Fórmulas e Folhas de Equações

Definição fundamental de derivada como taxa de mudança instantânea

A derivada de qualquer constante c é zero

Válido para todos os expoentes reais n (n ∈ ℝ)

Constantes fatoram fora da diferenciação

A diferenciação é um operador linear

Diferencie primeiro, mantenha em segundo, mais mantenha em primeiro, diferencie em segundo

Requer g(x) ≠ 0

Diferencie a função externa avaliada em interna, multiplique pela derivada de interna

Atalho direto para funções alternativas

A única função diferente de zero igual à sua própria derivada

Regra da cadeia aplicada à exponencial natural

Válido para a > 0, a ≠ 1

Para valores absolutos: d/dx [ln|x|] = 1 / x (x ≠ 0)

Derivada logarítmica/taxa relativa de mudança

Fórmula de mudança de diferenciação de base

Derivado usando diferenciação logarítmica y = xˣ ⇒ ln y = x ln x

Taxa de mudança do seno é cosseno

Observe o sinal negativo para a função "co-"

Também igual a 1 + tan²(x)

Também igual a -(1 + cot²(x))

Produto de secante e tangente

Produto de cossecante e cotangente com sinal negativo

Regra da cadeia trigonométrica generalizada padrão

Domínio estritamente entre -1 e 1

Negativo exato da derivada inversa do seno

Válido para todos os números reais sem singularidade

Negativo exato da derivada tangente inversa

Requer |x| > 1

Exato negativo da derivada secante inversa

Não observe nenhum sinal negativo (ao contrário do cosseno regular)

Taxa positiva de mudança

Crucial para retropropagação de ativação de rede neural

Cosecante hiperbólica negativa ao quadrado

Produto hiperbólico negativo

Produto hiperbólico negativo

Válido para todo x real

Válido para x > 1

Válido para |x| <1

Calcula a inclinação da tangente da curva a partir das equações paramétricas x(t), y(t)

Calcula a concavidade de curvas paramétricas

Resolve limites indeterminados diferenciando numerador e denominador independentemente

Garante um ponto onde a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média

Aproximação polinomial de funções suaves diferenciáveis

Série de Taylor centrada na origem (x = 0)

A primitiva de uma constante k é k·x + C

Válido para todas as potências reais n, exceto n = -1

Caso especial crucial para n = -1 na regra da potência

A integração é uma operação funcional linear

Atalho para potências binomiais lineares

Fórmula de integração de denominador linear padrão

A função é igual à sua própria antiderivada até a constante C

Regra de integração exponencial em escala padrão

Divide por ln(a) porque derivada multiplicada por ln(a)

Derivado usando integração por partes com u = ln x, dv = dx

Mudança de integração de base para logaritmos

Integração clássica por aplicação de peças

Observe o sinal negativo na antiderivada do seno

Antiderivada trigonométrica padrão direto

Porque a derivada da tangente é secante ao quadrado

Porque a derivada da cotangente é -csc²(x)

Reversão direta de derivada de sec(x)

Reversão direta de derivada de csc(x)

Avaliado por substituição u = cos(x)

Avaliado por substituição u = sin(x)

Integral de cálculo famosa multiplicada por (seg x + tan x)/(seg x + tan x)

Integral cossecante logarítmica padrão

Avaliado usando identidade de redução de potência sin²(x) = (1 - cos 2x)/2

Avaliado usando identidade de redução de potência cos²(x) = (1 + cos 2x)/2

Avaliado usando identidade tan²(x) = sec²(x) - 1

Avaliado usando identidade cot²(x) = csc²(x) - 1

Observe que não há fator 1/a externo para o seno inverso

O coeficiente 1/a é necessário, diferentemente do seno inverso

Inclui coeficiente 1/a e valor absoluto |x|

Obtido via decomposição em frações parciais 1/(x²-a²)

Obtido via decomposição em frações parciais 1/(a²-x²)

Usado para calcular áreas de setores circulares e elípticos

Resolvido usando substituição x = a tan θ ou hiperbólico x = a sinh u

Resolvido usando substituição x = a sec θ ou hiperbólico x = a cosh u

Também igual a arsinh(x/a) e arcosh(x/a) respectivamente

Cosh positivo (x) + C (sem sinal negativo)

Antiderivada hiperbólica direta

Como cosh x > 0 para todo x real, nenhum valor absoluto é necessário

Antiderivada direta rendendo tanh(x)

Cotangente hiperbólica negativa

Antiderivada do produto secante-tangente hiperbólico

Escolha você usando a regra LIATE (Logarítmico, Trig inverso, Algébrico, Trig, Exponencial)

Inverte a regra da cadeia de diferenciação

Transforma qualquer integral trigonométrica racional em uma integral algébrica polinomial racional

Sempre que o numerador é a derivada exata do denominador

Conecta diferenciação e integração como operações matemáticas inversas

Avalia a área líquida e a variação acumulada no intervalo [a, b]

Regra da cadeia estendida para limites de integração inferiores e superiores variáveis

Simplificação instantânea para limites de integração simétrica [-a, a]

Calcula o verdadeiro valor médio de uma função contínua sobre [a, b]

Reduz a potência do seno em 2 em cada iteração

Reduz a potência do cosseno em 2 em cada iteração

Redução algébrica rápida para tanⁿ(x)

Reduz potências mais altas de secante (por exemplo, ∫sec³ x dx)

Soluções para a equação quadrática padrão ax² + bx + c = 0; discriminante Δ = b² - 4ac determina natureza real/complexa

Expansões polinomiais fundamentais de binômios algébricos

Expansão do quadrado de uma soma de três termos

Fatorações algébricas exatas para soma e diferença de termos cúbicos

Caso especial: se a + b + c = 0, então a³ + b³ + c³ = 3abc

Expande qualquer potência inteira positiva de uma soma binomial usando coeficientes combinatórios

Relações diretas entre raízes polinomiais e coeficientes

A igualdade é válida se e somente se todos os elementos a₁ = a₂ = ... = a_n

Desigualdade universal em espaços de produtos internos reais/complexos

Distância em linha reta e divisão de razão interna/externa do segmento de linha conectando (x₁, y₁) e (x₂, y₂)

Calcula a área plana a partir de coordenadas de 3 vértices; área zero implica colinearidade

Equação ponto-inclinação e distância perpendicular mais curta do ponto (x₀, y₀) à linha Ax + By + C = 0

Ângulo agudo de intersecção; linhas paralelas têm m₁ = m₂; linhas perpendiculares têm m₁·m₂ = -1

Equação do círculo com centro (h, k) e raio r

Lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz (excentricidade e = 1)

Elipse horizontal padrão com semieixo maior a, semieixo menor b e excentricidade e <1

Seção cônica com excentricidade e > 1 e assíntotas lineares passando pela origem

Distância euclidiana no espaço cartesiano 3D e equação da esfera com centro (x₀, y₀, z₀) e raio R

Fórmulas de capacidade volumétrica e área de superfície total para esferas e cilindros 3D sólidos

Altura inclinada l, área de superfície lateral A_lat = π·r·l e volume do tronco do cone truncado

Sólido de revolução gerado pela rotação de um círculo de raio r em torno de um eixo de raio maior R a partir do centro (R ≥ r)

Equação do plano passando pelo ponto (x₀, y₀, z₀) com vetor normal n = <A, B, C>

Calcula a distância mais curta absoluta entre duas linhas 3D não paralelas e sem interseção r₁ = a₁ + λb₁ e r₂ = a₂ + μb₂

Volume de escala de valor escalar sob transformação linear; det(A) = 0 indica matriz singular não invertível

Matriz inversa onde adj(A) é a transposta da matriz cofator C

Fórmula algébrica explícita para resolver sistema de n equações lineares Ax = b onde A_i tem a coluna i substituída por b

Raízes polinomiais características produzem autovalores escalares λ; vetores diferentes de zero v correspondentes são autovetores

O traço da matriz é igual à soma dos autovalores; determinante é igual ao produto de todos os autovalores

Produtos vetoriais fundamentais: o produto escalar produz projeção escalar; produto vetorial produz vetor ortogonal

O produto triplo escalar calcula o volume do paralelepípedo; Regra BAC-CAB expande produtos cruzados duplos

Vetor apontando na direção da taxa máxima de aumento da função escalar f; magnitude é igual à inclinação máxima

A divergência mede a densidade do fluxo externo (∇·F = 0 é solenoidal); Curl mede a vorticidade rotacional (∇×F = 0 é irrotacional)

Operador diferencial de segunda ordem que rege potenciais harmônicos, difusão de calor e propagação de ondas

Relaciona a integral de linha no sentido anti-horário em torno da curva fechada simples C orientada positivamente com a integral dupla sobre a região fechada D

Relaciona a integral da linha de circulação ao longo da curva limite C à integral do fluxo de superfície da curvatura ∇×F sobre a superfície orientável S

Fluxo líquido externo do campo vetorial F através da superfície fechada S é igual à integral de volume da divergência ∇·F em todo o volume interior V

Fator de escala de área/volume durante mudança multivariável de variáveis ​​(Polar: J = r; Esférico: J = ρ² sin φ)

Representação geométrica de número complexo no plano de Argand

Calcula potências inteiras/fracionárias e n-ésimas raízes simétricas no plano complexo

Condições necessárias e suficientes para que a função complexa f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) seja holomórfica / diferenciável em complexo

Avalia integrais de contorno por meio de singularidades e resíduos fechados Res(f, z₀) = lim[z→z₀] (z - z₀)f(z)

Soma da progressão geométrica com primeiro termo a e razão comum r

Representação da função suave como soma polinomial infinita de derivadas no ponto de expansão a (Maclaurin quando a = 0)

Representações de séries de potências infinitas com raio de convergência infinito (R = ∞)

Decompõe a forma de onda periódica do período 2L em uma soma infinita de componentes ortogonais senoidais harmônicos

Método de solução geral usando fator integrador I(x) = exp(∫P dx)

As raízes determinam a forma da solução: real distinto (C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x), repetido ((C₁ + C₂x)e^λx), complexo α±iβ (e^αx(C₁cos βx + C₂sin βx))

Transforma equações diferenciais lineares em equações algébricas no domínio s de frequência complexa

Três equações diferenciais parciais lineares fundamentais de segunda ordem que regem a física e a engenharia

Calcula a probabilidade posterior P(A|B) dada a probabilidade anterior P(A) e a probabilidade condicional P(B|A)

Primeiro e segundo momentos centrais medindo o centro médio e a dispersão em torno da média

Probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas independentes de Bernoulli com probabilidade de sucesso p

Modela ocorrências raras de eventos discretos em intervalo fixo de tempo/espaço com taxa média constante λ

Função de densidade de probabilidade simétrica contínua em forma de sino que rege o Teorema do Limite Central

Razão entre o deslocamento total e o intervalo de tempo total tomado

Primeira derivada temporal do vetor de coordenadas de posição em relação ao tempo

Taxa de mudança de velocidade em relação ao tempo ou posição

Relaciona a velocidade final com a velocidade inicial sob aceleração uniforme a

Calcula o deslocamento linear total sob aceleração constante

Relação cinemática independente do tempo para aceleração constante

Calcula o deslocamento durante especificamente o n-ésimo segundo de movimento

Válido para movimento sob aceleração linear constante uniforme

Altitude vertical máxima alcançada por um projétil lançado no ângulo θ

Tempo total de voo desde o lançamento até o pouso em terreno plano

Distância horizontal máxima percorrida (máximo no ângulo de lançamento θ = 45°)

Coordenadas do caminho cartesiano (x, y) demonstrando movimento parabólico puro

Velocidade do corpo A observada a partir do referencial do corpo em movimento B

Produto de massa e velocidade; conservado em sistemas isolados com força externa zero

A força externa resultante é igual à taxa instantânea de variação do momento linear

O impulso de uma força ao longo da duração Δt é igual à mudança total no momento produzido

Força resistiva autoajustável que se opõe à tendência de movimento relativo até o limite

Força resistiva constante que se opõe ao movimento de deslizamento relativo ativo (normalmente μ_k < μ_s)

Ângulo mínimo de inclinação no qual um corpo começa a deslizar para baixo sob a gravidade

Aceleração dirigida radialmente para dentro para trajetória circular de raio r

Força interna líquida necessária para manter o movimento de trajetória circular

Velocidade na qual um veículo faz uma curva com desgaste por atrito lateral zero

Limite superior de velocidade antes da derrapagem externa ocorrer em superfície inclinada com atrito

Período do bob descrevendo o círculo horizontal do ângulo do cone θ e comprimento da corda L

Velocidades limite mínimas para completar um loop vertical sem afrouxamento da corda

Produto escalar escalar do vetor força e vetor deslocamento

Área sob o gráfico Força-Deslocamento entre as posições inicial e final

O trabalho líquido realizado por todas as forças (conservativas, não conservativas, externas) é igual à mudança na energia cinética

Energia possuída por um corpo devido ao seu estado de movimento

Energia potencial armazenada em uma massa m elevada à altura vertical h em um campo uniforme g

Energia armazenada quando uma mola de constante de rigidez k é esticada/comprimida por x

As forças conservativas sempre apontam na direção da diminuição mais acentuada da energia potencial

Taxa de tempo na qual o trabalho mecânico é executado ou a energia transferida

Mede a elasticidade: e=1 (energia cinética conservada), e=0 (objetos grudados)

Velocidades pós-colisão exatas para duas massas colidindo elasticamente em uma dimensão

Energia cinética convertida em deformação térmica interna e energia acústica

Posição média da distribuição de massa para corpos sólidos discretos ou contínuos