数学公式 - Mathematics, Physics & Chemistry

📐

三角函数核心公式速查

包含勾股平方恒等式、和角差角公式、倍角半角、积化和差、欧拉公式、正弦余弦定理及反三角关系。

92+ 条公式

📊

标准单位圆常用特殊角三角函数值速查表

弧度制与角度制常用基准角的精确三角函数比值

标准参考

角度 (x)	弧度 (rad)	sin(x)	cos(x)	tan(x)	csc(x)	sec(x)	cot(x)
0°	0	0	1	0	无定义	1	无定义
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3	2	2√3/3	√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1	√2	√2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3	2√3/3	2	√3/3
90°	π/2	1	0	无定义	1	无定义	0
120°	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	2√3/3	-2	-√3/3
135°	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	√2	-√2	-1
150°	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	2	-2√3/3	-√3
180°	π	0	-1	0	无定义	-1	无定义
270°	3π/2	-1	0	无定义	-1	无定义	0
360°	2π	0	1	0	无定义	1	无定义

🔄

倒数和商恒等式

8 个公式

一次三角比和倒数三角比之间的基本关系

1

正弦倒数

sin(x) = 1csc(x)

csc(x) ≠ 0; x ≠ nπ

2

余割倒数

csc(x) = 1sin(x)

sin(x) ≠ 0; x ≠ nπ

3

余弦倒数

cos(x) = 1sec(x)

sec(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

4

割线倒数

sec(x) = 1cos(x)

cos(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

5

正切倒数

tan(x) = 1cot(x)

cot(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

6

余切倒数

cot(x) = 1tan(x)

tan(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

7

正切商

tan(x) = sin(x)cos(x)

直角三角形中对边与邻边的比率

8

余切商

cot(x) = cos(x)sin(x)

直角三角形中邻边与对边的比率

🪞

对角公式（偶函数和奇函数）

6 个公式

角负角下三角函数的对称行为

1

正弦负角（奇函数）

sin(-x) = -sin(x)

相对于原点对称

2

余弦负角（偶函数）

cos(-x) = cos(x)

相对于 y 轴对称

3

正切负角（奇函数）

tan(-x) = -tan(x)

围绕原点的奇对称

4

余切负角（奇函数）

cot(-x) = -cot(x)

围绕原点的奇对称

5

正割负角（偶函数）

sec(-x) = sec(x)

继承余弦的偶对称性

6

余割负角（奇函数）

csc(-x) = -csc(x)

继承正弦的奇对称性

📐

余角公式

6 个公式

连接互补角三角函数的恒等式（π/2 - x 或 90° - x）

1

正弦余函数

sin(π2- x) = cos(x)

另外：sin(90° - x) = cos(x)

2

余弦协函数

cos(π2- x) = sin(x)

另外：cos(90° - x) = sin(x)

3

正切协函数

tan(π2- x) = cot(x)

另外： tan(90° - x) = cot(x)

4

余切协函数

cot(π2- x) = tan(x)

另外：cot(90° - x) = tan(x)

5

割线协函数

sec(π2- x) = csc(x)

另外： sec(90° - x) = csc(x)

6

余割协函数

csc(π2- x) = sec(x)

另外： csc(90° - x) = sec(x)

🔺

毕达哥拉斯恒等式和代数形式

9 个公式

直接从单位圆 (x² + y² = 1) 和直角三角形三角学导出

1

主要毕达哥拉斯恒等式

sin²(x) + cos²(x) = 1

对所有实角度有效的基本恒等式 x

2

正弦换算为余弦

sin(x) = ±√1 - cos²(x)

根据 x 象限选择符号

3

余弦换算成正弦

cos(x) = ±√1 - sin²(x)

根据 x 象限选择符号

4

正切毕达哥拉斯恒等式

1 + tan²(x) = sec²(x)

sin²(x) + cos²(x) = 1 除以 cos²(x) 得出

5

正切差分形式

sec²(x) - tan²(x) = 1

当 cos(x) ≠ 0 时有效

6

余切余割毕达哥拉斯恒等式

1 + cot²(x) = csc²(x)

sin²(x) + cos²(x) = 1 除以 sin²(x) 得出

7

余割余切差值形式

csc²(x) - cot²(x) = 1

当 sin(x) ≠ 0 时有效

8

单位圆根式归一化

√sin²(x) + cos²(x) = 1

单位圆上的几何斜边长度

9

产品统一标识

sin(x)·csc(x) = 1, cos(x)·sec(x) = 1, tan(x)·cot(x) = 1

互积相等统一

➕

角度加法和减法（复角）

8 个公式

两个角之和与差的三角比公式 (A ± B)

1

角和的正弦

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

正弦加法的关键复合角公式

2

角度差的正弦

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

正弦差的关键复合角度公式

3

角和的余弦

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

注意余弦和展开中的负号

4

角度差的余弦

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

注意余弦差展开中的加号

5

角和的正切

tan(A + B) = tan(A) + tan(B)1 - tan(A)tan(B)

要求 tan(A)tan(B) ≠ 1

6

角度差的正切

tan(A - B) = tan(A) - tan(B)1 + tan(A)tan(B)

要求 tan(A)tan(B) ≠ -1

7

角和的余切

cot(A + B) = cot(A)cot(B) - 1cot(B) + cot(A)

余切和的复合公式

8

角度差的余切

cot(A - B) = cot(A)cot(B) + 1cot(B) - cot(A)

余切差的复合公式

✖️2️⃣

双角公式 (2x)

7 个公式

用单角 (x) 表达双角 (2x) 的函数

1

正弦双角

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

包括有理切线参数化形式

2

余弦双角（标准差）

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

cos(x + x) 的直接结果

3

余弦双角（仅余弦）

cos(2x) = 2 cos²(x) - 1

对于集成和降低功耗至关重要

4

余弦双角（仅限正弦）

cos(2x) = 1 - 2 sin²(x)

对于积分和半角推导至关重要

5

余弦双角（正切参数化）

cos(2x) = 1 - tan²(x)1 + tan²(x)

余弦的维尔斯特拉斯替换关系

6

正切双角

tan(2x) = 2 tan(x)1 - tan²(x)

要求 tan²(x) ≠ 1

7

余切双角

cot(2x) = cot²(x) - 12 cot(x)

要求 cot(x) ≠ 0

3️⃣

三重角度公式 (3x)

4 个公式

以单角多项式形式表示的 3x 三角函数

1

正弦三角

sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin³(x)

对于求解三次方程和代数很有用

2

余弦三角

cos(3x) = 4 cos³(x) - 3 cos(x)

直接三次切比雪夫多项式 T₃(x) = 4x³ - 3x

3

正切三角

tan(3x) = 3 tan(x) - tan³(x)1 - 3 tan²(x)

需要 3tan²(x) ≠ 1

4

余切三角

cot(3x) = 3 cot(x) - cot³(x)1 - 3 cot²(x)

需要 3cot²(x) ≠ 1

½

半角公式 (x/2)

6 个公式

符号由 x/2 象限确定的半角的精确公式

1

正弦半角

sin(x2) = ±√1 - cos(x)2

± 根据包含 x/2 的象限选择符号

2

余弦半角

cos(x2) = ±√1 + cos(x)2

± 根据包含 x/2 的象限选择符号

3

正切半角（根式）

tan(x2) = ±√1 - cos(x)1 + cos(x)

正切的平方根半角形式

4

正切半角（有理式 1）

tan(x2) = 1 - cos(x)sin(x)

没有符号歧义；对于所有 x ≠ nπ 都是精确的

5

正切半角（有理式 2 / 差值）

tan(x2) = sin(x)1 + cos(x) = csc(x) - cot(x)

等价于差 csc(x) - cot(x)

6

余切半角

cot(x2) = 1 + cos(x)sin(x) = csc(x) + cot(x)

相当于 csc(x) + cot(x) 之和

⚡

功率降低公式（平方和更高次幂）

7 个公式

将三角函数的幂转换为 x 的一次倍数（对于微积分积分至关重要）

1

正弦平方功率降低

sin²(x) = 1 - cos(2x)2

基本微积分反导数约简： ∫sin²(x)dx

2

余弦平方功率降低

cos²(x) = 1 + cos(2x)2

基本微积分反导数约简：∫cos²(x)dx

3

正切平方功率降低

tan²(x) = 1 - cos(2x)1 + cos(2x)

tan²(x) 的有理余弦分数形式

4

正弦立方功率降低

sin³(x) = 3 sin(x) - sin(3x)4

直接从 sin(3x) 三角恒等式导出

5

余弦立方功率降低

cos³(x) = 3 cos(x) + cos(3x)4

直接从 cos(3x) 三角恒等式导出

6

正弦四次幂降低

sin⁴(x) = 3 - 4 cos(2x) + cos(4x)8

用于傅立叶级数和高阶积分

7

余弦四次方折减

cos⁴(x) = 3 + 4 cos(2x) + cos(4x)8

用于傅立叶级数和高阶积分

✖️➡️➕

乘积求和公式

4 个公式

将正弦和余弦的乘积转换为和项和差项（对于波力学和积分至关重要）

1

正弦 × 正弦积

sin(A) sin(B) = ½ [cos(A - B) - cos(A + B)]

将波干涉产物转化为附加成分

2

余弦 × 余弦积

cos(A) cos(B) = ½ [cos(A - B) + cos(A + B)]

将余弦积转换为加法分量

3

正弦 × 余弦积

sin(A) cos(B) = ½ [sin(A + B) + sin(A - B)]

标准信号调制乘积公式

4

余弦 × 正弦积

cos(A) sin(B) = ½ [sin(A + B) - sin(A - B)]

互补产品分解

➕➡️✖️

和乘积公式

6 个公式

将三角函数的和与差转换为乘积

1

正弦+正弦和

sin(A) + sin(B) = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)

解释声波声学中的拍频现象

2

正弦 - 正弦差

sin(A) - sin(B) = 2 sin(A - B2) cos(A + B2)

微分波分析形式

3

余弦 + 余弦和

cos(A) + cos(B) = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)

甚至求和到乘积的转换

4

余弦 - 余弦差

cos(A) - cos(B) = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)

注意前面的负号（或相反的顺序 B - A）

5

正切 + 正切和

tan(A) + tan(B) = sin(A + B)cos(A) cos(B)

计算组合切线斜率

6

正切 - 正切差

tan(A) - tan(B) = sin(A - B)cos(A) cos(B)

计算切线斜率之差

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三角形定律和几何关系

7 个公式

求解一般斜三角形的定律（正弦、余弦、正切定律和莫尔韦德公式）

1

正弦定理

asin(A) = bsin(B) = csin(C) = 2R

R是外接圆的半径（circumradius）

a, b, c: 边长 A, B, C: 对角 R: 圆周半径

2

余弦定理（a 边/A 角）

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

解决 SAS（侧-角-侧）或 SSS（侧-侧-侧）问题

3

余弦定理（b 面和 c 面）

b² = a² + c² - 2ac cos(B), c² = a² + b² - 2ab cos(C)

b 面和 c 面的对称版本

4

切线定律

a - ba + b = tan[½(A - B)]tan[½(A + B)]

历史上用于导航中的对数计算

5

莫尔韦德的第一个公式

a + bc = cos[½(A - B)]sin(½C)

检查三角形解算器一致性的优秀公式

6

摩尔韦德第二公式

a - bc = sin[½(A - B)]cos(½C)

互补 Mollweide 一致性关系

7

三角三角形面积 (SAS)

Area = ½ a b sin(C) = ½ b c sin(A) = ½ a c sin(B)

计算两侧面积和夹角

⭕

弧长、扇形和圆周运动

3 个公式

将弧度角度与弯曲距离、扇形面积和角速度联系起来的关系

1

弧长公式

S = r x

角度 x 必须以弧度表示 (x = x° × π / 180°)

S: 弧长 r: 圆半径 x: 圆心角（弧度）

2

圆形扇形面积

Area = ½ r² x = ½ r S

x 弧度；等于 ½ × 半径 × 弧长

3

线速度和角速度

v = r ω, ω = xt = 2π f

将线切向速度 v 与角速度 ω 和频率 f 联系起来

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欧拉公式、德莫夫尔公式和复三角

5 个公式

连接指数复数分析和极坐标三角学的桥梁

1

欧拉公式

e^(ix) = cos(x) + i sin(x) = cis(x)

将指数函数直接与正弦、余弦连接；对于 x=π 给出 e^(iπ) + 1 = 0

2

德莫弗公式

(r cis x)ⁿ = rⁿ cis(nx) = rⁿ [cos(nx) + i sin(nx)]

即时计算复数的幂和根

3

极坐标乘法和除法

(r₁ cis x)(r₂ cis φ) = r₁r₂ cis(x + φ),r₁ cis xr₂ cis φ = (r₁r₂) cis(x - φ)

幅度乘法/除法；角度参数加/减

4

余弦的指数定义

cos(x) = e^(ix) + e^(-ix)2

使用复指数以代数方式表达余弦

5

正弦的指数定义

sin(x) = e^(ix) - e^(-ix)2i

使用复指数以代数方式表达正弦

↩️

反三角恒等式

6 个公式

反循环函数的性质、主值分支恒等式以及求和公式

1

逆互补恒等式

sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x) = π2, tan⁻¹(x) + cot⁻¹(x) = π2, sec⁻¹(x) + csc⁻¹(x) = π2

在各个域上有效：x ∈ [-1, 1], x ∈ ℝ, |x| ≥1

2

反正切和公式

tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x + y1 - xy)

如果 xy > 1 且 x,y > 0，则将 π 添加到结果中

3

反正切差值公式

tan⁻¹(x) - tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x - y1 + xy)

标准反正切减法公式

4

双反正切多重表示

2 tan⁻¹(x) = sin⁻¹(2x1 + x²) = cos⁻¹(1 - x²1 + x²) = tan⁻¹(2x1 - x²)

对于微积分至关重要 Weierstrass t 替换 (t = tan(x/2))

5

否定论证逆恒等式

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹(x), tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹(x), cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹(x)

注意 cos⁻1(-x) 产生 π - cos⁻1(x)

6

反函数关系

csc⁻¹(x) = sin⁻¹(1x), sec⁻¹(x) = cos⁻¹(1x), cot⁻¹(x) = tan⁻¹(1x) [x > 0]

反函数的倒数参数映射

⚡

微分法则与导数公式全表

幂法则、乘积法则、商法则、链式求导法则，以及指数、对数、三角、反三角与双曲函数导数。

44+ 条公式

⚡

基本衍生规则和运算

9 个公式

常数、幂和代数组合的核心运算微分规则

1

根据第一原理求导（极限定义）

f'(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x))h

导数的基本定义是瞬时变化率

2

恒定规则

ddx [c] = 0

任何常数 c 的导数为零

3

幂律

ddx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

对所有实数指数 n (n ∈ ℝ) 有效

4

常数倍规则

ddx [c·f(x)] = c·f'(x)

常量因式分解

5

和差规则

ddx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

微分是一个线性算子

6

乘积法则（莱布尼茨法则）

ddx [f(x)·g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

先微分，再保持，加先保持，再微分

7

商规则

ddx [f(x)g(x)] = g(x)f'(x) - f(x)g'(x)[g(x)]²

要求 g(x) ≠ 0

8

链式法则（复合函数）

ddx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

对内部求值的外部函数求微分，乘以内部的导数

9

倒数函数法则

ddx [1f(x)] = -f'(x)[f(x)]²

往复功能的直接快捷方式

📈

指数和对数导数

7 个公式

自然、一般基指数和对数函数的导数

1

自然指数导数

ddx [eˣ] = eˣ

唯一的非零函数等于其自身的导数

2

复合自然指数导数

ddx [e^(f(x))] = e^(f(x))·f'(x)

链式法则应用于自然指数

3

广义基指数导数

ddx [aˣ] = aˣ·ln(a)

对于 a > 0、a ≠ 1 有效

4

自然对数导数

ddx [ln(x)] = 1x

对于绝对值：d/dx [ln|x|] = 1 / x (x ≠ 0)

5

复合自然对数导数

ddx [ln(f(x))] = f'(x)f(x)

对数导数/相对变化率

6

广义对数导数

ddx [log_a(x)] = 1x·ln(a)

改变基础微分公式

7

可变基数和可变指数 (xˣ)

ddx [xˣ] = xˣ·(1 + ln(x))

使用对数微分导出 y = xˣ ⇒ ln y = x ln x

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三角函数导数

7 个公式

所有六个标准三角函数的导数（sin、cos、tan、cot、sec、csc）

1

正弦导数

ddx [sin(x)] = cos(x)

正弦的变化率是余弦

2

余弦的导数

ddx [cos(x)] = -sin(x)

注意“co-”函数的负号

3

正切的导数

ddx [tan(x)] = sec²(x)

也等于 1 + tan²(x)

4

余切的导数

ddx [cot(x)] = -csc²(x)

也等于 -(1 + cot²(x))

5

割线的导数

ddx [sec(x)] = sec(x)·tan(x)

割线和切线的乘积

6

余割导数

ddx [csc(x)] = -csc(x)·cot(x)

余割和带负号的余切的乘积

7

复合三角链形式

ddx [sin(f(x))] = cos(f(x))·f'(x), ddx [cos(f(x))] = -sin(f(x))·f'(x)

标准广义三角链法则

↩️

反三角导数

6 个公式

反正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的导数

1

反正弦的导数

ddx [sin⁻¹(x)] = 1√1 - x²

域严格介于 -1 和 1 之间

2

反余弦的导数

ddx [cos⁻¹(x)] = -1√1 - x²

反正弦导数的精确负值

3

反正切的导数

ddx [tan⁻¹(x)] = 11 + x²

适用于所有无奇点的实数

4

反余切的导数

ddx [cot⁻¹(x)] = -11 + x²

反正切导数的精确负数

5

反正割的导数

ddx [sec⁻¹(x)] = 1|x|·√x² - 1

需要|x| > 1

6

反余割的导数

ddx [csc⁻¹(x)] = -1|x|·√x² - 1

反正割导数的正负数

〰️

双曲和反双曲导数

9 个公式

sinh、cosh、tanh 的导数及其各自的反函数

1

双曲正弦的导数 (sinh x)

ddx [sinh(x)] = cosh(x)

注意没有负号（与正则余弦不同）

2

双曲余弦的导数 (cosh x)

ddx [cosh(x)] = sinh(x)

正变化率

3

双曲正切的导数 (tanh x)

ddx [tanh(x)] = sech²(x)

对于神经网络激活反向传播至关重要

4

双曲余切的导数 (coth x)

ddx [coth(x)] = -csch²(x)

负双曲余割平方

5

双曲正割的导数 (sech x)

ddx [sech(x)] = -sech(x)·tanh(x)

负双曲积

6

双曲余割的导数 (csch x)

ddx [csch(x)] = -csch(x)·coth(x)

负双曲积

7

反双曲正弦的导数

ddx [arsinh(x)] = 1√x² + 1

对所有实 x 有效

8

反双曲余弦的导数

ddx [arcosh(x)] = 1√x² - 1

适用于 x > 1

9

反双曲正切的导数

ddx [artanh(x)] = 11 - x²

对 |x| 有效< 1

🔬

高级微分技术和定理

6 个公式

隐式微分、参数曲线、L’Hôpital 规则和泰勒展开式

1

参数一阶导数 (dy/dx)

dydx = dydtdxdt

根据参数方程 x(t)、y(t) 计算曲线切线斜率

2

参数二阶导数 (d²y/dx²)

d²ydx² = [ddt (dydx)]dxdt

计算参数曲线的凹度

3

洛必达法则（0/0 或 ∞/∞ 极限）

lim[x→c] f(x)g(x) = lim[x→c] f'(x)g'(x)

通过独立微分分子和分母来解决不确定极限

4

中值定理 (MVT)

f'(c) = f(b) - f(a)b - a

保证瞬时变化率等于平均变化率的点

5

围绕 x = a 的泰勒级数展开

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(a)n!)·(x - a)ⁿ

光滑可微函数的多项式逼近

6

麦克劳林级数展开 (a = 0)

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(0)n!)·xⁿ

以原点为中心的泰勒级数 (x = 0)

∫

积分公式与标准不定积分

包含标准不定积分表、指数对数三角积分、换元积分法以及分部积分核心公式。

54+ 条公式

∫

基本整合规则和权力

6 个公式

常数、代数幂和线性组合的基本反导数规则

1

常数积分

∫ k dx = k·x + C

常数 k 的反导数为 k·x + C

2

幂积分法则

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

对所有实数 n 有效，n = -1 除外

3

倒数函数积分 (1/x)

∫ (1x) dx = ln|x| + C

幂律中 n = -1 的关键特殊情况

4

积分线性规则

∫ [a·f(x) ± b·g(x)] dx = a ∫ f(x) dx ± b ∫ g(x) dx

积分是一种线性函数运算

5

线性复合幂法则

∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

线性二项式幂的快捷方式

6

线性复合倒数积分

∫ (1ax + b) dx = (1a)·ln|ax + b| + C

标准线性分母积分公式

📈

指数和对数积分

6 个公式

涉及自然 eˣ、通基 aˣ 和对数项的反导数

1

自然指数积分

∫ eˣ dx = eˣ + C

函数等于其自身反导数直至常数 C

2

缩放指数积分 (eᵃˣ)

∫ e^(ax) dx = (1a)·e^(ax) + C

标准缩放指数积分规则

3

一般底指数积分 (aˣ)

∫ aˣ dx = aˣln(a)+ C

除以 ln(a)，因为导数乘以 ln(a)

4

自然对数积分

∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x + C

使用分部积分导出，其中 u = ln x, dv = dx

5

通用底对数积分

∫ log_a(x) dx = x·ln(x) - xln(a)+ C

更改对数的底积分

6

乘积积分 (x·eˣ)

∫ x·eˣ dx = eˣ(x - 1) + C

经典的零件应用集成

📐

基本三角积分

6 个公式

对应于标准三角导数的直接反导数

1

正弦积分

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

注意正弦反导数中的负号

2

余弦积分

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

直接标准三角反导数

3

正割平方积分

∫ sec²(x) dx = tan(x) + C

因为正切的导数是割平方

4

余割平方积分

∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C

因为余切的导数是 -csc²(x)

5

正切 × 正切的积分

∫ sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C

sec(x) 的直接导数反转

6

余割 × 余切的积分

∫ csc(x) cot(x) dx = -csc(x) + C

csc(x) 的直接导数反转

⚡

扩展和平方三角积分

8 个公式

tan、cot、sec、csc 和平方三角项的积分

1

切线积分

∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C = -ln|cos(x)| + C

通过替换进行评估 u = cos(x)

2

余切积分

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C = -ln|csc(x)| + C

通过替换进行评估 u = sin(x)

3

割线积分

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

著名的微积分积分乘以 (sec x + tan x)/(sec x + tan x)

4

余割积分

∫ csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C = ln|tan(x2)| + C

标准对数余割积分

5

正弦平方的积分 (sin² x)

∫ sin²(x) dx = (x2) - (sin(2x)4) + C

使用功率降低恒等式 sin²(x) = (1 - cos 2x)/2 进行评估

6

余弦平方的积分 (cos² x)

∫ cos²(x) dx = (x2) + (sin(2x)4) + C

使用功率降低恒等式 cos²(x) = (1 + cos 2x)/2 进行评估

7

正切平方的积分 (tan² x)

∫ tan²(x) dx = tan(x) - x + C

使用恒等式 tan²(x) = sec²(x) - 1 进行评估

8

余切平方的积分 (cot² x)

∫ cot²(x) dx = -cot(x) - x + C

使用恒等式 cot²(x) = csc²(x) - 1 进行评估

↩️

积分产生反三角函数

5 个公式

标准代数分数积分，其反导数是反三角函数

1

积分屈服反正弦

∫ (1√a² - x²) dx = sin⁻¹(xa) + C

注意反正弦外面没有 1/a 因子

2

积分屈服反正切

∫ (1a² + x²) dx = (1a)·tan⁻¹(xa) + C

与反正弦不同，需要 1/a 系数

3

积分屈服反割线

∫ (1x·√x² - a²) dx = (1a)·sec⁻¹(|x|a) + C

包括 1/a 系数和绝对值 |x|

4

1 / (x² - a²) 的积分

∫ (1x² - a²) dx = (12a)·ln|(x - a)x + a| + C

通过部分分数分解获得 1/(x²-a²)

5

1 / (a² - x²) 的积分

∫ (1a² - x²) dx = (12a)·ln|(a + x)a - x| + C

通过部分分数分解获得 1/(a²-x²)

√

特殊根式平方根积分

4 个公式

通过三角代换求解的标准根式积分（x = a sin θ、a tan θ、a sec θ）

1

√(a² - x²) 的积分

∫ √a² - x² dx = (x2)√a² - x² + (a²2)sin⁻¹(xa) + C

用于计算圆形和椭圆形扇形面积

2

√(x² + a²) 的积分

∫ √x² + a² dx = (x2)√x² + a² + (a²2)ln|x + √x² + a²| + C

使用替换 x = a tan θ 或双曲 x = a sinh u 求解

3

√(x² - a²) 的积分

∫ √x² - a² dx = (x2)√x² - a² - (a²2)ln|x + √x² - a²| + C

使用替换 x = a sec θ 或双曲 x = a cosh u 求解

4

1 / √(x² ± a²) 的积分

∫ (1√x² ± a²) dx = ln|x + √x² ± a²| + C

也分别等于 arsinh(x/a) 和 arcosh(x/a)

〰️

双曲函数积分

6 个公式

sinh、cosh、tanh 和双曲三角函数形式的反导数

1

双曲正弦积分 (sinh x)

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

正 cosh(x) + C（无负号）

2

双曲余弦积分 (cosh x)

∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

直接双曲反导数

3

双曲正切积分 (tanh x)

∫ tanh(x) dx = ln(cosh x) + C

由于对于所有实数 x cosh x > 0，因此不需要绝对值

4

双曲正割平方的积分 (sech² x)

∫ sech²(x) dx = tanh(x) + C

直接反导数生成 tanh(x)

5

双曲余割平方积分 (csch² x)

∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C

负双曲余切

6

sech(x) · tanh(x) 的积分

∫ sech(x) tanh(x) dx = -sech(x) + C

双曲正割积的反导数

🛠️

集成技术和方法

4 个公式

一般分析积分方法：部分、替换和部分分数

1

分部公式积分

∫ u dv = u·v - ∫ v du

使用 LIATE 规则（对数、反三角、代数、三角、指数）选择 u

2

通过 U 替换进行积分（变量的更改）

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du

逆转微分的链式法则

3

维尔斯特拉斯半角替换 (t = tan(x/2))

sin(x) = 2t1+t², cos(x) = 1-t²1+t², dx = 2dt1+t²

将任何有理三角积分转换为有理多项式代数积分

4

对数导数形式 (∫ f'(x)/f(x) dx)

∫ (f'(x)f(x)) dx = ln|f(x)| + C

每当分子是分母的精确导数时

📊

定积分和基本定理

5 个公式

微积分基本定理 (FTC)、对称性和莱布尼茨规则

1

微积分基本定理（第 1 部分 - 积分微分）

ddx [ ∫xa f(t) dt ] = f(x)

将微分和积分作为逆数学运算联系起来

2

微积分基本定理（第二部分 - 求值定理）

∫ba f(x) dx = F(b) - F(a)

评估间隔 [a, b] 内的净面积和累积变化

3

积分符号下的莱布尼茨微分规则

ddx [ ∫v(x)u(x) f(t) dt ] = f(v(x))·v'(x) - f(u(x))·u'(x)

链式法则扩展到可变的积分下限和上限

4

[-a, a] 上的定积分偶/奇函数对称性

Even: ∫a-a f(x) dx = 2 ∫a0 f(x) dx, Odd: ∫a-a f(x) dx = 0

对称积分边界的瞬时简化 [-a, a]

5

定积分的中值定理

f_avg = (1b - a)·∫ba f(x) dx = f(c)

计算 [a, b] 上连续函数的真实平均值

🔁

三角约简公式

4 个公式

用于积分更高三角幂的递归归约公式（sinⁿ x、cosⁿ x、tanⁿ x、secⁿ x）

1

正弦功率降低公式

∫ sinⁿ(x) dx = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x)n+ (n - 1n) ∫ sinⁿ⁻²(x) dx

每次迭代时将正弦幂减少 2

2

余弦功率降低公式

∫ cosⁿ(x) dx = cosⁿ⁻¹(x)sin(x)n+ (n - 1n) ∫ cosⁿ⁻²(x) dx

每次迭代时将余弦幂减少 2

3

切线功率折减公式

∫ tanⁿ(x) dx = tanⁿ⁻¹(x)n - 1 - ∫ tanⁿ⁻²(x) dx

tanⁿ(x) 的快速代数约简

4

正割功率折减公式

∫ secⁿ(x) dx = secⁿ⁻²(x)tan(x)n - 1 + (n - 2n - 1) ∫ secⁿ⁻²(x) dx

降低正割的较高幂（例如 ∫sec³ x dx）

🧮

全套高等数学公式全表

代数恒等式、平面与空间几何、矩阵运算、向量空间、级数展开、常微分方程与概率统计定理。

54+ 条公式

🔢

第一章：代数恒等式、多项式和不等式

9 个公式

二项式展开式、立方和/差、Vieta 关系、二项式定理和基本不等式

1

二次方程公式和根

x = -b ± √b² - 4ac2a

标准二次方程的解 ax² + bx + c = 0;判别式 Δ = b² - 4ac 确定实数/复数性质

x: 二元一次方程的根 a, b, c: 多项式系数 (a ≠ 0) Δ = b² - 4ac: 判别式（Δ > 0 不同实数，Δ = 0 重复，Δ < 0 复共轭）

2

二项式平方和立方展开恒等式

(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

代数二项式的基本多项式展开式

a, b: 代数项或实数

3

三项式平方恒等式

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

三项之和的平方展开

a, b, c: 代数变量

4

立方差与立方和因式分解

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

三次项的和与差的精确代数因式分解

a, b: 基本条款

5

欧拉三变量三次恒等式

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

特殊情况：如果 a + b + c = 0，则 a3 + b3 + c3 = 3abc

a, b, c: 实变量或复变量

6

一般二项式定理

(x + y)ⁿ = ∑[k = 0 to n] (n!k!(n - k)!)·xⁿ⁻ᵏ·yᵏ

使用组合系数展开二项式和的任何正整数幂

n: 非负整数幂 k: 术语索引（0 到 n）

7

Vieta 的多项式根公式

Quadratic: r₁ + r₂ = -ba, r₁·r₂ = ca; Cubic: ∑ r_i = -ba, ∑ r_i r_j = ca, r₁r₂r₃ = -da

多项式根和系数之间的直接关系

r_i: 多项式的根 P(x) = 0

8

AM-GM-HM 经典意味着不等式

AM ≥ GM ≥ HM ⟹ a₁ + a₂ + ... + a_nn ≥ ⁿ√a₁·a₂·...·a_n ≥ n1a₁+1a₂+ ... +1a_n

当且仅当所有元素 a₁ = a2 = ... = a_n 时，相等成立

AM: 算术平均值 GM: 几何平均数 HM: 调和平均值

9

柯西-施瓦茨不等式

(∑[i = 1 to n] a_i·b_i)² ≤ (∑[i = 1 to n] a_i²)·(∑[i = 1 to n] b_i²)

实/复内积空间中的普遍不等式

a_i, b_i: 实数或向量分量的序列

📐

第 2 章：二维坐标几何和圆锥曲线

8 个公式

距离、截面公式、直线、圆、抛物线、椭圆和双曲线

1

二维欧几里德距离和截面公式

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², x = m·x₂ ± n·x₁m ± n

连接 (x₁, y₁) 和 (x2, y2) 的线段的直线距离和内外比划分

d: 欧氏距离 m : n: 段分割比

2

鞋带三角形与多边形面积公式

Area = ½·|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

根据 3 个顶点的坐标计算平面面积；零面积意味着共线性

(x_i, y_i): 顶点坐标

3

直线方程和垂直距离

y - y₁ = m·(x - x₁), d_perp = |A·x₀ + B·y₀ +C|√A² + B²

点斜率方程和点 (x₀, y₀) 到线 Ax + By + C = 0 的最短垂直距离

m: 线斜率 (tan θ = (y2 - y₁) / (x2 - x₁)) d_perp: 与线的垂直距离

4

两条相交线之间的角度

tan(θ) = |(m₂ - m₁)1 + m₁·m₂|

锐角交叉角；平行线有 m₁ = m2；垂直线 m₁·m2 = -1

m₁, m₂: 两条相交线的斜率

5

圆标准和通用表格

(x - h)² + (y - k)² = r², x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ⟹ r = √g² + f² - c

以 (h, k) 为圆心、以 r 为半径的圆方程

(h, k): 圆心坐标 r: 圆半径

6

抛物线标准形式和偏心率

y² = 4ax, Focus: (a, 0), Directrix: x = -a, Latus Rectum: 4a, e = 1

与焦点和准线等距的点的轨迹（偏心率 e = 1）

a: 焦距参数

7

椭圆标准形状、偏心率和面积

x²a²+y²b² = 1, e = √1 -b²a², Foci: (±ae, 0), Area = π·a·b

长半轴 a、短半轴 b、偏心率 e < 1 的标准水平椭圆

a, b: 长半轴和短半轴 e: 偏心率 (0 < e < 1)

8

双曲线标准形式和渐近线

x²a²-y²b² = 1, e = √1 +b²a², Asymptotes: y = ±(ba)·x

偏心率 e > 1 且通过原点的线性渐近线的圆锥曲线

e: 双曲偏心率 (e > 1)

🧊

第 3 章：3D 立体几何和测量

6 个公式

3D 距离、球体、圆柱体、圆锥体、平截头体、环形和 3D 平面方程

1

3D 距离公式和球面方程

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)², (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

3D 笛卡尔空间中的欧几里德距离和中心 (x₀, y₀, z₀) 和半径 R 的球体方程

d: 3D空间距离 R: 球体半径

2

球体和圆柱体的测量公式

Sphere: V = (43)·π·R³, A = 4·π·R²; Cylinder: V = π·r²·h, A_total = 2·π·r·(r + h)

固体 3D 球体和圆柱体的体积容量和总表面积公式

R, r: 半径 h: 气缸高度

3

直圆锥体和截头体体积

Cone: V = (13)·π·r²·h, l = √r² + h²; Frustum: V = (13)·π·h·(R² + r² + R·r)

斜高l、侧面积A_lat = π·r·l、截锥体体积

R, r: 平截头体的底半径和顶半径 h: 垂直高度 l: 斜高

4

环面（甜甜圈）体积和表面积

V_torus = 2·π²·R·r², A_torus = 4·π²·R·r

由半径为 r 的圆围绕大半径为 R 的轴从中心旋转生成的旋转实体 (R ≥ r)

R: 大半径（从管中心到圆环中心的距离） r: 小半径（管的半径）

5

3D 平面方程和法向量

A·(x - x₀) + B·(y - y₀) + C·(z - z₀) = 0 ⟹ Ax + By + Cz + D = 0

通过点 (x₀, y₀, z₀) 且法向量 n = <A, B, C> 的平面方程

A, B, C: 法向量的方向数

6

3D 斜线之间的最短距离

d = |(a₂ - a₁)·(b₁ × b₂)||b₁ × b₂|

计算两条不相交、不平行的 3D 线之间的绝对最短距离 r₁ = a₁ + λb₁ 和 r2 = a2 + μb2

a₁, a₂: 第 1 行和第 2 行上的位置向量 b₁, b₂: 线 1 和线 2 的方向向量

📊

第 4 章：线性代数和矩阵理论

5 个公式

行列式、矩阵逆、克莱默规则、特征值、特征向量和凯莱-汉密尔顿定理

1

矩阵行列式（2×2 和 3×3）

det(A_2x2) = ad - bc, det(A_3x3) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

线性变换下标量值缩放体积； det(A) = 0 表示不可逆奇异矩阵

det(A): 矩阵 A 的行列式

2

矩阵逆与辅助公式

A⁻¹ = (1det(A))·adj(A) = (1det(A))·(C)^T

矩阵逆，其中 adj(A) 是辅因子矩阵 C 的转置

A⁻¹: 乘法逆矩阵使得 A · A⁻1 = I adj(A): 佐助/经典伴随矩阵

3

线性系统的克莱默规则

x_i = det(A_i)det(A)

用于求解 n 个线性方程组 Ax = b 的显式代数公式，其中 A_i 将第 i 列替换为 b

x_i: 解向量分量 A_i: 将第 i 列替换为常数向量 b 形成的矩阵

4

特征值和特征方程

det(A - λ·I) = 0, (A - λ·I)·v = 0

特征多项式根产生标量特征值 λ；对应的非零向量 v 是特征向量

λ: 特征值标量 I: 单位矩阵 v: 特征向量

5

迹和行列式特征值关系

tr(A) = ∑[i = 1 to n] λ_i = ∑[i = 1 to n] a_ii, det(A) = ∏[i = 1 to n] λ_i

矩阵迹等于特征值之和；行列式等于所有特征值的乘积

tr(A): 矩阵的迹（主对角线元素之和） λ_i: 所有特征值的集合

🧭

第 5 章：向量微积分和域运算符

5 个公式

点积和叉积、三重积、梯度、散度、旋度和拉普拉斯

1

矢量点（标量）和叉（矢量）积

u·v = |u||v|·cos(θ) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z, |u × v| = |u||v|·sin(θ)

基本向量积：点积产生标量投影；叉积产生正交向量

u·v: 标量积 u × v: 矢量积 θ: 向量之间的角度

2

三重乘积（标量三重和 BAC-CAB 规则）

[u v w] = u·(v × w), a × (b × c) = b·(a·c) - c·(a·b)

标量三重积计算平行六面体的体积； BAC-CAB规则扩展了双叉积

[u v w]: 由向量 u、v、w 形成的平行六面体的体积

3

标量场的梯度 (∇f)

∇f = (∂f∂x)·î + (∂f∂y)·ĵ + (∂f∂z)·k̂

向量指向标量函数 f 的最大增长率方向；幅度等于最大斜率

∇f: 梯度向量场 f(x, y, z): 可微标量场

4

矢量场的散度 (∇·F) 和旋度 (∇×F)

∇·F = ∂F_x∂x+∂F_y∂y+∂F_z∂z,  ∇ × F = (∂F_z∂y-∂F_y∂z)·î + (∂F_x∂z-∂F_z∂x)·ĵ + (∂F_y∂x-∂F_x∂y)·k̂

散度测量向外磁通密度（∇·F = 0 是螺线管）； Curl 测量旋转涡度（∇×F = 0 为无旋）

∇·F: 发散标量场 ∇ × F: 旋度矢量场

5

拉普拉斯算子 (∇²f)

∇²f = ∇·(∇f) = ∂²f∂x² + ∂²f∂y² + ∂²f∂z²

控制谐波势、热扩散和波传播的二阶微分算子

∇²f: 拉普拉斯标量场（∇²f = 0 是拉普拉斯方程）

🔄

第 6 章：多变量积分定理

4 个公式

格林定理、斯托克斯定理、高斯散度定理和雅可比行列式

1

平面上的格林定理

∮[C] (L dx + M dy) = ∬[D] (∂M∂x - ∂L∂y) dA

将围绕正向简单闭合曲线 C 的逆时针线积分与封闭区域 D 上的二重积分相关联

C: 边界曲线 ∂D D: 封闭的二维平面区域

2

斯托克斯旋度定理

∮[C] F·dr = ∬[S] (∇ × F)·dS

将沿边界曲线 C 的循环线积分与可定向曲面 S 上旋度 ∇×F 的表面通量积分联系起来

F: 矢量场 S: 由曲线 C 界定的定向光滑表面

3

高斯散度定理

∯[S] F·dS = ∭[V] (∇·F) dV

矢量场 F 穿过闭合表面 S 的向外净通量等于散度 ∇·F 穿过内部体积 V 的体积积分

S: 闭合边界面 ∂V V: 封闭的 3D 空间体积

4

坐标替换的雅可比行列式

J = ∂(x, y)∂(u, v) = (∂x∂u)(∂y∂v) - (∂x∂v)(∂y∂u), dx dy = |J| du dv

变量多变量变化期间的面积/体积比例因子（极坐标：J = r；球坐标：J = ρ² sin φ）

J: 雅可比矩阵行列式

🌐

第 7 章：复数与复分析

4 个公式

欧拉公式、德莫弗定理、柯西-黎曼解析性和柯西留数定理

1

复极坐标、模量和欧拉表示

z = x + iy = r·(cos(θ) + i·sin(θ)) = r·e^(iθ), r = √x² + y², θ = tan⁻¹(yx)

Argand 平面中复数的几何表示

r = |z|: 模数/绝对幅度 θ: 主参数相位角 i: 虚数单位 (i² = -1)

2

德莫弗定理和 n 次单位根

(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ) = e^(inθ), z_k = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)n)

计算复平面中的整数/分数幂和对称 n 次根

n: 幂或根指数 k: 根分支索引 (0, 1, ..., n-1)

3

柯西-黎曼解析性方程

∂u∂x = ∂v∂y, ∂u∂y = -(∂v∂x)

复数函数 f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) 全纯/复可微的充要条件

u(x, y): 复函数的实部 v(x, y): 复函数的虚部

4

柯西积分公式和留数定理

f(z₀) = (12πi)·∮[C] (f(z)z - z₀) dz, ∮[C] f(z) dz = 2πi·∑ Res(f, z_k)

通过封闭奇点和留数计算轮廓积分 Res(f, z₀) = lim[z→z₀] (z - z₀)f(z)

Res(f, z_k): 孤立极点 z_k 处的残差

📈

第 8 章：序列、无穷级数和傅立叶分析

4 个公式

几何和 AGP 级数、泰勒和麦克劳林展开式以及傅里叶级数

1

几何级数（有限和无限和）

S_n = a·(1 - rⁿ)1 - r, S_∞ = a1 - r (|r| < 1)

第一项 a 与公比 r 的几何级数之和

a: 第一学期 r: 公比 S_∞: 无限和（如果 |r| < 1 则收敛）

2

泰勒和麦克劳林级数扩展

f(x) = ∑[n = 0 to ∞] (fⁿ(a)n!)·(x - a)ⁿ = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)2!)(x - a)² + ...

将平滑函数表示为展开点 a 处导数的无限多项式和（麦克劳林，当 a = 0 时）

fⁿ(a): f 在 a 点计算的 n 阶导数 n!: 阶乘 (n!= n · (n - 1) · ... · 1)

3

标准麦克劳林级数 (eˣ, sin x, cos x, ln(1+x))

eˣ = 1 + x +x²2!+x³3!+ ..., sin x = x -x³3!+x⁵5!- ..., cos x = 1 -x²2!+x⁴4!- ...

具有无限收敛半径的无限幂级数表示 (R = ∞)

x: 实变量或复变量

4

周期函数的傅立叶级数展开

f(x) = a₀2+ ∑[n = 1 to ∞] [a_n·cos(nπxL) + b_n·sin(nπxL)]

将周期 2L 的周期波形分解为谐波正弦正交分量的无限和

a_n, b_n: 傅里叶谱系数： a_n = (1/L) ∫[-L 到 L] f(x) cos(nπx/L) dx 2L: 基本功能期

⚡

第 9 章：微分方程（ODE 和 PDE）

4 个公式

一阶积分因子、二阶常系数 ODE、拉普拉斯变换和 PDE

1

一阶线性 ODE（积分因子法）

dydx + P(x)·y = Q(x) ⟹ y·e^(∫ P dx) = ∫ Q(x)·e^(∫ P dx) dx + C

使用积分因子的一般求解方法 I(x) = exp(∫P dx)

I(x): 积分因子 e^(∫ P dx) C: 任意积分常数

2

二阶线性齐次 ODE（特征根）

a·y'' + b·y' + c·y = 0 ⟹ a·λ² + b·λ + c = 0, λ = -b ± √b² - 4ac2a

根确定解的形式：不同实数 (C₁e^λ₁x + C2e^λ2x)、重复 ((C₁ + C2x)e^λx)、复数 α±iβ (e^αx(C₁cos βx + C2sin βx))

λ: 特征方程的根 C₁, C₂: 边界/初始条件常数

3

拉普拉斯变换与导数性质

L{f(t)} = F(s) = ∫∞0 e^(-st)·f(t) dt, L{f'(t)} = s·F(s) - f(0)

将线性微分方程转换为复频 s 域中的代数方程

F(s): 拉普拉斯 s 域函数 s: 复频率参数 (σ + iω)

4

经典偏微分方程（波、热、拉普拉斯）

Wave: ∂²u∂t² = c²·(∂²u∂x²);   Heat: ∂u∂t = α·(∂²u∂x²);   Laplace: ∂²u∂x² + ∂²u∂y² = 0

控制物理和工程的三个基本线性二阶偏微分方程

c: 波传播速度 α: 热扩散常数

🎲

第10章：概率与统计分布

5 个公式

贝叶斯定理、期望值、方差、二项式、泊松和高斯正态分布

1

贝叶斯定理和总概率定律

P(A | B) = P(B | A)·P(A)P(B) = P(B | A)·P(A)∑ P(B | A_i)·P(A_i)

给定先验概率 P(A) 和条件似然 P(B|A) 计算后验概率 P(A|B)

P(A | B): 给定事件 B 发生的事件 A 的后验概率 P(A): A 的先验概率 P(B | A): 给定 A 时 B 的可能性

2

期望值与方差关系

E[X] = ∑ x_i·P(x_i), Var(X) = E[X²] - (E[X])² = σ², SD(X) = σ = √Var(X)

第一和第二中心矩测量平均中心和围绕平均值的分散度

E[X]: 数学期望/总体平均值 (μ) Var(X): 总体方差 (σ²) σ: 标准差

3

二项式概率分布

P(X = k) = (n!k!(n - k)!)·pᵏ·(1 - p)ⁿ⁻ᵏ, μ = n·p, σ² = n·p·(1 - p)

n 次独立伯努利试验中恰好 k 次成功的概率，成功概率为 p

n: 全部独立试验 k: 成功次数 p: 每次试验的成功概率

4

泊松概率分布

P(X = k) = λᵏ·e^(-λ)k!, μ = λ, σ² = λ

以恒定的平均速率 λ 对固定时间/空间间隔内罕见的离散事件发生进行建模

λ: 平均出现率参数（λ > 0） k: 事件计数（0、1、2...）

5

高斯正态分布和 Z 分数

f(x) = (1σ·√2π)·e^(-(x - μ)²2σ²), Z = X - μσ

控制中心极限定理的连续对称钟形概率密度函数

μ: 分布平均中心 σ: 标准差分布参数 Z: 标准化 Z 分数（与平均值的无量纲距离，以 σ 为单位）

⚛️

全套大学物理公式全表

运动学、牛顿力学、刚体转动、万有引力、热力学定律、简谐振动、麦克斯韦电磁方程组、波动光学与量子物理。

158+ 条公式

🏃

第 1 章：运动学和 1D/2D 运动

13 个公式

运动、位移、平均和瞬时速度、加速度和抛射轨迹方程

1

平均速度

v_avg = ΔxΔt = x_f - x_it_f - t_i

总位移与总时间间隔之比

v_avg: 平均速度 Δx: 排量 Δt: 已过时间

2

瞬时速度

v = dxdt = lim[Δt→0] (ΔxΔt)

位置坐标向量对时间的一阶导数

v: 瞬时速度 x(t): 时间的位置函数

3

瞬时加速度

a = dvdt = d²xdt² = v·(dvdx)

速度相对于时间或位置的变化率

a: 加速 v: 速度

4

SUVAT 第一个运动方程（速度-时间）

v = u + a·t

将匀速加速度 a 下的最终速度与初始速度联系起来

v: 最终速度 u: 初速度 a: 恒定加速度 t: 已过时间

5

SUVAT 第二运动方程（位移-时间）

s = u·t + ½·a·t²

计算恒定加速度下的总线性位移

s: 排量 u: 初速度 a: 恒定加速度 t: 已过时间

6

SUVAT 第三运动方程（速度-位移）

v² = u² + 2·a·s

恒定加速度的与时间无关的运动关系

v: 最终速度 u: 初速度 a: 恒定加速度 s: 排量

7

第n秒位移

s_n = u + (a2)·(2n - 1)

计算具体运动第 n 秒期间的位移

s_n: 第n秒位移 n: 第二个数字（n = 1, 2, 3...）

8

使用平均速度的位移

s = ½·(u + v)·t

适用于均匀恒定线性加速度下的运动

s: 排量 u, v: 初始和最终速度

9

弹丸最大高度

H_max = u²·sin²θ2g

以角度 θ 发射的射弹达到的峰值垂直高度

u: 发射初速度 θ: 与水平面的发射角度 g: 重力加速度 (9.81 m/s²)

10

弹丸总飞行时间

T = 2u·sinθg

从发射到平地着陆的总空中时间

T: 总飞行时间 u: 初始发射速度

11

弹丸水平范围

R = u²·sin(2θ)g

最大水平行驶距离（最大发射角度 θ = 45°）

R: 水平范围 u: 发射速度 θ: 投影角度

12

抛物线轨迹方程

y = x·tanθ -g·x²2u²·cos²θ = x·tanθ·(1 -xR)

笛卡尔路径坐标 (x, y) 演示纯抛物线运动

(x, y): 瞬时位置坐标 R: 水平范围

13

相对速度矢量

v_(AB) = v_A - v_B, v_(AB) = √v_A² + v_B² - 2v_A·v_B·cosθ

从运动物体 B 的参考系观察到的物体 A 的速度

v_(AB): A 相对于 B 的相对速度 θ: 速度矢量之间的角度

⚖️

第 2 章：运动、摩擦和圆周动力学定律

12 个公式

牛顿三定律：线性动量、冲量、静/动摩擦力、向心力和倾斜角

1

线性动量

p = m·v

质量和速度的乘积；在零外力的孤立系统中守恒

p: 线性动量 m: 大量的 v: 速度

2

牛顿第二运动定律

F_net = dpdt = m·a (for constant mass)

净外力等于线性动量的瞬时变化率

F_net: 净合力 m: 惯性质量 a: 加速

3

冲量动量定理

J = ∫ F dt = F_avg·Δt = Δp = m·v_f - m·v_i

力在持续时间 Δt 内的冲量等于产生的动量的总变化

J: 冲动 F_avg: 平均冲击力 Δp: 线性动量的变化

4

最大静态限制摩擦力

f_s(max) = μ_s·N

自调节阻力，抵抗相对运动的趋势，直至达到阈值

f_s: 静摩擦力 μ_s: 静摩擦系数（无量纲） N: 法向反作用接触力

5

动能/滑动摩擦

f_k = μ_k·N

对抗主动相对滑动运动的恒定阻力（通常 μ_k < μ_s）

f_k: 动摩擦力 μ_k: 动摩擦系数 N: 法向力

6

摩擦角和休止角

tan(θ_repose) = μ_s, tan(λ) = f_s(max)N = μ_s

物体在重力作用下开始下滑的最小倾斜角度

θ_repose: 休止角 μ_s: 静摩擦系数

7

向心加速度

a_c = v²r = ω²·r = v·ω = 4π²·rT²

半径为 r 的圆形轨迹的向内径向加速度

a_c: 向心加速度 v: 切向线速度 ω: 角速度 r: 曲率半径

8

向心力

F_c = m·v²r = m·ω²·r

维持圆形轨迹运动所需的净向内力

F_c: 向心力 m: 物体质量 r: 轨道半径/转

9

倾斜弯曲道路上的最佳安全速度

v_opt = √r·g·tanθ

车辆在零侧面摩擦磨损情况下转弯的速度

v_opt: 理想的银行速度 θ: 倾斜仰角 r: 圆曲线半径

10

有摩擦的倾斜道路上的最大安全速度

v_max = √[r·g·(μ_s + tanθ)1 - μ_s·tanθ ]

在有摩擦的倾斜表面上发生向外打滑之前的最高速度限制

v_max: 最大回转速度 μ_s: 路面静摩擦系数

11

圆锥摆时间周期

T = 2π·√L·cosθg, Tension: T_string = m·gcosθ

描述锥角 θ 和弦长 L 的水平圆的摆锤周期

T: 革命时期 L: 字符串长度 θ: 与垂直的半垂直角

12

垂直圆周运动临界速度

v_bottom ≥ √5gr, v_top ≥ √gr, T_bottom - T_top = 6mg

完成垂直循环且绳子不松弛的最低阈值速度

r: 垂直环半径 T_bottom, T_top: 最低点和最高点的弦张力

⚡

第 3 章：功、能量、功率和碰撞

11 个公式

功能定理、动能/势能、弹簧弹性、保守力、功率和弹性/非弹性碰撞

1

恒力所做的功

W = F·d·cosθ = F·d

力矢量和位移矢量的标量点积

W: 机械作业已完成 F: 施加的力大小 d: 排量 θ: 力与位移之间的角度

2

可变力所做的功（积分）

W = ∫x_fx_i F(x) dx

初始位置和最终位置之间的力-位移图下的面积

F(x): 位置相关力函数 dx: 无穷小位移单元

3

功能量定理

W_net = ΔK = K_f - K_i = ½m·v_f² - ½m·v_i²

所有力（保守力、非保守力、外部力）所做的净功等于动能的变化

W_net: 网络工作完成 ΔK: 动能变化

4

动能（与动量的关系）

K = ½·m·v² = p²2m, p = √2m·K

物体由于其运动状态而拥有的能量

K: 动能 p: 线性动量 m: 大量的

5

重力势能（近地）

U_g = m·g·h

势能存储在均匀场 g 中提升到垂直高度 h 的质量 m 中

U_g: 重力势能 m: 大量的 h: 高于参考基准的高度

6

弹簧的弹性势能（胡克定律）

U_s = ½·k·x², F_spring = -k·x

当刚度常数为 k 的弹簧拉伸/压缩 x 时存储的能量

U_s: 弹簧势能 k: 弹簧刚度常数 x: 平衡伸长位移

7

作为负势梯度的保守力

F = -dUdx, F_vec = -∇U = -(∂U∂x i + ∂U∂y j + ∂U∂z k)

保守力总是指向势能下降最陡的方向

U: 势能标量场 ∇U: 势能梯度

8

机械功率（平均和瞬时）

P = dWdt = F·v·cosθ = F·v

执行机械功或传输能量的时间速率

P: 力量 F: 力量 v: 速度

9

恢复系数（碰撞）

e = v₂ - v₁u₁ - u₂ = Relative velocity of separationRelative velocity of approach

测量弹性：e=1（动能守恒），e=0（物体粘在一起）

u₁, u₂: 碰撞前的速度 v₁, v₂: 碰撞后的速度 e: 恢复系数 (0 ≤ e ≤ 1)

10

一维弹性碰撞中的最终速度

v₁ = [m₁ - m₂m₁ + m₂]·u₁ + [2m₂m₁ + m₂]·u₂,  v₂ = [2m₁m₁ + m₂]·u₁ + [m₂ - m₁m₁ + m₂]·u₂

两个质量在一维弹性碰撞的精确碰撞后速度

m₁, m₂: 大量碰撞体 u₁, u₂: 初始速度 v₁, v₂: 最终碰撞后速度

11

非弹性碰撞中的动能损失

ΔK_loss = ½·[m₁·m₂m₁ + m₂ ]·(u₁ - u₂)²·(1 - e²)

动能转化为内部热变形和声能

ΔK_loss: 失去动能 e: 恢复系数

🔄

第 4 章：旋转运动和转动惯量

11 个公式

扭矩、角动量、旋转运动学、平行/垂直轴定理和滚动动力学

1

质心坐标

r_cm = ∑ m_i·r_i∑ m_i = (1M) ∫ r dm

离散或连续固体的质量分布的平均位置

r_cm: 质心位置矢量 M: 系统总质量 (Σ m_i)

2

旋转运动方程

ω = ω₀ + α·t, θ = ω₀·t + ½α·t², ω² = ω₀² + 2α·θ

恒定角加速度 α 下 SUVAT 的旋转当量

θ: 角位移 ω₀, ω: 初始角速度和最终角速度 α: 角加速度 t: 时间

3

扭矩（力矩）

τ = r × F = r·F·sinθ = I·α = dLdt

引起角加速度 α 的线性力的旋转当量

τ: 扭矩 r: 力臂杠杆距离 I: 转动惯量 α: 角加速度

4

角动量与守恒

L = r × p = I·ω, τ_net = 0 ⟹ L = const

当作用在系统上的净外部扭矩为零时守恒（例如花样滑冰运动员）

L: 角动量 I: 转动惯量 ω: 角速度

5

平行轴定理（斯坦纳）

I = I_cm + M·d²

绕与质心轴平行、间隔距离 d 的任何轴的转动惯量

I: 绕目标平行轴的转动惯量 I_cm: 通过质心的惯性矩 M: 身体总质量 d: 轴间垂直距离

6

垂直轴定理（平面层）

I_z = I_x + I_y

仅适用于位于 xy 平面上的 2D 平面体

I_z: 绕法向 z 轴的转动惯量 I_x, I_y: 面内 x 轴和 y 轴的转动惯量

7

回转半径

k = √IM, I = M·k²

在不改变 I 的情况下可以集中整个质量的有效径向距离

k: 回转半径 I: 转动惯量 M: 大量的

8

旋转动能

K_rot = ½·I·ω²

仅与绕固定轴或移动轴的旋转有关的动能

K_rot: 旋转动能 I: 转动惯量 ω: 角速度

9

纯滚动运动的总动能

K_total = K_trans + K_rot = ½M·v_cm² + ½I_cm·ω² = ½M·v_cm²·(1 +k²R²)

组合平移和旋转动能，实现无滑移的纯滚动 (v_cm = ωR)

K_total: 总滚动能量 v_cm: 质心速度 k: 回转半径 R: 外半径

10

车身下斜加速度

a = g·sinθ1 + I_cmM·R² = g·sinθ1 +k²R²

沿着斜率 θ 的斜面的线性加速度（实心球 > 圆盘 > 环）

a: 线性滚动加速度 θ: 倾斜角度

11

标准转动惯量参考

Thin Rod: 112 ML², Ring: MR², Solid Disc: ½MR²,Solid Sphere: 25 MR²,Hollow Sphere: 23 MR²

标准均匀几何体的质心惯性矩

M: 大量的 R, L: 半径/长度

🪐

第 5 章：万有引力与轨道力学

10 个公式

牛顿万有引力定律、引力势、逃逸速度、轨道速度、开普勒定律和卫星轨道

1

牛顿万有引力定律

F = G·(M·m)r²

任意两个相隔距离 r 的点质量之间的平方反比吸引力

G: 万有引力常数 (6.6743 × 10⁻11 N·m2/kg2) M, m: 相互作用的点质量 r: 中心之间的分离

2

表面重力加速度

g = G·MR² = (43)·π·G·ρ·R

质量为 M、半径为 R 的行星球体表面的自由落体加速度

g: 表面重力（地球~9.81 m/s²） M: 行星质量 R: 行星半径 ρ: 平均密度

3

重力随高度 h 的变化

g_h = g·(RR + h)² ≈ g·(1 -2hR) [for h ≪ R]

重力加速度随行星表面高度 h 的减小而减小

g_h: 高度 h 处的重力 h: 离地高度 R: 地球半径（~6,371公里）

4

重力随深度 d 的变化

g_d = g·(1 -dR)

地球内部重力加速度线性减小（在中心 d = R 处变为零）

g_d: 深度 d 处的重力 d: 地下深度

5

重力势能（通用）

U(r) = -G·M·mr

无限分离处参考零的负束缚态能量 r → ∞

U(r): 重力势能 r: 距中心的距离

6

引力势 V(r)

V(r) = -G·Mr, E_g = -dVdr

将单元测试质量从无穷大带到距离 r 所做的工作

V(r): 引力势

7

逃逸速度

v_esc = √2G·MR = √2g·R

无动力弹丸逃离行星重力所需的最小初始速度（地球约为 11.2 km/s）

v_esc: 逃生速度 M: 行星质量 R: 行星半径

8

卫星轨道速度

v_orb = √G·MR + h = v_esc√2 (near surface)

绕行星稳定轨道所需的圆周速度（靠近地球表面约 7.92 km/s）

v_orb: 轨道速度 h: 距地表轨道高度

9

卫星轨道时间周期

T = 2π·(R + h)^(32)√GM = 2π·√r³GM

卫星完成一整圈所需的时间（对地静止轨道 h ~35,786 公里为 24 小时）

T: 轨道周期 r: 轨道半径 (R + h)

10

开普勒第三定律（调和定律）

T²a³ = 4π²G·M = const

轨道周期的平方与长半轴a的立方严格成正比

T: 轨道周期 a: 半长轨道轴

🧱

第 6 章：固体的机械性能和弹性

5 个公式

胡克定律、应力、应变、杨氏模量、体积模量、剪切模量、泊松比和弹性能量密度

1

胡克定律和杨氏模量

Stress = Y·Strain ⟹ FA = Y·(ΔLL)

弹性极限内拉/压应力与纵向应变之间的线性关系

Y: 杨氏弹性模量 σ = FA: 压力 ε = ΔLL: 纵向应变（无量纲） ΔL: 伸长率/压缩率

2

体积模量和压缩性

B = - V·(ΔPΔV), K = 1B

静水压力下物质对均匀体积压缩的抵抗力 ΔP

B: 体积模量 K: 压缩性 ΔP: 施加静水压力增加 ΔVV: 体积分数应变

3

剪切模量（刚性模量）

G = η = FAθ = F·LA·Δx

在不改变体积的情况下抵抗角切向剪切变形 θ

G or η: 剪切模量/刚性 θ: 剪切角畸变 Δx: 顶部横向位移

4

泊松比

ν = -Lateral StrainLongitudinal Strain = -ΔddΔLL

横向收缩与纵向膨胀之比（理论极限：-1 < ν < 0.5；实际：0 至 0.5）

ν: 泊松比（无量纲） d: 横向直径/厚度 L: 长度

5

弹性应变能量密度

u = ½·Stress·Strain = ½·Y·(Strain)² = (Stress)²2Y

变形弹性材料中每单位体积存储的弹性势能

u: 应变能密度 U_total: 总应变能 = u × 体积

💧

第 7 章：流体力学、流体静力学和粘度

10 个公式

静水压力、阿基米德浮力、连续性方程、伯努利定理、托里拆利流出、斯托克斯定律、终端速度和表面张力

1

静水压力与深度

P = P₀ + ρ·g·h

密度为 ρ 的静态流体中深度 h 处的总绝对压力

P: 深度绝对压力 P₀: 大气压 (101,325 Pa) ρ: 流体密度 h: 流体表面以下的深度柱

2

帕斯卡原理（液压升降机）

P₁ = P₂ ⟹ F₁A₁ = F₂A₂

施加到封闭的不可压缩流体的压力均匀地不减少地传递

F₁, F₂: 输入和输出活塞上的力 A₁, A₂: 活塞表面横截面积

3

阿基米德浮力原理

F_B = ρ_fluid·V_submerged·g = Weight of displaced fluid

向上的浮力等于水下物体排开的液体的重量

F_B: 浮力向上推力 ρ_fluid: 流体介质密度 V_sub: 淹没物体体积

4

连续性方程（质量守恒）

A₁·v₁ = A₂·v₂ = dVdt = Q (Flow Rate)

对于稳定的不可压缩流体流动，体积排放率 Q 保持恒定

A₁, A₂: 管道截面积 v₁, v₂: 流体流速 Q: 体积流量排放

5

伯努利定理（能量守恒）

P + ½·ρ·v² + ρ·g·h = constant

静压力、动动压力和静水势之和沿流线恒定

P: 静态流体压力 ½ρv²: 动压头 ρgh: 重力势压

6

托里切利流出速度定律

v_efflux = √2·g·h

液体从开口表面以下深度 h 处的小孔板开口流出的速度

v_efflux: 流出速度 h: 液顶以下孔口深度

7

斯托克斯粘性阻力定律

F_v = 6π·η·r·v

减缓小球体在层流流体中移动时所受到的粘性阻力

F_v: 粘性阻力 η: 动力粘度系数 r: 球体半径 v: 通过流体的速度

8

下落球体的终端速度

v_t = 2·r²·(ρ - σ)·g9η

当重力等于浮力+粘性阻力时获得稳定的恒定速度

v_t: 终端速度 ρ: 球体密度 σ: 周围流体密度 η: 流体动态粘度

9

液滴和气泡中的压力过大

ΔP_drop = 2TR, ΔP_bubble = 4TR

杨-拉普拉斯超额内压：肥皂泡有 2 个自由液-气界面

T: 表面张力系数 R: 液滴/气泡曲率半径 ΔP: 内部压力超过环境压力

10

毛细血管上升/下降（朱林定律）

h = 2T·cosθρ·g·r

液体在半径为 r、接触角为 θ 的狭窄毛细管中上升的高度

h: 毛细管柱标高高度 θ: 液固弯液面接触角 r: 毛细管内部半径

🌡️

第 8 章：气体热物理与动力学理论

7 个公式

热膨胀、量热法、理想气体定律、动力学理论压力、分子速度 (RMS/avg/mp) 和摩尔热容

1

热膨胀（线性、表面、体积）

ΔL = α·L₀·ΔT, ΔA = 2α·A₀·ΔT, ΔV = 3α·V₀·ΔT = γ·V₀·ΔT

分数尺寸膨胀与温度升高 ΔT 成正比（β = 2α，γ = 3α）

α: 线性热膨胀系数 ΔT: 温度变化（T_f - T_i）

2

相变的显热和潜热

Q = m·c·ΔT, Q_phase = m·L

升高温度或实现等温固/液/气相变所需的热量

Q: 吸收或释放的热能 c: 比热容（水：4186 J/kg·K） L: 比潜热（熔化/汽化）

3

理想气体状态方程

P·V = n·R·T = N·k_B·T

理想气体的压力、体积、温度和数量的本构方程

P: 绝对压力 V: 体积 n: 摩尔数 R: 通用气体常数 (8.31446 J/(mol·K)) k_B: 玻尔兹曼常数 (1.38065 × 10⁻²³ J/K) T: 绝对温度

4

气体压力动力学理论

P = ⅓·ρ·v_rms² = ⅓·(N·mV)·v_rms²

分子动量碰撞宏观气压的微观统计推导

ρ: 气体密度（M_total/V） v_rms: 均方根分子速度

5

RMS、平均和最可能的气体速度

v_rms = √3RTM, v_avg = √8RTπM, v_mp = √2RTM

特征麦克斯韦-玻尔兹曼分子速度分布速度 (v_rms > v_avg > v_mp)

M: 气体的摩尔质量 T: 绝对温度

6

内部能量和自由度

U = (f2)·n·R·T, E_k(per molecule) = (f2)·k_B·T

均分定理：每个二次自由度 f 对每个分子贡献 ½ k_B T

f: 自由度（单=3，直径=5，多=6） U: 内部总热能

7

梅耶关系式与热容比 γ

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v = 1 + (2f)

定压摩尔热容 (C_p) 与定体积 (C_v) 之间的关系

C_p, C_v: 摩尔热容 γ: 绝热指数/泊松比（mono=1.67，dia=1.40）

🔥

第 9 章：热力学与传热

10 个公式

热力学第一定律、热力学做功过程（等温、绝热、等压、等容）、卡诺发动机效率、斯特凡-玻尔兹曼定律和维恩位移

1

热力学第一定律

ΔU = Q - W ⟹ Q = ΔU + W, W = ∫ P dV

热力学系统的能量守恒（Q 进入系统，W 系统做功）

ΔU: 内能变化 (n C_v ΔT) Q: 向系统添加热量 W: 扩展系统执行的工作

2

等温过程中所做的功（T = const，ΔU = 0）

W_iso = n·R·T·ln(V_fV_i) = n·R·T·ln(P_iP_f)

严格恒温下的准静态可逆膨胀/压缩

W_iso: 等温功完成 V_i, V_f: 初始卷和最终卷

3

绝热过程和完成的功（Q = 0，PV^γ = const）

P·V^γ = const, W_adi = P_i·V_i - P_f·V_fγ - 1 = n·R·(T_i - T_f)γ - 1

与周围环境零热交换的可逆过程（T V^(γ-1) = const）

W_adi: 绝热功 γ: 热容比（C_p / C_v）

4

等压 (P = const) 和等压 (V = const) 工作

W_isobaric = P·ΔV = n·R·ΔT, W_isochoric = 0 (since dV = 0)

恒压下，做功为矩形面积PΔV；在恒定体积下，进行零功

P: 恒压 ΔV: 体积变化

5

卡诺热机最大效率

η = W_outQ_in = 1 - (Q_CQ_H) = 1 - (T_CT_H)

T_H 和 T_C 温度之间工作效率的理论热力学上限

η: 热效率（0≤η<1） T_H: 热库温度 T_C: 冷水槽水库温度

6

性能系数（冰箱/热泵）

COP_ref = Q_CW = T_CT_H - T_C, COP_hp = Q_HW = T_HT_H - T_C

每单位机械压缩机工作输入传递的冷却或加热输出能量

COP: 性能系数 W: 需要工作投入

7

热传导（傅里叶定律）

dQdt = k·A·(T_H - T_C)L

导热系数 k 和厚度 L 的平板上的稳态热传导率

dQdt: 传热率 k: 导热系数 A: 横截面传导面积 L: 板坯厚度

8

斯蒂芬-玻尔兹曼热辐射定律

P = e·σ·A·(T⁴ - T₀⁴)

发射率 e 的灰体在 T₀ 时辐射到周围环境的净辐射功率

P: 发射的辐射功率 σ: 斯蒂芬-玻尔兹曼常数 (5.67037 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)) e: 表面发射率（0 < e ≤ 1，黑体 = 1） T: 绝对表面温度

9

维恩位移定律（峰值波长）

λ_max·T = b = 2.89777 × 10⁻³ m·K

黑体光谱的峰值发射波长与绝对温度成反比

λ_max: 峰值光谱辐射率的波长 T: 绝对温度 b: 维恩位移常数

10

牛顿冷却定律

dTdt = -k·(T - T_env) ⟹ T(t) = T_env + (T₀ - T_env)·e^(-kt)

对流/辐射的热损失率与高于环境温度成正比

T(t): 时间 t 时的温度 T_env: 周围环境温度 k: 冷却速率常数

⏳

第 10 章：简谐振动和振动

8 个公式

SHM 运动学、简单摆、弹簧质量系统、串联/并联弹簧、物理摆、总能量和阻尼振荡

1

SHM 中的位移、速度和加速度

x = A·sin(ωt + φ), v = dxdt = ω·√A² - x², a = d²xdt² = -ω²·x

定义恢复条件 a ∝ -x 的线性 SHM 的基本运动学

A: 振幅 ω = 2πf: 角频率 φ: 初始相位历元角 x: 瞬时位移

2

单摆的时间周期（小角度）

T = 2π·√Lg, f = (12π)·√gL

均匀引力场 g 中长度为 L 的摆的周期（与摆锤质量 m 无关）

T: 振荡时间周期 L: 摆锤有效长度 g: 重力加速度

3

弹簧质量振荡器的时间周期

T = 2π·√mk, ω = √km

质量块 m 在刚度 k 的水平或垂直无摩擦弹簧上的振动周期

T: 振荡周期 m: 振荡质量 k: 弹簧常数

4

弹簧组合（串联和并联）

1k_series = 1k₁+1k₂, k_parallel = k₁ + k₂

多个串联或并联弹簧的等效弹簧刚度

k_s, k_p: 等效弹簧常数

5

物理（复合）摆周期

T = 2π·√Im·g·d = 2π·√k_g² + d²g·d

距质心距离 d 处枢转的任意刚体的振动

I: 绕悬架枢轴的转动惯量 d: 悬架枢轴到质心的距离

6

扭摆周期

T = 2π·√Iκ, τ = -κ·θ

扭转刚度常数κ的钢丝支撑圆盘的旋转振动

I: 绕扭转线轴的转动惯量 κ: 扭转弹簧常数（每弧度恢复扭矩）

7

SHM 中的总机械能

E = K + U = ½m·v² + ½k·x² = ½k·A² = ½m·ω²·A²

总机械能严格保持恒定，在动能和势能形式之间交替

E: 总机械能恒定 A: 振幅

8

阻尼谐波振荡器

x(t) = A₀·e^(-γt)·cos(ω't + φ), ω' = √ω₀² - γ², γ = b2m

在粘性阻力 F = -bv 下，振幅随阻尼衰减因子 γ 呈指数衰减

b: 粘性阻尼系数 γ: 阻尼系数（b/2m） ω': 阻尼角频率

🔊

第 11 章：波动、声音与声学

9 个公式

波动方程、弦上的波速、流体/气体中的声速、分贝强度等级、管/弦中的驻波、节拍和多普勒效应

1

谐波行波方程

y(x, t) = A·sin(k·x ∓ ω·t + φ), k = 2πλ, ω = 2π·f

介质在坐标 x 和时间 t 处的横向或纵向位移（- 表示 +x 方向）

y(x,t): 波浪位移 A: 波幅 k: 角波数 λ: 波长 f: 频率

2

波速关系

v = f·λ = ωk = λT

连接空间波长和时间频率的基本速度关系

v: 波传播速度 f: 频率 λ: 波长

3

拉伸弦上的横波速度

v = √T_tensionμ, μ = mL (Linear mass density)

张紧绳上的传播速度由张力 T 和单位长度质量 μ 控制

v: 横波速度 T_tension: 弦机械张力 μ: 线性质量密度

4

理想气体中的声速（拉普拉斯公式）

v_sound = √γ·Pρ = √γ·R·TM

温度 T 下气体中的绝热声波速度（20°C 空气中~343 m/s）

v_sound: 声速 γ: 绝热指数（双原子空气为 1.40） M: 气体摩尔质量 (空气 0.029 kg/mol)

5

声音强度级别（分贝标度）

β = 10·log₁₀(II₀), I₀ = 10⁻¹² Wm²

相对于人类听觉阈值 I₀ 的对数分贝标度

β: 声音强度等级 I: 声学声音强度 I₀: 听力阈值 (10⁻12 W/m2)

6

驻波（固定弦和开管）

f_n = n·(v2L) = n·f₁ (n = 1, 2, 3, 4...)

两端固定的琴弦或两端开口的风琴管的谐波频率（存在所有谐波）

f_n: n次谐波频率 L: 绳子/管子的长度 n: 谐波整数次

7

一端封闭的管道中的驻波

f_n = (2n - 1)·(v4L) (n = 1, 2, 3... ⟹ 1f₁, 3f₁, 5f₁...)

一端封闭的管道中的谐振频率（仅支持奇次谐波：1 次、3 次、5 次...）

f_n: 共振声频率 L: 管道长度

8

节拍频率

f_beat = |f₁ - f₂|

当两个频率相近的波叠加时周期性的相长/相消强度调制

f_beat: 拍频调制频率 f₁, f₂: 两个叠加源的频率

9

声波的多普勒效应

f' = f·[v ± v_observerv ∓ v_source ]

由于观察者 (v_o) 和源 (v_s) 通过介质的相对运动而导致的表观频率偏移

f': 观察到的表观频率 f: 源真实发射频率 v: 介质中的声速 v_o, v_s: 观察者和源速度（+ 朝向，- 远离）

⚡

第 12 章：静电与电容

11 个公式

库仑定律、电场、电势、电偶极子、高斯定律、电容、串联/并联电容器和场能量密度

1

库仑静电力定律

F = (14πε₀)·(|q₁·q₂|r²) = k_e·(|q₁·q₂|r²)

两个静止点电荷之间的平方反比静电吸引或排斥

k_e = 14πε₀: 库仑常数 (~8.98755 × 10⁹ N·m²/C²) ε₀: 自由空间介电常数 (8.85419 × 10⁻12 C²/(N·m²)) q₁, q₂: 电荷量 r: 间隔距离

2

点电荷电场

E = Fq₀ = (14πε₀)·(qr²)·r̂

置于电场中的每单位正测试电荷 q₀ 所经历的力

E: 电场强度 q: 源点电荷

3

电势及与场的关系

V = (14πε₀)·(qr), E = -dVdr = -∇V

在不加速的情况下将单位正测试电荷从无穷大带到距离 r 所做的工作

V: 电位 E: 电场

4

电荷对的静电势能

U = (14πε₀)·(q₁·q₂)r

能量存储在相隔距离 r 的两个电荷的配置中（相同的为正，不同的为负）

U: 静电势能

5

电偶极矩、扭矩和势能

p = q·2a, τ = p × E = p·E·sinθ, U = - p·E = - p·E·cosθ

偶极子矢量从负电荷指向正电荷；与外场E对齐

p: 电偶极矩 τ: 恢复扭矩 U: 偶极子势能

6

高斯静电定律

Φ_E = ∮ E·dA = Q_enclosedε₀

通过任何闭合高斯表面的总电通量等于封闭电荷除以 ε₀

Φ_E: 电通量 Q_enclosed: 内附净内部费用

7

线电荷电场和无限片

E_line = λ2πε₀·r, E_sheet = σ2ε₀, E_cond = σε₀

源自均匀线电荷密度 λ 和表面电荷密度 σ 的高斯定律

λ: 线电荷密度 σ: 表面电荷密度

8

平行板电容器的电容

C = κ·ε₀·Ad

电容与极板面积A和介电常数κ成正比；与分离 d 成反比

C: 电容 κ: 介质介电常数（真空κ=1） A: 板材重叠面积 d: 板间距

9

串联和并联组合的电容器

1C_series = 1C₁+1C₂+ ..., C_parallel = C₁ + C₂ + ...

串联：所有电容器的电荷 Q 相同；并联：电压 V 相同

C_s, C_p: 等效电容

10

电容器中储存的静电能

U = ½·C·V² = Q²2C = ½·Q·V

电容器板之间的电场中存储的能量充电至电位差 V

U: 储存静电能 Q: 储存电荷（Q=C·V） V: 电压电位差

11

电场能量密度

u_E = ½·ε₀·E²

电场占据的单位体积空间储存的静电能量 E

u_E: 能量密度 E: 电场强度

🔌

第 13 章：当前电力和直流电路

9 个公式

漂移速度、欧姆定律、电阻率、温度依赖性、基尔霍夫定律 (KCL/KVL)、惠斯通电桥、内阻和 RC 电路

1

电流和漂移速度

I = n·e·A·v_d, v_d = e·E·τm

将宏观电流 I 与微观电子漂移速度 v_d 和弛豫时间 τ 联系起来

I: 当前的 n: 单位体积自由电子密度 e: 基本电子电荷 (1.602 × 10⁻1⁹ C) A: 导体截面积 v_d: 漂移速度 τ: 平均碰撞松弛时间

2

电流密度和微观欧姆定律

j = IA = σ·E = Eρ, σ = 1ρ = n·e²·τm

将电流密度 j 与电场 E 和电导率 σ 连接起来的欧姆定律的矢量形式

j: 电流密度 σ: 电导率 ρ: 电阻率

3

电阻、电阻率和温度系数

R = ρ·(LA), R(T) = R₀·[1 + α·(T - T₀)]

电阻随长度和温度变化；与横截面积A成反比

R: 电阻 ρ: 材料电阻率 α: 电阻温度系数

4

欧姆定律和电力耗散

V = I·R, P = V·I = I²·R = V²R, H = I²·R·t

焦耳热定律：电能在电阻器 R 中以热量形式耗散

V: 电压电位差 I: 当前的 P: 电力耗散 H: 焦耳热耗散热量

5

串联和并联电阻

R_series = R₁ + R₂ + ...,1R_parallel = 1R₁+1R₂+ ...

组合网络元件的等效电阻规则

R_s, R_p: 等效电路电阻

6

电池电动势和内阻

V = E_emf - I·r, I = E_emfR + r

放电时由于内阻r，端电压V小于开路电动势ℰ

ℰ: 开路电动势 EMF V: 端子输出电压 r: 电池/电芯内阻 R: 外部负载电路电阻

7

基尔霍夫电流和电压定律（KCL 和 KVL）

KCL (Junction): ∑ I_in = ∑ I_out, KVL (Loop): ∑ ΔV = ∑ E_emf - ∑ I·R = 0

KCL代表电荷守恒； KVL代表闭环静电能量守恒

∑ I: 节点结电流之和 ∑ ΔV: 回路中支路电位降之和

8

惠斯通电桥平衡条件

R₁R₂ = R₃R₄ ⟹ I_galvanometer = 0

用于表桥、邮政信箱等未知电阻的精密测量

R₁, R₂, R₃, R₄: 四桥臂电阻

9

RC 电路充电和放电瞬态

Charging: q(t) = Q₀·(1 - e^(-tRC)), Discharging: q(t) = Q₀·e^(-tRC), τ = R·C

电容器在一个时间常数 τ = RC 内充电至最大 Q₀ 的 63.2%（放电至 36.8%）

τ = RC: 电容时间常数 Q₀: 最大稳态电荷 (C·V₀)

🧲

第 14 章：磁力、毕奥-萨伐尔和洛伦兹力

10 个公式

洛伦兹磁力、电流线力、回旋半径、毕奥-萨伐尔定律、直线场、螺线管/环形线圈、并联电流和磁偶极矩

1

移动电荷上的磁洛伦兹力

F_B = q·(v × B) = q·v·B·sinθ

作用在磁场中移动电荷上的垂直偏转力（所做的零功）

F_B: 磁力 q: 电荷大小 v: 速度矢量 B: 磁通密度 θ: 速度和磁场之间的角度

2

总洛伦兹力组合（E + B 场）

F_total = q·(E + v × B)

同时电场和磁场中的叠加力（速度选择器：v = E/B）

E: 电场 B: 磁场

3

载流导体上的磁力

F = I·(L × B) = I·L·B·sinθ

施加在均匀场 B 中、载有电流 I 的长度为 L 的直导线上的力

F: 导线上的磁力 I: 导体电流 L: 当前方向的长度向量

4

回旋加速器轨道半径和频率

r = m·vq·B, f = q·B2π·m, T = 2π·mq·B

带电粒子在横向磁场中的螺旋/圆形轨道参数（频率与速度无关）

r: 陀螺半径/拉莫尔半径 f: 回旋共振频率

5

毕奥-萨伐尔静磁定律

dB = (μ₀4π)·[I·dl × r̂r²] = μ₀·I·dl·sinθ4π·r²

电流元件 I dl 在距离 r 处产生的无穷小磁场

μ₀4π: 磁导率常数（10⁻⁷ T·m/A） μ₀: 真空磁导率（4π × 10⁻⁷ H/m 或 T·m/A） dl: 长度元素向量

6

长直导线的磁场

B = μ₀·I2π·r

距无限长直导线径向距离 r 处的同心圆形磁场

B: 磁通密度 I: 恒流 r: 距线轴垂直距离

7

圆环的磁场（中心和轴）

B_center = μ₀·N·I2R, B_axis = μ₀·N·I·R²[2·(R² + x²)^(32)]

由半径为 R 的 N 匝圆形线圈在沿轴距离 x 处产生的磁场

N: 圆周圈数 R: 环路半径 x: 沿中心线圈轴的距离

8

安培的电路定律和电磁阀场

∮ B·dl = μ₀·I_encl, B_solenoid = μ₀·n·I (n = NL)

每单位长度有 n 匝的紧密缠绕螺线管内的均匀内部轴向磁场

B_solenoid: 核心磁场 n = NL: 单位长度匝数

9

两根平行载流导线之间的力

FL = μ₀·I₁·I₂2π·d

同方向并联电流的吸引力；反平行电流的排斥力（SI 安培定义）

FL: 单位长度的力 d: 平行导体之间的间隔距离

10

电流环上的磁偶极矩和扭矩

M = N·I·A, τ = M × B = N·I·A·B·sinθ, U = - M·B

动圈检流计、直流电机和原子磁矩的工作原理

M: 磁偶极矩 A: 循环封闭区域向量 τ: 偏转扭矩

⚡

第15章：电磁感应和交流电路

10 个公式

法拉第定律、楞次定律、动电动势、自感/互感、磁能密度、RMS 值、LCR 电路阻抗、谐振和变压器

1

法拉第电磁感应定律和楞次定律

E_ind = - N·(dΦ_Bdt), Φ_B = B·A = B·A·cosθ

感应电动势等于通过回路的磁通量的负时间变化率（楞次反对原因）

ℰ: 感应电动势 (EMF) Φ_B: 磁通量 N: 匝数

2

运动导体中的运动电动势

E_motional = B·L·v·sinθ

长度为 L 的导电棒两端感应产生的电动势，以速度 v 穿过磁场 B

ℰ: 运动电动势 B: 磁场 L: 导体长度 v: 速度

3

自感和互感

E_self = - L·(dIdt), E_mutual = - M·(dI₁dt), L_solenoid = μ₀·n²·A·l

反对线圈（自身）或耦合的相邻线圈（相互）中的电流变化

L, M: 自感和互感 dIdt: 电流变化率

4

电感器中的磁能和能量密度

U_B = ½·L·I², u_B = B²2μ₀

存储在通电电感器内部建立的磁场中的势能

U_B: 储存磁能 u_B: 磁能密度

5

交流电流/电压的有效值和峰值

V_rms = V₀√2 ≈ 0.707 V₀, I_rms = I₀√2 ≈ 0.707 I₀

正弦交流电压和电流的有效等效直流发热量

V_rms, I_rms: 均方根值（例如 230V / 120V 电源） V₀, I₀: 峰值正弦振幅

6

感抗和容抗

X_L = ω·L = 2π·f·L, X_C = 1ω·C = 12π·f·C

电感器和电容器提供的与频率相关的交流电流对抗电流

X_L: 感抗（电流滞后电压90°） X_C: 容抗（电流超前电压90°） f: 交流频率

7

系列 LCR 电路阻抗和相位角

Z = √[ R² + (X_L - X_C)² ], tanφ = X_L - X_CR

串联 R-L-C 电路中的总组合交流电阻抗矢量

Z: 总电路阻抗 φ: 电压和电流之间的相位角

8

LCR电路的谐振频率和品质因数Q

f₀ = 12π·√L·C, Q = ω₀·LR = (1R)·√LC

谐振条件 X_L = X_C，其中电路阻抗达到绝对最小值 Z = R 并且电流最大化

f₀: 自然电谐振频率 Q: 品质因数/谐振锐度（无量纲）

9

交流真实功率和功率因数

P_avg = V_rms·I_rms·cosφ, Power Factor: cosφ = RZ

消耗的实际功率（以瓦特为单位）（cosφ = 0 的纯无功电路消耗零平均无功功率）

P_avg: 真实平均电功率 cosφ: 功率因数（0≤cosφ≤1）

10

变压器匝数比和效率

V_sV_p = N_sN_p = I_pI_s = k, η = P_outP_in = V_s·I_sV_p·I_p

升压（k > 1）或降压（k < 1）相互交流变压保存功率

V_p, V_s: 初级和次级电压 N_p, N_s: 初级和次级线圈匝数 I_p, I_s: 初级和次级电流

⚛️

第16章：光学、量子和现代核物理

12 个公式

镜子/透镜方程、斯涅耳定律、杨氏双缝、光电效应、德布罗意物质波、玻尔原子、放射性衰变和质能相对论

1

球面镜公式及放大倍数

1f = 1v+1u, m = -vu = h_ih_o

将焦距 f、像距 v 和物距 u 与标准笛卡尔符号约定联系起来

f: 焦距（f = R/2） u: 物距极点的距离 v: 图像距极点的距离 m: 线性横向放大倍率

2

斯涅尔折射定律和全内反射

n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂, sin(θ_c) = n₂n₁ (for n₁ > n₂)

光线穿过光学边界和临界角 θ_c 弯曲以实现完全内反射

n₁, n₂: 介质折射率 (n = c / v) θ₁, θ₂: 入射角和折射角 θ_c: 全内反射的临界角

3

镜片制造商的公式和薄镜片方程

1f = (n - 1)·(1R₁-1R₂),1f = 1v-1u, P = 1f(m)

根据折射率 n 和曲率半径 R₁、R2 计算光功率 P，以屈光度 (D = m-1) 为单位

f: 镜头焦距 P: 镜片光焦度 R₁, R₂: 球面曲率半径

4

杨氏双缝干涉条纹宽度

β = λ·Dd, y_n(bright) = n·(λ·Dd), y_n(dark) = (2n - 1)·(λ·D2d)

屏幕上距离 D 处的连续干涉条纹之间的空间条纹间距 β

β: 条纹宽度间距 λ: 光波长 D: 狭缝到屏幕的距离 d: 狭缝间隔距离

5

爱因斯坦光电方程

E_photon = h·f = Φ₀ + K_max = h·f₀ + e·V_s

光子能量 hf 克服金属功函数 Φ₀ 并赋予最大动能 K_max

h: 普朗克常数 (6.62607 × 10⁻3⁴ J·s) f: 入射光子频率 Φ₀ = h·f₀: 金属的阈值功函数 V_s: 停止电位电压

6

物质波的德布罗意波长

λ = hp = hm·v = h√2m·K = h√2m·q·V

波粒二象性：每个运动粒子都有一个相关的量子德布罗意波长

λ: 德布罗意波长 p: 粒子动量 V: 加速电位电压

7

玻尔氢原子模型（能量和半径）

r_n = n²·h²·ε₀π·m·e² = 0.529·n² Å, E_n = -13.6n² eV

类氢原子的量子化电子轨道半径 r_n 和束缚稳态能态 E_n

n: 主量子数 (n = 1, 2, 3...) E_n: n 轨道能级总能量

8

氢谱系列的里德伯公式

1λ = R_H·[1n₁²-1n₂²] (Lyman n₁ = 1, Balmer n₁ = 2, Paschen n₁ = 3)

计算原子跃迁中的发射/吸收谱线波长 (n2 > n1)

R_H: 里德伯常数 (1.097373 × 10⁷ m⁻¹) n₁, n₂: 较低和较高量子能级

9

质量缺陷和核结合能

Δm = [Z·m_p + (A - Z)·m_n] - M_nucleus, E_b = Δm·c² = Δm(amu) × 931.5 MeV

将原子核分解成单独的质子和中子所需的能量

Δm: 质量缺陷 E_b: 总核结合能

10

放射性衰变定律和半衰期

N(t) = N₀·e^(-λt), T_half = ln(2)λ ≈ 0.693λ, A = λ·N

不稳定放射性核素的统计衰变率（以贝克勒尔 Bq 为单位测量的活度 = 衰变/秒）

N(t): 剩余未衰变放射性核的数量 T_half: 半衰期 λ: 放射性衰变常数 A: 活动

11

爱因斯坦的质能等价和相对论能量

E = m·c² = γ·m₀·c², E² = (p·c)² + (m₀·c²)²

连接总相对论能量 E、动量 p 和静止质量 m₀ 的不变四动量能量关系

c: 真空中的光速 (299,792,458 m/s) m₀: 静止不变质量 γ: 洛伦兹因子

12

相对论时间膨胀和长度收缩

Δt = γ·Δt₀ = Δt₀√1 -v²c², L = L₀γ = L₀·√1 -v²c²

移动的时钟走得更慢（时间膨胀）；移动杆在运动方向上缩短（长度收缩）

Δt₀, L₀: 适当的时间和适当的休息时间 v: 观察者系相对速度

🧪

全套化学核心公式全表

理想与实际气体状态方程、化学热力学、化学反应动力学速率方程、化学平衡常数、能斯特方程、pH缓冲溶液与放射性衰变。

83+ 条公式

🧪

第 1 章：摩尔概念、化学计量和浓度术语

10 个公式

定量质量-摩尔转换、阿伏加德罗关系、摩尔浓度、摩尔浓度、当量浓度、ppm 和反应产率

1

摩尔概念、样品质量和颗粒计数

n = mM = NN_A

样品质量、摩尔和基本粒子之间的基本关系转换

n: 摩尔数 m: 样品质量 M: 物质的摩尔质量 N: 粒子总数（原子、分子、离子） N_A: 阿伏加德罗常数 (6.02214 × 10²3 mol⁻1)

2

STP 下的摩尔气体体积

V = n·V_m = n·22.414 L

标准温度和压力下一摩尔任何理想气体所占的体积

V: STP 时的气体体积 n: 摩尔数 V_m: 标准摩尔气体体积（1 atm 时为 22.414 L/mol，1 bar 时为 22.71 L/mol）

3

摩尔浓度（摩尔浓度）

M = n_soluteV_solution = w_B × 1000M_B × V_mL

每升溶液溶解的溶质的摩尔数

M: 摩尔浓度 w_B: 溶解溶质的质量 M_B: 溶质的摩尔质量 V_mL: 溶液体积（毫升）

4

摩尔浓度（与温度无关的浓度）

m = n_soluteW_solvent = w_B × 1000M_B × W_A

每千克纯溶剂的溶质摩尔数；不随热温度变化而变化

m: 质量摩尔浓度 w_B: 溶质质量 W_A: 溶剂质量（克） M_B: 溶质的摩尔质量

5

正态性和等效重量

N = w_B × 1000E_B × V_mL = M·n_factor

每升克当量浓度； n 因子代表酸度、碱度或化合价变化

N: 常态 E_B: 当量重量（M / n 因子） n_factor: 化合价因子/电子交换数 M: 摩尔浓度

6

摩尔分数与求和定律

X_A = n_An_A + n_B, X_A + X_B = 1

组分摩尔与总溶液摩尔的无量纲比率

X_A: A组分的摩尔分数 n_A, n_B: 各个组分的摩尔数

7

质量百分比 (% w/w) 和百万分率 (ppm)

%(ww) = (w_solutew_total) × 100, ppm = (w_solutew_total) × 10⁶

痕量浓度指标广泛用于水测试和大气分析

w_solute: 溶质质量 w_total: 总溶液质量 ppm: 百万分之一浓度

8

容量溶液稀释公式

M₁·V₁ = M₂·V₂, N₁·V₁ = N₂·V₂

从初始体积到最终体积的溶剂稀释过程中溶质摩尔守恒

M₁, N₁: 稀释前的库存浓度 V₁: 库存等分体积 M₂, N₂: 目标稀释浓度 V₂: 最终稀释溶液体积

9

化学反应的产率百分比

% Yield = (Actual YieldTheoretical Yield) × 100

实验获得的产物与限制反应物的化学计量最大值之比

Actual Yield: 实验中分离产物的质量 Theoretical Yield: 计算的化学计量质量

10

经验到分子式乘数

n = M_molecularM_empirical, Molecular Formula = (Empirical Formula)_n

整数乘数将最简单的整数原子比缩放到实际分子式

n: 积分化学计量乘数（1、2、3...） M_molecular: 实际分子量 M_empirical: 经验公式质量

⚛️

第 2 章：原子结构、量子力学和放射性

8 个公式

玻尔模型轨道、里德堡谱跃迁、德布罗意波粒二象性、海森堡原理和衰变动力学

1

普朗克-爱因斯坦光子能量关系

E = h·ν = h·cλ = h·c·ν_bar

频率为 ν、波长为 λ 的电磁光子携带的量子化能量

E: 光子量子能量 h: 普朗克常数 (6.62607 × 10⁻3⁴ J·s) c: 光速（2.998×10⁸米/秒） λ: 波长 ν_bar: 波数 (1/λ)

2

玻尔类氢原子轨道半径

r_n = n²·h²·ε₀π·m·Z·e² = 0.529·(n²Z) Å

核原子序数为Z的氢原子的量子化轨道半径

r_n: 第 n 个玻尔轨道的半径 n: 主量子数 (1, 2, 3...) Z: 核原子序数（电荷）

3

玻尔电子能级

E_n = -13.6·(Z²n²) eV = -2.18 × 10⁻¹⁸·(Z²n²) J

第 n 个主壳层中束缚电子的量子化总结合能

E_n: 总电子轨道能量 Z: 原子序数 n: 主量子能级

4

里德伯发射光谱方程

1λ = R_H·Z²·(1n₁²-1n₂²)

预测光谱跃迁波长（Lyman n₁=1、Balmer n₁=2、Paschen n₁=3、Brackett n₁=4、Pfund n₁=5）

R_H: 里德伯常数 (1.09677 × 10⁷ m⁻¹) n₁: 较低能量状态 n₂: 更高的激发能态 (n2 > n₁)

5

德布罗意物质波长

λ = hp = hm·v = h√2·m·E_k = h√2·m·q·V

波粒二象性表明运动粒子的波长与动量成反比

λ: 德布罗意波长 m: 颗粒质量 v: 粒子速度 V: 加速静电势

6

海森堡的测不准原理

Δx·Δp ≥ h4π, ΔE·Δt ≥ h4π

位置和共轭动量同时精度的基本量子极限

Δx: 空间位置的不确定性 Δp: 线性动量的不确定性 Δv: 速度的不确定性

7

爱因斯坦光电动能方程

h·ν = Φ + K_max = h·ν₀ + ½·m·v_max²

光子吸收和光电子发射过程中的能量守恒

Φ: 金属表面功函数(h·ν₀) ν₀: 阈值截止频率 V_s: 停止潜力

8

核放射性衰变定律和半衰期

N(t) = N₀·e^(-λ·t), t_½ = ln(2)λ = 0.693λ

一级自发核崩解率和放射性半衰期

N(t): 时间 t 时剩余的未衰变放射性核 N₀: t = 0 时的初始放射性核计数 λ: 放射性衰变常数 t_½: 放射性半衰期

💨

第 3 章：气态与分子动力学理论

8 个公式

理想气体关系、道尔顿分压、格雷厄姆流出、分子速度和范德华真实气体

1

理想气体定律和气体密度关系

P·V = n·R·T, P·M = ρ·R·T

连接压力、体积、温度、密度的理想气体状态方程

P: 气体压力 V: 气体量 n: 摩尔数 R: 气体常数 (0.0821 L·atm/(mol·K) = 8.314 J/(mol·K)) T: 绝对温度 ρ: 气体质量密度

2

组合气体定律（波义耳、查尔斯、盖-吕萨克）

P₁·V₁T₁ = P₂·V₂T₂

统一波义耳 (PV=k)、查尔斯 (V/T=k) 和盖-吕萨克 (P/T=k) 气体定律

P₁, V₁, T₁: 初始状态压力、体积和绝对温度 P₂, V₂, T₂: 最终状态压力、体积和绝对温度

3

道尔顿分压定律

P_total = P_A + P_B + P_C, P_A = X_A·P_total

非反应气体混合物中的总压力等于各个分压的总和

P_total: 容器总压力 P_A: 气体A的分压 X_A: 混合物中气体A的摩尔分数

4

格雷厄姆扩散与流出定律

r₁r₂ = √M₂M₁ = √ρ₂ρ₁ = V₁t₁V₂t₂

通过多孔针孔的气体流出/扩散速率与摩尔质量的平方根成反比

r₁, r₂: 扩散/渗出率 M₁, M₂: 气体的摩尔质量

5

RMS、平均和最可能分子速度

u_rms = √3RTM, u_avg = √8RTπM, u_mp = √2RTM

Maxwell-Boltzmann 分布速度比： u_mp : u_avg : u_rms = 1 : 1.128 : 1.224 = √2 : √(8/π) : √3

u_rms: 均方根速度 u_avg: 平均运算速度 u_mp: 峰值分布时的最可能速度 M: 摩尔质量（千克每摩尔）

6

气体动能和平均动能

E_k,total = (32)·n·R·T, E_k,molecule = (32)·k_B·T

总平移动能和每分子平动动能完全取决于绝对温度

k_B: 玻尔兹曼常数 (1.38065 × 10⁻²³ J/K) T: 绝对温度

7

真实气体的范德华方程

(P +a·n²V²)·(V - n·b) = n·R·T

修正分子间吸引力的理想气体定律 (a) 并排除有限分子体积 (b)

a: 分子间吸引力系数 b: 排除体积/共体积系数（4×分子体积）

8

压缩系数和临界常数

Z = P·V_mR·T, T_c = 8a27Rb, P_c = a27b², V_c = 3b

测量与理想行为的偏差 (Z=1)。高于临界温度T_c气体不能液化

Z: 压缩系数（Z > 1 正偏差，Z < 1 负偏差） T_c: 临界温度 P_c: 临界压力 V_c: 临界摩尔体积

🔥

第 4 章：化学热力学与热化学

9 个公式

第一定律、赫斯定律、键能、熵变、吉布斯自由能和平衡耦合

1

热力学第一定律与膨胀功

ΔU = q + w, w = -P_ext·ΔV = -∫ P_ext dV

IUPAC惯例：系统所做的功为正（+），系统所做的功为负（-）

ΔU: 内能变化 q: 系统吸收的热量 w: 在系统上/由系统执行的工作 P_ext: 外部反压力

2

理想气体的可逆等温功

w_rev = -n·R·T·ln(V₂V₁) = -2.303·n·R·T·log(P₁P₂)

在缓慢的准静态等温膨胀过程中获得的最大可能的热力学功

w_rev: 最大可逆功 V₁, V₂: 初始卷和扩展卷

3

焓定义和气态摩尔关系

H = U + P·V ⟹ ΔH = ΔU + Δn_g·R·T

连接恒压 (ΔH = q_p) 和恒体积 (ΔU = q_v) 下的反应热

ΔH: 焓变 ΔU: 内能变化 Δn_g: 气体摩尔变化： Σ n_g(产物) - Σ n_g(反应物)

4

摩尔热容和迈耶关系

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v, ΔH = n·C_p·ΔT, ΔU = n·C_v·ΔT

单原子 (γ=1.66)、双原子 (γ=1.40) 和多原子气体的比热容关系

C_p: 恒压摩尔热容 C_v: 定体积摩尔热容 γ: 绝热热容比（泊松指数）

5

生成焓的标准反应焓

ΔH_rxn° = ∑ ν_p·ΔH_f°(products) - ∑ ν_r·ΔH_f°(reactants)

计算标准反应焓（标准状态下纯元素的ΔH_f°为零）

ΔH_rxn°: 标准反应焓 ΔH_f°: 标准生成焓 ν_p, ν_r: 化学计量系数

6

键解离能的反应焓

ΔH_rxn = ∑ Bond Energy(broken in reactants) - ∑ Bond Energy(formed in products)

根据平均共价键解离能近似计算气体反应焓

B.E.: 键解离焓

7

基尔霍夫温度-焓定律

ΔH_T2 = ΔH_T1 + ΔC_p·(T₂ - T₁)

当热容已知时，评估不同温度下的反应热

ΔC_p: Σ C_p(产物) - Σ C_p(反应物)

8

吉布斯自由能和自发性准则

ΔG = ΔH - T·ΔS

确定恒温恒压下的热力学反应方向

ΔG: 吉布斯自由能变化 ΔH: 焓变 ΔS: 熵变 T: 绝对温度

9

标准自由能和平衡常数耦合

ΔG° = -R·T·ln(K_eq) = -2.303·R·T·log(K_eq)

连接化学热力学势与宏观平衡常数的基本联系

ΔG°: 标准自由能变化 K_eq: 热力学平衡常数

⚖️

第 5 章：化学平衡和勒夏特列原理

5 个公式

质量作用定律、Kc 和 Kp 关系、反应商 Q、解离度和 Van t Hoff 方程

1

质量作用定律平衡常数 (Kc & Kp)

K_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b, K_p = P_C^c·P_D^dP_A^a·P_B^b

平衡时产物浓度与反应物浓度之比达到化学计量幂

K_c: 摩尔浓度平衡常数 K_p: 分压平衡常数

2

Kp 和 Kc 之间的关系

K_p = K_c·(R·T)^(Δn_g)

与压力和浓度平衡常数相关；如果 Δn_g = 0，则 K_p = K_c

Δn_g: 气体化学计量摩尔的变化 R: 气体常数 (0.0821 L·atm/(mol·K)) T: 绝对温度（开尔文）

3

反应商 (Q) 和方向标准

Q_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b

计算非平衡瞬时比率以预测趋于平衡的自发方向

Q_c: 瞬时非平衡反应商 K_c: 平衡常数

4

范特霍夫温度平衡等容线

ln(K₂K₁) = (ΔH°R)·(1T₁-1T₂)

预测平衡常数随温度的变化（当吸热 ΔH > 0 时，K 随 T 增加）

K₁, K₂: 温度 T₁ 和 T2 下的平衡常数 ΔH°: 标准反应焓

5

蒸气密度的解离度 (α)

α = D - d(n - 1)·d = M_theoretical - M_observed(n - 1)·M_observed

平衡时解离的初始分子的分数，其中 n 是每摩尔反应物的产物摩尔数

α: 解离度 (0 ≤ α ≤ 1) D: 初始理论蒸汽密度 d: 观察到的平衡蒸气密度 n: 每摩尔反应物产生的产物摩尔数

🧪

第 6 章：离子平衡、酸、碱和缓冲液

6 个公式

奥斯特瓦尔德稀释、pH 值、Henderson-Hasselbalch 缓冲液方程、盐水解和 Ksp 溶解度积

1

弱电解质的奥斯特瓦尔德稀释定律

K_a = C·α²1 - α ≈ C·α² ⟹ α = √K_aC

当解离分数 α << 1 时，对弱酸/碱有效

K_a: 酸电离常数 C: 初始摩尔浓度 α: 电离度

2

水的自动电离和 pH-pOH 标度

K_w = [H⁺]·[OH⁻] = 1.0 × 10⁻¹⁴, pH + pOH = pK_w = 14

基本对数刻度：pH = -log₁₀[H⁺] 和 pOH = -log₁₀[OH⁻]

[H⁺]: 水合氢离子摩尔浓度 [OH⁻]: 氢氧根离子摩尔浓度 K_w: 水自动电离产品

3

Henderson-Hasselbalch 方程（酸性缓冲液）

pH = pK_a + log₁₀([Conjugate Base][Weak Acid]) = pK_a + log₁₀([Salt][Acid])

计算酸性缓冲混合物的 pH 值（例如 CH₃COOH + CH₃COONa）

pK_a: -log₁₀(K_a) 弱酸 [A⁻]: 共轭碱/盐的浓度 [HA]: 未解离弱酸的浓度

4

Henderson-Hasselbalch 方程（基本缓冲区）

pOH = pK_b + log₁₀([Conjugate Acid][Weak Base]), pH = 14 - pOH

计算碱性缓冲溶液的 pOH 和 pH（例如 NH₄OH + NH₄Cl）

pK_b: -log₁₀(K_b) 弱碱基 [Salt]: 共轭盐的摩尔浓度 [Base]: 弱碱摩尔浓度

5

盐水解 pH 公式

WA-SB: pH = 7 + ½pK_a + ½log(C), SA-WB: pH = 7 - ½pK_b - ½log(C), WA-WB: pH = 7 + ½pK_a - ½pK_b

计算弱酸和弱碱盐的阳离子/阴离子水解产生的 pH 值

C: 盐溶液的摩尔浓度

6

溶解度积常数 (Ksp) 和摩尔溶解度 (S)

A_x B_y ⇌ x A^(y+) + y B^(x-) ⟹ K_sp = x^x·y^y·S^(x+y)

微溶盐的平衡常数（1:1 盐：K_sp = S²；1:2 盐：K_sp = 4S³；1:3 盐：K_sp = 27S⁴）

K_sp: 溶解度积常数 S: 盐的摩尔溶解度

⏱️

第 7 章：化学动力学与反应动力学

6 个公式

微分和积分速率定律、半衰期方程、阿累尼乌斯活化能和碰撞理论

1

一般反应速率和速率定律表达式

Rate = -(1a)·(d[A]dt) = (1c)·(d[C]dt) = k·[A]^m·[B]^n

总反应级数=m+n；速率常数 k 的单位为 (mol/L)^(1-n) · s⁻¹

k: 比反应速率常数 m, n: 实验确定的反应级数

2

零阶积分速率定律和半衰期

[A] = [A]₀ - k·t, t_½ = [A]₀2k

速率与反应物浓度无关；半衰期与初始浓度成正比

[A]₀: t = 0 时的初始浓度 [A]: 时间 t 时的剩余浓度 k: 零级速率常数

3

一阶积分速率定律和半衰期

k = (2.303t)·log([A]₀[A]), [A] = [A]₀·e^(-k·t), t_½ = ln(2)k = 0.693k

一级半衰期严格独立于初始反应物浓度

k: 一阶速率常数 t_½: 半衰期

4

二阶积分速率定律和半衰期

1[A] = 1[A]₀ + k·t, t_½ = 1k·[A]₀

半衰期与初始反应物浓度成反比

k: 二阶速率常数

5

阿累尼乌斯速率-温度方程

k = A·e^(-E_aR·T) ⟹ ln(k) = ln(A) -E_aR·T

量化指数速率加速度随温度和活化能垒的变化

k: 速率常数 A: 指前阿累尼乌斯频率因子 E_a: 活化能 R: 气体常数（8.314 J/(mol·K)） T: 绝对温度

6

二温阿伦尼乌斯比公式

log(k₂k₁) = (E_a2.303·R)·(T₂ - T₁T₁·T₂)

根据在两个不同温度下测量的速率常数计算活化能 E_a

k₁, k₂: 温度 T₁ 和 T2 下的速率常数

⚡

第 8 章：电化学和原电池

6 个公式

标准电动势、能斯特方程、吉布斯电功、科尔劳施电导率和法拉第电解定律

1

标准电池电位 (EMF)

E_cell° = E_cathode° - E_anode° = E_reduction(RHE)° - E_reduction(LHE)°

标准条件下的电动势（1 M浓度，1 atm气压，298 K）

E_cell°: 标准电动势 E_cathode°: 阴极标准还原电位 E_anode°: 阳极标准还原电位

2

298 K (25°C) 时的能斯特方程

E_cell = E_cell° - (0.0591n)·log₁₀(Q)

计算非统一反应物/产物活动的非标准电化学电池电位

E_cell: 实际细胞电位 n: 每摩尔平衡反应转移的电子摩尔数 Q: 反应商（[阳极离子] / [阴极离子]） F: 法拉第常数 (96,485 C/mol e⁻)

3

吉布斯自由能和标准电池电势

ΔG° = -n·F·E_cell°, E_cell° = (0.0591n)·log₁₀(K_c)

将标准电化学电池电位与最大非膨胀电功和平衡联系起来

ΔG°: 标准吉布斯自由能变化 K_c: 电化学平衡常数

4

比和摩尔电解电导率

κ = G·(lA) = (1R)·G*, Λ_m = κ × 1000M

每摩尔电解质的摩尔电导率（单位：S·cm²·mol⁻1）

κ: 比电导率（电解电导率） G*: 电池常数(l/A) Λ_m: 摩尔电导率 M: 电解质的摩尔浓度

5

科尔劳施独立离子迁移定律

Λ_m° = ν₊·λ₊° + ν₋·λ₋°, α = Λ_mΛ_m°

在无限稀释时，每个离子对摩尔电导有独立的贡献；确定弱电解质解离α

Λ_m°: 无限稀释时的极限摩尔电导率 λ₊°, λ₋°: 限制阳离子和阴离子的离子电导率 α: 电解离解度

6

法拉第电解定律

m = Z·I·t = M·I·tn·F,m₁E₁ = m₂E₂

电极上沉积或释放的质量与电荷 Q 成正比（法拉第常数 F = 96485 C/mol）

m: 释放/沉积物质的质量 Z: 电化学当量（E/96485） I: 电流 t: 电解时间 E: 当量重量（M/n）

💧

第 9 章：解和依数性质

6 个公式

蒸气压拉乌尔定律、沸点升高、冷冻降低、渗透压和范特霍夫因子

1

拉乌尔定律和蒸气压的相对降低

P_A = X_A·P_A°,P_A° - P_AP_A° = X_B = n_Bn_A + n_B

相对蒸气压降低等于非挥发性溶质的摩尔分数

P_A°: 纯溶剂的蒸气压 P_A: 溶液的蒸气压 X_B: 非挥发性溶质的摩尔分数

2

沸点升高（沸点测定）

ΔT_b = i·K_b·m = i·(K_b × w_B × 1000M_B × w_A)

沸腾常数 K_b 仅取决于溶剂性质： K_b = (R·T_b²·M_solvent) / (1000·ΔH_vap)

ΔT_b: 沸点高程 K_b: 摩尔沸点升高常数（水为 0.512 K·kg/mol） m: 溶液质量摩尔浓度 i: 范特霍夫因子

3

冰点降低（冷冻检查）

ΔT_f = i·K_f·m = i·(K_f × w_B × 1000M_B × w_A)

冷冻常数 K_f： K_f = (R·T_f²·M_solvent) / (1000·ΔH_fus) （对于水为 1.86 K·kg/mol）

ΔT_f: 冰点降低 K_f: 摩尔冰点降低常数 m: 摩尔浓度

4

范特霍夫渗透压定律

Π = i·C·R·T = i·(n_BV)·R·T = i·(w_B·R·T)M_B·V

完全防止溶剂渗透半透膜所需的静水压力

Π: 渗透压 C: 摩尔浓度 M_B: 溶质摩尔质量（广泛用于聚合物/蛋白质）

5

解离与缔合的范特霍夫因子 (i)

i = 1 + (n - 1)·α_diss, i = 1 + (1n- 1)·α_assoc

解释由于溶液中电解质电离或二聚化导致的异常分子质量

i: Van 't Hoff 因子（i > 1 表示解离，i < 1 表示关联） α: 缔合/解离程度 n: 离子数或缔合度

6

亨利气体在液体中的溶解度定律

p_gas = K_H·X_gas, m_gas = k_H·p_gas

溶解在液体中的气体与液体上方的分压成正比（K_H 随 T 增加）

p_gas: 液体上方气体的分压 K_H: 亨利定律常数 X_gas: 溶解气体的摩尔分数

🧊

第 10 章：固态与晶体学

4 个公式

晶胞密度、立方晶体几何形状（SC、BCC、FCC）、半径比规则和布拉格 X 射线衍射

1

晶胞晶体密度公式

ρ = z·Ma³·N_A

根据晶格边长 a 和有效原子数 z 计算出理论晶体质量密度

ρ: 晶体密度 z: 每个晶胞的有效原子数（SC：1，BCC：2，FCC：4） M: 物质的摩尔质量 a: 晶胞边缘长度 N_A: 阿伏伽德罗常数 (6.022 × 10²³ mol⁻¹)

2

立方晶格几何形状和堆积效率

SC: r = a2 (52.4%), BCC: r = (√34)·a (68.0%), FCC: r = a2√2 (74.0%)

原子半径r、边长a与空间填充堆积效率之间的几何关系

r: 原子半径 a: 晶格边长

3

限制半径比规则和协调几何

Linear: <0.155 (CN 2),  Triangular: 0.155-0.225 (CN 3),  Tetrahedral: 0.225-0.414 (CN 4),  Octahedral: 0.414-0.732 (CN 6),  Cubic: 0.732-1.000 (CN 8)

根据阳离子/阴离子半径比预测离子晶体配位数 (CN) 和间隙几何形状

r₊r₋: 阳离子与阴离子半径比

4

X 射线衍射布拉格定律

n·λ = 2·d·sin(θ)

间隔为 d 的晶格面散射单色 X 射线的相长干涉条件

n: 衍射级整数 (1, 2, 3...) λ: X射线波长 d: 晶格面之间的晶面间距 θ: 布拉格掠射/散射角

🧲

第 11 章：表面化学和胶态

3 个公式

Freundlich & Langmuir 吸附等温线、Hardy-Schulze 规则和 zeta 电位

1

弗罗因德利希吸附等温线

xm = k·P^(1n) ⟹ log(xm) = log(k) + (1n)·log(P)

中等压力范围内固体吸附剂表面气体吸附的经验模型

x: 吸附气体质量 m: 固体吸附剂质量 P: 平衡气体压力 k, n: 给定吸附剂-气体对的吸附常数

2

朗缪尔单层吸附等温线

xm = a·P1 + b·P ⟹ Pxm = 1a+ (ba)·P

假设均匀单层表面覆盖和局部相同位点的理论模型

a, b: Langmuir动力学吸附-解吸参数 P: 平衡压力

3

胶体凝固的 Hardy-Schulze 规则

Coagulating Power ∝ (Valency of Oppositely Charged Ion)⁴

电解质离子的凝结力随其电荷价 z 急剧增加

z: 活性凝固离子的价电荷

🔗

第12章：化学键和分子结构

5 个公式

偶极矩、鲍林离子特征、分子轨道键序、形式电荷和仅自旋磁矩

1

电偶极矩（德拜）

μ = q·d, 1 Debye (D) = 3.33564 × 10⁻³⁰ C·m = 10⁻¹⁸ esu·cm

根据键距 d 上的电荷分离 q 来量化分子电极性

μ: 分子偶极矩 q: 分离的部分电荷的大小 d: 电荷之间的键合距离

2

鲍林百分比离子特征

% Ionic = 16·|χ_A - χ_B| + 3.5·(χ_A - χ_B)²

根据电负性差 Δχ 估计共价键的离子特征百分比

χ_A, χ_B: 键合原子的鲍林电负性

3

分子轨道 (MO) 键序

Bond Order = ½·(N_b - N_a)

净键合稳定性：键阶>0表示分子稳定；较高的键阶意味着较短的键长和较高的键能

N_b: 键合分子轨道 (BMO) 中的电子数 N_a: 反键分子轨道 (ABMO) 中的电子数

4

路易斯结构原子上的形式电荷

FC = V - N_lone - ½·N_bonding

价电子簿记以确定最稳定的共振路易斯结构

V: 自由中性原子的价电子 N_lone: 非键合孤对电子 N_bonding: 共享键合电子总数

5

过渡金属离子的仅自旋磁矩

μ_s = √n·(n + 2) BM

根据不成对 d 电子数 n 计算顺磁磁矩（n=1: 1.73 BM、n=2: 2.83 BM、n=3: 3.87 BM、n=4: 4.90 BM、n=5: 5.92 BM）

μ_s: 仅自旋磁矩 n: 不成对电子数

⚗️

第 13 章：氧化还原反应和容量滴定

3 个公式

氧化值、当量、氧化还原中和和歧化化学计量

1

氧化剂和还原剂的当量

E = Molar MassNumber of electrons gained or lost per molecule

示例：酸性介质中的 KMnO4 (n=5) E = M/5；在中性介质中 (n=3) E = M/3;在基本介质中 (n=1) E = M/1

E: 当量重量 M: 摩尔质量

2

化学当量定律和滴定法

N₁·V₁ = N₂·V₂ ⟹ n₁·M₁·V₁ = n₂·M₂·V₂

在化学计量当量点，滴定剂的当量等于分析物的当量

N₁, N₂: 反应溶液的常态 V₁, V₂: 消耗的滴度体积 n₁, n₂: 反应化学物质的 n 因子

3

歧化反应中的当量

E_total = E_oxidation + E_reduction = Mn₁+Mn₂

对于同一化学元素同时发生氧化和还原的氧化还原反应

n₁, n₂: 氧化和还原半反应中的电子变化

🌿

第14章：有机化学原理与立体化学

4 个公式

缺氢指数 (IHD)、比旋光度、对映体过量和哈米特方程

1

缺氢指数（不饱和度）

IHD = C + 1 - (H2) - (X2) + (N2)

确定环和 π 键的总数（双键 = 1，三键 = 2，苯环 = 4）

C: 碳原子数 H: 氢原子数 X: 卤素原子数（F、Cl、Br、I） N: 氮原子数

2

比奥比旋光定律

[α]_D^T = α_obsl·c

使用钠 D 线 (589 nm) 旋光法测量的标准手性光学活性

[α]_D^T: 比旋光度 α_obs: 在旋光计中观察到的旋光角 l: 旋光仪样品管路径长度 c: 样品溶液浓度

3

对映体过量 (% ee) 和光学纯度

% ee = (|R -S|R + S) × 100 = (α_obsα_pure) × 100

定量一种对映异构体相对于外消旋混合物的手性过量（50:50 混合物的 ee 为 0%）

% ee: 对映体过量百分比 [R], [S]: R 和 S 对映体的摩尔百分比

4

哈米特线性自由能关系

log(KK₀) = σ·ρ, log(kk₀) = σ·ρ

将间位/对位取代基电子效应 (σ) 和反应敏感性 (ρ) 与取代苯甲酸速率相关

σ: 哈米特取代基常数（吸电子 σ > 0，供电子 σ < 0） ρ: 反应灵敏度常数 K, K₀: 有和没有取代基的平衡常数