公式集 - Mathematics, Physics & Chemistry

📐

三角関数公式スイート

ピタゴラスの恒等式、加法定理、倍角・半角の公式、オイラーの公式、正弦・余弦定理、逆三角関数。

92+ 方程式

📊

標準単位円の三角比特殊角一覧表

度数法および弧度法（ラジアン）における主要な基準角の厳密な三角比

標準リファレンス

度 (x)	ラジアン (rad)	sin(x)	cos(x)	tan(x)	csc(x)	sec(x)	cot(x)
0°	0	0	1	0	未定義	1	未定義
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3	2	2√3/3	√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1	√2	√2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3	2√3/3	2	√3/3
90°	π/2	1	0	未定義	1	未定義	0
120°	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	2√3/3	-2	-√3/3
135°	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	√2	-√2	-1
150°	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	2	-2√3/3	-√3
180°	π	0	-1	0	未定義	-1	未定義
270°	3π/2	-1	0	未定義	-1	未定義	0
360°	2π	0	1	0	未定義	1	未定義

🔄

逆数恒等式と商恒等式

8 個の公式

一次三角比と逆三角比の基本的な関係

1

正弦逆数

sin(x) = 1csc(x)

csc(x) ≠ 0; x ≠ nπ

2

コセカントの逆数

csc(x) = 1sin(x)

sin(x) ≠ 0; x ≠ nπ

3

コサインの逆数

cos(x) = 1sec(x)

sec(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

4

正割逆数

sec(x) = 1cos(x)

cos(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

5

接線の逆数

tan(x) = 1cot(x)

cot(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

6

コタンジェントの逆数

cot(x) = 1tan(x)

tan(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

7

正接商

tan(x) = sin(x)cos(x)

直角三角形における反対と隣接の比率

8

コタンジェント商

cot(x) = cos(x)sin(x)

直角三角形における隣接と反対の比率

🪞

逆角の公式（偶数関数と奇数関数）

6 個の公式

角度の否定の下での三角関数の対称挙動

1

正弦負の角度 (奇数関数)

sin(-x) = -sin(x)

原点に対して対称

2

コサイン負の角度 (偶数関数)

cos(-x) = cos(x)

y 軸に関して対称

3

正接の負の角度 (奇数関数)

tan(-x) = -tan(x)

原点を中心とした奇妙な対称性

4

余接の負の角度 (奇数関数)

cot(-x) = -cot(x)

原点を中心とした奇妙な対称性

5

負のセカント角度 (偶数関数)

sec(-x) = sec(x)

コサインから均等な対称性を継承します

6

コセカントの負の角度 (奇数関数)

csc(-x) = -csc(x)

正弦から奇数の対称性を継承

📐

余関数の公式 (補角)

6 個の公式

補角の三角関数を接続する恒等式 (π/2 - x または 90° - x)

1

正弦余関数

sin(π2- x) = cos(x)

また: sin(90° - x) = cos(x)

2

コサイン余関数

cos(π2- x) = sin(x)

また、cos(90° - x) = sin(x)

3

接線共関数

tan(π2- x) = cot(x)

また、tan(90° - x) = cot(x)

4

コタンジェント共関数

cot(π2- x) = tan(x)

また: cot(90° - x) = Tan(x)

5

セカント共関数

sec(π2- x) = csc(x)

また: sec(90° - x) = csc(x)

6

コセカント共関数

csc(π2- x) = sec(x)

また: csc(90° - x) = sec(x)

🔺

ピタゴラスの恒等式と代数形式

9 個の公式

単位円 (x² + y² = 1) と直角三角形三角法から直接導出されます。

1

主要なピタゴラスのアイデンティティ

sin²(x) + cos²(x) = 1

すべての実角 x に対して有効な基本的な恒等式

2

サインとコサイン

sin(x) = ±√1 - cos²(x)

x の象限に基づいて選択された符号

3

サインから見たコサイン

cos(x) = ±√1 - sin²(x)

x の象限に基づいて選択された符号

4

タンジェント・セカント・ピタゴラス恒等式

1 + tan²(x) = sec²(x)

sin²(x) + cos²(x) = 1 を cos²(x) で割ることによって得られます。

5

正割線と正接の差の形式

sec²(x) - tan²(x) = 1

cos(x) ≠ 0 の場合に有効

6

コタンジェント・コセカントのピタゴラス恒等式

1 + cot²(x) = csc²(x)

sin²(x) + cos²(x) = 1 を sin²(x) で割ることによって得られます。

7

コセカントとコタンジェントの差の形式

csc²(x) - cot²(x) = 1

sin(x) ≠ 0 の場合に有効

8

単位円ラジカル正規化

√sin²(x) + cos²(x) = 1

単位円上の幾何学的斜辺の長さ

9

製品の統一性のアイデンティティ

sin(x)·csc(x) = 1, cos(x)·sec(x) = 1, tan(x)·cot(x) = 1

逆積は 1 に等しい

➕

角度の加算と減算 (複合角)

8 個の公式

2 つの角度の和と差の三角比の公式 (A ± B)

1

角度和の正弦

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

正弦加算のための主要な複合角度公式

2

角度差の正弦

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

正弦差の主要な複合角度公式

3

角度和の余弦

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

コサイン和展開のマイナス記号に注意してください

4

角度差の余弦

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

コサイン差分展開のプラス記号に注目してください

5

角度和の正接

tan(A + B) = tan(A) + tan(B)1 - tan(A)tan(B)

Tan(A)tan(B) ≠ 1 が必要です

6

角度差の正接

tan(A - B) = tan(A) - tan(B)1 + tan(A)tan(B)

Tan(A)tan(B) ≠ -1 が必要です

7

角度和の余接

cot(A + B) = cot(A)cot(B) - 1cot(B) + cot(A)

コタンジェント和の複合公式

8

角度差の余接

cot(A - B) = cot(A)cot(B) + 1cot(B) - cot(A)

コタンジェントの差の複合公式

✖️2️⃣

倍角の計算式 (2x)

7 個の公式

2倍角(2x)の関数を1角(x)で表現

1

正弦倍角

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

有理正接パラメータ化フォームが含まれています

2

コサイン倍角（標準差）

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

cos(x + x) の直接的な結果

3

コサイン倍角 (コサインのみ)

cos(2x) = 2 cos²(x) - 1

統合と電力削減に不可欠

4

コサイン倍角 (サインのみ)

cos(2x) = 1 - 2 sin²(x)

積分と半角の導出に重要

5

コサイン 2 倍角 (接線パラメーター化)

cos(2x) = 1 - tan²(x)1 + tan²(x)

コサインのワイエルシュトラスの代入関係

6

接線倍角

tan(2x) = 2 tan(x)1 - tan²(x)

Tan²(x) ≠ 1 が必要です

7

コタンジェント倍角

cot(2x) = cot²(x) - 12 cot(x)

cot(x) ≠ 0 が必要です

3️⃣

三重角の公式 (3x)

4 個の公式

単角多項式形式で表現された 3x の三角関数

1

正弦三重角

sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin³(x)

3次方程式や代数を解くのに役立ちます

2

コサイン三重角

cos(3x) = 4 cos³(x) - 3 cos(x)

直接 3 次チェビシェフ多項式 T₃(x) = 4x³ - 3x

3

接線トリプルアングル

tan(3x) = 3 tan(x) - tan³(x)1 - 3 tan²(x)

3tan²(x) ≠ 1 が必要です

4

コタンジェント三重角

cot(3x) = 3 cot(x) - cot³(x)1 - 3 cot²(x)

3cot²(x) ≠ 1 が必要です

½

半角の公式 (x/2)

6 個の公式

x/2 の象限によって決定される符号付きの半角の正確な公式

1

正弦半角

sin(x2) = ±√1 - cos(x)2

x/2 を含む象限に基づいて選択された ± 符号

2

コサイン半角

cos(x2) = ±√1 + cos(x)2

x/2 を含む象限に基づいて選択された ± 符号

3

接線半角(根形)

tan(x2) = ±√1 - cos(x)1 + cos(x)

接線の平方根半角形式

4

接線半角 (有理形式 1)

tan(x2) = 1 - cos(x)sin(x)

符号の曖昧さはありません。すべての x ≠ nπ に対して正確

5

接線半角(有理形式2/差)

tan(x2) = sin(x)1 + cos(x) = csc(x) - cot(x)

csc(x) - cot(x) の差に相当

6

余接半角

cot(x2) = 1 + cos(x)sin(x) = csc(x) + cot(x)

csc(x) + cot(x) の合計と同等

⚡

電力を低減する公式 (2 乗およびそれ以上の電力)

7 個の公式

三角関数の累乗を x の 1 次倍数に変換します (微積分積分に必須)

1

正弦二乗電力削減

sin²(x) = 1 - cos(2x)2

基礎微積分の逆微分還元: ∫sin²(x)dx

2

コサイン二乗電力削減

cos²(x) = 1 + cos(2x)2

基礎微積分の逆微分還元: ∫cos²(x)dx

3

正接二乗電力削減

tan²(x) = 1 - cos(2x)1 + cos(2x)

Tan²(x) の有理余弦分数形式

4

正弦波電力削減

sin³(x) = 3 sin(x) - sin(3x)4

sin(3x) 三重角恒等式から直接導出

5

コサイン三乗電力削減

cos³(x) = 3 cos(x) + cos(3x)4

cos(3x) 三重角恒等式から直接導出

6

正弦4次電力低減

sin⁴(x) = 3 - 4 cos(2x) + cos(4x)8

フーリエ級数および高次の積分に使用されます

7

コサイン 4 乗低減

cos⁴(x) = 3 + 4 cos(2x) + cos(4x)8

フーリエ級数および高次の積分に使用されます

✖️➡️➕

積と和の式

4 個の公式

サインとコサインの積を和と差の項に変換します (波力学と積分に重要)

1

正弦×正弦積

sin(A) sin(B) = ½ [cos(A - B) - cos(A + B)]

波干渉生成物を付加的なコンポーネントに変換します

2

コサイン×コサイン積

cos(A) cos(B) = ½ [cos(A - B) + cos(A + B)]

コサイン積を加法成分に変換します

3

サイン×コサイン積

sin(A) cos(B) = ½ [sin(A + B) + sin(A - B)]

標準信号変調積の式

4

コサイン×サイン積

cos(A) sin(B) = ½ [sin(A + B) - sin(A - B)]

相補的な生成物の分解

➕➡️✖️

和と積の式

6 個の公式

三角関数の和と差を乗積に変換します。

1

正弦波 + 正弦波の和

sin(A) + sin(B) = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)

音響波音響におけるビート周波数現象を説明します。

2

正弦 - 正弦の差

sin(A) - sin(B) = 2 sin(A - B2) cos(A + B2)

微分波解析フォーム

3

コサイン + コサインの合計

cos(A) + cos(B) = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)

偶数和積変換

4

コサイン - コサインの差

cos(A) - cos(B) = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)

先頭の負符号 (または逆順 B - A) に注目してください。

5

タンジェント + タンジェントの合計

tan(A) + tan(B) = sin(A + B)cos(A) cos(B)

結合された接線の傾きを計算します

6

接線 - 接線の差

tan(A) - tan(B) = sin(A - B)cos(A) cos(B)

接線の傾きの差を計算します

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三角形の法則と幾何学関係

7 個の公式

一般的な斜三角形を解くための法則（サイン、コサイン、タンジェントの法則、モルワイデの公式）

1

正弦の法則

asin(A) = bsin(B) = csin(C) = 2R

Rは外接円の半径（外周半径）です。

a, b, c: 辺の長さ A, B, C: 反対の角度 R: 外周半径

2

余弦の法則 (辺 a / 角 A)

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

SAS (側面-角度-側面) または SSS (側面-側面-側面) を解決します。

3

余弦の法則 (サイド b とサイド c)

b² = a² + c² - 2ac cos(B), c² = a² + b² - 2ab cos(C)

b面とc面の対称バージョン

4

接線の法則

a - ba + b = tan[½(A - B)]tan[½(A + B)]

歴史的にはナビゲーションにおける対数計算に使用されてきました。

5

モルワイデの最初の式

a + bc = cos[½(A - B)]sin(½C)

トライアングルソルバーの一貫性をチェックするための優れた公式

6

モルワイデの第 2 式

a - bc = sin[½(A - B)]cos(½C)

相補的モルワイデ整合性関係

7

三角三角形領域 (SAS)

Area = ½ a b sin(C) = ½ b c sin(A) = ½ a c sin(B)

2辺と夾角から面積を計算します

⭕

円弧の長さ、セクター、円運動

3 個の公式

ラジアン単位の角度と湾曲距離、扇形面積、および角速度を接続する関係

1

円弧長の計算式

S = r x

角度 x はラジアンで表現しなければなりません (x = x° × π / 180°)

S: 円弧の長さ r: 円の半径 x: 中心角（ラジアン）

2

円形セクターエリア

Area = ½ r² x = ½ r S

x はラジアン単位です。 1/2 × 半径 × 円弧の長さに等しい

3

線速度と角速度

v = r ω, ω = xt = 2π f

線形接線速度 v を角速度 ω および周波数 f に関連付けます。

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オイラーの公式、ド・モアブルの公式、複素三角関数

5 個の公式

指数複素解析と極三角法をつなぐ架け橋

1

オイラーの公式

e^(ix) = cos(x) + i sin(x) = cis(x)

指数関数をサインおよびコサインに直接接続します。 x=π の場合、e^(iπ) + 1 = 0 が得られます。

2

ドゥ・モアブルの公式

(r cis x)ⁿ = rⁿ cis(nx) = rⁿ [cos(nx) + i sin(nx)]

複素数の累乗と根を瞬時に計算します

3

極の乗算と除算

(r₁ cis x)(r₂ cis φ) = r₁r₂ cis(x + φ),r₁ cis xr₂ cis φ = (r₁r₂) cis(x - φ)

マグニチュードは乗算/除算します。角度引数の加算/減算

4

コサインの指数関数的な定義

cos(x) = e^(ix) + e^(-ix)2

複素指数を使用してコサインを代数的に表現します

5

正弦の指数関数的な定義

sin(x) = e^(ix) - e^(-ix)2i

複素指数関数を使用して正弦を代数的に表現します

↩️

逆三角恒等式

6 個の公式

逆循環関数のプロパティ、主値分岐の恒等式、および和の公式

1

逆相補恒等式

sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x) = π2, tan⁻¹(x) + cot⁻¹(x) = π2, sec⁻¹(x) + csc⁻¹(x) = π2

それぞれのドメインで有効: x ∈ [-1, 1]、x ∈ ℝ、|x| ≥ 1

2

逆正接和の公式

tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x + y1 - xy)

xy > 1 および x,y > 0 の場合、結果に π を加算します。

3

逆正接の差の公式

tan⁻¹(x) - tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x - y1 + xy)

標準の逆正接減算式

4

二重逆正接の複数の表現

2 tan⁻¹(x) = sin⁻¹(2x1 + x²) = cos⁻¹(1 - x²1 + x²) = tan⁻¹(2x1 - x²)

微積分に重要なワイエルシュトラスの t 置換 (t = Tan(x/2))

5

負の引数の逆恒等式

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹(x), tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹(x), cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹(x)

cos⁻¹(-x) は π - cos⁻¹(x) を生成することに注意してください。

6

逆逆関数関係

csc⁻¹(x) = sin⁻¹(1x), sec⁻¹(x) = cos⁻¹(1x), cot⁻¹(x) = tan⁻¹(1x) [x > 0]

逆関数の逆引数マッピング

⚡

微分公式・導関数ルール

べき乗・積・商・合成関数の微分法則、指数・対数・三角関数・双曲線関数の導関数。

44+ 方程式

⚡

基本的なデリバティブのルールと操作

9 個の公式

定数、べき乗、および代数の組み合わせに関する核となる演算微分規則

1

第一原理による導関数 (極限定義)

f'(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x))h

瞬間変化率としてのデリバティブの基本的な定義

2

定数ルール

ddx [c] = 0

定数 c の導関数はゼロです

3

べき乗則

ddx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

すべての実数指数 n (n ∈ ℝ) に有効です。

4

定数倍数ルール

ddx [c·f(x)] = c·f'(x)

定数による差別化の要素

5

和と差のルール

ddx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

微分は線形演算子です

6

積の法則（ライプニッツの法則）

ddx [f(x)·g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

最初に微分、2 番目にホールド、プラス最初に微分、2 番目に微分

7

商の法則

ddx [f(x)g(x)] = g(x)f'(x) - f(x)g'(x)[g(x)]²

g(x) ≠ 0 が必要です

8

連鎖ルール (複合関数)

ddx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

内部で評価された外部関数を微分し、内部の導関数を乗算します。

9

逆関数の法則

ddx [1f(x)] = -f'(x)[f(x)]²

往復関数の直接ショートカット

📈

指数微分と対数微分

7 個の公式

自然、一般的な基数の指数関数および対数関数の導関数

1

自然指数微分

ddx [eˣ] = eˣ

独自の導関数に等しい固有の非ゼロ関数

2

複合自然指数微分関数

ddx [e^(f(x))] = e^(f(x))·f'(x)

自然指数に適用される連鎖ルール

3

一般的な基本指数微分関数

ddx [aˣ] = aˣ·ln(a)

a > 0、a ≠ 1 の場合に有効

4

自然対数微分

ddx [ln(x)] = 1x

絶対値の場合: d/dx [ln|x|] = 1 / x (x ≠ 0)

5

合成自然対数導関数

ddx [ln(f(x))] = f'(x)f(x)

対数微分値 / 相対変化率

6

一般の底対数導関数

ddx [log_a(x)] = 1x·ln(a)

底微分式の変更

7

変数の基数と変数の指数 (xˣ)

ddx [xˣ] = xˣ·(1 + ln(x))

対数微分で導出 y = xˣ ⇒ ln y = x ln x

📐

三角関数の導関数

7 個の公式

6 つの標準三角関数 (sin、cos、tan、cot、sec、csc) すべての導関数

1

正弦の導関数

ddx [sin(x)] = cos(x)

サインの変化率はコサインです

2

コサインの導関数

ddx [cos(x)] = -sin(x)

「co-」関数の負符号に注意してください

3

タンジェントの導関数

ddx [tan(x)] = sec²(x)

1 + Tan²(x) にも等しい

4

コタンジェントの導関数

ddx [cot(x)] = -csc²(x)

-(1 + cot²(x)) にも等しい

5

セカントの導関数

ddx [sec(x)] = sec(x)·tan(x)

セカントとタンジェントの積

6

コセカントの導関数

ddx [csc(x)] = -csc(x)·cot(x)

コセカントとコタンジェントの積 (負の符号付き)

7

複合三角チェーンフォーム

ddx [sin(f(x))] = cos(f(x))·f'(x), ddx [cos(f(x))] = -sin(f(x))·f'(x)

標準の一般化された三角法の連鎖ルール

↩️

逆三角関数の導関数

6 個の公式

逆サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、セカント、コセカントの導関数

1

逆正弦の導関数

ddx [sin⁻¹(x)] = 1√1 - x²

ドメインは厳密に -1 と 1 の間です

2

逆余弦の導関数

ddx [cos⁻¹(x)] = -1√1 - x²

逆正弦導関数の正確な負の値

3

逆正接の導関数

ddx [tan⁻¹(x)] = 11 + x²

特異点のないすべての実数に有効

4

逆余接の導関数

ddx [cot⁻¹(x)] = -11 + x²

逆正接導関数の正確な負の値

5

逆セカントの導関数

ddx [sec⁻¹(x)] = 1|x|·√x² - 1

|x| が必要です> 1

6

逆コセカントの導関数

ddx [csc⁻¹(x)] = -1|x|·√x² - 1

逆セカント導関数の完全負

〰️

双曲線導関数と逆双曲線導関数

9 個の公式

sinh、cosh、tanh の導関数、およびそれぞれの逆関数

1

双曲線正弦の導関数 (sinh x)

ddx [sinh(x)] = cosh(x)

(通常のコサインとは異なり) 負の符号がないことに注意してください。

2

双曲線余弦の導関数 (cosh x)

ddx [cosh(x)] = sinh(x)

プラスの変化率

3

双曲線正接の導関数 (tanh x)

ddx [tanh(x)] = sech²(x)

ニューラルネットワーク活性化バックプロパゲーションに重要

4

双曲線余接の導関数 (coth x)

ddx [coth(x)] = -csch²(x)

負の双曲線コセカントの二乗

5

双曲線正割の導関数 (sech x)

ddx [sech(x)] = -sech(x)·tanh(x)

負の双曲線積

6

双曲線コセカントの導関数 (csch x)

ddx [csch(x)] = -csch(x)·coth(x)

負の双曲線積

7

逆双曲線正弦の導関数

ddx [arsinh(x)] = 1√x² + 1

すべての実数 x に対して有効です

8

逆双曲線余弦の導関数

ddx [arcosh(x)] = 1√x² - 1

x > 1 の場合に有効

9

逆双曲線正接の導関数

ddx [artanh(x)] = 11 - x²

|x| に対して有効です< 1

🔬

高度な微分テクニックと定理

6 個の公式

陰的微分、パラメトリック曲線、ロピタル則、テイラー展開

1

パラメトリック一次導関数 (dy/dx)

dydx = dydtdxdt

パラメトリック方程式 x(t)、y(t) から曲線の接線の傾きを計算します

2

パラメトリック二次導関数 (d²y/dx²)

d²ydx² = [ddt (dydx)]dxdt

パラメトリック曲線の凹面を計算します

3

ロピタルのルール (0/0 または ∞/∞ の制限)

lim[x→c] f(x)g(x) = lim[x→c] f'(x)g'(x)

分子と分母を個別に微分することで不定の極限を解決します

4

平均値定理 (MVT)

f'(c) = f(b) - f(a)b - a

瞬間的な変化率が平均的な変化率と等しくなる点を保証します

5

x = a を中心としたテイラー級数展開

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(a)n!)·(x - a)ⁿ

平滑微分可能関数の多項式近似

6

マクローリン級数展開 (a = 0)

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(0)n!)·xⁿ

原点 (x = 0) を中心とするテイラー級数

∫

積分公式・標準不定積分

試験対応の標準不定積分、指数・対数・三角関数、置換積分法、部分積分法。

54+ 方程式

∫

基本的な統合ルールと権限

6 個の公式

定数、代数累乗、および線形結合に関する基本的な逆微分規則

1

定積分

∫ k dx = k·x + C

定数 k の逆微分は k・x + C です

2

積分のべき乗則

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

n = -1 を除くすべての実数 n に対して有効です。

3

逆関数積分 (1/x)

∫ (1x) dx = ln|x| + C

べき乗則における n = -1 の重要な特殊ケース

4

線形積分則

∫ [a·f(x) ± b·g(x)] dx = a ∫ f(x) dx ± b ∫ g(x) dx

積分は線形関数演算です

5

線形複合電力則

∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

線形二項累乗のショートカット

6

線形合成逆積分

∫ (1ax + b) dx = (1a)·ln|ax + b| + C

標準線形分母積分公式

📈

指数積分と対数積分

6 個の公式

自然 eˣ、一般底 aˣ、対数項を含む逆微分

1

自然指数積分

∫ eˣ dx = eˣ + C

関数は定数 C までの独自の逆微分に等しい

2

スケーリングされた指数積分 (eᵃˣ)

∫ e^(ax) dx = (1a)·e^(ax) + C

標準のスケーリングされた指数積分ルール

3

一般基底指数積分 (aˣ)

∫ aˣ dx = aˣln(a)+ C

導関数に ln(a) を掛けるため、ln(a) で除算されます。

4

自然対数積分

∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x + C

u = ln x、dv = dx の部分による積分を使用して導出されます。

5

一般の底対数積分

∫ log_a(x) dx = x·ln(x) - xln(a)+ C

対数の底積分の変更

6

積積分 (x · eˣ)

∫ x·eˣ dx = eˣ(x - 1) + C

部品アプリケーションによる従来の統合

📐

基本的な三角積分

6 個の公式

標準三角関数導関数に対応する直接逆導関数

1

正弦波の積分

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

sin の逆微分における負の符号に注意してください

2

コサインの積分

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

直接標準三角関数の逆微分

3

正割二乗積分

∫ sec²(x) dx = tan(x) + C

タンジェントの導関数はセカント二乗なので

4

コセカント二乗積分

∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C

コタンジェントの導関数は -csc²(x) なので

5

セカント×タンジェントの積分

∫ sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C

sec(x) の直接微分反転

6

コセカントの積分×コタンジェント

∫ csc(x) cot(x) dx = -csc(x) + C

csc(x) の直接微分反転

⚡

拡張および二乗三角関数積分

8 個の公式

Tan、cot、sec、csc、および二乗三角関数項の積分

1

接線の積分

∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C = -ln|cos(x)| + C

u = cos(x) を代入して評価します

2

コタンジェントの積分

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C = -ln|csc(x)| + C

u = sin(x) を代入して評価します

3

セカントの積分

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

有名な積分積分乗算 (sec x + Tan x)/(sec x + Tan x)

4

コセカントの積分

∫ csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C = ln|tan(x2)| + C

標準対数余割積分

5

正弦二乗の積分 (sin² x)

∫ sin²(x) dx = (x2) - (sin(2x)4) + C

電力削減恒等式 sin²(x) = (1 - cos 2x)/2 を使用して評価

6

コサイン二乗の積分 (cos² x)

∫ cos²(x) dx = (x2) + (sin(2x)4) + C

電力削減恒等式 cos²(x) = (1 + cos 2x)/2 を使用して評価

7

正接二乗の積分 (tan² x)

∫ tan²(x) dx = tan(x) - x + C

恒等式 Tan²(x) = sec²(x) - 1 を使用して評価

8

コタンジェント 2 乗の積分 (cot² x)

∫ cot²(x) dx = -cot(x) - x + C

恒等式 cot²(x) = csc²(x) - 1 を使用して評価されます。

↩️

逆三角関数を生成する積分

5 個の公式

逆微分が逆三角関数である標準的な代数分数積分

1

積分降伏逆正弦

∫ (1√a² - x²) dx = sin⁻¹(xa) + C

逆サインの外側に 1/a 因数がないことに注意してください

2

積分降伏逆正接

∫ (1a² + x²) dx = (1a)·tan⁻¹(xa) + C

逆サインとは異なり、1/a 係数が必要です

3

積分降伏逆セカント

∫ (1x·√x² - a²) dx = (1a)·sec⁻¹(|x|a) + C

1/a 係数と絶対値 |x| を含む

4

1 / (x² - a²) の積分

∫ (1x² - a²) dx = (12a)·ln|(x - a)x + a| + C

部分分数分解 1/(x²-a²) によって取得されます。

5

1 / (a² - x²) の積分

∫ (1a² - x²) dx = (12a)·ln|(a + x)a - x| + C

部分分数分解 1/(a²-x²) によって取得されます。

√

特殊な根平方根積分

4 個の公式

三角関数の代入によって解かれた標準根積分 (x = a sin θ、a Tan θ、a sec θ)

1

√(a² - x²) の積分

∫ √a² - x² dx = (x2)√a² - x² + (a²2)sin⁻¹(xa) + C

円形および楕円形の扇形領域の計算に使用されます

2

√(x² + a²) の積分

∫ √x² + a² dx = (x2)√x² + a² + (a²2)ln|x + √x² + a²| + C

代入 x = atan θ または双曲線 x = a sinh u を使用して解決します。

3

√(x² - a²) の積分

∫ √x² - a² dx = (x2)√x² - a² - (a²2)ln|x + √x² - a²| + C

置換 x = a sec θ または双曲線 x = a cosh u を使用して解決します。

4

1 / √(x² ± a²) の積分

∫ (1√x² ± a²) dx = ln|x + √x² ± a²| + C

それぞれ、arsinh(x/a) および arcosh(x/a) にも等しい

〰️

双曲線関数積分

6 個の公式

sinh、cosh、tanh、および双曲線三角関数形式の逆導関数

1

双曲線正弦の積分 (sinh x)

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

正の cosh(x) + C (負符号なし)

2

双曲線余弦の積分 (cosh x)

∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

直接双曲線逆誘導体

3

双曲線正接の積分 (tanh x)

∫ tanh(x) dx = ln(cosh x) + C

すべての実数 x に対して cosh x > 0 であるため、絶対値は必要ありません

4

双曲線正割二乗積分 (sech² x)

∫ sech²(x) dx = tanh(x) + C

Tanh(x) を求める直接逆微分

5

双曲線余割二乗積分 (csch² x)

∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C

負の双曲線余接

6

sech(x)・tanh(x)の積分

∫ sech(x) tanh(x) dx = -sech(x) + C

双曲線正接積の逆導関数

🛠️

統合技術と方法

4 個の公式

一般的な分析統合手法: 部分、置換、および部分分数

1

部品による統合計算式

∫ u dv = u·v - ∫ v du

LIATE ルール (対数、逆三角関数、代数関数、三角関数、指数関数) を使用して u を選択します

2

U-置換による積分（変数の変更）

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du

微分の連鎖則を逆転させる

3

ワイエルシュトラスの半角置換 (t = Tan(x/2))

sin(x) = 2t1+t², cos(x) = 1-t²1+t², dx = 2dt1+t²

任意の有理三角積分を有理多項代数積分に変換します。

4

対数微分形式 (∫ f'(x)/f(x) dx)

∫ (f'(x)f(x)) dx = ln|f(x)| + C

分子が分母の正確な導関数である場合

📊

定積分と基本定理

5 個の公式

微積分の基本定理 (FTC)、対称性、およびライプニッツ則

1

微積分の基本定理 (パート 1 - 積分の微分)

ddx [ ∫xa f(t) dt ] = f(x)

微分と積分を逆算術演算として接続します。

2

微積分の基本定理 (パート 2 - 評価定理)

∫ba f(x) dx = F(b) - F(a)

正味面積と期間にわたる累積変化を評価します [a、b]

3

積分記号の下で微分するためのライプニッツの規則

ddx [ ∫v(x)u(x) f(t) dt ] = f(v(x))·v'(x) - f(u(x))·u'(x)

連鎖ルールを変数積分下限および上限に拡張

4

[-a, a] 上の定積分の偶数/奇数関数の対称性

Even: ∫a-a f(x) dx = 2 ∫a0 f(x) dx, Odd: ∫a-a f(x) dx = 0

対称積分境界の瞬時単純化 [-a, a]

5

定積分の平均値定理

f_avg = (1b - a)·∫ba f(x) dx = f(c)

[a, b] にわたる連続関数の真の平均値を計算します。

🔁

三角関数の縮約公式

4 個の公式

高次の三角関数を積分するための再帰的リダクション公式 (sinⁿ x、cosⁿ x、tanⁿ x、secⁿ x)

1

正弦波電力低減公式

∫ sinⁿ(x) dx = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x)n+ (n - 1n) ∫ sinⁿ⁻²(x) dx

反復ごとに正弦のべき乗を 2 ずつ減らします

2

コサイン電力低減公式

∫ cosⁿ(x) dx = cosⁿ⁻¹(x)sin(x)n+ (n - 1n) ∫ cosⁿ⁻²(x) dx

反復ごとにコサインの累乗を 2 ずつ減らします。

3

接線電力低減公式

∫ tanⁿ(x) dx = tanⁿ⁻¹(x)n - 1 - ∫ tanⁿ⁻²(x) dx

Tanⁿ(x) の高速代数還元

4

セカント電力低減公式

∫ secⁿ(x) dx = secⁿ⁻²(x)tan(x)n - 1 + (n - 2n - 1) ∫ secⁿ⁻²(x) dx

割線のより高い累乗を減らします (例: ∫sec³ x dx)

🧮

数学総合公式スイート

代数恒等式、2D/3D幾何学、行列、ベクトル、級数展開、微分方程式、確率統計定理。

54+ 方程式

🔢

第 1 章: 代数恒等式、多項式、不等式

9 個の公式

二項展開、立方体の和・差、ビエタ関係、二項定理、基本不等式

1

二次方程式の公式と根

x = -b ± √b² - 4ac2a

標準二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解。判別式 Δ = b² - 4ac は実数/複素数の性質を決定します

x: 二次方程式の根 a, b, c: 多項式係数 (a ≠ 0) Δ = b² - 4ac: 判別式 (Δ > 0 の異なる実数、Δ = 0 の繰り返し、Δ < 0 の複素共役)

2

二項平方および立方体拡張恒等式

(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

代数二項式の基本多項式展開

a, b: 代数項または実数

3

三項平方恒等式

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

3項の和の2乗展開

a, b, c: 代数変数

4

立方体の差と和の因数分解

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

3次項の和と差に対する正確な代数因数分解

a, b: 基本用語

5

オイラーの 3 変数 3 次恒等式

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

特殊な場合: a + b + c = 0 の場合、a3 + b3 + c3 = 3abc

a, b, c: 実数変数または複素数変数

6

一般二項定理

(x + y)ⁿ = ∑[k = 0 to n] (n!k!(n - k)!)·xⁿ⁻ᵏ·yᵏ

組み合わせ係数を使用して二項和の正の整数累乗を展開します。

n: 非負の整数べき乗 k: 用語インデックス (0 ～ n)

7

Vieta の多項式根の公式

Quadratic: r₁ + r₂ = -ba, r₁·r₂ = ca; Cubic: ∑ r_i = -ba, ∑ r_i r_j = ca, r₁r₂r₃ = -da

多項式の根と係数の間の直接的な関係

r_i: 多項式の根 P(x) = 0

8

AM-GM-HM 古典的な意味は不平等

AM ≥ GM ≥ HM ⟹ a₁ + a₂ + ... + a_nn ≥ ⁿ√a₁·a₂·...·a_n ≥ n1a₁+1a₂+ ... +1a_n

すべての要素 a₁ = a₂ = ... = a_n の場合に限り、等価性が成立します。

AM: 算術平均 GM: 幾何平均 HM: 調和平均

9

コーシー・シュワルツ不等式

(∑[i = 1 to n] a_i·b_i)² ≤ (∑[i = 1 to n] a_i²)·(∑[i = 1 to n] b_i²)

実数/複素内積空間における普遍的不等式

a_i, b_i: 実数またはベクトル成分のシーケンス

📐

第 2 章: 2D 座標幾何学と円錐曲線

8 個の公式

距離、断面式、直線、円、放物線、楕円、双曲線

1

2D ユークリッド距離と断面式

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², x = m·x₂ ± n·x₁m ± n

(x₁, y₁)と(x₂, y₂)を結ぶ線分の直線距離と内外比分割

d: ユークリッド距離 m : n: セグメント分割率

2

靴紐の三角形と多角形の面積計算式

Area = ½·|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

3 つの頂点の座標から平面領域を計算します。ゼロ領域は共線性を意味します

(x_i, y_i): 頂点座標

3

直線方程式と垂直距離

y - y₁ = m·(x - x₁), d_perp = |A·x₀ + B·y₀ +C|√A² + B²

点と傾きの方程式および点 (x₀, y₀) から直線までの最短垂直距離 Ax + By + C = 0

m: 線の傾き (tan θ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) d_perp: 線までの垂直距離

4

2 つの交差する線の間の角度

tan(θ) = |(m₂ - m₁)1 + m₁·m₂|

鋭角な交差角。平行線は m₁ = m₂ です。垂直線は m₁・m₂ = -1 となります。

m₁, m₂: 交差する 2 つの線の傾き

5

サークルの標準および一般的な形式

(x - h)² + (y - k)² = r², x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ⟹ r = √g² + f² - c

中心 (h, k) と半径 r の円方程式

(h, k): 円の中心座標 r: 円の半径

6

パラボラの標準形状と偏心率

y² = 4ax, Focus: (a, 0), Directrix: x = -a, Latus Rectum: 4a, e = 1

焦点および準線から等距離にある点の軌跡 (離心率 e = 1)

a: 焦点距離パラメータ

7

楕円の標準形状、離心率、面積

x²a²+y²b² = 1, e = √1 -b²a², Foci: (±ae, 0), Area = π·a·b

長半径 a、短半径 b、離心率 e < 1 の標準水平楕円

a, b: 準長軸と準短軸 e: 偏心率 (0 < e < 1)

8

双曲線の標準形と漸近線

x²a²-y²b² = 1, e = √1 +b²a², Asymptotes: y = ±(ba)·x

離心率 e > 1 の円錐断面と原点を通る線形漸近線

e: 双曲線離心率 (e > 1)

🧊

第 3 章: 3D ソリッドジオメトリと測定

6 個の公式

3D 距離、球、円柱、円錐、錐台、トロイド、および 3D 平面方程式

1

3D 距離公式と球方程式

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)², (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

3D デカルト空間のユークリッド距離と中心 (x₀、y₀、z₀) および半径 R の球方程式

d: 3D空間距離 R: 球の半径

2

球と円柱の測定式

Sphere: V = (43)·π·R³, A = 4·π·R²; Cylinder: V = π·r²·h, A_total = 2·π·r·(r + h)

固体 3D 球および円柱の体積容量と総表面積の式

R, r: 半径 h: シリンダーの高さ

3

右円錐と錐台のボリューム

Cone: V = (13)·π·r²·h, l = √r² + h²; Frustum: V = (13)·π·h·(R² + r² + R·r)

傾斜高さ l、側表面積 A_lat = π・r・l、および円錐台の体積

R, r: 錐台の底部と上部の半径 h: 垂直高さ l: 傾斜高さ

4

トーラス (ドーナツ) の体積と表面積

V_torus = 2·π²·R·r², A_torus = 4·π²·R·r

中心から長半径 R の軸の周りに半径 r の円を回転させることによって生成される回転体 (R ≧ r)

R: 主半径（チューブの中心からトーラスの中心までの距離） r: 副半径（チューブの半径）

5

3D 平面方程式と法線ベクトル

A·(x - x₀) + B·(y - y₀) + C·(z - z₀) = 0 ⟹ Ax + By + Cz + D = 0

法線ベクトル n = <A, B, C> の点 (x₀, y₀, z₀) を通る平面の方程式

A, B, C: 法線ベクトルの方向番号

6

3D のスキューライン間の最短距離

d = |(a₂ - a₁)·(b₁ × b₂)||b₁ × b₂|

2 本の交差せず、平行ではない 3D ライン間の絶対最短距離を計算します。 r1 = a1 + λb1 および r2 = a2 + μb2

a₁, a₂: ベクトルを 1 行目と 2 行目に配置します b₁, b₂: ライン 1 とライン 2 の方向ベクトル

📊

第 4 章: 線形代数と行列理論

5 個の公式

行列式、逆行列、クレイマー則、固有値、固有ベクトル、ケイリー・ハミルトンの定理

1

行列行列式 (2×2 および 3×3)

det(A_2x2) = ad - bc, det(A_3x3) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

線形変換下でのスカラー値のスケーリングボリューム。 det(A) = 0 は非可逆特異行列を示します

det(A): 行列 A の行列式

2

逆行列と共役の公式

A⁻¹ = (1det(A))·adj(A) = (1det(A))·(C)^T

逆行列。adj(A) は余因子行列 C の転置です。

A⁻¹: A · A⁻¹ = I となるような乗法逆行列 adj(A): アジュゲート/古典的アジョイント行列

3

線形システムのクレイマーの法則

x_i = det(A_i)det(A)

n 連立一次方程式 Ax = b を解くための明示的な代数式。ここで、A_i の列 i は b に置き換えられます。

x_i: 解ベクトルのコンポーネント A_i: i 番目の列を定数ベクトル b に置き換えることによって形成される行列

4

固有値と特性方程式

det(A - λ·I) = 0, (A - λ·I)·v = 0

特性多項式根はスカラー固有値 λ を生成します。対応する非ゼロベクトル v は固有ベクトルです

λ: 固有値スカラー I: 恒等行列 v: 固有ベクトル

5

トレースと決定的な固有値の関係

tr(A) = ∑[i = 1 to n] λ_i = ∑[i = 1 to n] a_ii, det(A) = ∏[i = 1 to n] λ_i

行列トレースは固有値の合計と等しくなります。行列式はすべての固有値の積に等しい

tr(A): 行列のトレース (主対角要素の合計) λ_i: すべての固有値のセット

🧭

第 5 章: ベクトル微積分とフィールド演算子

5 個の公式

ドット積とクロス積、三重積、勾配、発散、カール、ラプラシアン

1

ベクトルドット (スカラー) およびクロス (ベクトル) 製品

u·v = |u||v|·cos(θ) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z, |u × v| = |u||v|·sin(θ)

基本的なベクトル積: ドット積はスカラー射影を生成します。外積により直交ベクトルが得られます

u·v: スカラー積 u × v: ベクトル積 θ: ベクトル間の角度

2

トリプル積 (スカラートリプル & BAC-CAB ルール)

[u v w] = u·(v × w), a × (b × c) = b·(a·c) - c·(a·b)

スカラー三重積は直方体の体積を計算します。 BAC-CAB ルールにより二重クロス積が拡張

[u v w]: ベクトル u、v、w によって形成される直方体の体積

3

スカラー場の勾配 (∇f)

∇f = (∂f∂x)·î + (∂f∂y)·ĵ + (∂f∂z)·k̂

スカラー関数 f の最大増加率の方向を指すベクトル。大きさは最大傾きに等しい

∇f: 勾配ベクトル場 f(x, y, z): 微分可能なスカラー場

4

ベクトル場の発散 (∇・F) とカール (∇×F)

∇·F = ∂F_x∂x+∂F_y∂y+∂F_z∂z,  ∇ × F = (∂F_z∂y-∂F_y∂z)·î + (∂F_x∂z-∂F_z∂x)·ĵ + (∂F_y∂x-∂F_x∂y)·k̂

発散は外側への磁束密度を測定します (∇・F = 0 はソレノイドです)。カールは回転渦度を測定します (∇×F = 0 は非回転です)

∇·F: 発散スカラー場 ∇ × F: カールベクトルフィールド

5

ラプラシアン演算子 (∇²f)

∇²f = ∇·(∇f) = ∂²f∂x² + ∂²f∂y² + ∂²f∂z²

高調波ポテンシャル、熱拡散、波の伝播を制御する 2 次微分演算子

∇²f: ラプラシアンスカラー場 (∇²f = 0 はラプラス方程式)

🔄

第 6 章: 多変数積分定理

4 個の公式

グリーンの定理、ストークスの定理、ガウスの発散定理、ヤコビアン

1

平面におけるグリーンの定理

∮[C] (L dx + M dy) = ∬[D] (∂M∂x - ∂L∂y) dA

正方向の単純な閉曲線 C の周囲の反時計回りの線積分を、閉じた領域 D 上の二重積分に関連付けます。

C: 境界曲線∂D D: 囲まれた 2D 平面領域

2

ストークスのカール定理

∮[C] F·dr = ∬[S] (∇ × F)·dS

境界曲線 C に沿った循環線積分を、配向可能表面 S 上のカール ∇×F の表面磁束積分に関連付けます。

F: ベクトルフィールド S: 曲線 C で囲まれた方向付けされた滑らかなサーフェス

3

ガウスの発散定理

∯[S] F·dS = ∭[V] (∇·F) dV

閉曲面 S を横切るベクトル場 F の外向き正味磁束は、内部体積 V 全体にわたる発散 ∇・F の体積積分に等しい

S: 閉じた境界面 ∂V V: 囲まれた 3D 空間ボリューム

4

座標置換のヤコビアン行列式

J = ∂(x, y)∂(u, v) = (∂x∂u)(∂y∂v) - (∂x∂v)(∂y∂u), dx dy = |J| du dv

変数の多変数変化時の面積/体積スケーリング係数 (極: J = r、球面: J = ρ² sin φ)

J: ヤコビアン行列行列式

🌐

第 7 章: 複素数と複素解析

4 個の公式

オイラーの公式、ド・モアブルの定理、コーシー・リーマン解析、コーシー剰余定理

1

複雑な極、係数、オイラー表現

z = x + iy = r·(cos(θ) + i·sin(θ)) = r·e^(iθ), r = √x² + y², θ = tan⁻¹(yx)

アルガン平面における複素数の幾何学的表現

r = |z|: 弾性率 / 絶対振幅 θ: 主引数位相角 i: 虚数単位 (i² = -1)

2

ド・モアブルの定理と統一性の n 次根

(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ) = e^(inθ), z_k = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)n)

複素平面で整数/分数べき乗と対称 n 乗根を計算します

n: べき乗またはルートインデックス k: ルートブランチインデックス (0, 1, ..., n-1)

3

コーシー・リーマン解析方程式

∂u∂x = ∂v∂y, ∂u∂y = -(∂v∂x)

複素関数 f(z) = u(x, y) + i・v(x, y) が正則・複素微分可能となるための必要十分条件

u(x, y): 複素関数の実部 v(x, y): 複素関数の虚数部

4

コーシーの積分公式と剰余定理

f(z₀) = (12πi)·∮[C] (f(z)z - z₀) dz, ∮[C] f(z) dz = 2πi·∑ Res(f, z_k)

囲まれた特異点と剰余を介して輪郭積分を評価します Res(f, z₀) = lim[z→z₀] (z - z₀)f(z)

Res(f, z_k): 孤立極 z_k の残留物

📈

第 8 章: シーケンス、無限級数、フーリエ解析

4 個の公式

幾何級数と AGP 級数、テイラー展開とマクローリン展開、およびフーリエ級数

1

幾何級数 (有限和と無限和)

S_n = a·(1 - rⁿ)1 - r, S_∞ = a1 - r (|r| < 1)

第一項aと公比rの等比数列の和

a: 前期 r: 公比 S_∞: 無限和 (|r| < 1 の場合に収束)

2

Taylor & Maclaurin シリーズの拡張

f(x) = ∑[n = 0 to ∞] (fⁿ(a)n!)·(x - a)ⁿ = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)2!)(x - a)² + ...

展開点 a における導関数の無限多項式和としての滑らかな関数の表現 (a = 0 の場合のマクローリン)

fⁿ(a): 点aで評価されたfのn次導関数 n!: 階乗 (n! = n · (n - 1) · ... · 1)

3

標準マクローリン級数 (eˣ、sin x、cos x、ln(1+x))

eˣ = 1 + x +x²2!+x³3!+ ..., sin x = x -x³3!+x⁵5!- ..., cos x = 1 -x²2!+x⁴4!- ...

無限の収束半径を持つ無限べき級数表現 (R = ∞)

x: 実数または複素変数

4

周期関数のフーリエ級数展開

f(x) = a₀2+ ∑[n = 1 to ∞] [a_n·cos(nπxL) + b_n·sin(nπxL)]

周期 2L の周期波形を高調波正弦波直交成分の無限和に分解します。

a_n, b_n: フーリエスペクトル係数: a_n = (1/L) ∫[-L to L] f(x) cos(nπx/L) dx 2L: 基本的な機能期間

⚡

第 9 章: 微分方程式 (ODE および PDE)

4 個の公式

1 次の積分係数、2 次の定係数 ODE、ラプラス変換、および偏微分方程式

1

1 次線形 ODE (積分係数法)

dydx + P(x)·y = Q(x) ⟹ y·e^(∫ P dx) = ∫ Q(x)·e^(∫ P dx) dx + C

積分係数を用いた一般解法 I(x) = exp(∫P dx)

I(x): 積分係数 e^(∫ P dx) C: 任意の積分定数

2

2 次線形同次常微分方程式 (特性根)

a·y'' + b·y' + c·y = 0 ⟹ a·λ² + b·λ + c = 0, λ = -b ± √b² - 4ac2a

ルートは解の形式を決定します: 個別の実数 (C1e^λ₁x + C2e^λ₂x)、反復 ((C1 + C2x)e^λx)、複素数 α±iβ (e^αx(C1cos βx + C2sin βx))

λ: 特性方程式の根 C₁, C₂: 境界/初期条件定数

3

ラプラス変換と導関数プロパティ

L{f(t)} = F(s) = ∫∞0 e^(-st)·f(t) dt, L{f'(t)} = s·F(s) - f(0)

線形微分方程式を複素周波数 s 領域の代数方程式に変換します。

F(s): ラプラス s ドメイン関数 s: 複素周波数パラメータ (σ + iω)

4

古典的な偏微分方程式 (波、熱、ラプラス)

Wave: ∂²u∂t² = c²·(∂²u∂x²);   Heat: ∂u∂t = α·(∂²u∂x²);   Laplace: ∂²u∂x² + ∂²u∂y² = 0

物理学と工学を支配する 3 つの基本的な線形 2 次偏微分方程式

c: 波の伝播速度 α: 熱拡散率定数

🎲

第 10 章: 確率と統計分布

5 個の公式

ベイズの定理、期待値、分散、二項分布、ポアソン分布、ガウス正規分布

1

ベイズの定理と全確率の法則

P(A | B) = P(B | A)·P(A)P(B) = P(B | A)·P(A)∑ P(B | A_i)·P(A_i)

事前確率 P(A) と条件付き尤度 P(B|A) に基づいて事後確率 P(A|B) を計算します。

P(A | B): イベント B が発生した場合のイベント A の事後確率 P(A): Aの事前確率 P(B | A): A が与えられた場合の B の可能性

2

期待値と分散の関係

E[X] = ∑ x_i·P(x_i), Var(X) = E[X²] - (E[X])² = σ², SD(X) = σ = √Var(X)

平均中心と平均周囲の分散を測定する第 1 および第 2 中心モーメント

E[X]: 数学的期待値 / 母平均 (μ) Var(X): 母集団分散 (σ²) σ: 標準偏差

3

二項確率分布

P(X = k) = (n!k!(n - k)!)·pᵏ·(1 - p)ⁿ⁻ᵏ, μ = n·p, σ² = n·p·(1 - p)

成功確率 p の n 個の独立したベルヌーイ試行における正確に k 回の成功の確率

n: 独立した試験の合計数 k: 成功数 p: 試行ごとの成功確率

4

ポアソン確率分布

P(X = k) = λᵏ·e^(-λ)k!, μ = λ, σ² = λ

一定の平均レート λ で一定の時間/空間間隔での稀な離散イベントの発生をモデル化します。

λ: 平均出現率パラメータ (λ > 0) k: イベント数 (0、1、2...)

5

ガウス正規分布と Z スコア

f(x) = (1σ·√2π)·e^(-(x - μ)²2σ²), Z = X - μσ

中心極限定理を支配する連続対称釣鐘型確率密度関数

μ: 分布平均中心 σ: 標準偏差スプレッドパラメータ Z: 標準化された Z スコア (σ 単位の平均からの無次元距離)

⚛️

物理学総合公式スイート

運動学、ニュートンの法則、回転力学、万有引力、熱力学、単振動、マクスウェル方程式、波動光学、量子物理学。

158+ 方程式

🏃

第 1 章: 運動学と 1D/2D モーション

13 個の公式

運動方程式、変位、平均および瞬間速度、加速度、発射体の軌道

1

平均速度

v_avg = ΔxΔt = x_f - x_it_f - t_i

かかった合計時間間隔に対する合計変位の比率

v_avg: 平均速度 Δx: 変位 Δt: 経過時間

2

瞬間速度

v = dxdt = lim[Δt→0] (ΔxΔt)

時間に関する位置座標ベクトルの 1 回微分値

v: 瞬間速度 x(t): 時間の位置関数

3

瞬間加速度

a = dvdt = d²xdt² = v·(dvdx)

時間または位置に対する速度の変化率

a: 加速度 v: 速度

4

SUVAT 第 1 運動方程式 (速度-時間)

v = u + a·t

等加速度下での最終速度と初速度の関係 a

v: 最終速度 u: 初速度 a: 一定加速度 t: 経過時間

5

SUVAT 第 2 運動方程式 (変位-時間)

s = u·t + ½·a·t²

一定加速度下の総直線変位を計算します

s: 変位 u: 初速度 a: 一定加速度 t: 経過時間

6

SUVAT の第 3 運動方程式 (速度 - 変位)

v² = u² + 2·a·s

一定加速度のための時間に依存しない運動学的関係

v: 最終速度 u: 初速度 a: 一定加速度 s: 変位

7

n番目の秒の変位

s_n = u + (a2)·(2n - 1)

特に n 秒目の動作中の変位を計算します

s_n: n秒目の変位 n: 2 番目の数値 (n = 1、2、3...)

8

平均速度を使用した変位

s = ½·(u + v)·t

一様な等線加速度下の運動に有効

s: 変位 u, v: 初速度と終速度

9

発射体の最大高さ

H_max = u²·sin²θ2g

角度 θ で発射された発射体が到達する最大垂直高度

u: 発射初速度 θ: 水平方向の打ち出し角度 g: 重力加速度 (9.81 m/s²)

10

発射体の総飛行時間

T = 2u·sinθg

打ち上げから平地への着陸までの総滞空時間

T: 総飛行時間 u: 初起動速度

11

発射体の水平範囲

R = u²·sin(2θ)g

水平方向最大飛距離（打ち出し角θ＝45°での最大値）

R: 水平範囲 u: 発射速度 θ: 投影角度

12

発射体の放物線軌道方程式

y = x·tanθ -g·x²2u²·cos²θ = x·tanθ·(1 -xR)

純粋な放物線運動を示すデカルトパス座標 (x, y)

(x, y): 瞬時位置座標 R: 水平範囲

13

相対速度ベクトル

v_(AB) = v_A - v_B, v_(AB) = √v_A² + v_B² - 2v_A·v_B·cosθ

移動体Bの基準座標系から観測された物体Aの速度

v_(AB): A 対 B の相対速度 θ: 速度ベクトル間の角度

⚖️

第 2 章: 運動、摩擦、円動力学の法則

12 個の公式

ニュートンの三法則、線運動量、力積、静摩擦・動摩擦、向心力、バンク角

1

直線的な勢い

p = m·v

質量と速度の積。外力ゼロの孤立系で保存される

p: 線形運動量 m: 質量 v: 速度

2

ニュートンの運動の第 2 法則

F_net = dpdt = m·a (for constant mass)

正味の外力は線形運動量の瞬間的な変化率に等しい

F_net: 正味合力 m: 慣性質量 a: 加速度

3

力積・運動量定理

J = ∫ F dt = F_avg·Δt = Δp = m·v_f - m·v_i

持続時間Δtにわたる力の力積は、生成される運動量の合計変化に等しい

J: インパルス F_avg: 平均衝撃力 Δp: 線運動量の変化

4

最大静的制限摩擦

f_s(max) = μ_s·N

閾値までの相対運動の傾向に対抗する自動調整抵抗力

f_s: 静摩擦力 μ_s: 静摩擦係数（無次元） N: 通常反力接触力

5

運動・滑り摩擦

f_k = μ_k·N

アクティブな相対滑り運動に対抗する一定の抵抗力 (通常、μ_k < μ_s)

f_k: 動摩擦力 μ_k: 動摩擦係数 N: 垂直抗力

6

摩擦角と安息角

tan(θ_repose) = μ_s, tan(λ) = f_s(max)N = μ_s

物体が重力によって滑り落ち始める最小傾斜角度

θ_repose: 安息角 μ_s: 静摩擦係数

7

向心加速度

a_c = v²r = ω²·r = v·ω = 4π²·rT²

半径 r の円軌道に対する半径方向内向きの加速度

a_c: 向心加速度 v: 接線線速度 ω: 角速度 r: 曲率半径

8

求心力

F_c = m·v²r = m·ω²·r

円軌道運動を維持するために必要な正味内向きの力

F_c: 求心力 m: 物体の質量 r: 軌道半径/回転

9

バンクカーブ道路での最適な安全速度

v_opt = √r·g·tanθ

車両が側面摩擦摩耗をゼロにして旋回を通過する速度

v_opt: 理想的なバンキング速度 θ: バンク仰角 r: 円弧の半径

10

摩擦のあるバンク道路での最大安全速度

v_max = √[r·g·(μ_s + tanθ)1 - μ_s·tanθ ]

摩擦のあるバンク路面で外側に横滑りが発生するまでの上限速度

v_max: 最大旋回速度 μ_s: 路面静摩擦係数

11

円錐振り子の期間

T = 2π·√L·cosθg, Tension: T_string = m·gcosθ

円錐角θと弦長Lの水平円を描くボブの周期

T: 革命の時代 L: 文字列の長さ θ: 垂直方向の半垂直角

12

垂直円運動の限界速度

v_bottom ≥ √5gr, v_top ≥ √gr, T_bottom - T_top = 6mg

弦を緩めることなく垂直ループを完了するための最小速度しきい値

r: 垂直ループの半径 T_bottom, T_top: 最低点と最高点での弦の張力

⚡

第 3 章: 仕事、エネルギー、電力、衝突

11 個の公式

仕事エネルギー定理、運動エネルギー/位置エネルギー、ばね弾性、保存力、力、弾性/非弾性衝突

1

一定の力によって行われる仕事

W = F·d·cosθ = F·d

力ベクトルと変位ベクトルのスカラー内積

W: 機械的な作業が完了しました F: 加えられる力の大きさ d: 変位 θ: 力と変位の間の角度

2

可変力によって行われる仕事 (積分)

W = ∫x_fx_i F(x) dx

初期位置と最終位置の間の力-変位グラフの下の領域

F(x): 位置依存の力関数 dx: 微小変位要素

3

仕事エネルギー定理

W_net = ΔK = K_f - K_i = ½m·v_f² - ½m·v_i²

すべての力（保守的、非保守的、外部）によって行われるネットワーク仕事は、運動エネルギーの変化に等しい

W_net: ネットワーク作業が完了しました ΔK: 運動エネルギーの変化

4

運動エネルギー（運動量との関係）

K = ½·m·v² = p²2m, p = √2m·K

運動状態によって物体が持つエネルギー

K: 運動エネルギー p: 線形運動量 m: 質量

5

重力位置エネルギー (地球近傍)

U_g = m·g·h

一様な磁場 g 内で垂直高さ h まで持ち上げられた質量 m に蓄えられる位置エネルギー

U_g: 重力位置エネルギー m: 質量 h: 基準面上の高さ

6

ばねの弾性位置エネルギー (フックの法則)

U_s = ½·k·x², F_spring = -k·x

剛性定数 k のバネが x だけ伸縮するときに蓄えられるエネルギー

U_s: ばねの位置エネルギー k: ばねの剛性定数 x: 平衡伸びからの変位

7

負のポテンシャル勾配としての保存力

F = -dUdx, F_vec = -∇U = -(∂U∂x i + ∂U∂y j + ∂U∂z k)

保存力は常に、位置エネルギーが最も急峻に減少する方向を指します。

U: ポテンシャルエネルギースカラー場 ∇U: 位置エネルギーの勾配

8

機械的出力 (平均および瞬間)

P = dWdt = F·v·cosθ = F·v

機械的仕事が実行されるかエネルギーが伝達される時間率

P: 力 F: 力 v: 速度

9

反発係数（衝突時）

e = v₂ - v₁u₁ - u₂ = Relative velocity of separationRelative velocity of approach

弾性の測定: e=1 (運動エネルギーが保存される)、e=0 (物体がくっつく)

u₁, u₂: 衝突前の速度 v₁, v₂: 衝突後の速度 e: 反発係数 (0 ≤ e ≤ 1)

10

1D 弾性衝突における最終速度

v₁ = [m₁ - m₂m₁ + m₂]·u₁ + [2m₂m₁ + m₂]·u₂,  v₂ = [2m₁m₁ + m₂]·u₁ + [m₂ - m₁m₁ + m₂]·u₂

1 次元で弾性的に衝突する 2 つの質量の正確な衝突後の速度

m₁, m₂: 衝突する物体の塊 u₁, u₂: 初速 v₁, v₂: 衝突後の最終速度

11

非弾性衝突による運動エネルギーの損失

ΔK_loss = ½·[m₁·m₂m₁ + m₂ ]·(u₁ - u₂)²·(1 - e²)

運動エネルギーが内部熱変形と音響エネルギーに変換される

ΔK_loss: 失われた運動エネルギー e: 反発係数

🔄

第 4 章: 回転運動と慣性モーメント

11 個の公式

トルク、角運動学、回転運動学、平行軸・垂直軸定理、回転力学

1

重心座標

r_cm = ∑ m_i·r_i∑ m_i = (1M) ∫ r dm

離散または連続固体の質量分布の平均位置

r_cm: 重心位置ベクトル M: システムの総質量 (∑ m_i)

2

回転運動方程式

ω = ω₀ + α·t, θ = ω₀·t + ½α·t², ω² = ω₀² + 2α·θ

一定の角加速度 α に対する SUVAT の回転相当値

θ: 角変位 ω₀, ω: 初期および最終角速度 α: 角加速度 t: 時間

3

トルク（力のモーメント）

τ = r × F = r·F·sinθ = I·α = dLdt

角加速度αを引き起こす直線力の回転相当量

τ: トルク r: モーメントアームレバー距離 I: 慣性モーメント α: 角加速度

4

角運動量と保存

L = r × p = I·ω, τ_net = 0 ⟹ L = const

システムに作用する正味外部トルクがゼロの場合に保存されます (例: フィギュアスケート選手)

L: 角運動量 I: 慣性モーメント ω: 角速度

5

平行軸定理 (シュタイナー)

I = I_cm + M·d²

距離 d だけ離れた重心軸に平行な任意の軸の周りの慣性モーメント

I: 目標平行軸周りの慣性モーメント I_cm: 重心を通る慣性モーメント M: 本体の総質量 d: 軸間の垂直距離

6

垂直軸定理 (平面ラミナ)

I_z = I_x + I_y

xy 平面にある 2D 平面ボディにのみ適用されます

I_z: 通常の Z 軸周りの慣性モーメント I_x, I_y: 面内 x 軸および y 軸周りの慣性モーメント

7

回転半径

k = √IM, I = M·k²

I を変更せずに質量全体を集中させることができる有効半径距離

k: 回転半径 I: 慣性モーメント M: 質量

8

回転運動エネルギー

K_rot = ½·I·ω²

固定軸または移動軸の周りの回転スピンのみに関連する運動エネルギー

K_rot: 回転運動エネルギー I: 慣性モーメント ω: 角速度

9

純粋な回転運動における総運動エネルギー

K_total = K_trans + K_rot = ½M·v_cm² + ½I_cm·ω² = ½M·v_cm²·(1 +k²R²)

並進運動エネルギーと回転運動エネルギーを組み合わせて、滑りのない純粋な回転を実現 (v_cm = ωR)

K_total: 総回転エネルギー v_cm: 重心速度 k: 回転半径 R: 外半径

10

斜面を転がり落ちる体の加速度

a = g·sinθ1 + I_cmM·R² = g·sinθ1 +k²R²

斜面θの傾斜面を下る直線加速度 (固体球 > ディスク > リング)

a: 直線的なローリング加速度 θ: 傾斜角

11

標準慣性モーメントの参考値

Thin Rod: 112 ML², Ring: MR², Solid Disc: ½MR²,Solid Sphere: 25 MR²,Hollow Sphere: 23 MR²

標準的な均一幾何学的ボディの重心慣性モーメント

M: 質量 R, L: 半径/長さ

🪐

第 5 章: 万有引力と軌道力学

10 個の公式

ニュートンの万有引力法則、重力ポテンシャル、脱出速度、軌道速度、ケプラーの法則、衛星軌道

1

ニュートンの万有引力の法則

F = G·(M·m)r²

距離 r だけ離れた任意の 2 つの点質量間の逆二乗引力

G: 万有引力定数 (6.6743 × 10⁻¹¹ N・m²/kg²) M, m: 相互作用する点質量 r: センター間の分離

2

表面重力加速度

g = G·MR² = (43)·π·G·ρ·R

質量 M、半径 R の惑星球の表面における自由落下加速度

g: 表面重力 (地球 ~9.81 m/s²) M: 惑星質量 R: 惑星の半径 ρ: 平均密度

3

高度 h による重力の変化

g_h = g·(RR + h)² ≈ g·(1 -2hR) [for h ≪ R]

惑星表面からの高さ h による重力加速度の減少

g_h: 高度 h での重力 h: 地上高 R: 地球の半径 (~6,371 km)

4

深さ d による重力の変化

g_d = g·(1 -dR)

地球内部の重力加速度の線形減少（中心 d = R でゼロになる）

g_d: 深さ d での重力 d: 地下の深さ

5

重力位置エネルギー (ユニバーサル)

U(r) = -G·M·mr

無限分離 r → ∞ における基準ゼロの負の束縛状態エネルギー

U(r): 重力位置エネルギー r: 中心からの距離

6

重力ポテンシャル V(r)

V(r) = -G·Mr, E_g = -dVdr

単体テストの質量を無限大から距離 r に移動する際に行われる作業

V(r): 重力ポテンシャル

7

エスケープ速度

v_esc = √2G·MR = √2g·R

動力を与えられていない発射体が惑星の重力から逃れるために必要な最小初速 (地球の場合は約 11.2 km/s)

v_esc: 脱出速度 M: 惑星質量 R: 惑星の半径

8

衛星の軌道速度

v_orb = √G·MR + h = v_esc√2 (near surface)

惑星の周りの安定した軌道に必要な円周速度 (地表付近では約 7.92 km/s)

v_orb: 軌道速度 h: 地表からの軌道高度

9

衛星軌道期間

T = 2π·(R + h)^(32)√GM = 2π·√r³GM

衛星が完全に 1 回転するのに必要な時間 (h ~35,786 km の静止軌道の場合は 24 時間)

T: 公転周期 r: 軌道半径 (R + h)

10

ケプラーの第 3 法則 (調和の法則)

T²a³ = 4π²G·M = const

公転周期の二乗は厳密に長半径 a の三乗に比例します。

T: 公転周期 a: 軌道半径半径

🧱

第 6 章: 固体の機械的性質と弾性

5 個の公式

フックの法則、応力、ひずみ、ヤング率、体積弾性率、せん断弾性率、ポアソン比、弾性エネルギー密度

1

フックの法則とヤング率

Stress = Y·Strain ⟹ FA = Y·(ΔLL)

引張/圧縮応力と弾性限界内の縦ひずみの間の線形関係

Y: ヤング弾性率 σ = FA: ストレス ε = ΔLL: 縦ひずみ（無次元） ΔL: 伸び・圧縮

2

体積弾性率と圧縮率

B = - V·(ΔPΔV), K = 1B

静水圧下での均一な体積圧縮に対する物質の抵抗力 ΔP

B: 体積弾性率 K: 圧縮率 ΔP: 適用される静水圧の増加 ΔVV: 体積分数ひずみ

3

せん断弾性率 (剛性率)

G = η = FAθ = F·LA·Δx

体積変化なしの角接線方向せん断歪み θ に対する耐性

G or η: せん断弾性率・剛性 θ: シアー角歪み Δx: 上部の横方向の変位

4

ポアソン比

ν = -Lateral StrainLongitudinal Strain = -ΔddΔLL

縦方向の膨張に対する横方向の収縮の比 (理論的限界: -1 < ν < 0.5; 実際: 0 ～ 0.5)

ν: ポアソン比 (無次元) d: 横径・厚み L: 長さ

5

弾性ひずみエネルギー密度

u = ½·Stress·Strain = ½·Y·(Strain)² = (Stress)²2Y

変形した弾性材料の単位体積あたりに蓄えられる弾性位置エネルギー

u: ひずみエネルギー密度 U_total: 全ひずみエネルギー = u × 体積

💧

第 7 章: 流体力学、静水力学、粘度

10 個の公式

静水圧、アルキメデスの浮力、連続方程式、ベルヌーイの定理、トリチェリ流出、ストークスの法則、終端速度、表面張力

1

深さによる静水圧

P = P₀ + ρ·g·h

密度 ρ の静的流体における深さ h の絶対圧力の合計

P: 深さでの絶対圧力 P₀: 大気圧（101,325Pa） ρ: 流体密度 h: 流体表面下の柱の深さ

2

パスカルの原理（油圧リフト）

P₁ = P₂ ⟹ F₁A₁ = F₂A₂

封入された非圧縮性流体にかかる圧力は、減衰することなく均等に伝達されます。

F₁, F₂: 入力ピストンと出力ピストンにかかる力 A₁, A₂: ピストン表面断面積

3

アルキメデスの浮力の原理

F_B = ρ_fluid·V_submerged·g = Weight of displaced fluid

水中の物体によって押しのけられる流体の重量に等しい上向きの浮力

F_B: 浮力による突き上げ力 ρ_fluid: 流体媒体の密度 V_sub: 水没物体ボリューム

4

連続の方程式 (質量保存)

A₁·v₁ = A₂·v₂ = dVdt = Q (Flow Rate)

安定した非圧縮性流体の流れの場合、体積吐出量 Q は一定に保たれます

A₁, A₂: パイプの断面積 v₁, v₂: 流体の流速 Q: 体積流量吐出量

5

ベルヌーイの定理 (エネルギー保存)

P + ½·ρ·v² + ρ·g·h = constant

静圧、動的動圧、および静水圧ポテンシャルの合計は流線に沿って一定です

P: 流体静圧 ½ρv²: 動圧ヘッド ρgh: 重力位置圧力

6

トリチェリの流出速度の法則

v_efflux = √2·g·h

開口面下の深さ h にある小さなオリフィスタンク開口部から出る液体の速度

v_efflux: 流出速度 h: オリフィス穴の液面下の深さ

7

ストークスの粘性抵抗の法則

F_v = 6π·η·r·v

層流流体中を移動する小さな球体が経験する粘性抗力の遅延

F_v: 粘性抵抗力 η: 動粘性係数 r: 球の半径 v: 流体中の速度

8

落下球の終端速度

v_t = 2·r²·(ρ - σ)·g9η

重力が浮力 + 粘性抵抗に等しい場合に達成される安定した等速度

v_t: 端末速度 ρ: 球密度 σ: 周囲の流体密度 η: 流体の動粘度

9

液滴と気泡の過剰な圧力

ΔP_drop = 2TR, ΔP_bubble = 4TR

ヤングラプラスの過剰内圧: シャボン玉には 2 つの自由な液体-空気界面がある

T: 表面張力係数 R: 液滴の半径/気泡の曲率 ΔP: 周囲圧力を超える内部圧力

10

毛細血管の上昇・下降（ジュリンの法則）

h = 2T·cosθρ·g·r

半径r、接触角θの狭い毛細管内で液体が上昇する高さ

h: キャピラリカラムの高さ θ: 液体-固体メニスカス接触角 r: 毛細管の内部半径

🌡️

第 8 章: 気体の熱物理学と運動理論

7 個の公式

熱膨張、熱量測定、理想気体の法則、運動理論圧力、分子速度 (RMS/平均/mp)、およびモル熱容量

1

熱膨張 (線膨張、表面膨張、体積膨張)

ΔL = α·L₀·ΔT, ΔA = 2α·A₀·ΔT, ΔV = 3α·V₀·ΔT = γ·V₀·ΔT

温度上昇に比例する部分寸法膨張ΔT (β = 2α、γ = 3α)

α: 線熱膨張係数 ΔT: 温度変化(T_f - T_i)

2

相変化の顕熱と潜熱

Q = m·c·ΔT, Q_phase = m·L

温度を上げるか、等温の固体/液体/気相転移を引き起こすために必要な熱

Q: 熱エネルギーを吸収または放出 c: 比熱容量（水：4186J/kg・K） L: 比潜熱（融解・蒸発）

3

理想気体の状態方程式

P·V = n·R·T = N·k_B·T

理想気体の圧力、体積、温度、量に関する構成方程式

P: 絶対圧力 V: 音量 n: モル数 R: ユニバーサル気体定数 (8.31446 J/(mol・K)) k_B: ボルツマン定数 (1.38065 × 10⁻²³ J/K) T: 絶対温度

4

ガス圧力の動力学理論

P = ⅓·ρ·v_rms² = ⅓·(N·mV)·v_rms²

分子運動量衝突からの巨視的ガス圧力の微視的統計的導出

ρ: ガス密度 (M_total / V) v_rms: 二乗平均平方根分子速度

5

RMS、平均および最も可能性の高いガス速度

v_rms = √3RTM, v_avg = √8RTπM, v_mp = √2RTM

マクスウェル・ボルツマン特性分子速度分布速度 (v_rms > v_avg > v_mp)

M: 気体のモル質量 T: 絶対温度

6

内部エネルギーと自由度

U = (f2)·n·R·T, E_k(per molecule) = (f2)·k_B·T

等分配定理: 各二次自由度 f は分子あたり 1/2 k_B T に寄与します

f: 自由度 (モノ=3、直径=5、ポリ=6) U: 総内部熱エネルギー

7

マイヤーの関係と熱容量比γ

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v = 1 + (2f)

定圧モル熱容量(C_p)と定容積モル熱容量(C_v)の関係

C_p, C_v: モル熱容量 γ: 断熱指数 / ポアソン比 (モノ=1.67、ダイヤ=1.40)

🔥

第 9 章: 熱力学と熱伝達

10 個の公式

熱力学第一法則、熱力学的仕事過程（等温、断熱、等圧、等容性）、カルノーエンジン効率、ステファン・ボルツマンの法則、ウィーン変位

1

熱力学の第一法則

ΔU = Q - W ⟹ Q = ΔU + W, W = ∫ P dV

熱力学システムのエネルギー保存 (Q がシステムに入力され、W がシステムによって行われる仕事)

ΔU: 内部エネルギーの変化 (n C_v ΔT) Q: システムに熱が加えられる W: システム拡張による業務

2

等温プロセスで行われる仕事 (T = const、ΔU = 0)

W_iso = n·R·T·ln(V_fV_i) = n·R·T·ln(P_iP_f)

厳密に一定の温度での準静的可逆膨張/圧縮

W_iso: 等温作業が完了しました V_i, V_f: 最初と最後のボリューム

3

断熱プロセスと完了した仕事 (Q = 0、PV^γ = const)

P·V^γ = const, W_adi = P_i·V_i - P_f·V_fγ - 1 = n·R·(T_i - T_f)γ - 1

周囲との熱交換がゼロの可逆プロセス (T V^(γ-1) = const)

W_adi: 断熱仕事 γ: 熱容量比(C_p / C_v)

4

アイソバリック (P = const) およびアイソコリック (V = const) 仕事

W_isobaric = P·ΔV = n·R·ΔT, W_isochoric = 0 (since dV = 0)

一定の圧力下では、仕事は長方形の領域 PΔV です。一定量の下では、仕事は実行されません

P: 一定圧力 ΔV: 音量変更

5

カルノー熱機関の最大効率

η = W_outQ_in = 1 - (Q_CQ_H) = 1 - (T_CT_H)

温度 T_H と T_C の間で動作する効率の理論的な熱力学的上限

η: 熱効率 (0 ≤ η < 1) T_H: 高温リザーバ温度 T_C: コールドシンクリザーバ温度

6

成績係数（冷蔵庫・ヒートポンプ）

COP_ref = Q_CW = T_CT_H - T_C, COP_hp = Q_HW = T_HT_H - T_C

機械式コンプレッサーの単位仕事量当たりに供給される冷却または加熱出力エネルギー

COP: 成績係数 W: 作業入力が必要です

7

熱伝導 (フーリエの法則)

dQdt = k·A·(T_H - T_C)L

熱伝導率 k と厚さ L のスラブ全体にわたる定常状態の熱伝導率

dQdt: 熱伝達率 k: 熱伝導率 A: 断面伝導面積 L: スラブ厚さ

8

ステファン・ボルツマンの熱放射の法則

P = e·σ·A·(T⁴ - T₀⁴)

T₀ で放射率 e の灰色体によって周囲環境に放射される正味放射電力

P: 放出される放射パワー σ: ステファン・ボルツマン定数 (5.67037 × 10⁻⁸ W/(m²・K⁴)) e: 表面の放射率 (0 < e ≤ 1、黒体 = 1) T: 絶対表面温度

9

ウィーンの変位則（ピーク波長）

λ_max·T = b = 2.89777 × 10⁻³ m·K

黒体スペクトルのピーク発光波長は絶対温度に反比例する

λ_max: 分光放射輝度のピークの波長 T: 絶対温度 b: ウィーンの変位定数

10

ニュートンの冷却の法則

dTdt = -k·(T - T_env) ⟹ T(t) = T_env + (T₀ - T_env)·e^(-kt)

対流/放射による熱損失の割合は、周囲温度を超えた過剰温度に比例します。

T(t): 時刻 t における温度 T_env: 周囲温度 k: 冷却速度定数

⏳

第 10 章: 単振動と振動

8 個の公式

SHMの運動学、単純振り子、ばね質量システム、直列/並列ばね、物理振り子、総エネルギー、および減衰振動

1

SHM の変位、速度、加速度

x = A·sin(ωt + φ), v = dxdt = ω·√A² - x², a = d²xdt² = -ω²·x

復元条件 a ∝ -x を定義した線形 SHM の基本運動学

A: 振幅 ω = 2πf: 角周波数 φ: 初期位相エポック角 x: 瞬時変位

2

単振り子の時間周期 (小角度)

T = 2π·√Lg, f = (12π)·√gL

均一重力場 g における長さ L の振り子の周期 (ボブの質量 m とは独立)

T: 発振周期 L: 振り子の有効長さ g: 重力による加速度

3

バネ質量振動子の期間

T = 2π·√mk, ω = √km

剛性 k の水平または垂直の無摩擦ばね上のブロック質量 m の振動周期

T: 発振周期 m: 振動質量 k: ばね定数

4

スプリングの組み合わせ（直列・並列）

1k_series = 1k₁+1k₂, k_parallel = k₁ + k₂

直列または並列に結合された複数のスプリングの同等のスプリング剛性

k_s, k_p: 等価バネ定数

5

物理的（複素）振り子周期

T = 2π·√Im·g·d = 2π·√k_g² + d²g·d

質量中心から距離 d で回転する任意の剛体の振動

I: サスペンションピボット軸周りの慣性モーメント d: サスペンションピボットから重心までの距離

6

ねじり振り子の周期

T = 2π·√Iκ, τ = -κ·θ

ねじり剛性定数κのワイヤで支持されたディスクの回転振動

I: ねじりワイヤ軸周りの慣性モーメント κ: ねじりバネ定数（ラジアンあたりの復元トルク）

7

SHM の総機械エネルギー

E = K + U = ½m·v² + ½k·x² = ½k·A² = ½m·ω²·A²

総機械エネルギーは厳密に一定のままで、運動形態と潜在形態の間で切り替わります。

E: 総一定機械エネルギー A: 発振振幅

8

減衰高調波発振器

x(t) = A₀·e^(-γt)·cos(ω't + φ), ω' = √ω₀² - γ², γ = b2m

振幅は粘性抵抗 F = -bv の下で減衰減衰率 γ とともに指数関数的に減衰します。

b: 粘性減衰係数 γ: 減衰係数(b/2m) ω': 減衰角周波数

🔊

第 11 章: 波動、音、音響

9 個の公式

波動方程式、弦上の波の速度、流体/気体中の音速、デシベル強度スケール、パイプ/弦内の定在波、ビート、ドップラー効果

1

調和進行波の方程式

y(x, t) = A·sin(k·x ∓ ω·t + φ), k = 2πλ, ω = 2π·f

座標 x および時間 t における媒体の横方向または縦方向の変位 (+x 方向の場合は -)

y(x,t): 波の変位 A: 波の振幅 k: 角波数 λ: 波長 f: 頻度

2

波速関係

v = f·λ = ωk = λT

空間波長と時間周波数を結ぶ基本速度関係

v: 波の伝播速度 f: 頻度 λ: 波長

3

張られた弦の横波の速度

v = √T_tensionμ, μ = mL (Linear mass density)

張力 T と単位長さあたりの質量 μ によって支配される張力のかかった弦上の伝播速度

v: 横波速度 T_tension: 弦の機械的張力 μ: 線形質量密度

4

理想気体の音速 (ラプラスの公式)

v_sound = √γ·Pρ = √γ·R·TM

温度 T での気体中の断熱音波速度 (20°C の空気中で約 343 m/s)

v_sound: 音響音速 γ: 断熱指数 (二原子空気の場合は 1.40) M: 気体のモル質量 (空気の場合 0.029 kg/mol)

5

音の強さレベル（デシベルスケール）

β = 10·log₁₀(II₀), I₀ = 10⁻¹² Wm²

人間の聴覚の閾値 I₀ に対する対数デシベルスケール

β: 音の強さのレベル I: 音響強度 I₀: 聴力閾値 (10⁻¹² W/m²)

6

定在波 (固定弦とオープンパイプ)

f_n = n·(v2L) = n·f₁ (n = 1, 2, 3, 4...)

両端が固定された弦または両端が開いたオルガンパイプの倍音周波数 (すべての倍音が存在します)

f_n: n次高調波の周波数 L: 弦・パイプの長さ n: 高調波整数次数

7

一端が閉じたパイプ内の定在波

f_n = (2n - 1)·(v4L) (n = 1, 2, 3... ⟹ 1f₁, 3f₁, 5f₁...)

一端が閉じられたパイプ内の共振周波数 (奇数次の高調波のみをサポート: 1 次、3 次、5 次...)

f_n: 共鳴音響周波数 L: パイプの長さ

8

ビート周波数

f_beat = |f₁ - f₂|

近い周波数の 2 つの波が重なり合うときの周期的な強め/弱めの強度変調

f_beat: ビートモジュレーション周波数 f₁, f₂: 重ね合わされる 2 つの音源の周波数

9

音波のドップラー効果

f' = f·[v ± v_observerv ∓ v_source ]

媒質を介した観測者 (v_o) と音源 (v_s) の相対運動によりシフトした見かけの周波数

f': 観測された見かけの周波数 f: ソースの真の放射周波数 v: 中音速 v_o, v_s: 観測者と音源の速度 (+ に向かう、- 離れる)

⚡

第 12 章: 静電気と静電容量

11 個の公式

クーロンの法則、電場、電位、電気双極子、ガウスの法則、静電容量、直列/並列コンデンサ、場のエネルギー密度

1

クーロンの静電力の法則

F = (14πε₀)·(|q₁·q₂|r²) = k_e·(|q₁·q₂|r²)

2 つの静止点電荷間の逆二乗静電引力または反発力

k_e = 14πε₀: クーロン定数 (~8.98755 × 10⁹ N·m²/C²) ε₀: 自由空間の誘電率 (8.85419 × 10⁻¹² C²/(N·m²)) q₁, q₂: 電荷の大きさ r: 分離距離

2

点電荷の電場

E = Fq₀ = (14πε₀)·(qr²)·r̂

電場に置かれた単位陽性試験電荷 q₀ あたりにかかる力

E: 電界強度 q: ソースポイントチャージ

3

電位とフィールドとの関係

V = (14πε₀)·(qr), E = -dVdr = -∇V

加速せずに無限遠から距離 r までユニットの正の試験電荷をもたらす際に行われる仕事

V: 電位 E: 電界

4

電荷対の静電位置エネルギー

U = (14πε₀)·(q₁·q₂)r

距離 r だけ離れた 2 つの電荷の配置で蓄えられるエネルギー (似ている場合は正、異なる場合は負)

U: 静電位置エネルギー

5

電気双極子モーメント、トルク、位置エネルギー

p = q·2a, τ = p × E = p·E·sinθ, U = - p·E = - p·E·cosθ

双極子ベクトルは負電荷から正電荷を指します。外部フィールド E と一致します

p: 電気双極子モーメント τ: 復元トルク U: 双極子の位置エネルギー

6

ガウスの静電気の法則

Φ_E = ∮ E·dA = Q_enclosedε₀

閉じたガウス面を通る総電束は、閉じられた電荷を ε₀ で割った値に等しくなります。

Φ_E: 電束 Q_enclosed: 正味室内料同梱

7

線電荷の電場と無限シート

E_line = λ2πε₀·r, E_sheet = σ2ε₀, E_cond = σε₀

均一な線電荷密度 λ と表面電荷密度 σ のガウスの法則から導出

λ: 線形電荷密度 σ: 表面電荷密度

8

平行平板コンデンサの静電容量

C = κ·ε₀·Ad

静電容量はプレート面積 A と誘電率 κ に比例します。距離dに反比例する

C: キャパシタンス κ: 媒体の誘電率 (真空 κ = 1) A: プレートオーバーラップエリア d: プレート離隔距離

9

コンデンサの直列および並列の組み合わせ

1C_series = 1C₁+1C₂+ ..., C_parallel = C₁ + C₂ + ...

直列: 電荷 Q はすべてのコンデンサで同一です。並列: 電圧 V が等しい

C_s, C_p: 等価静電容量

10

コンデンサに蓄えられる静電エネルギー

U = ½·C·V² = Q²2C = ½·Q·V

コンデンサプレート間の電場に蓄えられたエネルギーは、電位差 V に充電されます。

U: 蓄積された静電エネルギー Q: 蓄積電荷 (Q = C・V) V: 電圧電位差

11

電界エネルギー密度

u_E = ½·ε₀·E²

電場が占める空間の単位体積あたりに蓄えられる静電エネルギー E

u_E: エネルギー密度 E: 電界の大きさ

🔌

第 13 章: 現在の電気と直流回路

9 個の公式

ドリフト速度、オームの法則、抵抗率、温度依存性、キルヒホッフの法則（KCL/KVL）、ホイートストンブリッジ、内部抵抗、RC回路

1

電流とドリフト速度

I = n·e·A·v_d, v_d = e·E·τm

巨視的な電流 I を微視的な電子ドリフト速度 v_d および緩和時間 τ に関係付ける

I: 現在 n: 単位体積あたりの自由電子密度 e: 素電子の電荷 (1.602 × 10-¹⁹ C) A: 導体断面積 v_d: ドリフト速度 τ: 平均衝突緩和時間

2

電流密度と微視的なオームの法則

j = IA = σ·E = Eρ, σ = 1ρ = n·e²·τm

電流密度 j を電場 E および導電率 σ に結び付けるオームの法則のベクトル形式

j: 電流密度 σ: 電気伝導率 ρ: 抵抗率

3

抵抗、抵抗率、温度係数

R = ρ·(LA), R(T) = R₀·[1 + α·(T - T₀)]

抵抗は長さと温度に応じて変化します。断面積Aと逆に

R: 電気抵抗 ρ: 材料の電気抵抗率 α: 抵抗温度係数

4

オームの法則と電力損失

V = I·R, P = V·I = I²·R = V²R, H = I²·R·t

ジュール加熱の法則: 抵抗器 R で熱として放散される電力

V: 電圧電位差 I: 現在 P: 電力損失 H: ジュール熱放散

5

直列および並列の抵抗器

R_series = R₁ + R₂ + ...,1R_parallel = 1R₁+1R₂+ ...

ネットワーク要素を組み合わせるための等価抵抗ルール

R_s, R_p: 等価回路抵抗

6

セル起電力と内部抵抗

V = E_emf - I·r, I = E_emfR + r

放電中の内部抵抗 r により、端子電圧 V は開路起電力 ℰ よりも低くなります

ℰ: 開回路起電力EMF V: 端子出力電圧 r: バッテリー/セルの内部抵抗 R: 外部負荷回路抵抗

7

キルヒホッフの電流と電圧の法則 (KCL と KVL)

KCL (Junction): ∑ I_in = ∑ I_out, KVL (Loop): ∑ ΔV = ∑ E_emf - ∑ I·R = 0

KCL は電荷保存を表します。 KVL は閉ループにおける静電エネルギー保存を表します

∑ I: ノード接合電流の合計 ∑ ΔV: ループ内の分岐電位降下の合計

8

ホイートストンブリッジのバランス状態

R₁R₂ = R₃R₄ ⟹ I_galvanometer = 0

未知の抵抗値を精密に測定するためにメーターブリッジや私書箱に使用されます

R₁, R₂, R₃, R₄: 4つのブリッジアーム抵抗

9

RC 回路の充電および放電過渡現象

Charging: q(t) = Q₀·(1 - e^(-tRC)), Discharging: q(t) = Q₀·e^(-tRC), τ = R·C

コンデンサは 1 回の時定数 τ = RC で最大 Q₀ の 63.2% まで充電 (36.8% まで放電)

τ = RC: 容量性時定数 Q₀: 最大定常充電量 (C・V₀)

🧲

第14章: 磁性、ビオサバール、ローレンツ力

10 個の公式

磁気ローレンツ力、電流ワイヤー力、サイクロトロン半径、ビオサバールの法則、直線磁場、ソレノイド/トロイド、並列電流、および磁気双極子トルク

1

移動電荷に対する磁気ローレンツ力

F_B = q·(v × B) = q·v·B·sinθ

磁場中で移動する電荷に作用する垂直偏向力 (仕事量ゼロ)

F_B: 磁力 q: 電荷の大きさ v: 速度ベクトル B: 磁束密度 θ: 速度と磁場の間の角度

2

合計ローレンツ力 (E + B フィールド)

F_total = q·(E + v × B)

電場と磁場が同時に発生する重畳力 (速度セレクター: v = E/B)

E: 電界 B: 磁場

3

通電導体にかかる磁力

F = I·(L × B) = I·L·B·sinθ

均一磁場 B に置かれた、電流 I が流れる長さ L の直線ワイヤにかかる力

F: ワイヤーにかかる磁力 I: 導体電流 L: 現在の方向の長さベクトル

4

サイクロトロンの軌道半径と周波数

r = m·vq·B, f = q·B2π·m, T = 2π·mq·B

横磁場における荷電粒子の螺旋/円軌道パラメータ (周波数は速度に依存しない)

r: ジャイロ半径 / ラーモア半径 f: サイクロトロン共鳴周波数

5

ビオ・サバールの静磁気の法則

dB = (μ₀4π)·[I·dl × r̂r²] = μ₀·I·dl·sinθ4π·r²

電流要素 I dl によって距離 r で生成される微小磁場

μ₀4π: 透磁率定数(10⁻⁷T・m/A) μ₀: 真空の透磁率（4π×10⁻⁷H/mまたはT・m/A） dl: 長さ要素ベクトル

6

長い直線ワイヤーの磁場

B = μ₀·I2π·r

無限に長い直線ワイヤから半径方向距離 r にある同心円状の磁場

B: 磁束密度 I: 定常電流 r: ワイヤ軸からの垂直距離

7

円形ループの磁場 (中心と軸)

B_center = μ₀·N·I2R, B_axis = μ₀·N·I·R²[2·(R² + x²)^(32)]

軸に沿った距離 x で半径 R の N 巻きの円形コイルによって生成される磁場

N: 円周回数 R: ループ半径 x: コイル中心軸に沿った距離

8

アンペールの回路法則とソレノイド場

∮ B·dl = μ₀·I_encl, B_solenoid = μ₀·n·I (n = NL)

単位長さあたり n 回巻いたきつく巻かれたソレノイド内の均一な内部軸方向磁場

B_solenoid: コア磁場 n = NL: 単位長さあたりの回転数

9

2 本の平行な通電ワイヤ間の力

FL = μ₀·I₁·I₂2π·d

同じ方向の平行電流に対する吸引力。逆並列電流に対する反発性 (SI アンペアの定義)

FL: 単位長さあたりの力 d: 平行導体間の離隔距離

10

電流ループの磁気双極子モーメントとトルク

M = N·I·A, τ = M × B = N·I·A·B·sinθ, U = - M·B

ムービングコイル検流計、DCモーター、原子磁気モーメントの動作原理

M: 磁気双極子モーメント A: ループ閉領域ベクトル τ: たわみトルク

⚡

第 15 章: 電磁誘導と交流回路

10 個の公式

ファラデーの法則、レンツの法則、運動起電力、自己/相互インダクタンス、磁気エネルギー密度、RMS値、LCR回路のインピーダンス、共振、トランス

1

ファラデーの電磁誘導の法則とレンツの法則

E_ind = - N·(dΦ_Bdt), Φ_B = B·A = B·A·cosθ

誘導起電力は、ループを通る磁束の負の時間変化率に等しい (レンツは原因に反対)

ℰ: 誘導起電力 (EMF) Φ_B: 磁束 N: ターン数

2

移動する導体の運動起電力

E_motional = B·L·v·sinθ

磁場 B を速度 v で移動する長さ L の導電性ロッドの両端に誘導される EMF

ℰ: 運動起電力 B: 磁場 L: 導体長さ v: 速度

3

自己インダクタンスと相互インダクタンス

E_self = - L·(dIdt), E_mutual = - M·(dI₁dt), L_solenoid = μ₀·n²·A·l

コイル (自己) または結合された隣接するコイル (相互) の電流変化に対する反対

L, M: 自己インダクタンスと相互インダクタンス dIdt: 電流変化率

4

インダクタの磁気エネルギーとエネルギー密度

U_B = ½·L·I², u_B = B²2μ₀

通電されたインダクタ内に確立された磁場に蓄えられた位置エネルギー

U_B: 蓄積された磁気エネルギー u_B: 磁気エネルギー密度

5

交流電流/電圧の実効値とピーク値

V_rms = V₀√2 ≈ 0.707 V₀, I_rms = I₀√2 ≈ 0.707 I₀

正弦波交流電圧および電流の実効等価 DC 発熱量

V_rms, I_rms: 二乗平均平方根値 (例: 230V / 120V 電源) V₀, I₀: ピーク正弦波振幅

6

誘導性および容量性リアクタンス

X_L = ω·L = 2π·f·L, X_C = 1ω·C = 12π·f·C

インダクタとコンデンサによってもたらされる、電流に対する周波数依存の AC 抵抗

X_L: 誘導リアクタンス (電流は電圧より 90°遅れます) X_C: 容量性リアクタンス（電流が電圧より90°進みます） f: 交流周波数

7

直列LCR回路のインピーダンスと位相角

Z = √[ R² + (X_L - X_C)² ], tanφ = X_L - X_CR

直列 R-L-C 回路における合計 AC 電気インピーダンス反対ベクトル

Z: 回路全体のインピーダンス φ: 電圧と電流の間の位相角

8

LCR回路の共振周波数と品質係数Q

f₀ = 12π·√L·C, Q = ω₀·LR = (1R)·√LC

回路インピーダンスが絶対最小 Z = R に達し、電流が最大になる共振条件 X_L = X_C

f₀: 固有電気共振周波数 Q: クオリティファクター / 共鳴の鋭さ（無次元）

9

AC 真の電力と力率

P_avg = V_rms·I_rms·cosφ, Power Factor: cosφ = RZ

実際に消費される電力 (ワット単位) (cosφ = 0 の純粋な無効回路は平均ワットレス電力を消費しません)

P_avg: 真の平均電力 cosφ: 力率（0≦cosφ≦1）

10

トランスの巻数比と効率

V_sV_p = N_sN_p = I_pI_s = k, η = P_outP_in = V_s·I_sV_p·I_p

昇圧 (k > 1) または降圧 (k < 1) 相互 AC 電圧変換による電力保存

V_p, V_s: 一次および二次電圧 N_p, N_s: 一次コイルと二次コイルの巻き数 I_p, I_s: 一次電流と二次電流

⚛️

第 16 章: 光学、量子および現代核物理学

12 個の公式

ミラー/レンズ方程式、スネルの法則、ヤングの二重スリット、光電効果、ド・ブロイ物質波、ボーア原子、放射性崩壊、質量エネルギー相対性理論

1

球面鏡の式と倍率

1f = 1v+1u, m = -vu = h_ih_o

焦点距離 f、像距離 v、および物体距離 u を標準のデカルト符号規則に関連付けます。

f: 焦点距離 (f = R/2) u: 極からの物体距離 v: 極からの画像の距離 m: 横方向の直線倍率

2

スネルの屈折の法則と全内部反射

n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂, sin(θ_c) = n₂n₁ (for n₁ > n₂)

光学境界を横切る光線の曲がりと完全な内部反射の臨界角 θ_c

n₁, n₂: 媒質の屈折率 (n = c / v) θ₁, θ₂: 入射角と屈折角 θ_c: 全反射の臨界角

3

レンズメーカーの公式と薄型レンズの方程式

1f = (n - 1)·(1R₁-1R₂),1f = 1v-1u, P = 1f(m)

屈折率 n と曲率半径 R₁、R₂ から光パワー P をジオプター (D = m⁻¹) で計算します。

f: レンズの焦点距離 P: レンズの光パワー R₁, R₂: 球面曲率半径

4

ヤングの二重スリット干渉縞幅

β = λ·Dd, y_n(bright) = n·(λ·Dd), y_n(dark) = (2n - 1)·(λ·D2d)

距離 D にあるスクリーン上の連続する干渉縞間の空間縞間隔 β

β: フリンジ幅の間隔 λ: 光の波長 D: スリットからスクリーンまでの距離 d: スリット離間距離

5

アインシュタインの光電方程式

E_photon = h·f = Φ₀ + K_max = h·f₀ + e·V_s

光子エネルギー hf は金属の仕事関数 Φ₀ を克服し、最大の運動エネルギー K_max を与えます

h: プランク定数 (6.62607 × 10⁻³⁴ J・s) f: 入射光子の周波数 Φ₀ = h·f₀: 金属の閾値仕事関数 V_s: 停止電位電圧

6

物質波のド・ブロイ波長

λ = hp = hm·v = h√2m·K = h√2m·q·V

波動粒子の二重性: すべての移動する粒子には、関連する量子ドブロイ波長があります。

λ: ドブロイ波長 p: 粒子の運動量 V: 加速電位電圧

7

ボーアの水素原子モデル (エネルギーと半径)

r_n = n²·h²·ε₀π·m·e² = 0.529·n² Å, E_n = -13.6n² eV

水素様原子の量子化電子軌道半径 r_n と束縛定常エネルギー状態 E_n

n: 主量子数 (n = 1、2、3...) E_n: 第n軌道準位の総エネルギー

8

水素スペクトルシリーズのリュードベリ式

1λ = R_H·[1n₁²-1n₂²] (Lyman n₁ = 1, Balmer n₁ = 2, Paschen n₁ = 3)

原子遷移における発光/吸収スペクトル線の波長を計算します (n₂ > n₁)

R_H: リュードベリ定数 (1.097373 × 10⁷ m⁻¹) n₁, n₂: 下位および上位の量子エネルギー準位

9

大量欠陥と核結合エネルギー

Δm = [Z·m_p + (A - Z)·m_n] - M_nucleus, E_b = Δm·c² = Δm(amu) × 931.5 MeV

原子核を個々の構成要素である陽子と中性子に分解するのに必要なエネルギー

Δm: 大量欠陥 E_b: 総核結合エネルギー

10

放射性崩壊の法則と半減期

N(t) = N₀·e^(-λt), T_half = ln(2)λ ≈ 0.693λ, A = λ·N

不安定な放射性核種の統計的減衰率 (ベクレルで測定される放射能 Bq = 減衰/秒)

N(t): 残存する未崩壊の放射性原子核の数 T_half: 半減期 λ: 放射性崩壊定数 A: 活動

11

アインシュタインの質量エネルギー等価性と相対論的エネルギー

E = m·c² = γ·m₀·c², E² = (p·c)² + (m₀·c²)²

全相対論的エネルギー E、運動量 p、静止質量 m₀ を接続する不変の 4 運動量エネルギー関係

c: 真空中の光の速度 (299,792,458 m/s) m₀: 静止不変質量 γ: ローレンツ因子

12

相対論的な時間の膨張と長さの収縮

Δt = γ·Δt₀ = Δt₀√1 -v²c², L = L₀γ = L₀·√1 -v²c²

動く時計の動作が遅くなります (時間の遅れ)。移動ロッドが運動方向に短縮されます（長さの収縮）。

Δt₀, L₀: 適切な時間と適切な休憩時間 v: 観測者フレームの相対速度

🧪

化学総合公式スイート

理想気体・実在気体の状態方程式、化学熱力学、反応速度論、平衡定数、ネルンストの式、pH緩衝液、放射性崩壊。

83+ 方程式

🧪

第 1 章: モルの概念、化学量論および濃度の用語

10 個の公式

定量的な質量モル変換、アボガドロ関係、モル濃度、モル濃度、規定度、ppm、および反応収率

1

モルの概念、サンプル質量および粒子数

n = mM = NN_A

試料の質量、モル、素粒子の間の基本的な関係を換算する

n: モル数 m: サンプル質量 M: 物質のモル質量 N: 総粒子数（原子、分子、イオン） N_A: アボガドロ定数 (6.02214 × 10²³ mol⁻¹)

2

STPでのモルガス体積

V = n·V_m = n·22.414 L

標準温度および圧力で 1 モルの理想気体が占める体積

V: STPのガス量 n: モル数 V_m: 標準モルガス体積 (1 atm で 22.414 L/mol、1 bar で 22.71 L/mol)

3

モル濃度（モル濃度）

M = n_soluteV_solution = w_B × 1000M_B × V_mL

溶液の体積 1 リットルあたりに溶解する溶質のモル数

M: モル濃度 w_B: 溶解した溶質の質量 M_B: 溶質のモル質量 V_mL: 溶液量（ミリリットル）

4

モル濃度 (温度に依存しない濃度)

m = n_soluteW_solvent = w_B × 1000M_B × W_A

純粋な溶媒 1 kg あたりの溶質のモル数。熱温度変化によって変化しない

m: モル濃度濃度 w_B: 溶質質量 W_A: 溶媒の質量（グラム） M_B: 溶質のモル質量

5

正規性と等価重み

N = w_B × 1000E_B × V_mL = M·n_factor

リットル当たりのグラム当量濃度。 n 因子は酸性、塩基性、または価数の変化を表します

N: 正常 E_B: 相当重量（M / n値） n_factor: 価数係数 / 電子交換数 M: モル濃度

6

モル分率と総和の法則

X_A = n_An_A + n_B, X_A + X_B = 1

総溶液モルに対する成分モルの無次元比

X_A: 成分Aのモル分率 n_A, n_B: 個々の成分のモル数

7

質量パーセント (% w/w) および百万分率 (ppm)

%(ww) = (w_solutew_total) × 100, ppm = (w_solutew_total) × 10⁶

水質検査や大気分析で広く使用される微量濃度測定基準

w_solute: 溶質質量 w_total: 溶液の総質量 ppm: 100 万分の 1 の濃度

8

定量溶液の希釈式

M₁·V₁ = M₂·V₂, N₁·V₁ = N₂·V₂

溶媒希釈中の初期容量から最終容量までの溶質モルの保存

M₁, N₁: 希釈前の原液濃度 V₁: ストックアリコート量 M₂, N₂: 目標希釈濃度 V₂: 最終希釈液量

9

化学反応のパーセント収率

% Yield = (Actual YieldTheoretical Yield) × 100

実験的に得られた生成物と、制限された反応物質からの化学量論的最大値との比

Actual Yield: 実験から単離された生成物の質量 Theoretical Yield: 計算された化学量論的質量

10

経験から分子式への乗数

n = M_molecularM_empirical, Molecular Formula = (Empirical Formula)_n

最も単純な整数原子比を実際の分子式にスケーリングする整数乗数

n: 積分化学量論乗数 (1、2、3...) M_molecular: 実際の分子量 M_empirical: 経験式質量

⚛️

第 2 章: 原子の構造、量子力学、放射能

8 個の公式

ボーア模型の軌道、リュードベリのスペクトル遷移、ド・ブロイの波動粒子双対性、ハイゼンベルク原理、崩壊速度論

1

プランク・アインシュタインの光子エネルギー関係

E = h·ν = h·cλ = h·c·ν_bar

周波数 ν および波長 λ の電磁光子によって運ばれる量子化エネルギー

E: 光子量子エネルギー h: プランク定数 (6.62607 × 10⁻³⁴ J・s) c: 光の速度 (2.998 × 10⁸ m/s) λ: 波長 ν_bar: 波数(1/λ)

2

ボーア水素のような原子軌道半径

r_n = n²·h²·ε₀π·m·Z·e² = 0.529·(n²Z) Å

核原子番号 Z の水素原子の量子化された軌道半径

r_n: n番目のボーア軌道の半径 n: 主量子数 (1、2、3...) Z: 核の原子番号（電荷）

3

ボーア電子エネルギー準位

E_n = -13.6·(Z²n²) eV = -2.18 × 10⁻¹⁸·(Z²n²) J

n番目の主殻の束縛電子の量子化された総結合エネルギー

E_n: 全電子軌道エネルギー Z: 原子番号 n: 主量子準位

4

リュードベリの発光スペクトル方程式

1λ = R_H·Z²·(1n₁²-1n₂²)

スペクトル遷移波長を予測します (Lyman n₁=1、Balmer n₁=2、Paschen n₁=3、Brackett n₁=4、Pfund n₁=5)

R_H: リュードベリ定数 (1.09677 × 10⁷ m⁻¹) n₁: エネルギーが低い状態 n₂: より高い励起エネルギー状態 (n2 > n1)

5

ド・ブロイ物質の波長

λ = hp = hm·v = h√2·m·E_k = h√2·m·q·V

運動粒子が運動量に反比例する波長を示すことを示す波動粒子双対性

λ: ド・ブロイ波長 m: 粒子質量 v: 粒子速度 V: 加速静電位

6

ハイゼンベルクの不確定性原理

Δx·Δp ≥ h4π, ΔE·Δt ≥ h4π

位置と共役運動量の同時精度に関する基本的な量子限界

Δx: 空間的位置の不確実性 Δp: 線形運動量の不確実性 Δv: 速度の不確実性

7

アインシュタインの光電運動エネルギー方程式

h·ν = Φ + K_max = h·ν₀ + ½·m·v_max²

光子吸収および光電子放出時のエネルギー保存

Φ: 金属表面の仕事関数 (h・ν₀) ν₀: 閾値カットオフ周波数 V_s: ストッピングポテンシャル

8

核の放射性崩壊の法則と半減期

N(t) = N₀·e^(-λ·t), t_½ = ln(2)λ = 0.693λ

一次自然核崩壊速度と放射性半減期

N(t): 時刻 t で残存する未崩壊の放射性核種 N₀: t = 0 での初期放射性核数 λ: 放射性崩壊定数 t_½: 放射性物質の半減期

💨

第 3 章: 気体の状態と分子運動理論

8 個の公式

理想気体関係、ダルトン分圧、グラハム浸出、分子速度、ファンデルワールス実気体

1

理想気体の法則と気体密度の関係

P·V = n·R·T, P·M = ρ·R·T

圧力、体積、温度、密度を結ぶ理想気体の状態方程式

P: ガス圧力 V: ガス量 n: モル単位の量 R: 気体定数 (0.0821 L・atm/(mol・K) = 8.314 J/(mol・K)) T: 絶対温度 ρ: ガス質量密度

2

結合ガス法 (ボイル、チャールズ、ゲイ＝リュサック)

P₁·V₁T₁ = P₂·V₂T₂

ボイル (PV=k)、シャルル (V/T=k)、およびゲイ・リュサック (P/T=k) のガス法を統一します。

P₁, V₁, T₁: 初期状態の圧力、体積、絶対温度 P₂, V₂, T₂: 最終状態の圧力、体積、絶対温度

3

ダルトンの分圧の法則

P_total = P_A + P_B + P_C, P_A = X_A·P_total

未反応ガス混合物の全圧力は、個々の分圧の合計に等しい

P_total: 容器の総圧力 P_A: 気体Aの分圧 X_A: 混合物中のガス A のモル分率

4

グラハムの拡散と浸出の法則

r₁r₂ = √M₂M₁ = √ρ₂ρ₁ = V₁t₁V₂t₂

多孔質ピンホールを通るガスの流出/拡散速度はモル質量の平方根に反比例します。

r₁, r₂: 拡散/滲出速度 M₁, M₂: 気体のモル質量

5

RMS、平均および最確分子速度

u_rms = √3RTM, u_avg = √8RTπM, u_mp = √2RTM

マクスウェル・ボルツマン分布速度比: u_mp : u_avg : u_rms = 1 : 1.128 : 1.224 = √2 : √(8/π) : √3

u_rms: 二乗平均平方根速度 u_avg: 平均演算速度 u_mp: ピーク分布における最も可能性の高い速度 M: モル質量（キログラム/モル）

6

運動ガスエネルギーと平均運動エネルギー

E_k,total = (32)·n·R·T, E_k,molecule = (32)·k_B·T

純粋に絶対温度に依存する合計および分子ごとの並進運動エネルギー

k_B: ボルツマン定数 (1.38065 × 10⁻²³ J/K) T: 絶対温度

7

実在気体のファンデルワールス方程式

(P +a·n²V²)·(V - n·b) = n·R·T

分子間引力 (a) および除外された有限分子体積 (b) に関する理想気体の法則を修正します。

a: 分子間引力係数 b: 排除体積 / 共体積係数 (4 × 分子体積)

8

圧縮率と臨界定数

Z = P·V_mR·T, T_c = 8a27Rb, P_c = a27b², V_c = 3b

理想的な動作 (Z=1) からの偏差を測定します。臨界温度を超えるとT_cガスは液化できない

Z: 圧縮率 (Z > 1 正の偏差、Z < 1 負) T_c: 臨界温度 P_c: 臨界圧力 V_c: 臨界モル体積

🔥

第 4 章: 化学熱力学と熱化学

9 個の公式

第一法則、ヘスの法則、結合エネルギー、エントロピー変化、ギブスの自由エネルギー、平衡結合

1

熱力学第一法則と膨張仕事

ΔU = q + w, w = -P_ext·ΔV = -∫ P_ext dV

IUPAC 規約: システムで行われる仕事は正 (+)、システムで行われる仕事は負 (-)

ΔU: 内部エネルギーの変化 q: システムが吸収する熱 w: システム上で/システムによって実行される作業 P_ext: 外部からの反対圧力

2

理想気体の可逆等温仕事量

w_rev = -n·R·T·ln(V₂V₁) = -2.303·n·R·T·log(P₁P₂)

ゆっくりとした準静的等温膨張中に得られる最大の熱力学的仕事

w_rev: 最大可逆仕事量 V₁, V₂: 初期ボリュームと拡張ボリューム

3

エンタルピーの定義とガス状モルの関係

H = U + P·V ⟹ ΔH = ΔU + Δn_g·R·T

反応熱を一定圧力 (ΔH = q_p) と一定体積 (ΔU = q_v) で接続します。

ΔH: エンタルピー変化 ΔU: 内部エネルギー変化 Δn_g: 気体モルの変化: ∑ n_g(生成物) - ∑ n_g(反応物)

4

モル熱容量とマイヤー関係

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v, ΔH = n·C_p·ΔT, ΔU = n·C_v·ΔT

単原子 (γ=1.66)、二原子 (γ=1.40)、および多原子ガスの比熱容量の関係

C_p: 定圧でのモル熱容量 C_v: 一定体積におけるモル熱容量 γ: 断熱熱容量比（ポアソン指数）

5

生成エンタルピーからの標準反応エンタルピー

ΔH_rxn° = ∑ ν_p·ΔH_f°(products) - ∑ ν_r·ΔH_f°(reactants)

標準反応エンタルピーを計算します (標準状態の純粋な元素の ΔH_f° はゼロです)

ΔH_rxn°: 標準反応エンタルピー ΔH_f°: 標準生成エンタルピー ν_p, ν_r: 化学量論的係数

6

結合解離エネルギーからの反応エンタルピー

ΔH_rxn = ∑ Bond Energy(broken in reactants) - ∑ Bond Energy(formed in products)

平均共有結合解離エネルギーから気体の反応エンタルピーを近似します

B.E.: 結合解離エンタルピー

7

キルヒホッフの温度-エンタルピー則

ΔH_T2 = ΔH_T1 + ΔC_p·(T₂ - T₁)

熱容量がわかっている場合、さまざまな温度での反応熱を評価します

ΔC_p: ∑ C_p(生成物) - ∑ C_p(反応物)

8

ギブスの自由エネルギーと自発性の基準

ΔG = ΔH - T·ΔS

一定の温度と圧力での熱力学的反応の方向を決定します

ΔG: ギブスの自由エネルギー変化 ΔH: エンタルピー変化 ΔS: エントロピー変化 T: 絶対温度

9

標準自由エネルギーと平衡定数結合

ΔG° = -R·T·ln(K_eq) = -2.303·R·T·log(K_eq)

化学熱力学ポテンシャルを巨視的な平衡定数に結び付ける基本的な関係

ΔG°: 標準自由エネルギーの変化 K_eq: 熱力学的平衡定数

⚖️

第 5 章: 化学平衡とルシャトリエの原理

5 個の公式

質量作用則、Kc と Kp の関係、反応商 Q、解離度、および Van t Hoff 方程式

1

質量作用の法則の平衡定数 (Kc および Kp)

K_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b, K_p = P_C^c·P_D^dP_A^a·P_B^b

平衡時の化学量論乗した反応物濃度に対する生成物濃度の比

K_c: モル濃度の平衡定数 K_p: 分圧の平衡定数

2

KpとKcの関係

K_p = K_c·(R·T)^(Δn_g)

圧力と濃度の平衡定数を関連付けます。 Δn_g = 0 の場合、K_p = K_c

Δn_g: ガスの化学量論的モルの変化 R: 気体定数 (0.0821 L・atm/(mol・K)) T: 絶対温度 (ケルビン)

3

反応指数 (Q) と方向の基準

Q_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b

非平衡瞬間比を計算して、平衡に向かう自発的な方向を予測します。

Q_c: 瞬間非平衡反応商 K_c: 平衡定数

4

ヴァントホフ温度平衡等中心線

ln(K₂K₁) = (ΔH°R)·(1T₁-1T₂)

温度による平衡定数の変化を予測します (吸熱 ΔH > 0 の場合、K は T とともに増加します)

K₁, K₂: 温度 T1 および T2 における平衡定数 ΔH°: 標準反応エンタルピー

5

蒸気密度からの解離度（α）

α = D - d(n - 1)·d = M_theoretical - M_observed(n - 1)·M_observed

平衡状態で解離した初期分子の割合 (n は反応物 1 モルあたりの生成物のモル数)

α: 解離度（0 ≤ α ≤ 1） D: 初期の理論上の蒸気密度 d: 観測された平衡蒸気密度 n: 反応物モルごとに生成される生成物のモル数

🧪

第 6 章: イオン平衡、酸、塩基、および緩衝剤

6 個の公式

オストワルド希釈、pHスケール、ヘンダーソン・ハッセルバルヒ緩衝液方程式、塩加水分解、Ksp溶解度積

1

弱電解質のオストワルトの希釈則

K_a = C·α²1 - α ≈ C·α² ⟹ α = √K_aC

解離分率 α << 1 の場合、弱酸/弱塩基に有効

K_a: 酸のイオン化定数 C: 初期モル濃度 α: イオン化度

2

水の自動イオン化と pH-pOH スケール

K_w = [H⁺]·[OH⁻] = 1.0 × 10⁻¹⁴, pH + pOH = pK_w = 14

基本対数スケール: pH = -log₁₀[H⁺] および pOH = -log₁₀[OH⁻]

[H⁺]: ヒドロニウムイオンモル濃度 [OH⁻]: 水酸化物イオンモル濃度 K_w: 水の自動イオン化製品

3

Henderson-Hasselbalch 式 (酸性緩衝液)

pH = pK_a + log₁₀([Conjugate Base][Weak Acid]) = pK_a + log₁₀([Salt][Acid])

酸性緩衝液混合物の pH を計算します (例: CH₃COOH + CH₃COONa)

pK_a: 弱酸の -log₁₀(K_a) [A⁻]: 共役塩基・塩の濃度 [HA]: 未解離弱酸の濃度

4

Henderson-Hasselbalch 方程式 (基本バッファ)

pOH = pK_b + log₁₀([Conjugate Acid][Weak Base]), pH = 14 - pOH

pOH と塩基性緩衝液 (例: NH4OH + NH4Cl) の pH を計算します。

pK_b: 弱塩基の -log₁₀(K_b) [Salt]: 共役塩のモル濃度 [Base]: 弱塩基のモル濃度

5

塩加水分解の pH 式

WA-SB: pH = 7 + ½pK_a + ½log(C), SA-WB: pH = 7 - ½pK_b - ½log(C), WA-WB: pH = 7 + ½pK_a - ½pK_b

弱酸塩および弱塩基塩のカチオン/アニオン加水分解から生じるpHを計算します

C: 食塩水のモル濃度

6

溶解度積定数 (Ksp) およびモル溶解度 (S)

A_x B_y ⇌ x A^(y+) + y B^(x-) ⟹ K_sp = x^x·y^y·S^(x+y)

難溶性塩の平衡定数 (1:1 塩: K_sp = S²; 1:2 塩: K_sp = 4S³; 1:3 塩: K_sp = 27S⁴)

K_sp: 溶解度積定数 S: 塩のモル溶解度

⏱️

第 7 章: 化学反応速度論と反応力学

6 個の公式

微分および積分速度の法則、半減期方程式、アレニウスの活性化エネルギー、および衝突理論

1

一般的な反応速度と速度則の式

Rate = -(1a)·(d[A]dt) = (1c)·(d[C]dt) = k·[A]^m·[B]^n

全体的な反応順序 = m + n;速度定数 k の単位は (mol/L)^(1-n) · s⁻¹

k: 比反応速度定数 m, n: 実験的に決定された反応順序

2

ゼロ次統合レートの法則と半減期

[A] = [A]₀ - k·t, t_½ = [A]₀2k

速度は反応物の濃度に依存しません。半減期は初期濃度に正比例します

[A]₀: t = 0 での初期濃度 [A]: 時刻tにおける残存濃度 k: ゼロ次速度定数

3

一次統合レートの法則と半減期

k = (2.303t)·log([A]₀[A]), [A] = [A]₀·e^(-k·t), t_½ = ln(2)k = 0.693k

一次半減期は初期反応物の濃度に厳密に依存しません

k: 一次速度定数 t_½: 半減期

4

二次統合レートの法則と半減期

1[A] = 1[A]₀ + k·t, t_½ = 1k·[A]₀

半減期は初期反応物質濃度に反比例します。

k: 二次速度定数

5

アレニウスの速度-温度方程式

k = A·e^(-E_aR·T) ⟹ ln(k) = ln(A) -E_aR·T

温度と活性化エネルギー障壁を使用して指数関数的な加速を定量化します

k: 速度定数 A: 前指数アレニウス周波数係数 E_a: 活性化エネルギー R: 気体定数 (8.314 J/(mol・K)) T: 絶対温度

6

2 つの温度におけるアレニウス比の公式

log(k₂k₁) = (E_a2.303·R)·(T₂ - T₁T₁·T₂)

2 つの異なる温度で測定された速度定数から活性化エネルギー E_a を計算します

k₁, k₂: 温度 T1 および T2 での速度定数

⚡

第 8 章: 電気化学とガルバニ電池

6 個の公式

標準 EMF ポテンシャル、ネルンスト方程式、ギブス電気仕事、コールラウシュ伝導度、およびファラデー電解法則

1

標準セル電位 (EMF)

E_cell° = E_cathode° - E_anode° = E_reduction(RHE)° - E_reduction(LHE)°

標準条件での起電力（濃度1M、ガス圧1atm、298K）

E_cell°: 標準起電力 E_cathode°: 正極の標準還元電位 E_anode°: 陽極の標準還元電位

2

298 K (25°C) でのネルンストの式

E_cell = E_cell° - (0.0591n)·log₁₀(Q)

非統一反応物/生成物活性に対する非標準の電気化学セルの電位を計算します

E_cell: 実際の細胞電位 n: 平衡反応のモルあたりに移動する電子のモル数 Q: 反応商 ([陽極イオン] / [陰極イオン]) F: ファラデー定数 (96,485 C/mol e⁻)

3

ギブスの自由エネルギーと標準セルのポテンシャル

ΔG° = -n·F·E_cell°, E_cell° = (0.0591n)·log₁₀(K_c)

標準的な電気化学セルの電位を最大の非膨張電気仕事および平衡に関連付けます。

ΔG°: 標準ギブズ自由エネルギー変化 K_c: 電気化学平衡定数

4

比伝導率とモル電解伝導率

κ = G·(lA) = (1R)·G*, Λ_m = κ × 1000M

電解質 1 モルあたりのモル伝導率 (単位: S・cm²・mol⁻¹)

κ: 比導電率（電解導電率） G*: セル定数 (l / A) Λ_m: モル伝導率 M: 電解質のモル濃度

5

独立したイオン移動に関するコールラウシュの法則

Λ_m° = ν₊·λ₊° + ν₋·λ₋°, α = Λ_mΛ_m°

無限希釈では、各イオンが独立してモルコンダクタンスに寄与します。弱電解質の解離αを決定します

Λ_m°: 無限希釈でのモル伝導率の制限 λ₊°, λ₋°: カチオンとアニオンのイオン伝導率の制限 α: 電離度

6

ファラデーの電気分解の法則

m = Z·I·t = M·I·tn·F,m₁E₁ = m₂E₂

電極に堆積または放出される質量は電荷 Q に比例します (ファラデー定数 F = 96485 C/mol)

m: 遊離・沈着物質の質量 Z: 電気化学当量 (E/96485) I: 電流 t: 電気分解時間 E: 相当重量(M/n)

💧

第 9 章: 解決策と集合的性質

6 個の公式

蒸気圧、沸点上昇、凝固降下、浸透圧、ヴァン・ホフ係数のラウールの法則

1

ラウールの法則と蒸気圧の相対的低下

P_A = X_A·P_A°,P_A° - P_AP_A° = X_B = n_Bn_A + n_B

相対的な蒸気圧の低下は不揮発性溶質のモル分率に等しい

P_A°: 純粋な溶媒の蒸気圧 P_A: 溶液の蒸気圧 X_B: 不揮発性溶質のモル分率

2

沸点上昇 (エブリオスコープ)

ΔT_b = i·K_b·m = i·(K_b × w_B × 1000M_B × w_A)

沸騰定数 K_b は溶媒の性質のみに依存します: K_b = (R・T_b²・M_solvent) / (1000・ΔH_vap)

ΔT_b: 沸点上昇 K_b: モル沸点上昇定数（水の場合0.512 K・kg/mol） m: 溶液のモル濃度 i: ヴァント・ホフ係数

3

凝固点降下 (凍結鏡検査)

ΔT_f = i·K_f·m = i·(K_f × w_B × 1000M_B × w_A)

極低温定数 K_f: K_f = (R・T_f²・M_solvent) / (1000・ΔH_fus) (水の場合 1.86 K・kg/mol)

ΔT_f: 凝固点降下 K_f: モル凝固点降下定数 m: 道徳

4

ヴァントホフ浸透圧の法則

Π = i·C·R·T = i·(n_BV)·R·T = i·(w_B·R·T)M_B·V

半透膜への溶媒の浸透を完全に防ぐために必要な静水圧

Π: 浸透圧 C: モル濃度 M_B: 溶質のモル質量 (ポリマー/タンパク質に広く使用されています)

5

解離と結合のヴァントホフ因子 (i)

i = 1 + (n - 1)·α_diss, i = 1 + (1n- 1)·α_assoc

溶液中の電解質のイオン化または二量体化による異常な分子量を説明します。

i: Van't Hoff 係数 (解離の場合は i > 1、結合の場合は i < 1) α: 結合度・解離度 n: イオンの数または結合度

6

液体中の気体の溶解度に関するヘンリーの法則

p_gas = K_H·X_gas, m_gas = k_H·p_gas

液体に溶けている気体は液体上の分圧に正比例します(K_HはTとともに増加します)

p_gas: 液体上の気体の分圧 K_H: ヘンリーの法則定数 X_gas: 溶存ガスのモル分率

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第 10 章: 固体状態と結晶学

4 個の公式

単位胞密度、立方晶の形状 (SC、BCC、FCC)、半径比規則、およびブラッグ X 線回折

1

単位格子結晶密度の式

ρ = z·Ma³·N_A

格子辺の長さ a と有効原子数 z からの理論的な結晶質量密度

ρ: 結晶密度 z: 単位セルあたりの有効原子数 (SC: 1、BCC: 2、FCC: 4) M: 物質のモル質量 a: 単位セルの辺の長さ N_A: アボガドロ数 (6.022 × 10²³ mol⁻¹)

2

立方格子の形状と充填効率

SC: r = a2 (52.4%), BCC: r = (√34)·a (68.0%), FCC: r = a2√2 (74.0%)

原子半径 r、エッジ長 a、および空間充填充填効率の間の幾何学的関係

r: 原子半径 a: 格子辺の長さ

3

限界半径比ルールと調整ジオメトリ

Linear: <0.155 (CN 2),  Triangular: 0.155-0.225 (CN 3),  Tetrahedral: 0.225-0.414 (CN 4),  Octahedral: 0.414-0.732 (CN 6),  Cubic: 0.732-1.000 (CN 8)

カチオン/アニオン半径比からイオン結晶配位数 (CN) と格子間構造を予測

r₊r₋: カチオンとアニオンの半径比

4

X 線回折のブラッグの法則

n·λ = 2·d·sin(θ)

d 間隔の結晶格子面によって散乱された単色 X 線の強め合う干渉条件

n: 回折次数の整数 (1、2、3...) λ: X線の波長 d: 格子面間の面間隔 θ: ブラッグ視角/散乱角

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第 11 章: 表面化学とコロイド状態

3 個の公式

フロイントリヒとラングミュアの吸着等温線、ハーディ・シュルツ則、およびゼータ電位

1

フロインドリッヒ吸着等温線

xm = k·P^(1n) ⟹ log(xm) = log(k) + (1n)·log(P)

中程度の圧力範囲における固体吸着剤表面へのガス吸着の実験モデル

x: 吸着したガスの質量 m: 固体吸着剤の質量 P: 平衡ガス圧力 k, n: 特定の吸着剤とガスのペアの吸着定数

2

ラングミュア単層吸着等温線

xm = a·P1 + b·P ⟹ Pxm = 1a+ (ba)·P

均一な単層表面被覆率と局所的な同一部位を想定した理論モデル

a, b: ラングミュア速度論的吸脱着パラメータ P: 平衡圧

3

コロイド凝固に関するハーディ・シュルツェ則

Coagulating Power ∝ (Valency of Oppositely Charged Ion)⁴

電解質イオンの凝集力は、その電荷価数 z とともに劇的に増加します。

z: 活性凝固イオンの価数

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第 12 章: 化学結合と分子構造

5 個の公式

双極子モーメント、ポーリングのイオン特性、分子軌道結合秩序、形式電荷、およびスピンのみの磁気モーメント

1

電気双極子モーメント (デバイ)

μ = q·d, 1 Debye (D) = 3.33564 × 10⁻³⁰ C·m = 10⁻¹⁸ esu·cm

結合距離 d にわたる電荷分離 q から分子の電気極性を定量化します。

μ: 分子双極子モーメント q: 分離された部分電荷の大きさ d: 電荷間の結合距離

2

ポーリングのパーセンテージイオン性文字

% Ionic = 16·|χ_A - χ_B| + 3.5·(χ_A - χ_B)²

電気陰性度の差Δχから共有結合のイオン性のパーセンテージを推定します

χ_A, χ_B: 結合原子のポーリング電気陰性度

3

分子軌道 (MO) 結合秩序

Bond Order = ½·(N_b - N_a)

ネット結合の安定性: 結合次数 > 0 は分子が安定していることを示します。結合次数が高くなると、結合長が短くなり、結合エネルギーが高くなります

N_b: 結合性分子軌道 (BMO) 内の電子の数 N_a: 反結合性分子軌道 (ABMO) の電子数

4

ルイス構造原子の形式電荷

FC = V - N_lone - ½·N_bonding

最も安定な共鳴ルイス構造を決定するための価電子のブックキーピング

V: 自由中性原子の価電子 N_lone: 非結合孤立電子対電子 N_bonding: 共有結合電子の総数

5

遷移金属イオンのスピン限定磁気モーメント

μ_s = √n·(n + 2) BM

不対d電子数nから常磁性磁気モーメントを計算 (n=1: 1.73 BM、n=2: 2.83 BM、n=3: 3.87 BM、n=4: 4.90 BM、n=5: 5.92 BM)

μ_s: スピンのみの磁気モーメント n: 不対電子の数

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第 13 章: 酸化還元反応と容量滴定

3 個の公式

酸化数、当量、酸化還元中和、不均化の化学量論

1

酸化剤と還元剤の当量重量

E = Molar MassNumber of electrons gained or lost per molecule

例: 酸性媒体中の KMnO4 (n=5) E = M/5;中性媒体中 (n=3) E = M/3;基本培地 (n=1) E = M/1

E: 相当重量 M: モル質量

2

化学当量法と滴定法

N₁·V₁ = N₂·V₂ ⟹ n₁·M₁·V₁ = n₂·M₂·V₂

化学量論的当量点では、滴定剤の当量は分析物の当量と等しくなります。

N₁, N₂: 反応溶液の正規性 V₁, V₂: 消費された力価量 n₁, n₂: 反応する化学種の n 因子

3

不均化反応における当量重量

E_total = E_oxidation + E_reduction = Mn₁+Mn₂

同じ化学元素が酸化と還元を同時に起こす酸化還元反応用

n₁, n₂: 酸化と還元の半反応における電子変化

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第 14 章: 有機化学の原理と立体化学

4 個の公式

水素欠乏指数 (IHD)、比旋光度、鏡像体過剰率、およびハメット式

1

水素欠乏の指標（不飽和度）

IHD = C + 1 - (H2) - (X2) + (N2)

環とπ結合の総数を決定します (二重結合 = 1、三重結合 = 2、ベンゼン環 = 4)

C: 炭素原子の数 H: 水素原子の数 X: ハロゲン原子の数（F、Cl、Br、I） N: 窒素原子の数

2

ビオの固有旋光則

[α]_D^T = α_obsl·c

ナトリウム D 線 (589 nm) 偏光分析を使用して測定された標準キラル光学活性

[α]_D^T: 比旋光度 α_obs: 旋光計で観測された旋光角 l: 旋光計サンプルチューブの経路長 c: 試料溶液濃度

3

エナンチオマー過剰率 (% ee) と光学純度

% ee = (|R -S|R + S) × 100 = (α_obsα_pure) × 100

ラセミ混合物に対する 1 つのエナンチオマーのキラル過剰を定量します (50:50 混合物の ee は 0%)

% ee: エナンチオマー過剰率 [R], [S]: R および S 鏡像異性体のモルパーセント

4

ハメット線形自由エネルギーの関係

log(KK₀) = σ·ρ, log(kk₀) = σ·ρ

メタ/パラ置換基の電子効果 (σ) および反応感度 (ρ) を置換安息香酸の割合に関連付けます。

σ: ハメット置換基定数 (電子吸引性 σ > 0、供与性 σ < 0) ρ: 反応感度定数 K, K₀: 置換基の有無による平衡定数