = (ΔH°R)·(1T₁-1T₂)

Prédit les changements de constante d'équilibre avec la température (K augmente avec T pour ΔH endothermique > 0)

K₁, K₂: Constantes d'équilibre aux températures T₁ et T₂ ΔH°: Enthalpie de réaction standard

5

Degré de dissociation (α) de la densité de vapeur

α = D - d(n - 1)·d = M_theoretical - M_observed(n - 1)·M_observed

Fraction de molécules initiales dissociées à l'équilibre où n représente le nombre de moles de produits par mole de réactif

α: Degré de dissociation (0 ≤ α ≤ 1) D: Densité de vapeur théorique initiale d: Densité de vapeur à l'équilibre observée n: Nombre de moles de produit produites par mole de réactif

🧪

Chapitre 6 : Équilibre ionique, acides, bases et tampons

6 formules

Dilution d'Ostwald, échelles de pH, équations de tampon Henderson-Hasselbalch, hydrolyse du sel et produit de solubilité Ksp

1

Loi de dilution d'Ostwald pour les électrolytes faibles

K_a = C·α²1 - α ≈ C·α² ⟹ α = √K_aC

Valable pour les acides/bases faibles lorsque la fraction de dissociation α << 1

K_a: Constante d'ionisation acide C: Concentration molaire initiale α: Degré d'ionisation

2

Autoionisation de l'eau et échelle pH-pOH

K_w = [H⁺]·[OH⁻] = 1.0 × 10⁻¹⁴, pH + pOH = pK_w = 14

Échelles logarithmiques fondamentales : pH = -log₁₀[H⁺] et pOH = -log₁₀[OH⁻]

[H⁺]: Molarité des ions hydronium [OH⁻]: Molarité des ions hydroxyde K_w: Produit d'autoionisation de l'eau

3

Équation de Henderson-Hasselbalch (tampon acide)

pH = pK_a + log₁₀([Conjugate Base][Weak Acid]) = pK_a + log₁₀([Salt][Acid])

Calcule le pH d'un mélange tampon acide (par exemple CH₃COOH + CH₃COONa)

pK_a: -log₁₀(K_a) de l'acide faible [A⁻]: Concentration base conjuguée/sel [HA]: Concentration d'acide faible non dissocié

4

Équation de Henderson-Hasselbalch (tampon de base)

pOH = pK_b + log₁₀([Conjugate Acid][Weak Base]), pH = 14 - pOH

Calcule le pOH et le pH d'une solution tampon basique (par exemple NH₄OH + NH₄Cl)

pK_b: -log₁₀(K_b) de la base faible [Salt]: Concentration molaire de sel conjugué [Base]: Concentration molaire de base faible

5

Formules de pH pour l'hydrolyse du sel

WA-SB: pH = 7 + ½pK_a + ½log(C), SA-WB: pH = 7 - ½pK_b - ½log(C), WA-WB: pH = 7 + ½pK_a - ½pK_b

Calcule le pH résultant de l'hydrolyse cationique/anionique de sels d'acide faible et de base faible

C: Concentration molaire de la solution saline

6

Constante du produit de solubilité (Ksp) et solubilité molaire (S)

A_x B_y ⇌ x A^(y+) + y B^(x-) ⟹ K_sp = x^x·y^y·S^(x+y)

Constante d'équilibre pour les sels peu solubles (sel 1:1 : K_sp = S² ; sel 1:2 : K_sp = 4S³ ; sel 1:3 : K_sp = 27S⁴)

K_sp: Constante du produit de solubilité S: Solubilité molaire du sel

⏱️

Chapitre 7 : Cinétique chimique et dynamique des réactions

6 formules

Lois de taux différentielles et intégrées, équations de demi-vie, énergie d'activation d'Arrhenius et théorie des collisions

1

Taux de réaction général et expression de la loi du taux

Rate = -(1a)·(d[A]dt) = (1c)·(d[C]dt) = k·[A]^m·[B]^n

Ordre de réaction global = m + n ; la constante de taux k a des unités de (mol/L)^(1-n) · s⁻¹

k: Constante de vitesse de réaction spécifique m, n: Ordres de réaction déterminés expérimentalement

2

Loi de taux intégrée d'ordre zéro et demi-vie

[A] = [A]₀ - k·t, t_½ = [A]₀2k

Le taux est indépendant de la concentration du réactif ; la demi-vie est directement proportionnelle à la concentration initiale

[A]₀: Concentration initiale à t = 0 [A]: Concentration restante au temps t k: Constante de taux d'ordre zéro

3

Loi de taux intégrée de premier ordre et demi-vie

k = (2.303t)·log([A]₀[A]), [A] = [A]₀·e^(-k·t), t_½ = ln(2)k = 0.693k

La demi-vie de premier ordre est strictement indépendante de la concentration initiale du réactif

k: Constante de taux de premier ordre t_½: Période de demi-vie

4

Loi de taux intégrée de second ordre et demi-vie

1[A] = 1[A]₀ + k·t, t_½ = 1k·[A]₀

La demi-vie est inversement proportionnelle à la concentration initiale du réactif

k: Constante de taux de second ordre

5

Équation taux-température d'Arrhenius

k = A·e^(-E_aR·T) ⟹ ln(k) = ln(A) -E_aR·T

Quantifie l'accélération exponentielle du taux avec la barrière de température et d'énergie d'activation

k: Taux constant A: Facteur de fréquence d'Arrhénius pré-exponentiel E_a: Énergie d'activation R: Constante des gaz (8,314 J/(mol·K)) T: Température absolue

6

Formule du rapport d'Arrhénius à deux températures

log(k₂k₁) = (E_a2.303·R)·(T₂ - T₁T₁·T₂)

Calcule l'énergie d'activation E_a à partir des constantes de taux mesurées à deux températures distinctes

k₁, k₂: Constantes de vitesse aux températures T₁ et T₂

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Chapitre 8 : Électrochimie et cellules galvaniques

6 formules

Potentiels EMF standard, équation de Nernst, travail électrique de Gibbs, conductivité de Kohlrausch et lois d'électrolyse de Faraday

1

Potentiel cellulaire standard (CEM)

E_cell° = E_cathode° - E_anode° = E_reduction(RHE)° - E_reduction(LHE)°

Force électromotrice dans des conditions standard (concentrations 1 M, pression de gaz 1 atm, 298 K)

E_cell°: Force électromotrice standard E_cathode°: Potentiel de réduction standard de la cathode E_anode°: Potentiel de réduction standard de l'anode

2

Équation de Nernst à 298 K (25°C)

E_cell = E_cell° - (0.0591n)·log₁₀(Q)

Calcule le potentiel de cellule électrochimique non standard pour les activités de réactif/produit non unitaires

E_cell: Potentiel cellulaire réel n: Moles d'électrons transférés par mole de réaction équilibrée Q: Quotient de réaction ([Ions anode] / [Ions cathode]) F: Constante de Faraday (96 485 C/mol e⁻)

3

Énergie gratuite Gibbs et potentiel de cellule standard

ΔG° = -n·F·E_cell°, E_cell° = (0.0591n)·log₁₀(K_c)

Relie le potentiel de cellule électrochimique standard à un travail électrique et à un équilibre maximum sans expansion

ΔG°: Changement d'énergie gratuit Gibbs standard K_c: Constante d'équilibre électrochimique

4

Conductivité électrolytique spécifique et molaire

κ = G·(lA) = (1R)·G*, Λ_m = κ × 1000M

Conductivité molaire par mole d'électrolyte (unités : S·cm²·mol⁻¹)

κ: Conductivité spécifique (conductivité électrolytique) G*: Constante de cellule (l/A) Λ_m: Conductivité molaire M: Molarité de l'électrolyte

5

Loi de Kohlrausch sur la migration indépendante des ions

Λ_m° = ν₊·λ₊° + ν₋·λ₋°, α = Λ_mΛ_m°

À dilution infinie, chaque ion contribue indépendamment à la conductance molaire ; détermine la faible dissociation électrolytique α

Λ_m°: Limiter la conductivité molaire à dilution infinie λ₊°, λ₋°: Limiter les conductivités ioniques des cations et des anions α: Degré de dissociation électrolytique

6

Les lois de Faraday sur l'électrolyse

m = Z·I·t = M·I·tn·F,m₁E₁ = m₂E₂

La masse déposée ou libérée au niveau d'une électrode est proportionnelle à la charge Q (constante de Faraday F = 96485 C/mol)

m: Masse de substance libérée/déposée Z: Equivalent électrochimique (E/96485) I: Courant électrique t: Durée de l'électrolyse E: Poids équivalent (M/n)

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Chapitre 9 : Solutions et propriétés colligatives

6 formules

Loi de Raoult sur la pression de vapeur, l'élévation du point d'ébullition, la dépression de congélation, la pression osmotique et le facteur de Van t Hoff

1

Loi de Raoult et abaissement relatif de la pression de vapeur

P_A = X_A·P_A°,P_A° - P_AP_A° = X_B = n_Bn_A + n_B

La diminution de la pression de vapeur relative est égale à la fraction molaire du soluté non volatil

P_A°: Pression de vapeur du solvant pur P_A: Pression de vapeur de la solution X_B: Fraction molaire de soluté non volatil

2

Élévation du point d'ébullition (ébullioscopie)

ΔT_b = i·K_b·m = i·(K_b × w_B × 1000M_B × w_A)

La constante ébullioscopique K_b dépend uniquement de la nature du solvant : K_b = (R·T_b²·M_solvant) / (1000·ΔH_vap)

ΔT_b: Élévation du point d'ébullition K_b: Constante d'élévation du point d'ébullition molal (0,512 K·kg/mol pour l'eau) m: Molalité de solution i: Le facteur Van 't Hoff

3

Dépression du point de congélation (cryoscopie)

ΔT_f = i·K_f·m = i·(K_f × w_B × 1000M_B × w_A)

Constante cryoscopique K_f : K_f = (R·T_f²·M_solvant) / (1000·ΔH_fus) (1,86 K·kg/mol pour l'eau)

ΔT_f: Abaissement du point de congélation K_f: Constante de dépression du point de congélation molaire m: Molalité

4

Loi de Van 't Hoff sur la pression osmotique

Π = i·C·R·T = i·(n_BV)·R·T = i·(w_B·R·T)M_B·V

Pression hydrostatique requise pour empêcher complètement l'osmose du solvant à travers la membrane semi-perméable

Π: Pression osmotique C: Concentration molaire M_B: Masse molaire du soluté (largement utilisée pour les polymères/protéines)

5

Facteur Van 't Hoff (i) pour la dissociation et l'association

i = 1 + (n - 1)·α_diss, i = 1 + (1n- 1)·α_assoc

Rend compte des masses moléculaires anormales dues à l'ionisation de l'électrolyte ou à la dimérisation en solution

i: Facteur de Van 't Hoff (i > 1 pour la dissociation, i < 1 pour l'association) α: Degré d'association/dissociation n: Nombre d'ions ou degré associatif

6

Loi de Henry sur la solubilité des gaz dans les liquides

p_gas = K_H·X_gas, m_gas = k_H·p_gas

Le gaz dissous dans le liquide est directement proportionnel à la pression partielle au-dessus du liquide (K_H augmente avec T)

p_gas: Pression partielle du gaz au-dessus du liquide K_H: Constante de la loi de Henry X_gas: Fraction molaire de gaz dissous

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Chapitre 10 : État solide et cristallographie

4 formules

Densité de cellule unitaire, géométries de cristaux cubiques (SC, BCC, FCC), règles de rapport de rayon et diffraction des rayons X de Bragg

1

Formule de densité cristalline unitaire

ρ = z·Ma³·N_A

Densité de masse cristalline théorique à partir de la longueur du bord du réseau a et du nombre effectif d'atomes z

ρ: Densité cristalline z: Nombre effectif d'atomes par maille unitaire (SC : 1, BCC : 2, FCC : 4) M: Masse molaire de la substance a: Longueur du bord de la cellule unitaire N_A: Nombre d'Avogadro (6,022 × 10²³ mol⁻¹)

2

Géométries de treillis cubiques et efficacités de conditionnement

SC: r = a2 (52.4%), BCC: r = (√34)·a (68.0%), FCC: r = a2√2 (74.0%)

Relations géométriques entre le rayon atomique r, la longueur du bord a et l'efficacité du remplissage de l'espace

r: Rayon atomique a: Longueur du bord du treillis

3

Règles de rapport de rayon limite et géométrie de coordination

Linear: <0.155 (CN 2),  Triangular: 0.155-0.225 (CN 3),  Tetrahedral: 0.225-0.414 (CN 4),  Octahedral: 0.414-0.732 (CN 6),  Cubic: 0.732-1.000 (CN 8)

Prédit le nombre de coordination des cristaux ioniques (CN) et la géométrie interstitielle à partir du rapport rayon cation/anion

r₊r₋: Rapport du rayon cation/anion

4

Loi de Bragg sur la diffraction des rayons X

n·λ = 2·d·sin(θ)

Condition d'interférence constructive pour les rayons X monochromatiques diffusés par des plans de réseau cristallin espacés d

n: Ordre de diffraction entier (1, 2, 3...) λ: Longueur d'onde des rayons X d: Espacement interplanaire entre les plans du réseau θ: Regard de Bragg / angle de diffusion

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Chapitre 11 : Chimie de surface et état colloïdal

3 formules

Isothermes d'adsorption de Freundlich et Langmuir, règle de Hardy-Schulze et potentiel zêta

1

Isotherme d'adsorption de Freundlich

xm = k·P^(1n) ⟹ log(xm) = log(k) + (1n)·log(P)

Modèle empirique pour l'adsorption de gaz sur une surface adsorbante solide sur des plages de pression modérées

x: Masse de gaz adsorbée m: Masse d'adsorbant solide P: Pression du gaz d'équilibre k, n: Constantes d'adsorption pour une paire adsorbant-gaz donnée

2

Isotherme d'adsorption monocouche de Langmuir

xm = a·P1 + b·P ⟹ Pxm = 1a+ (ba)·P

Modèle théorique supposant une couverture de surface monocouche homogène et des sites identiques localisés

a, b: Paramètres d'adsorption-désorption cinétique de Langmuir P: Pression d'équilibre

3

Règle de Hardy-Schulze pour la coagulation colloïdale

Coagulating Power ∝ (Valency of Oppositely Charged Ion)⁴

Le pouvoir de coagulation d'un ion électrolytique augmente considérablement avec sa valence de charge z

z: Charge de Valence de l'ion coagulant actif

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Chapitre 12 : Liaison chimique et structure moléculaire

5 formules

Moments dipolaires, caractère ionique de Pauling, ordre des liaisons orbitales moléculaires, charges formelles et moments magnétiques de spin uniquement

1

Moment dipolaire électrique (Debye)

μ = q·d, 1 Debye (D) = 3.33564 × 10⁻³⁰ C·m = 10⁻¹⁸ esu·cm

Quantifie la polarité électrique moléculaire de la séparation des charges q sur la distance de liaison d

μ: Moment dipolaire moléculaire q: Ampleur de la charge partielle séparée d: Distance de liaison entre les charges

2

Caractère ionique en pourcentage de Pauling

% Ionic = 16·|χ_A - χ_B| + 3.5·(χ_A - χ_B)²

Estimation du pourcentage de caractère ionique d'une liaison covalente à partir de la différence d'électronégativité Δχ

χ_A, χ_B: Électrégativités de Pauling des atomes liés

3

Ordre d’obligations orbitales moléculaires (MO)

Bond Order = ½·(N_b - N_a)

Stabilité de liaison nette : Ordre de liaison > 0 indique une molécule stable ; un ordre de liaison plus élevé signifie une longueur de liaison plus courte et une énergie de liaison plus élevée

N_b: Nombre d'électrons dans les orbitales moléculaires de liaison (BMO) N_a: Nombre d'électrons dans les orbitales moléculaires anti-liaison (ABMO)

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Charge formelle sur l'atome de structure de Lewis

FC = V - N_lone - ½·N_bonding

Comptabilité des électrons de valence pour déterminer la structure de Lewis de résonance la plus stable

V: Électrons de Valence d'un atome neutre libre N_lone: Électrons en paires isolées non liantes N_bonding: Total des électrons de liaison partagés

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Moment magnétique de rotation uniquement des ions métalliques de transition

μ_s = √n·(n + 2) BM

Calcule le moment magnétique paramagnétique à partir du nombre d'électrons d non appariés n (n=1 : 1,73 BM, n=2 : 2,83 BM, n=3 : 3,87 BM, n=4 : 4,90 BM, n=5 : 5,92 BM)

μ_s: Moment magnétique de rotation uniquement n: Nombre d'électrons non appariés

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Chapitre 13 : Réactions redox et titrages volumétriques

3 formules

Nombres d'oxydation, poids équivalents, neutralisation redox et stœchiométrie de disproportion

1

Poids équivalent d'agents oxydants et réducteurs

E = Molar MassNumber of electrons gained or lost per molecule

Exemple : KMnO₄ en milieu acide (n=5) E = M/5 ; en milieu neutre (n=3) E = M/3 ; en milieu basique (n=1) E = M/1

E: Poids équivalent M: Masse molaire

2

Loi des équivalents chimiques et loi du titrage

N₁·V₁ = N₂·V₂ ⟹ n₁·M₁·V₁ = n₂·M₂·V₂

Au point d'équivalence stœchiométrique, les équivalents du titrant sont égaux aux équivalents de l'analyte

N₁, N₂: Normalités des solutions réactives V₁, V₂: Volumes de titres consommés n₁, n₂: n-facteurs des espèces chimiques en réaction

3

Poids équivalent dans les réactions de disproportion

E_total = E_oxidation + E_reduction = Mn₁+Mn₂

Pour les réactions redox où le même élément chimique subit simultanément une oxydation et une réduction

n₁, n₂: Modifications électroniques dans les demi-réactions d'oxydation et de réduction

🌿

Chapitre 14 : Principes de chimie organique et stéréochimie

4 formules

Indice de carence en hydrogène (IHD), rotation optique spécifique, excès énantiomérique et équation de Hammett

1

Indice de carence en hydrogène (degré d'insaturation)

IHD = C + 1 - (H2) - (X2) + (N2)

Détermine le nombre total de cycles et de liaisons π (double liaison = 1, triple liaison = 2, cycle benzénique = 4)

C: Nombre d'atomes de carbone H: Nombre d'atomes d'hydrogène X: Nombre d'atomes d'halogène (F, Cl, Br, I) N: Nombre d'atomes d'azote

2

Loi de rotation optique spécifique de Biot

[α]_D^T = α_obsl·c

Activité optique chirale standard mesurée par polarimétrie sodium D-line (589 nm)

[α]_D^T: Rotation optique spécifique α_obs: Angle de rotation optique observé dans le polarimètre l: Longueur du trajet du tube d'échantillon du polarimètre c: Concentration de la solution échantillon

3

Excès énantiomérique (% ee) et pureté optique

% ee = (|R -S|R + S) × 100 = (α_obsα_pure) × 100

Quantifie l'excès chiral d'un énantiomère par rapport au mélange racémique (le mélange 50:50 contient 0 % d'ee)

% ee: Pourcentage d'excès énantiomérique [R], [S]: Pourcentages molaires d'énantiomères R et S

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Relation d'énergie libre linéaire de Hammett

log(KK₀) = σ·ρ, log(kk₀) = σ·ρ

Relie les effets électroniques des substituants méta/para (σ) et la sensibilité de la réaction (ρ) aux taux d'acide benzoïque substitué

σ: Constante de substituant de Hammett (attracteur d'électrons σ > 0, donneur σ < 0) ρ: Constante de sensibilité de réaction K, K₀: Constantes d'équilibre avec et sans substituant