सूत्र - Mathematics, Physics & Chemistry

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त्रिकोणमिति सूत्र सुइट

पाइथागोरस सर्वसमिकाएं, कोण योग/अंतर, दोगुने/आधे कोण, यूलर सूत्र, साइन और कोसाइन नियम।

92+ समीकरण

📊

मानक इकाई वृत्त कोण मान तालिका

डिग्री और रेडियन में सामान्य मानक कोणों के सटीक त्रिकोणमितीय अनुपात

मानक संदर्भ

डिग्री (x)	रेडियन (rad)	sin(x)	cos(x)	tan(x)	csc(x)	sec(x)	cot(x)
0°	0	0	1	0	अपरिभाषित	1	अपरिभाषित
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3	2	2√3/3	√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1	√2	√2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3	2√3/3	2	√3/3
90°	π/2	1	0	अपरिभाषित	1	अपरिभाषित	0
120°	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	2√3/3	-2	-√3/3
135°	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	√2	-√2	-1
150°	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	2	-2√3/3	-√3
180°	π	0	-1	0	अपरिभाषित	-1	अपरिभाषित
270°	3π/2	-1	0	अपरिभाषित	-1	अपरिभाषित	0
360°	2π	0	1	0	अपरिभाषित	1	अपरिभाषित

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व्युत्क्रम एवं भागफल सर्वसमिकाएं

8 सूत्र

प्राथमिक और पारस्परिक त्रिकोणमितीय अनुपात के बीच मौलिक संबंध

1

साइन पारस्परिक

sin(x) = 1csc(x)

csc(x) ≠ 0; x ≠ nπ

2

कोसेकेंट पारस्परिक

csc(x) = 1sin(x)

sin(x) ≠ 0; x ≠ nπ

3

कोसाइन पारस्परिक

cos(x) = 1sec(x)

sec(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

4

सेकेंट पारस्परिक

sec(x) = 1cos(x)

cos(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

5

स्पर्शरेखा पारस्परिक

tan(x) = 1cot(x)

cot(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

6

कोटैंजेंट पारस्परिक

cot(x) = 1tan(x)

tan(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

7

स्पर्शरेखा भागफल

tan(x) = sin(x)cos(x)

एक समकोण त्रिभुज में विपरीत और आसन्न का अनुपात

8

कोटैंजेंट कोटिएंट

cot(x) = cos(x)sin(x)

एक समकोण त्रिभुज में आसन्न से विपरीत का अनुपात

🪞

विपरीत कोण सूत्र (सम एवं विषम फलन)

6 सूत्र

कोण निषेध के तहत त्रिकोणमितीय कार्यों का समरूपता व्यवहार

1

ज्या ऋणात्मक कोण (विषम फलन)

sin(-x) = -sin(x)

मूल के संबंध में सममित

2

कोज्या ऋणात्मक कोण (सम फलन)

cos(-x) = cos(x)

y-अक्ष के संबंध में सममित

3

स्पर्शरेखा ऋणात्मक कोण (विषम फलन)

tan(-x) = -tan(x)

मूल के चारों ओर अजीब समरूपता

4

कोटैंजेंट ऋणात्मक कोण (विषम फलन)

cot(-x) = -cot(x)

मूल के चारों ओर अजीब समरूपता

5

छेदक ऋणात्मक कोण (सम फलन)

sec(-x) = sec(x)

कोसाइन से सम समरूपता विरासत में मिलती है

6

सहसंयोजक ऋणात्मक कोण (विषम फलन)

csc(-x) = -csc(x)

साइन से विषम समरूपता प्राप्त होती है

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सहफलन सूत्र (पूरक कोण)

6 सूत्र

पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय फलनों को जोड़ने वाली पहचान (π/2 - x या 90° - x)

1

साइन सहकार्य

sin(π2- x) = cos(x)

इसके अलावा: sin(90° - x) = cos(x)

2

कोसाइन सहकार्य

cos(π2- x) = sin(x)

इसके अलावा: cos(90° - x) = sin(x)

3

स्पर्शरेखा सहकार्य

tan(π2- x) = cot(x)

इसके अलावा: tan(90° - x) = cot(x)

4

कोटैंजेंट सहकार्य

cot(π2- x) = tan(x)

इसके अलावा: cot(90° - x) = tan(x)

5

सेकेंट सहकार्य

sec(π2- x) = csc(x)

इसके अलावा: sec(90° - x) = csc(x)

6

कोसेकैंट सहकार्य

csc(π2- x) = sec(x)

इसके अलावा: csc(90° - x) = sec(x)

🔺

पाइथागोरस सर्वसमिकाएं एवं बीजीय रूप

9 सूत्र

इकाई वृत्त (x² + y² = 1) और समकोण त्रिकोणमिति से सीधे व्युत्पन्न

1

प्राथमिक पायथागॉरियन पहचान

sin²(x) + cos²(x) = 1

मौलिक पहचान सभी वास्तविक कोणों x के लिए मान्य है

2

कोज्या के संदर्भ में ज्या

sin(x) = ±√1 - cos²(x)

x के चतुर्थांश के आधार पर चिह्न चुना गया

3

ज्या के संदर्भ में कोज्या

cos(x) = ±√1 - sin²(x)

x के चतुर्थांश के आधार पर चिह्न चुना गया

4

स्पर्शरेखा-सेकेंट पायथागॉरियन पहचान

1 + tan²(x) = sec²(x)

sin²(x) + cos²(x) = 1 को cos²(x) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है

5

छेदक-स्पर्शरेखा अंतर प्रपत्र

sec²(x) - tan²(x) = 1

मान्य जहां cos(x) ≠ 0

6

कोटैंजेंट-कोसेकेंट पायथागॉरियन पहचान

1 + cot²(x) = csc²(x)

sin²(x) + cos²(x) = 1 को sin²(x) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है

7

कोसेकैंट-कॉटैंजेंट अंतर प्रपत्र

csc²(x) - cot²(x) = 1

मान्य जहां sin(x) ≠ 0

8

यूनिट सर्कल रेडिकल सामान्यीकरण

√sin²(x) + cos²(x) = 1

इकाई वृत्त पर ज्यामितीय कर्ण की लंबाई

9

उत्पाद एकता पहचान

sin(x)·csc(x) = 1, cos(x)·sec(x) = 1, tan(x)·cot(x) = 1

पारस्परिक उत्पाद एकता के बराबर होते हैं

➕

कोण योग एवं अंतर (संयुक्त कोण सूत्र)

8 सूत्र

दो कोणों के योग और अंतर के त्रिकोणमितीय अनुपात के सूत्र (ए ± बी)

1

कोण योग की ज्या

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

ज्या जोड़ के लिए मुख्य यौगिक कोण सूत्र

2

कोण अंतर की ज्या

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

ज्या अंतर के लिए मुख्य यौगिक कोण सूत्र

3

कोण योग की कोज्या

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

कोसाइन योग विस्तार में ऋण चिह्न पर ध्यान दें

4

कोण अंतर की कोज्या

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

कोज्या अंतर विस्तार में धन चिह्न पर ध्यान दें

5

कोण योग का स्पर्शरेखा

tan(A + B) = tan(A) + tan(B)1 - tan(A)tan(B)

tan(A)tan(B) ≠ 1 की आवश्यकता है

6

कोण अंतर की स्पर्शज्या

tan(A - B) = tan(A) - tan(B)1 + tan(A)tan(B)

tan(A)tan(B) ≠ -1 की आवश्यकता है

7

कोण योग का कोटैंजेंट

cot(A + B) = cot(A)cot(B) - 1cot(B) + cot(A)

कोटैंजेंट योग के लिए यौगिक सूत्र

8

कोण अंतर का कोटैंजेंट

cot(A - B) = cot(A)cot(B) + 1cot(B) - cot(A)

कोटैंजेंट अंतर के लिए यौगिक सूत्र

✖️2️⃣

द्विगुण कोण सूत्र (2x)

7 सूत्र

दोहरे कोण (2x) के कार्यों को एकल कोण (x) के रूप में व्यक्त करना

1

साइन डबल कोण

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

तर्कसंगत स्पर्शरेखा पैरामीट्रिजेशन फॉर्म शामिल है

2

कोज्या दोहरा कोण (मानक अंतर)

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

cos(x + x) का प्रत्यक्ष परिणाम

3

कोज्या दोहरा कोण (केवल कोज्या)

cos(2x) = 2 cos²(x) - 1

एकीकरण और बिजली कटौती के लिए महत्वपूर्ण

4

कोज्या दोहरा कोण (केवल ज्या)

cos(2x) = 1 - 2 sin²(x)

एकीकरण और अर्ध-कोण व्युत्पत्ति के लिए महत्वपूर्ण

5

कोज्या दोहरा कोण (स्पर्शरेखा पैरामीट्रिजेशन)

cos(2x) = 1 - tan²(x)1 + tan²(x)

कोसाइन के लिए वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन संबंध

6

स्पर्शरेखा दोहरा कोण

tan(2x) = 2 tan(x)1 - tan²(x)

tan²(x) ≠ 1 की आवश्यकता है

7

कोटैंजेंट डबल एंगल

cot(2x) = cot²(x) - 12 cot(x)

cot(x) ≠ 0 की आवश्यकता है

3️⃣

त्रिगुण कोण सूत्र (3x)

4 सूत्र

3x के त्रिकोणमितीय फलन एकल-कोण बहुपद रूपों में व्यक्त किए जाते हैं

1

साइन ट्रिपल कोण

sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin³(x)

घन समीकरणों और बीजगणित को हल करने के लिए उपयोगी

2

कोज्या त्रिकोण

cos(3x) = 4 cos³(x) - 3 cos(x)

प्रत्यक्ष घन चेबीशेव बहुपद T₃(x) = 4x³ - 3x

3

स्पर्शरेखा त्रिकोण

tan(3x) = 3 tan(x) - tan³(x)1 - 3 tan²(x)

3tan²(x) ≠ 1 की आवश्यकता है

4

कोटैंजेंट ट्रिपल एंगल

cot(3x) = 3 cot(x) - cot³(x)1 - 3 cot²(x)

3cot²(x) ≠ 1 की आवश्यकता है

½

अर्ध कोण सूत्र (x/2)

6 सूत्र

x/2 के चतुर्थांश द्वारा निर्धारित चिह्न के साथ आधे कोणों के लिए सटीक सूत्र

1

ज्या आधा कोण

sin(x2) = ±√1 - cos(x)2

± चिह्न x/2 वाले चतुर्थांश के आधार पर चुना गया

2

कोज्या आधा कोण

cos(x2) = ±√1 + cos(x)2

± चिह्न x/2 वाले चतुर्थांश के आधार पर चुना गया

3

स्पर्शरेखा आधा कोण (रेडिकल फॉर्म)

tan(x2) = ±√1 - cos(x)1 + cos(x)

स्पर्शरेखा के लिए वर्गमूल अर्ध-कोण रूप

4

स्पर्शरेखा अर्धकोण (परिमेय रूप 1)

tan(x2) = 1 - cos(x)sin(x)

कोई संकेत अस्पष्टता नहीं; सभी x ≠ nπ के लिए सटीक

5

स्पर्शरेखा अर्धकोण (परिमेय रूप 2/अंतर)

tan(x2) = sin(x)1 + cos(x) = csc(x) - cot(x)

अंतर के समतुल्य csc(x) - cot(x)

6

कोटैंजेंट आधा कोण

cot(x2) = 1 + cos(x)sin(x) = csc(x) + cot(x)

योग csc(x) + cot(x) के बराबर

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घात न्यूनीकरण सूत्र (वर्ग एवं उच्च घात)

7 सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों को x के प्रथम-डिग्री गुणकों में परिवर्तित करता है (कैलकुलस एकीकरण के लिए आवश्यक)

1

साइन स्क्वायर्ड पावर रिडक्शन

sin²(x) = 1 - cos(2x)2

मौलिक कलन प्रतिअवकलन कमी: ∫sin²(x)dx

2

कोसाइन स्क्वायर पावर रिडक्शन

cos²(x) = 1 + cos(2x)2

मौलिक कलन प्रतिअवकलन कमी: ∫cos²(x)dx

3

टेंगेंट स्क्वायर पावर रिडक्शन

tan²(x) = 1 - cos(2x)1 + cos(2x)

tan²(x) के लिए परिमेय कोज्या भिन्न रूप

4

साइन क्यूब्ड पावर रिडक्शन

sin³(x) = 3 sin(x) - sin(3x)4

सीधे sin(3x) त्रिकोण पहचान से व्युत्पन्न

5

कोसाइन क्यूब्ड पावर रिडक्शन

cos³(x) = 3 cos(x) + cos(3x)4

सीधे cos(3x) त्रिकोण पहचान से व्युत्पन्न

6

साइन फोर्थ पावर रिडक्शन

sin⁴(x) = 3 - 4 cos(2x) + cos(4x)8

फूरियर श्रृंखला और उच्च क्रम इंटीग्रल्स के लिए उपयोग किया जाता है

7

कोसाइन चौथी शक्ति में कमी

cos⁴(x) = 3 + 4 cos(2x) + cos(4x)8

फूरियर श्रृंखला और उच्च क्रम इंटीग्रल्स के लिए उपयोग किया जाता है

✖️➡️➕

गुणनफल-से-योग सूत्र

4 सूत्र

साइन और कोसाइन के उत्पादों को योग और अंतर पदों में परिवर्तित करता है (तरंग यांत्रिकी और अभिन्न के लिए महत्वपूर्ण)

1

साइन × साइन उत्पाद

sin(A) sin(B) = ½ [cos(A - B) - cos(A + B)]

तरंग हस्तक्षेप उत्पादों को योगात्मक घटकों में परिवर्तित करता है

2

कोसाइन × कोसाइन उत्पाद

cos(A) cos(B) = ½ [cos(A - B) + cos(A + B)]

कोसाइन उत्पादों को योगात्मक घटकों में परिवर्तित करता है

3

साइन × कोसाइन उत्पाद

sin(A) cos(B) = ½ [sin(A + B) + sin(A - B)]

मानक सिग्नल मॉड्यूलेशन उत्पाद सूत्र

4

कोसाइन × साइन उत्पाद

cos(A) sin(B) = ½ [sin(A + B) - sin(A - B)]

पूरक उत्पाद अपघटन

➕➡️✖️

योग-से-गुणनफल सूत्र

6 सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों के योग और अंतर को गुणक उत्पादों में परिवर्तित करता है

1

ज्या + ज्या योग

sin(A) + sin(B) = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)

ध्वनिक तरंग ध्वनिकी में बीट आवृत्ति घटना की व्याख्या करता है

2

ज्या - ज्या अंतर

sin(A) - sin(B) = 2 sin(A - B2) cos(A + B2)

विभेदक तरंग विश्लेषण प्रपत्र

3

कोसाइन + कोसाइन योग

cos(A) + cos(B) = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)

यहां तक कि योग-से-उत्पाद रूपांतरण भी

4

कोसाइन - कोसाइन अंतर

cos(A) - cos(B) = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)

प्रमुख नकारात्मक चिह्न पर ध्यान दें (या विपरीत क्रम बी - ए)

5

स्पर्शरेखा + स्पर्शरेखा योग

tan(A) + tan(B) = sin(A + B)cos(A) cos(B)

संयुक्त स्पर्शरेखा ढलानों की गणना करता है

6

स्पर्शरेखा - स्पर्शरेखा अंतर

tan(A) - tan(B) = sin(A - B)cos(A) cos(B)

स्पर्शरेखा ढलानों के अंतर की गणना करता है

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त्रिभुज नियम एवं ज्यामितीय संबंध

7 सूत्र

सामान्य तिरछे त्रिभुजों को हल करने के नियम (साइन, कोसाइन, टैंगेंट और मोलवीड के सूत्र का नियम)

1

ज्या का नियम

asin(A) = bsin(B) = csin(C) = 2R

R परिचालित वृत्त की त्रिज्या है (परित्रिज्या)

a, b, c: पार्श्व की लंबाई A, B, C: विपरीत कोण R: सर्कमरेडियस

2

कोसाइन का नियम (पक्ष ए / कोण ए)

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

एसएएस (साइड-एंगल-साइड) या एसएसएस (साइड-साइड-साइड) को हल करता है

3

कोसाइन का नियम (साइड बी और साइड सी)

b² = a² + c² - 2ac cos(B), c² = a² + b² - 2ab cos(C)

पक्षों बी और सी के लिए सममित संस्करण

4

स्पर्शरेखा का नियम

a - ba + b = tan[½(A - B)]tan[½(A + B)]

नेविगेशन में लॉगरिदमिक गणना के लिए ऐतिहासिक रूप से उपयोग किया जाता है

5

मोलवेइड का पहला फॉर्मूला

a + bc = cos[½(A - B)]sin(½C)

त्रिकोण सॉल्वर की स्थिरता की जाँच के लिए उत्कृष्ट सूत्र

6

मोलवीड का दूसरा सूत्र

a - bc = sin[½(A - B)]cos(½C)

पूरक मोलवीड संगति संबंध

7

त्रिकोणमितीय त्रिभुज क्षेत्र (एसएएस)

Area = ½ a b sin(C) = ½ b c sin(A) = ½ a c sin(B)

दो पक्षों से क्षेत्रफल और सम्मिलित कोण की गणना करता है

⭕

चाप लंबाई, त्रिज्यखंड एवं वृत्तीय गति

3 सूत्र

रेडियन में कोण को घुमावदार दूरी, सेक्टर क्षेत्र और कोणीय वेग से जोड़ने वाले संबंध

1

चाप लंबाई सूत्र

S = r x

कोण x को रेडियन में व्यक्त किया जाना चाहिए (x = x° × π / 180°)

S: वक्राकार लंबाई r: वृत्त त्रिज्या x: केंद्रीय कोण (रेडियन)

2

वृत्ताकार क्षेत्र क्षेत्र

Area = ½ r² x = ½ r S

x रेडियन में; ½ × त्रिज्या × चाप लंबाई के बराबर है

3

रैखिक गति और कोणीय वेग

v = r ω, ω = xt = 2π f

रैखिक स्पर्शरेखा गति v को कोणीय वेग ω और आवृत्ति f से संबंधित करता है

🌐

यूलर सूत्र, डि मॉइवर प्रमेय एवं सम्मिश्र त्रिकोणमिति

5 सूत्र

घातीय जटिल विश्लेषण और ध्रुवीय त्रिकोणमिति को जोड़ने वाला पुल

1

यूलर का सूत्र

e^(ix) = cos(x) + i sin(x) = cis(x)

घातीय फ़ंक्शन को सीधे साइन और कोसाइन से जोड़ता है; x=π के लिए e^(iπ) + 1 = 0 देता है

2

डी मोइवर का फॉर्मूला

(r cis x)ⁿ = rⁿ cis(nx) = rⁿ [cos(nx) + i sin(nx)]

सम्मिश्र संख्याओं की घातों और मूलों की तुरंत गणना करता है

3

ध्रुवीय गुणन एवं विभाजन

(r₁ cis x)(r₂ cis φ) = r₁r₂ cis(x + φ),r₁ cis xr₂ cis φ = (r₁r₂) cis(x - φ)

परिमाण गुणा/विभाजित होते हैं; कोण तर्क जोड़ें/घटाएँ

4

कोसाइन की घातांकीय परिभाषा

cos(x) = e^(ix) + e^(-ix)2

जटिल घातांक का उपयोग करके कोज्या को बीजगणितीय रूप से व्यक्त करता है

5

साइन की घातांकीय परिभाषा

sin(x) = e^(ix) - e^(-ix)2i

जटिल घातांक का उपयोग करके साइन को बीजगणितीय रूप से व्यक्त करें

↩️

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं

6 सूत्र

गुण, प्रमुख मूल्य शाखा पहचान, और व्युत्क्रम परिपत्र कार्यों के लिए योग सूत्र

1

व्युत्क्रम पूरक पहचान

sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x) = π2, tan⁻¹(x) + cot⁻¹(x) = π2, sec⁻¹(x) + csc⁻¹(x) = π2

संबंधित डोमेन पर मान्य: x ∈ [-1, 1], x ∈ ℝ, |x| ≥ 1

2

व्युत्क्रम स्पर्शज्या योग सूत्र

tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x + y1 - xy)

यदि xy > 1 और x,y > 0, तो परिणाम में π जोड़ें

3

व्युत्क्रम स्पर्शरेखा अंतर सूत्र

tan⁻¹(x) - tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x - y1 + xy)

मानक व्युत्क्रम स्पर्शरेखा घटाव सूत्र

4

दोहरा व्युत्क्रम स्पर्शरेखा एकाधिक निरूपण

2 tan⁻¹(x) = sin⁻¹(2x1 + x²) = cos⁻¹(1 - x²1 + x²) = tan⁻¹(2x1 - x²)

कैलकुलस वीयरस्ट्रैस टी-प्रतिस्थापन के लिए महत्वपूर्ण (t = tan(x/2))

5

नकारात्मक तर्क व्युत्क्रम पहचान

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹(x), tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹(x), cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹(x)

ध्यान दें कि cos⁻¹(-x) π - cos⁻¹(x) उत्पन्न करता है

6

व्युत्क्रम पारस्परिक कार्य संबंध

csc⁻¹(x) = sin⁻¹(1x), sec⁻¹(x) = cos⁻¹(1x), cot⁻¹(x) = tan⁻¹(1x) [x > 0]

व्युत्क्रम कार्यों के लिए पारस्परिक तर्क मानचित्रण

⚡

अवकलन नियम और अवकलज

घात नियम, गुणनफल, भागफल और श्रृंखला नियम, घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के अवकलज।

44+ समीकरण

⚡

मूलभूत अवकलन नियम एवं संक्रियाएं

9 सूत्र

स्थिरांक, घात और बीजगणितीय संयोजनों के लिए मुख्य परिचालन विभेदन नियम

1

प्रथम सिद्धांतों द्वारा व्युत्पन्न (सीमा परिभाषा)

f'(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x))h

परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में व्युत्पन्न की मौलिक परिभाषा

2

निरंतर नियम

ddx [c] = 0

किसी भी स्थिरांक c का अवकलज शून्य होता है

3

शक्ति नियम

ddx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

सभी वास्तविक घातांक n (n ∈ ℝ) के लिए मान्य

4

लगातार एकाधिक नियम

ddx [c·f(x)] = c·f'(x)

विभेदन से स्थिरांक कारक बाहर

5

योग और अंतर नियम

ddx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

विभेदन एक रैखिक संचालिका है

6

उत्पाद नियम (लीबनिज नियम)

ddx [f(x)·g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

पहले भेद करो, दूसरे को पकड़ो, साथ ही पहले को पकड़ो, दूसरे को अलग करो

7

भागफल नियम

ddx [f(x)g(x)] = g(x)f'(x) - f(x)g'(x)[g(x)]²

g(x) ≠ 0 की आवश्यकता है

8

श्रृंखला नियम (समग्र कार्य)

ddx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

आंतरिक पर मूल्यांकन किए गए बाहरी फ़ंक्शन को अलग करें, आंतरिक के व्युत्पन्न से गुणा करें

9

पारस्परिक कार्य नियम

ddx [1f(x)] = -f'(x)[f(x)]²

पारस्परिक कार्यों के लिए सीधा शॉर्टकट

📈

घातांकीय एवं लघुगणकीय अवकलज

7 सूत्र

प्राकृतिक, सामान्य आधार घातांक और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न

1

प्राकृतिक घातीय व्युत्पन्न

ddx [eˣ] = eˣ

अद्वितीय गैर-शून्य फ़ंक्शन अपने स्वयं के व्युत्पन्न के बराबर है

2

समग्र प्राकृतिक घातीय व्युत्पन्न

ddx [e^(f(x))] = e^(f(x))·f'(x)

श्रृंखला नियम प्राकृतिक घातांक पर लागू होता है

3

सामान्य आधार घातीय व्युत्पन्न

ddx [aˣ] = aˣ·ln(a)

ए > 0, ए ≠ 1 के लिए मान्य

4

प्राकृतिक लघुगणक व्युत्पन्न

ddx [ln(x)] = 1x

निरपेक्ष मानों के लिए: d/dx [ln|x|] = 1 / x (x ≠ 0)

5

समग्र प्राकृतिक लघुगणक व्युत्पन्न

ddx [ln(f(x))] = f'(x)f(x)

लघुगणकीय व्युत्पन्न/परिवर्तन की सापेक्ष दर

6

सामान्य आधार लघुगणक व्युत्पन्न

ddx [log_a(x)] = 1x·ln(a)

आधार विभेदन सूत्र का परिवर्तन

7

चर आधार और चर घातांक (xˣ)

ddx [xˣ] = xˣ·(1 + ln(x))

लघुगणकीय विभेदन का उपयोग करके व्युत्पन्न y = xˣ ⇒ ln y = x ln x

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त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज

7 सूत्र

सभी छह मानक त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न (sin, cos, tan, cot, sec, csc)

1

साइन का व्युत्पन्न

ddx [sin(x)] = cos(x)

ज्या के परिवर्तन की दर कोज्या है

2

कोसाइन का व्युत्पन्न

ddx [cos(x)] = -sin(x)

"सह-" फ़ंक्शन के लिए नकारात्मक चिह्न पर ध्यान दें

3

स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न

ddx [tan(x)] = sec²(x)

1 + tan²(x) के भी बराबर

4

कोटैंजेंट का व्युत्पन्न

ddx [cot(x)] = -csc²(x)

इसके अलावा -(1 + cot²(x)) के बराबर

5

सेकेंट की व्युत्पत्ति

ddx [sec(x)] = sec(x)·tan(x)

छेदक और स्पर्शरेखा का गुणनफल

6

कोसेकैंट का व्युत्पन्न

ddx [csc(x)] = -csc(x)·cot(x)

ऋणात्मक चिह्न के साथ सहसंयोजक और कोटैंजेंट का गुणनफल

7

समग्र त्रिकोणमितीय श्रृंखला प्रपत्र

ddx [sin(f(x))] = cos(f(x))·f'(x), ddx [cos(f(x))] = -sin(f(x))·f'(x)

मानक सामान्यीकृत त्रिकोणमितीय श्रृंखला नियम

↩️

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज

6 सूत्र

व्युत्क्रम ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट, सेकेंट और कोसेकेंट के व्युत्पन्न

1

व्युत्क्रम ज्या का व्युत्पन्न

ddx [sin⁻¹(x)] = 1√1 - x²

डोमेन सख्ती से -1 और 1 के बीच है

2

व्युत्क्रम कोज्या का व्युत्पन्न

ddx [cos⁻¹(x)] = -1√1 - x²

व्युत्क्रम ज्या व्युत्पन्न का सटीक नकारात्मक

3

व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न

ddx [tan⁻¹(x)] = 11 + x²

विलक्षणता के बिना सभी वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य

4

व्युत्क्रम कोटैंजेंट का व्युत्पन्न

ddx [cot⁻¹(x)] = -11 + x²

व्युत्क्रम स्पर्शरेखा व्युत्पन्न का सटीक नकारात्मक

5

व्युत्क्रम सेकेंट का व्युत्पन्न

ddx [sec⁻¹(x)] = 1|x|·√x² - 1

|x| की आवश्यकता है > 1

6

व्युत्क्रम सहसंयोजक का व्युत्पन्न

ddx [csc⁻¹(x)] = -1|x|·√x² - 1

व्युत्क्रम सेकेंड व्युत्पन्न का सटीक नकारात्मक

〰️

अतिपरवलयिक एवं प्रतिलोम अतिपरवलयिक अवकलज

9 सूत्र

सिंह, कोष, तन्ह की व्युत्पत्तियाँ और उनके संबंधित व्युत्क्रम कार्य

1

हाइपरबोलिक साइन का व्युत्पन्न (सिन्ह x)

ddx [sinh(x)] = cosh(x)

ध्यान दें कि कोई नकारात्मक चिह्न नहीं है (नियमित कोसाइन के विपरीत)

2

हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्पन्न (cosh x)

ddx [cosh(x)] = sinh(x)

परिवर्तन की सकारात्मक दर

3

अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न (tanh x)

ddx [tanh(x)] = sech²(x)

तंत्रिका नेटवर्क सक्रियण बैकप्रॉपैगेशन के लिए महत्वपूर्ण

4

हाइपरबोलिक कोटैंजेंट (coth x) का व्युत्पन्न

ddx [coth(x)] = -csch²(x)

ऋणात्मक अतिपरवलयिक सहसंयोजक वर्ग

5

हाइपरबोलिक सेकेंट का व्युत्पन्न (सेच x)

ddx [sech(x)] = -sech(x)·tanh(x)

नकारात्मक अतिशयोक्तिपूर्ण उत्पाद

6

हाइपरबोलिक कोसेकेंट का व्युत्पन्न (csch x)

ddx [csch(x)] = -csch(x)·coth(x)

नकारात्मक अतिशयोक्तिपूर्ण उत्पाद

7

व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या का व्युत्पन्न

ddx [arsinh(x)] = 1√x² + 1

सभी वास्तविक एक्स के लिए मान्य

8

व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन का व्युत्पन्न

ddx [arcosh(x)] = 1√x² - 1

x > 1 के लिए मान्य

9

व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न

ddx [artanh(x)] = 11 - x²

|x| के लिए मान्य <1

🔬

उन्नत अवकलन विधियाँ एवं प्रमेय

6 सूत्र

निहित विभेदन, पैरामीट्रिक वक्र, एल'हॉपिटल का नियम और टेलर विस्तार

1

पैरामीट्रिक प्रथम व्युत्पन्न (dy/dx)

dydx = dydtdxdt

पैरामीट्रिक समीकरण x(t), y(t) से वक्र स्पर्शरेखा ढलान की गणना करता है

2

पैरामीट्रिक दूसरा व्युत्पन्न (d²y/dx²)

d²ydx² = [ddt (dydx)]dxdt

पैरामीट्रिक वक्रों की अवतलता की गणना करता है

3

एल'हॉपिटल का नियम (0/0 या ∞/∞ सीमाएं)

lim[x→c] f(x)g(x) = lim[x→c] f'(x)g'(x)

अंश और हर को स्वतंत्र रूप से विभेदित करके अनिश्चित सीमाओं का समाधान करता है

4

माध्य मान प्रमेय (एमवीटी)

f'(c) = f(b) - f(a)b - a

एक ऐसे बिंदु की गारंटी देता है जहां परिवर्तन की तात्कालिक दर परिवर्तन की औसत दर के बराबर होती है

5

x = a के आसपास टेलर श्रृंखला का विस्तार

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(a)n!)·(x - a)ⁿ

सुचारु अवकलनीय फलनों का बहुपद सन्निकटन

6

मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार (ए = 0)

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(0)n!)·xⁿ

मूल बिंदु पर केन्द्रित टेलर श्रृंखला (x = 0)

∫

समाकलन और मानक प्रतिअवकलज

मानक परीक्षा-ग्रेड प्रतिअवकलज, घातांकीय, त्रिकोणमितीय और खंडशः समाकलन विधियाँ।

54+ समीकरण

∫

मूलभूत समाकलन नियम एवं घात नियम

6 सूत्र

स्थिरांक, बीजगणितीय घात और रैखिक संयोजनों के लिए प्राथमिक प्रतिअवकलन नियम

1

निरंतर अभिन्न

∫ k dx = k·x + C

एक स्थिरांक k का प्रतिअवकलज k·x + C है

2

एकीकरण का शक्ति नियम

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

n = -1 को छोड़कर सभी वास्तविक शक्तियों n के लिए मान्य

3

पारस्परिक फ़ंक्शन इंटीग्रल (1/x)

∫ (1x) dx = ln|x| + C

घात नियम में n = -1 के लिए महत्वपूर्ण विशेष मामला

4

एकीकरण का रैखिकता नियम

∫ [a·f(x) ± b·g(x)] dx = a ∫ f(x) dx ± b ∫ g(x) dx

एकीकरण एक रैखिक कार्यात्मक ऑपरेशन है

5

रैखिक समग्र शक्ति नियम

∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

रैखिक द्विपद घातों के लिए शॉर्टकट

6

रैखिक समग्र पारस्परिक अभिन्न

∫ (1ax + b) dx = (1a)·ln|ax + b| + C

मानक रैखिक विभाजक एकीकरण सूत्र

📈

घातांकीय एवं लघुगणकीय समाकलन

6 सूत्र

प्राकृतिक eˣ, सामान्य आधार aˣ, और लघुगणकीय पदों से युक्त प्रतिअवकलन

1

प्राकृतिक घातांकीय समाकलन

∫ eˣ dx = eˣ + C

फ़ंक्शन स्थिरांक C तक अपने स्वयं के प्रतिअवकलन के बराबर होता है

2

स्केल्ड एक्सपोनेंशियल इंटीग्रल (eᵃˣ)

∫ e^(ax) dx = (1a)·e^(ax) + C

मानक स्केल्ड घातीय एकीकरण नियम

3

जनरल बेस एक्सपोनेंशियल इंटीग्रल (aˣ)

∫ aˣ dx = aˣln(a)+ C

ln(a) से विभाजित होता है क्योंकि व्युत्पन्न को ln(a) से गुणा किया जाता है

4

प्राकृतिक लघुगणक अभिन्न

∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x + C

यू = एलएन एक्स, डीवी = डीएक्स के साथ भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके व्युत्पन्न

5

सामान्य आधार लघुगणक इंटीग्रल

∫ log_a(x) dx = x·ln(x) - xln(a)+ C

लघुगणक के लिए आधार एकीकरण का परिवर्तन

6

उत्पाद इंटीग्रल (x · eˣ)

∫ x·eˣ dx = eˣ(x - 1) + C

भागों के अनुप्रयोग द्वारा क्लासिक एकीकरण

📐

मूलभूत त्रिकोणमितीय समाकलन

6 सूत्र

मानक त्रिकोणमितीय व्युत्पन्नों के अनुरूप प्रत्यक्ष प्रतिअवकलन

1

साइन का अभिन्न अंग

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

ज्या के प्रतिअवकलन में ऋणात्मक चिह्न पर ध्यान दें

2

कोसाइन का अभिन्न अंग

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

प्रत्यक्ष मानक त्रिकोणमितीय प्रतिअवकलन

3

सेकेंट स्क्वॉयर का इंटीग्रल

∫ sec²(x) dx = tan(x) + C

क्योंकि स्पर्श रेखा का व्युत्पन्न छेदक वर्ग होता है

4

कोसेकेंट चुकता का अभिन्न अंग

∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C

क्योंकि कोटैंजेंट का व्युत्पन्न -csc²(x) है

5

सेकेंट × स्पर्शरेखा का समाकलन

∫ sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C

sec(x) का प्रत्यक्ष व्युत्पन्न उत्क्रमण

6

Cosecant × Cotangent का समाकलन

∫ csc(x) cot(x) dx = -csc(x) + C

Csc(x) का प्रत्यक्ष व्युत्पन्न उत्क्रमण

⚡

विस्तारित एवं वर्ग त्रिकोणमितीय समाकलन

8 सूत्र

tan, cot, sec, csc, और वर्ग त्रिकोणमितीय पदों के समाकलन

1

स्पर्शरेखा का अभिन्न अंग

∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C = -ln|cos(x)| + C

प्रतिस्थापन द्वारा मूल्यांकन किया गया u = cos(x)

2

कोटैंजेंट का अभिन्न अंग

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C = -ln|csc(x)| + C

प्रतिस्थापन द्वारा मूल्यांकन किया गया u = sin(x)

3

सेकेंट का अभिन्न अंग

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

प्रसिद्ध कैलकुलस इंटीग्रल को (सेकंड x + टैन x)/(सेकंड x + टैन x) से गुणा किया जाता है

4

कोसेकेंट का अभिन्न अंग

∫ csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C = ln|tan(x2)| + C

मानक लघुगणक सहसंयोजक समाकलन

5

ज्या वर्ग का समाकलन (sin² x)

∫ sin²(x) dx = (x2) - (sin(2x)4) + C

बिजली कटौती पहचान sin²(x) = (1 - cos 2x)/2 का उपयोग करके मूल्यांकन किया गया

6

कोज्या वर्ग का समाकलन (cos² x)

∫ cos²(x) dx = (x2) + (sin(2x)4) + C

बिजली कटौती पहचान cos²(x) = (1 + cos 2x)/2 का उपयोग करके मूल्यांकन किया गया

7

स्पर्शरेखा वर्ग का समाकलन (tan² x)

∫ tan²(x) dx = tan(x) - x + C

पहचान tan²(x) = sec²(x) - 1 का उपयोग करके मूल्यांकन किया गया

8

कोटैंजेंट वर्ग का समाकलन (cot² x)

∫ cot²(x) dx = -cot(x) - x + C

पहचान cot²(x) = csc²(x) - 1 का उपयोग करके मूल्यांकन किया गया

↩️

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन देने वाले समाकलन

5 सूत्र

मानक बीजगणितीय भिन्न समाकलन जिनके प्रतिअवकलज व्युत्क्रम त्रिकोणमिति फलन हैं

1

इंटीग्रल यील्डिंग व्युत्क्रम ज्या

∫ (1√a² - x²) dx = sin⁻¹(xa) + C

व्युत्क्रम ज्या के लिए बाहर संख्या 1/a गुणनखंड पर ध्यान दें

2

इंटीग्रल यील्डिंग व्युत्क्रम स्पर्शरेखा

∫ (1a² + x²) dx = (1a)·tan⁻¹(xa) + C

व्युत्क्रम ज्या के विपरीत 1/a गुणांक आवश्यक है

3

इंटीग्रल यील्डिंग इनवर्स सेकेंट

∫ (1x·√x² - a²) dx = (1a)·sec⁻¹(|x|a) + C

इसमें 1/a गुणांक और निरपेक्ष मान |x| शामिल है

4

1 / (x² - a²) का समाकलन

∫ (1x² - a²) dx = (12a)·ln|(x - a)x + a| + C

आंशिक अंश अपघटन के माध्यम से प्राप्त 1/(x²-a²)

5

1 / (a² - x²) का समाकलन

∫ (1a² - x²) dx = (12a)·ln|(a + x)a - x| + C

आंशिक अंश अपघटन के माध्यम से प्राप्त 1/(a²-x²)

√

विशिष्ट करणी एवं वर्गमूल समाकलन

4 सूत्र

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के माध्यम से हल किए गए मानक रेडिकल इंटीग्रल (x = a syn θ, a tan θ, a sec θ)

1

√(a² - x²) का समाकलन

∫ √a² - x² dx = (x2)√a² - x² + (a²2)sin⁻¹(xa) + C

वृत्ताकार और अण्डाकार क्षेत्र क्षेत्रों की गणना के लिए उपयोग किया जाता है

2

√(x² + a²) का समाकलन

∫ √x² + a² dx = (x2)√x² + a² + (a²2)ln|x + √x² + a²| + C

प्रतिस्थापन x = a tan θ या अतिशयोक्तिपूर्ण x = a cin u का उपयोग करके हल किया गया

3

√(x² - a²) का समाकलन

∫ √x² - a² dx = (x2)√x² - a² - (a²2)ln|x + √x² - a²| + C

प्रतिस्थापन x = a sec θ या अतिशयोक्तिपूर्ण x = a cosh u का उपयोग करके हल किया गया

4

1 / √(x² ± a²) का समाकलन

∫ (1√x² ± a²) dx = ln|x + √x² ± a²| + C

इसके अलावा क्रमशः आर्सिंह(x/a) और आर्कोश(x/a) के बराबर

〰️

अतिपरवलयिक फलन समाकलन

6 सूत्र

सिंह, कोश, तन्ह और अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोणमितीय रूपों के लिए प्रतिअवकलज

1

हाइपरबोलिक साइन का इंटीग्रल (सिन्ह x)

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

धनात्मक कोष(x) + C (कोई ऋणात्मक चिन्ह नहीं)

2

हाइपरबोलिक कोसाइन का अभिन्न अंग (cosh x)

∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

प्रत्यक्ष अतिपरवलयिक प्रतिअवकलन

3

अतिपरवलयिक स्पर्शज्या का समाकलन (tanh x)

∫ tanh(x) dx = ln(cosh x) + C

चूँकि सभी वास्तविक x के लिए cosh x > 0 है, इसलिए किसी निरपेक्ष मान की आवश्यकता नहीं है

4

अतिपरवलयिक सेकेंट वर्ग का समाकलन (sech² x)

∫ sech²(x) dx = tanh(x) + C

प्रत्यक्ष प्रतिअवकलन उपज tanh(x)

5

अतिशयोक्तिपूर्ण सहसंयोजक वर्ग का समाकलन (csch² x)

∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C

नकारात्मक अतिपरवलयिक कोटैंजेंट

6

Sech(x) का अभिन्न अंग · tanh(x)

∫ sech(x) tanh(x) dx = -sech(x) + C

हाइपरबोलिक सेकेंट-स्पर्शरेखा उत्पाद का प्रतिव्युत्पन्न

🛠️

समाकलन विधियाँ एवं तकनीकें

4 सूत्र

सामान्य विश्लेषणात्मक एकीकरण विधियाँ: भाग, प्रतिस्थापन और आंशिक भिन्न

1

पार्ट्स फॉर्मूला द्वारा एकीकरण

∫ u dv = u·v - ∫ v du

LIATE नियम (लघुगणक, व्युत्क्रम त्रिकोणमिति, बीजगणितीय, त्रिकोणमिति, घातांक) का उपयोग करके आपको चुनें

2

यू-प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण (चर का परिवर्तन)

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du

विभेदन के श्रृंखला नियम को उलट देता है

3

वीयरस्ट्रैस अर्ध-कोण प्रतिस्थापन (t = tan(x/2))

sin(x) = 2t1+t², cos(x) = 1-t²1+t², dx = 2dt1+t²

किसी भी परिमेय त्रिकोणमितीय समाकलन को परिमेय बहुपद बीजगणितीय समाकलन में रूपांतरित करता है

4

लघुगणक व्युत्पन्न प्रपत्र (∫ f'(x)/f(x) dx)

∫ (f'(x)f(x)) dx = ln|f(x)| + C

जब भी अंश, हर का सटीक व्युत्पन्न होता है

📊

निश्चित समाकलन एवं मूलभूत प्रमेय

5 सूत्र

कैलकुलस का मौलिक प्रमेय (एफटीसी), समरूपता गुण, और लाइबनिज नियम

1

कैलकुलस का मौलिक प्रमेय (भाग 1 - समाकलन का विभेदन)

ddx [ ∫xa f(t) dt ] = f(x)

विभेदन और एकीकरण को व्युत्क्रम गणितीय संक्रियाओं के रूप में जोड़ता है

2

कैलकुलस का मौलिक प्रमेय (भाग 2 - मूल्यांकन प्रमेय)

∫ba f(x) dx = F(b) - F(a)

अंतराल पर शुद्ध क्षेत्र और संचित परिवर्तन का मूल्यांकन करता है [ए, बी]

3

अभिन्न चिह्न के तहत विभेदन के लिए लीबनिज नियम

ddx [ ∫v(x)u(x) f(t) dt ] = f(v(x))·v'(x) - f(u(x))·u'(x)

श्रृंखला नियम को परिवर्तनीय निचली और ऊपरी एकीकरण सीमाओं तक बढ़ाया गया

4

[-ए, ए] पर निश्चित अभिन्न सम/विषम फ़ंक्शन समरूपता

Even: ∫a-a f(x) dx = 2 ∫a0 f(x) dx, Odd: ∫a-a f(x) dx = 0

सममित एकीकरण सीमाओं के लिए तात्कालिक सरलीकरण [-ए, ए]

5

निश्चित समाकलनों के लिए माध्य मान प्रमेय

f_avg = (1b - a)·∫ba f(x) dx = f(c)

[ए, बी] पर एक सतत फ़ंक्शन के वास्तविक औसत मूल्य की गणना करता है

🔁

त्रिकोणमितीय न्यूनीकरण सूत्र (रिडक्शन फॉर्मूले)

4 सूत्र

उच्च त्रिकोणमितीय शक्तियों को एकीकृत करने के लिए पुनरावर्ती कमी सूत्र (sinⁿ x, cosⁿ x, tanⁿ x, secⁿ x)

1

साइन पावर रिडक्शन फॉर्मूला

∫ sinⁿ(x) dx = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x)n+ (n - 1n) ∫ sinⁿ⁻²(x) dx

प्रत्येक पुनरावृत्ति पर साइन की शक्ति को 2 से कम कर देता है

2

कोसाइन पावर रिडक्शन फॉर्मूला

∫ cosⁿ(x) dx = cosⁿ⁻¹(x)sin(x)n+ (n - 1n) ∫ cosⁿ⁻²(x) dx

प्रत्येक पुनरावृत्ति पर कोसाइन की शक्ति को 2 से कम कर देता है

3

टेंगेंट पावर रिडक्शन फॉर्मूला

∫ tanⁿ(x) dx = tanⁿ⁻¹(x)n - 1 - ∫ tanⁿ⁻²(x) dx

Tanⁿ(x) के लिए तेज़ बीजगणितीय कमी

4

सेकेंट पावर रिडक्शन फॉर्मूला

∫ secⁿ(x) dx = secⁿ⁻²(x)tan(x)n - 1 + (n - 2n - 1) ∫ secⁿ⁻²(x) dx

सेकेंट की उच्च शक्तियों को कम करता है (जैसे ∫sec³ x dx)

🧮

पूर्ण गणित सुइट

बीजगणितीय सर्वसमिकाएं, 2D और 3D ज्यामिति, आव्यूह संक्रियाएं, सदिश, श्रेणी विस्तार और प्रायिकता।

54+ समीकरण

🔢

अध्याय 1: बीजीय सर्वसमिकाएं, बहुपद एवं असमिकाएं

9 सूत्र

द्विपद विस्तार, घनों का योग/अंतर, वियतनाम संबंध, द्विपद प्रमेय, और मौलिक असमानताएँ

1

द्विघात समीकरण सूत्र और मूल

x = -b ± √b² - 4ac2a

मानक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का समाधान; विभेदक Δ = b² - 4ac वास्तविक/जटिल प्रकृति निर्धारित करता है

x: द्विघात समीकरण की जड़ें a, b, c: बहुपद गुणांक (a ≠ 0) Δ = b² - 4ac: विभेदक (Δ > 0 विशिष्ट वास्तविक, Δ = 0 दोहराया गया, Δ < 0 जटिल संयुग्म)

2

द्विपद वर्ग और घन विस्तार पहचान

(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

बीजगणितीय द्विपदों का मौलिक बहुपद विस्तार

a, b: बीजगणितीय पद या वास्तविक संख्याएँ

3

त्रिपद वर्ग पहचान

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

तीन पदों के योग के वर्ग का विस्तार

a, b, c: बीजगणितीय चर

4

घन गुणनखंड का अंतर और योग

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

घन पदों के योग और अंतर के लिए सटीक बीजगणितीय गुणनखंडन

a, b: आधार शर्तें

5

यूलर की तीन-चर घन पहचान

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

विशेष मामला: यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc

a, b, c: वास्तविक या जटिल चर

6

सामान्य द्विपद प्रमेय

(x + y)ⁿ = ∑[k = 0 to n] (n!k!(n - k)!)·xⁿ⁻ᵏ·yᵏ

संयोजक गुणांकों का उपयोग करके द्विपद योग की किसी भी सकारात्मक पूर्णांक शक्ति का विस्तार करता है

n: गैर-नकारात्मक पूर्णांक शक्ति k: टर्म इंडेक्स (0 से n)

7

बहुपद मूलों के लिए विएटा के सूत्र

Quadratic: r₁ + r₂ = -ba, r₁·r₂ = ca; Cubic: ∑ r_i = -ba, ∑ r_i r_j = ca, r₁r₂r₃ = -da

बहुपद मूलों और गुणांकों के बीच सीधा संबंध

r_i: बहुपद P(x) के मूल = 0

8

एएम-जीएम-एचएम का शास्त्रीय अर्थ है असमानता

AM ≥ GM ≥ HM ⟹ a₁ + a₂ + ... + a_nn ≥ ⁿ√a₁·a₂·...·a_n ≥ n1a₁+1a₂+ ... +1a_n

समानता तभी कायम रहती है जब सभी तत्व a₁ = a₂ = ... = a_n हों

AM: अंकगणित औसत GM: ज्यामितीय माध्य HM: अनुकूल माध्य

9

कॉची-श्वार्ज़ असमानता

(∑[i = 1 to n] a_i·b_i)² ≤ (∑[i = 1 to n] a_i²)·(∑[i = 1 to n] b_i²)

वास्तविक/जटिल आंतरिक उत्पाद स्थानों में सार्वभौमिक असमानता

a_i, b_i: वास्तविक संख्याओं या सदिश घटकों का अनुक्रम

📐

अध्याय 2: द्विविमीय (2D) निर्देशांक ज्यामिति एवं शंकु परिच्छेद

8 सूत्र

दूरी, खंड सूत्र, सीधी रेखाएं, वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय

1

2डी यूक्लिडियन दूरी और अनुभाग फॉर्मूला

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², x = m·x₂ ± n·x₁m ± n

सीधी रेखा की दूरी और (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखा खंड का आंतरिक/बाह्य अनुपात विभाजन

d: यूक्लिडियन दूरी m : n: खंड विभाजन अनुपात

2

जूते का फीता त्रिभुज और बहुभुज क्षेत्र सूत्र

Area = ½·|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

3 शीर्षों के निर्देशांक से समतल क्षेत्र की गणना करता है; शून्य क्षेत्र संरेखता को दर्शाता है

(x_i, y_i): शीर्ष निर्देशांक

3

सीधी रेखा समीकरण और लंबवत दूरी

y - y₁ = m·(x - x₁), d_perp = |A·x₀ + B·y₀ +C|√A² + B²

बिंदु-ढलान समीकरण और बिंदु (x₀, y₀) से रेखा Ax + By + C = 0 तक की सबसे छोटी लंबवत दूरी

m: रेखा ढलान (tan θ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) d_perp: लाइन से लंबवत दूरी

4

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण

tan(θ) = |(m₂ - m₁)1 + m₁·m₂|

तीव्र प्रतिच्छेदन कोण; समानांतर रेखाओं में m₁ = m₂ होता है; लंबवत रेखाओं में m₁·m₂ = -1 होता है

m₁, m₂: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का ढलान

5

सर्किल मानक एवं सामान्य प्रपत्र

(x - h)² + (y - k)² = r², x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ⟹ r = √g² + f² - c

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r के साथ वृत्त समीकरण

(h, k): वृत्त केंद्र निर्देशांक r: वृत्त त्रिज्या

6

परवलय मानक रूप और विलक्षणता

y² = 4ax, Focus: (a, 0), Directrix: x = -a, Latus Rectum: 4a, e = 1

फोकस और नियता से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ (विलक्षणता e = 1)

a: फोकल दूरी पैरामीटर

7

दीर्घवृत्त मानक रूप, विलक्षणता और क्षेत्र

x²a²+y²b² = 1, e = √1 -b²a², Foci: (±ae, 0), Area = π·a·b

अर्ध-प्रमुख अक्ष ए, अर्ध-लघु अक्ष बी, और विलक्षणता ई <1 के साथ मानक क्षैतिज दीर्घवृत्त

a, b: अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष e: विलक्षणता (0 < e < 1)

8

हाइपरबोला मानक प्रपत्र और अनंतस्पर्शी

x²a²-y²b² = 1, e = √1 +b²a², Asymptotes: y = ±(ba)·x

विलक्षणता ई > 1 और मूल बिंदु से गुजरने वाले रैखिक अनंतस्पर्शी के साथ शंकु अनुभाग

e: अतिशयोक्तिपूर्ण विलक्षणता (e > 1)

🧊

अध्याय 3: त्रिविमीय (3D) ठोस ज्यामिति एवं क्षेत्रमिति

6 सूत्र

3डी दूरी, गोले, बेलन, शंकु, छिन्नक, टोरॉयड और 3डी समतल समीकरण

1

3डी दूरी सूत्र एवं क्षेत्र समीकरण

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)², (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

3डी कार्टेशियन स्पेस में यूक्लिडियन दूरी और केंद्र (x₀, y₀, z₀) और त्रिज्या R के साथ गोला समीकरण

d: 3डी स्थानिक दूरी R: गोले की त्रिज्या

2

क्षेत्र एवं सिलेंडर क्षेत्रमिति सूत्र

Sphere: V = (43)·π·R³, A = 4·π·R²; Cylinder: V = π·r²·h, A_total = 2·π·r·(r + h)

ठोस 3डी गोले और सिलेंडरों के लिए वॉल्यूमेट्रिक क्षमता और कुल सतह क्षेत्र सूत्र

R, r: त्रिज्या h: सिलेंडर की ऊंचाई

3

दायां गोलाकार शंकु और छिन्नक आयतन

Cone: V = (13)·π·r²·h, l = √r² + h²; Frustum: V = (13)·π·h·(R² + r² + R·r)

तिरछी ऊँचाई l, पार्श्व सतह क्षेत्र A_lat = π·r·l, और काटे गए शंकु छिन्नक का आयतन

R, r: छिन्नक का आधार और शीर्ष त्रिज्या h: ऊर्ध्वाधर ऊंचाई l: तिरछी ऊंचाई

4

टोरस (डोनट) आयतन और सतह क्षेत्र

V_torus = 2·π²·R·r², A_torus = 4·π²·R·r

केंद्र (R ≥ r) से प्रमुख त्रिज्या R पर एक अक्ष के चारों ओर त्रिज्या r के एक वृत्त की परिक्रमा करने से उत्पन्न क्रांति का ठोस

R: प्रमुख त्रिज्या (ट्यूब के केंद्र से टोरस के केंद्र तक की दूरी) r: लघु त्रिज्या (ट्यूब की त्रिज्या)

5

3डी समतल समीकरण एवं सामान्य वेक्टर

A·(x - x₀) + B·(y - y₀) + C·(z - z₀) = 0 ⟹ Ax + By + Cz + D = 0

सामान्य वेक्टर n = <A, B, C> के साथ बिंदु (x₀, y₀, z₀) से गुजरने वाले विमान का समीकरण

A, B, C: सामान्य वेक्टर की दिशा संख्या

6

3डी में तिरछी रेखाओं के बीच सबसे कम दूरी

d = |(a₂ - a₁)·(b₁ × b₂)||b₁ × b₂|

दो गैर-प्रतिच्छेदी, गैर-समानांतर 3D रेखाओं r₁ = a₁ + λb₁ और r₂ = a₂ + μb₂ के बीच पूर्ण न्यूनतम दूरी की गणना करता है

a₁, a₂: सदिशों को पंक्ति 1 और 2 पर रखें b₁, b₂: रेखा 1 और 2 के दिशा सदिश

📊

अध्याय 4: रैखिक बीजगणित एवं आव्यूह सिद्धांत

5 सूत्र

निर्धारक, मैट्रिक्स व्युत्क्रम, क्रैमर नियम, eigenvalues, eigenvectors, और केली-हैमिल्टन प्रमेय

1

मैट्रिक्स निर्धारक (2×2 और 3×3)

det(A_2x2) = ad - bc, det(A_3x3) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

रैखिक परिवर्तन के तहत स्केलर मान स्केलिंग वॉल्यूम; det(A) = 0 गैर-उलटा एकवचन मैट्रिक्स को इंगित करता है

det(A): मैट्रिक्स ए का निर्धारक

2

मैट्रिक्स व्युत्क्रम और सहायक सूत्र

A⁻¹ = (1det(A))·adj(A) = (1det(A))·(C)^T

मैट्रिक्स व्युत्क्रम जहां adj(A) सहकारक मैट्रिक्स C का स्थानान्तरण है

A⁻¹: गुणक व्युत्क्रम मैट्रिक्स इस प्रकार है कि A · A⁻¹ = I adj(A): एडजुगेट / क्लासिकल एडजॉइंट मैट्रिक्स

3

रैखिक प्रणालियों के लिए क्रैमर नियम

x_i = det(A_i)det(A)

एन रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए स्पष्ट बीजगणितीय सूत्र Ax = b जहां A_i में कॉलम i है जिसे b द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है

x_i: समाधान वेक्टर घटक A_i: स्थिरांक वेक्टर बी के साथ आई-वें कॉलम को प्रतिस्थापित करके मैट्रिक्स का गठन किया गया

4

स्वदेशी मूल्य और विशेषता समीकरण

det(A - λ·I) = 0, (A - λ·I)·v = 0

अभिलक्षणिक बहुपद जड़ों से अदिश eigenvalues प्राप्त होते हैं; संगत गैर-शून्य सदिश v eigenvector हैं

λ: आइजेनवैल्यू अदिश I: शिनाख्त सांचा v: आइजन्वेक्टर

5

ट्रेस एवं निर्धारक आइजेनवैल्यू संबंध

tr(A) = ∑[i = 1 to n] λ_i = ∑[i = 1 to n] a_ii, det(A) = ∏[i = 1 to n] λ_i

मैट्रिक्स ट्रेस eigenvalues के योग के बराबर है; निर्धारक सभी eigenvalues के उत्पाद के बराबर होता है

tr(A): मैट्रिक्स का निशान (मुख्य विकर्ण तत्वों का योग) λ_i: सभी eigenvalues का सेट

🧭

अध्याय 5: सदिश कलन एवं क्षेत्र संकारक

5 सूत्र

डॉट और क्रॉस उत्पाद, ट्रिपल उत्पाद, ग्रेडिएंट, डाइवर्जेंस, कर्ल और लाप्लासियन

1

वेक्टर डॉट (स्केलर) और क्रॉस (वेक्टर) उत्पाद

u·v = |u||v|·cos(θ) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z, |u × v| = |u||v|·sin(θ)

मौलिक वेक्टर उत्पाद: डॉट उत्पाद अदिश प्रक्षेपण उत्पन्न करता है; क्रॉस उत्पाद ऑर्थोगोनल वेक्टर उत्पन्न करता है

u·v: अदिश गुणनफल u × v: वेक्टर उत्पाद θ: सदिशों के बीच का कोण

2

ट्रिपल उत्पाद (स्केलर ट्रिपल और बीएसी-सीएबी नियम)

[u v w] = u·(v × w), a × (b × c) = b·(a·c) - c·(a·b)

स्केलर ट्रिपल उत्पाद समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना करता है; बीएसी-सीएबी नियम डबल क्रॉस उत्पादों का विस्तार करता है

[u v w]: सदिश u, v, w द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का आयतन

3

एक अदिश क्षेत्र का ढाल (∇f)

∇f = (∂f∂x)·î + (∂f∂y)·ĵ + (∂f∂z)·k̂

सदिश अदिश फलन f की वृद्धि की अधिकतम दर की दिशा में इंगित करता है; परिमाण अधिकतम ढलान के बराबर है

∇f: ग्रेडियेंट वेक्टर फ़ील्ड f(x, y, z): अवकलनीय अदिश क्षेत्र

4

वेक्टर फ़ील्ड का विचलन (∇·F) और कर्ल (∇×F)।

∇·F = ∂F_x∂x+∂F_y∂y+∂F_z∂z,  ∇ × F = (∂F_z∂y-∂F_y∂z)·î + (∂F_x∂z-∂F_z∂x)·ĵ + (∂F_y∂x-∂F_x∂y)·k̂

विचलन बाहरी फ्लक्स घनत्व को मापता है (∇·F = 0 परिनालिका है); कर्ल घूर्णी भंवर को मापता है (∇×F = 0 अघूर्णी है)

∇·F: विचलन अदिश क्षेत्र ∇ × F: कर्ल वेक्टर फ़ील्ड

5

लाप्लासियन ऑपरेटर (∇²f)

∇²f = ∇·(∇f) = ∂²f∂x² + ∂²f∂y² + ∂²f∂z²

हार्मोनिक क्षमता, ताप प्रसार और तरंग प्रसार को नियंत्रित करने वाला द्वितीय-क्रम विभेदक ऑपरेटर

∇²f: लाप्लासियन अदिश क्षेत्र (∇²f = 0 लाप्लास समीकरण है)

🔄

अध्याय 6: बहुचर समाकलन प्रमेय (ग्रीन, स्टोक्स, डाइवर्जेंस)

4 सूत्र

ग्रीन का प्रमेय, स्टोक्स का प्रमेय, गॉस विचलन प्रमेय, और जैकोबियन

1

समतल में ग्रीन का प्रमेय

∮[C] (L dx + M dy) = ∬[D] (∂M∂x - ∂L∂y) dA

सकारात्मक रूप से उन्मुख सरल बंद वक्र C के चारों ओर वामावर्त रेखा इंटीग्रल को संलग्न क्षेत्र D पर डबल इंटीग्रल से संबंधित करता है

C: सीमा वक्र ∂D D: संलग्न 2डी तलीय क्षेत्र

2

स्टोक्स का कर्ल प्रमेय

∮[C] F·dr = ∬[S] (∇ × F)·dS

सीमा वक्र C के साथ परिसंचरण रेखा इंटीग्रल को ओरिएंटेबल सतह S पर कर्ल ∇×F के सतह फ्लक्स इंटीग्रल से संबंधित करता है

F: वेक्टर फ़ील्ड S: वक्र C से घिरी उन्मुख चिकनी सतह

3

गॉस का विचलन प्रमेय

∯[S] F·dS = ∭[V] (∇·F) dV

बंद सतह S के पार वेक्टर क्षेत्र F का बाहरी शुद्ध प्रवाह आंतरिक आयतन V में विचलन ∇·F के आयतन अभिन्न अंग के बराबर होता है

S: बंद सीमा सतह ∂V V: संलग्न 3डी स्थानिक आयतन

4

समन्वय प्रतिस्थापन के लिए जैकोबियन निर्धारक

J = ∂(x, y)∂(u, v) = (∂x∂u)(∂y∂v) - (∂x∂v)(∂y∂u), dx dy = |J| du dv

चर के बहुपरिवर्तनीय परिवर्तन के दौरान क्षेत्र/आयतन स्केलिंग कारक (ध्रुवीय: जे = आर; गोलाकार: जे = ρ² sin φ)

J: जैकोबियन मैट्रिक्स निर्धारक

🌐

अध्याय 7: सम्मिश्र संख्याएं एवं सम्मिश्र विश्लेषण

4 सूत्र

यूलर फॉर्मूला, डी मोइवर प्रमेय, कॉची-रीमैन विश्लेषणात्मकता, और कॉची अवशेष प्रमेय

1

जटिल ध्रुवीय, मापांक और यूलर प्रतिनिधित्व

z = x + iy = r·(cos(θ) + i·sin(θ)) = r·e^(iθ), r = √x² + y², θ = tan⁻¹(yx)

अरगंड तल में सम्मिश्र संख्या का ज्यामितीय निरूपण

r = |z|: मापांक/पूर्ण परिमाण θ: प्रमुख तर्क चरण कोण i: काल्पनिक इकाई (i² = -1)

2

डी मोइवर की प्रमेय और एकता की n-वीं जड़ें

(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ) = e^(inθ), z_k = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)n)

जटिल तल में पूर्णांक/भिन्नात्मक शक्तियों और सममित एन-वें जड़ों की गणना करता है

n: पावर या रूट इंडेक्स k: जड़ शाखा सूचकांक (0, 1, ..., n-1)

3

कॉची-रीमैन विश्लेषणात्मकता समीकरण

∂u∂x = ∂v∂y, ∂u∂y = -(∂v∂x)

जटिल फलन f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) के होलोमोर्फिक/कॉम्प्लेक्स-डिफरेंशियल होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें

u(x, y): जटिल कार्य का वास्तविक भाग v(x, y): जटिल कार्य का काल्पनिक भाग

4

कॉची का अभिन्न सूत्र एवं अवशेष प्रमेय

f(z₀) = (12πi)·∮[C] (f(z)z - z₀) dz, ∮[C] f(z) dz = 2πi·∑ Res(f, z_k)

संलग्न विलक्षणताओं और अवशेषों के माध्यम से समोच्च अभिन्न का मूल्यांकन करता है Res(f, z₀) = lim[z→z₀] (z - z₀)f(z)

Res(f, z_k): पृथक ध्रुव z_k पर अवशेष

📈

अध्याय 8: अनुक्रम, अनंत श्रेणियां एवं फूरियर विश्लेषण

4 सूत्र

ज्यामितीय और एजीपी श्रृंखला, टेलर और मैकलॉरिन विस्तार, और फूरियर श्रृंखला

1

ज्यामितीय प्रगति (परिमित और अनंत योग)

S_n = a·(1 - rⁿ)1 - r, S_∞ = a1 - r (|r| < 1)

पहले पद a और सामान्य अनुपात r के साथ ज्यामितीय प्रगति का योग

a: पहला कार्यकाल r: सामान्य अनुपात S_∞: अनंत योग (अभिसरण यदि |r| <1)

2

टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार

f(x) = ∑[n = 0 to ∞] (fⁿ(a)n!)·(x - a)ⁿ = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)2!)(x - a)² + ...

विस्तार बिंदु a पर अवकलजों के अनंत बहुपद योग के रूप में सहज फलन का निरूपण (मैकलॉरिन जब a = 0)

fⁿ(a): एफ के एन-वें व्युत्पन्न का मूल्यांकन बिंदु ए पर किया गया है n!: फैक्टोरियल (एन! = एन · (एन - 1) · ... · 1)

3

मानक मैकलॉरिन श्रृंखला (ईˣ, सिन एक्स, कॉस एक्स, एलएन(1+x))

eˣ = 1 + x +x²2!+x³3!+ ..., sin x = x -x³3!+x⁵5!- ..., cos x = 1 -x²2!+x⁴4!- ...

अभिसरण की अनंत त्रिज्या के साथ अनंत शक्ति श्रृंखला प्रतिनिधित्व (आर = ∞)

x: वास्तविक या जटिल चर

4

आवधिक कार्य का फूरियर श्रृंखला विस्तार

f(x) = a₀2+ ∑[n = 1 to ∞] [a_n·cos(nπxL) + b_n·sin(nπxL)]

अवधि 2L की आवधिक तरंग को हार्मोनिक साइनसॉइडल ऑर्थोगोनल घटकों के अनंत योग में विघटित करता है

a_n, b_n: फूरियर वर्णक्रमीय गुणांक: a_n = (1/L) ∫[-L से L] f(x) cos(nπx/L) dx 2L: कार्य की मौलिक अवधि

⚡

अध्याय 9: अवकल समीकरण (ODE एवं PDE)

4 सूत्र

प्रथम-क्रम एकीकृत कारक, दूसरे-क्रम स्थिर गुणांक ODEs, लाप्लास परिवर्तन, और PDEs

1

प्रथम क्रम रैखिक ODE (एकीकृत कारक विधि)

dydx + P(x)·y = Q(x) ⟹ y·e^(∫ P dx) = ∫ Q(x)·e^(∫ P dx) dx + C

एकीकृत कारक I(x) = exp(∫P dx) का उपयोग करके सामान्य समाधान विधि

I(x): एकीकृत कारक e^(∫ P dx) C: एकीकरण का मनमाना स्थिरांक

2

द्वितीय क्रम रैखिक सजातीय ODE (विशेषता जड़ें)

a·y'' + b·y' + c·y = 0 ⟹ a·λ² + b·λ + c = 0, λ = -b ± √b² - 4ac2a

जड़ें समाधान रूप निर्धारित करती हैं: विशिष्ट वास्तविक (C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x), दोहराया गया ((C₁ + C₂x)e^λx), जटिल α±iβ (e^αx(C₁cos βx + C₂sin βx))

λ: विशेषता समीकरण की जड़ें C₁, C₂: सीमा/प्रारंभिक स्थिति स्थिरांक

3

लाप्लास रूपांतरण और व्युत्पन्न संपत्ति

L{f(t)} = F(s) = ∫∞0 e^(-st)·f(t) dt, L{f'(t)} = s·F(s) - f(0)

जटिल आवृत्ति एस-डोमेन में रैखिक अंतर समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करता है

F(s): लाप्लास एस-डोमेन फ़ंक्शन s: जटिल आवृत्ति पैरामीटर (σ + iω)

4

शास्त्रीय आंशिक विभेदक समीकरण (तरंग, ऊष्मा, लाप्लास)

Wave: ∂²u∂t² = c²·(∂²u∂x²);   Heat: ∂u∂t = α·(∂²u∂x²);   Laplace: ∂²u∂x² + ∂²u∂y² = 0

भौतिकी और इंजीनियरिंग को नियंत्रित करने वाले तीन मौलिक रैखिक दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण

c: तरंग प्रसार गति α: थर्मल प्रसार स्थिरांक

🎲

अध्याय 10: प्रायिकता एवं सांख्यिकी बंटन

5 सूत्र

बेयस प्रमेय, अपेक्षित मूल्य, विचरण, द्विपद, पॉइसन और गाऊसी सामान्य वितरण

1

बेयस प्रमेय और कुल संभाव्यता का नियम

P(A | B) = P(B | A)·P(A)P(B) = P(B | A)·P(A)∑ P(B | A_i)·P(A_i)

पूर्व संभाव्यता P(A) और सशर्त संभावना P(B|A) को देखते हुए पश्च संभाव्यता P(A|B) की गणना करता है

P(A | B): घटना A की पश्च संभाव्यता दी गई घटना B घटित हुई P(A): ए की पूर्व संभावना P(B | A): A दिए जाने पर B की संभावना

2

अपेक्षित मूल्य और भिन्नता संबंध

E[X] = ∑ x_i·P(x_i), Var(X) = E[X²] - (E[X])² = σ², SD(X) = σ = √Var(X)

पहला और दूसरा केंद्रीय क्षण माध्य केंद्र और माध्य के चारों ओर फैलाव को मापता है

E[X]: गणितीय अपेक्षा/जनसंख्या माध्य (μ) Var(X): जनसंख्या विचरण (σ²) σ: मानक विचलन

3

द्विपद संभाव्यता वितरण

P(X = k) = (n!k!(n - k)!)·pᵏ·(1 - p)ⁿ⁻ᵏ, μ = n·p, σ² = n·p·(1 - p)

सफलता की संभावना पी के साथ एन स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में बिल्कुल के सफलताओं की संभावना

n: कुल स्वतंत्र परीक्षण k: सफलताओं की संख्या p: प्रति परीक्षण सफलता की संभावना

4

पॉइसन संभाव्यता वितरण

P(X = k) = λᵏ·e^(-λ)k!, μ = λ, σ² = λ

स्थिर औसत दर λ के साथ समय/स्थान के निश्चित अंतराल में दुर्लभ असतत घटना घटित होने वाले मॉडल

λ: औसत घटना दर पैरामीटर (λ > 0) k: घटना संख्या (0, 1, 2...)

5

गाऊसी सामान्य वितरण और जेड-स्कोर

f(x) = (1σ·√2π)·e^(-(x - μ)²2σ²), Z = X - μσ

केंद्रीय सीमा प्रमेय को नियंत्रित करने वाला सतत सममित घंटी के आकार का संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन

μ: वितरण माध्य केंद्र σ: मानक विचलन प्रसार पैरामीटर Z: मानकीकृत Z-स्कोर (σ की इकाइयों में माध्य से आयाम रहित दूरी)

⚛️

पूर्ण भौतिकी सुइट

गतिकी, न्यूटन के नियम, घूर्णन गति, गुरुत्वाकर्षण, ऊष्मागतिकी, मैक्सवेल समीकरण और क्वांटम भौतिकी।

158+ समीकरण

🏃

अध्याय 1: गतिकी एवं 1D/2D में गति

13 सूत्र

गति, विस्थापन, औसत और तात्कालिक वेग, त्वरण और प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र के समीकरण

1

औसत वेग

v_avg = ΔxΔt = x_f - x_it_f - t_i

कुल विस्थापन का कुल समय अंतराल से अनुपात

v_avg: औसत वेग Δx: विस्थापन Δt: समय बीता

2

तात्कालिक वेग

v = dxdt = lim[Δt→0] (ΔxΔt)

समय के संबंध में स्थिति समन्वय वेक्टर का पहली बार व्युत्पन्न

v: तात्क्षणिक वेग x(t): समय का स्थिति कार्य

3

तात्कालिक त्वरण

a = dvdt = d²xdt² = v·(dvdx)

समय या स्थिति के संबंध में वेग में परिवर्तन की दर

a: त्वरण v: वेग

4

एसयूवीएटी गति का पहला समीकरण (वेग-समय)

v = u + a·t

एक समान त्वरण के तहत अंतिम वेग को प्रारंभिक वेग से संबंधित करता है

v: अंतिम वेग u: प्रारंभिक वेग a: निरंतर त्वरण t: समय बीता

5

एसयूवीएटी गति का दूसरा समीकरण (विस्थापन-समय)

s = u·t + ½·a·t²

निरंतर त्वरण के तहत कुल रैखिक विस्थापन की गणना करता है

s: विस्थापन u: प्रारंभिक वेग a: निरंतर त्वरण t: समय बीता

6

एसयूवीएटी गति का तीसरा समीकरण (वेग-विस्थापन)

v² = u² + 2·a·s

निरंतर त्वरण के लिए समय-स्वतंत्र गतिक संबंध

v: अंतिम वेग u: प्रारंभिक वेग a: निरंतर त्वरण s: विस्थापन

7

n-वें सेकंड में विस्थापन

s_n = u + (a2)·(2n - 1)

विशेष रूप से गति के n-वें सेकंड के दौरान विस्थापन की गणना करता है

s_n: n-वें सेकंड में विस्थापन n: दूसरी संख्या (n = 1, 2, 3...)

8

औसत वेग का उपयोग करके विस्थापन

s = ½·(u + v)·t

एक समान स्थिर रैखिक त्वरण के तहत गति के लिए मान्य

s: विस्थापन u, v: प्रारंभिक और अंतिम वेग

9

प्रक्षेप्य अधिकतम ऊँचाई

H_max = u²·sin²θ2g

कोण θ पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य द्वारा चरम ऊर्ध्वाधर ऊंचाई तक पहुंचा गया

u: आरंभिक वेग लॉन्च करें θ: क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण g: गुरुत्वीय त्वरण (9.81 मी/से²)

10

प्रक्षेप्य उड़ान का कुल समय

T = 2u·sinθg

प्रक्षेपण से लेकर समतल जमीन पर उतरने तक का कुल हवाई समय

T: कुल उड़ान समय u: प्रारंभिक प्रक्षेपण गति

11

प्रक्षेप्य क्षैतिज सीमा

R = u²·sin(2θ)g

तय की गई अधिकतम क्षैतिज दूरी (प्रक्षेपण कोण पर अधिकतम θ = 45°)

R: क्षैतिज सीमा u: प्रक्षेपण वेग θ: प्रक्षेपण का कोण

12

प्रक्षेप्य परवलयिक प्रक्षेपवक्र समीकरण

y = x·tanθ -g·x²2u²·cos²θ = x·tanθ·(1 -xR)

कार्तीय पथ निर्देशांक (x, y) शुद्ध परवलयिक गति को प्रदर्शित करता है

(x, y): तात्कालिक स्थिति निर्देशांक R: क्षैतिज सीमा

13

सापेक्ष वेग वेक्टर

v_(AB) = v_A - v_B, v_(AB) = √v_A² + v_B² - 2v_A·v_B·cosθ

गतिमान पिंड बी के संदर्भ फ्रेम से पिंड ए का वेग देखा गया

v_(AB): A का सापेक्ष वेग w.r.t. B θ: वेग सदिशों के बीच का कोण

⚖️

अध्याय 2: गति के नियम, घर्षण एवं वृत्तीय गतिविज्ञान

12 सूत्र

न्यूटन के तीन नियम, रैखिक गति, आवेग, स्थैतिक/गतिज घर्षण, अभिकेन्द्रीय बल और बैंकिंग कोण

1

रेखीय संवेग

p = m·v

द्रव्यमान और वेग का गुणनफल; शून्य बाह्य बल के साथ पृथक प्रणालियों में संरक्षित

p: रेखीय संवेग m: द्रव्यमान v: वेग

2

न्यूटन का गति का दूसरा नियम

F_net = dpdt = m·a (for constant mass)

शुद्ध बाह्य बल रैखिक संवेग के परिवर्तन की तात्कालिक दर के बराबर होता है

F_net: शुद्ध परिणामी बल m: जड़त्व द्रव्यमान a: त्वरण

3

आवेग-संवेग प्रमेय

J = ∫ F dt = F_avg·Δt = Δp = m·v_f - m·v_i

अवधि Δt के दौरान किसी बल का आवेग उत्पन्न संवेग में कुल परिवर्तन के बराबर होता है

J: आवेग F_avg: औसत प्रभाव बल Δp: रैखिक गति में परिवर्तन

4

अधिकतम स्थैतिक सीमित घर्षण

f_s(max) = μ_s·N

दहलीज तक सापेक्ष गति की प्रवृत्ति का विरोध करने वाला स्व-समायोजित प्रतिरोधक बल

f_s: स्थैतिक घर्षण बल μ_s: स्थैतिक घर्षण का गुणांक (आयाम रहित) N: सामान्य प्रतिक्रिया संपर्क बल

5

काइनेटिक/स्लाइडिंग घर्षण

f_k = μ_k·N

सक्रिय सापेक्ष स्लाइडिंग गति का विरोध करने वाला लगातार प्रतिरोधी बल (आमतौर पर μ_k < μ_s)

f_k: गतिज घर्षण बल μ_k: गतिज घर्षण का गुणांक N: सामान्य बल

6

घर्षण का कोण और विश्राम का कोण

tan(θ_repose) = μ_s, tan(λ) = f_s(max)N = μ_s

न्यूनतम झुकाव झुकाव कोण जिस पर कोई पिंड गुरुत्वाकर्षण के तहत नीचे की ओर खिसकना शुरू करता है

θ_repose: विश्राम का कोण μ_s: स्थैतिक घर्षण गुणांक

7

केन्द्राभिमुख त्वरण

a_c = v²r = ω²·r = v·ω = 4π²·rT²

त्रिज्या r के वृत्ताकार प्रक्षेपवक्र के लिए अंदर की ओर रेडियल रूप से निर्देशित त्वरण

a_c: केन्द्राभिमुख त्वरण v: स्पर्शरेखा रैखिक गति ω: कोणीय गति r: वक्रता त्रिज्या

8

सेंट्ररपेटल फ़ोर्स

F_c = m·v²r = m·ω²·r

वृत्ताकार प्रक्षेपवक्र गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक शुद्ध आवक बल

F_c: सेंट्ररपेटल फ़ोर्स m: वस्तु द्रव्यमान r: कक्षा/मोड़ की त्रिज्या

9

घुमावदार घुमावदार सड़क पर इष्टतम सुरक्षित गति

v_opt = √r·g·tanθ

वह गति जिस पर कोई वाहन शून्य पार्श्व घर्षण घिसाव के साथ एक मोड़ लेता है

v_opt: आदर्श बैंकिंग गति θ: बैंकिंग उन्नयन कोण r: वृत्ताकार वक्र की त्रिज्या

10

घर्षण के साथ बैंक वाली सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति

v_max = √[r·g·(μ_s + tanθ)1 - μ_s·tanθ ]

घर्षण के साथ बैंक वाली सतह पर बाहरी स्किडिंग होने से पहले ऊपरी गति सीमा

v_max: अधिकतम मोड़ गति μ_s: स्थैतिक सड़क घर्षण गुणांक

11

शंक्वाकार पेंडुलम समय अवधि

T = 2π·√L·cosθg, Tension: T_string = m·gcosθ

शंकु कोण θ और स्ट्रिंग की लंबाई L के क्षैतिज वृत्त का वर्णन करने वाले बॉब की अवधि

T: क्रांति का काल L: स्ट्रिंग लंबाई θ: ऊर्ध्वाधर के साथ अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण

12

लंबवत परिपत्र गति महत्वपूर्ण गति

v_bottom ≥ √5gr, v_top ≥ √gr, T_bottom - T_top = 6mg

स्ट्रिंग को ढीला किए बिना ऊर्ध्वाधर लूप को पूरा करने के लिए न्यूनतम सीमा गति

r: ऊर्ध्वाधर लूप की त्रिज्या T_bottom, T_top: निम्नतम और उच्चतम बिंदुओं पर स्ट्रिंग तनाव

⚡

अध्याय 3: कार्य, ऊर्जा, शक्ति एवं संघट्ट (टक्कर)

11 सूत्र

कार्य-ऊर्जा प्रमेय, गतिज/संभावित ऊर्जा, स्प्रिंग लोच, रूढ़िवादी बल, शक्ति, और लोचदार/अप्रत्यास्थ टकराव

1

लगातार बल द्वारा किया गया कार्य

W = F·d·cosθ = F·d

बल वेक्टर और विस्थापन वेक्टर का अदिश बिंदु उत्पाद

W: यांत्रिक कार्य किया गया F: लागू बल परिमाण d: विस्थापन θ: बल और विस्थापन के बीच का कोण

2

परिवर्तनीय बल द्वारा किया गया कार्य (अभिन्न)

W = ∫x_fx_i F(x) dx

प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच बल-विस्थापन ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्र

F(x): स्थिति-निर्भर बल कार्य dx: अनन्तिमल विस्थापन तत्व

3

कार्य-ऊर्जा प्रमेय

W_net = ΔK = K_f - K_i = ½m·v_f² - ½m·v_i²

सभी बलों (रूढ़िवादी, गैर-रूढ़िवादी, बाह्य) द्वारा किया गया शुद्ध कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है

W_net: नेट का काम पूरा हो गया ΔK: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

4

गतिज ऊर्जा (संवेग के साथ संबंध)

K = ½·m·v² = p²2m, p = √2m·K

किसी पिंड में उसकी गति की स्थिति के कारण मौजूद ऊर्जा

K: गतिज ऊर्जा p: रेखीय संवेग m: द्रव्यमान

5

गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा (पृथ्वी के निकट)

U_g = m·g·h

एक समान क्षेत्र g में ऊर्ध्वाधर ऊंचाई h तक उठाए गए द्रव्यमान m में संग्रहीत संभावित ऊर्जा

U_g: गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा m: द्रव्यमान h: संदर्भ डेटाम से ऊपर ऊँचाई

6

वसंत की लोचदार संभावित ऊर्जा (हुक का नियम)

U_s = ½·k·x², F_spring = -k·x

जब कठोरता स्थिरांक k वाले स्प्रिंग को x द्वारा खींचा/संपीड़ित किया जाता है तो ऊर्जा संग्रहीत होती है

U_s: वसंत संभावित ऊर्जा k: स्प्रिंग कठोरता स्थिर x: संतुलन बढ़ाव से विस्थापन

7

नकारात्मक संभावित ढाल के रूप में रूढ़िवादी बल

F = -dUdx, F_vec = -∇U = -(∂U∂x i + ∂U∂y j + ∂U∂z k)

रूढ़िवादी ताकतें हमेशा संभावित ऊर्जा में तीव्रतम कमी की ओर इशारा करती हैं

U: संभावित ऊर्जा अदिश क्षेत्र ∇U: स्थितिज ऊर्जा का ढाल

8

यांत्रिक शक्ति (औसत एवं तात्कालिक)

P = dWdt = F·v·cosθ = F·v

वह समय दर जिस पर यांत्रिक कार्य किया जाता है या ऊर्जा स्थानांतरित की जाती है

P: शक्ति F: बल v: वेग

9

पुनर्स्थापन का गुणांक (टकराव)

e = v₂ - v₁u₁ - u₂ = Relative velocity of separationRelative velocity of approach

लोच मापता है: e=1 (गतिज ऊर्जा संरक्षित), e=0 (वस्तुएँ एक साथ चिपकती हैं)

u₁, u₂: टक्कर से पहले वेग v₁, v₂: टक्कर के बाद वेग e: पुनर्स्थापन का गुणांक (0 ≤ e ≤ 1)

10

1डी लोचदार टकराव में अंतिम वेग

v₁ = [m₁ - m₂m₁ + m₂]·u₁ + [2m₂m₁ + m₂]·u₂,  v₂ = [2m₁m₁ + m₂]·u₁ + [m₂ - m₁m₁ + m₂]·u₂

1 आयाम में प्रत्यास्थ रूप से टकराने वाले दो द्रव्यमानों के लिए सटीक टक्कर-पश्चात गति

m₁, m₂: टकराते हुए पिंडों का समूह u₁, u₂: प्रारंभिक गति v₁, v₂: टक्कर के बाद की अंतिम गति

11

बेलोचदार टक्कर में गतिज ऊर्जा की हानि

ΔK_loss = ½·[m₁·m₂m₁ + m₂ ]·(u₁ - u₂)²·(1 - e²)

गतिज ऊर्जा आंतरिक तापीय विरूपण और ध्वनिक ऊर्जा में परिवर्तित हो गई

ΔK_loss: खोई हुई गतिज ऊर्जा e: पुनर्स्थापन गुणांक

🔄

अध्याय 4: घूर्णन गति एवं जड़त्व आघूर्ण

11 सूत्र

टोक़, कोणीय गति, घूर्णी गतिकी, समानांतर/लंबवत अक्ष प्रमेय, और रोलिंग गतिशीलता

1

जन निर्देशांक का केंद्र

r_cm = ∑ m_i·r_i∑ m_i = (1M) ∫ r dm

असतत या सतत ठोस पिंडों के लिए द्रव्यमान वितरण की माध्य स्थिति

r_cm: द्रव्यमान स्थिति वेक्टर का केंद्र M: कुल सिस्टम द्रव्यमान (∑ m_i)

2

घूर्णी गतिज समीकरण

ω = ω₀ + α·t, θ = ω₀·t + ½α·t², ω² = ω₀² + 2α·θ

निरंतर कोणीय त्वरण α के लिए SUVAT के घूर्णी समकक्ष

θ: कोणीय विस्थापन ω₀, ω: प्रारंभिक एवं अंतिम कोणीय वेग α: कोणीय त्वरण t: समय

3

टॉर्क (बल का क्षण)

τ = r × F = r·F·sinθ = I·α = dLdt

कोणीय त्वरण उत्पन्न करने वाले रैखिक बल का घूर्णी समकक्ष α

τ: टॉर्कः r: क्षण भुजा लीवर दूरी I: निष्क्रियता के पल α: कोणीय त्वरण

4

कोणीय संवेग एवं संरक्षण

L = r × p = I·ω, τ_net = 0 ⟹ L = const

संरक्षित जब सिस्टम पर अभिनय करने वाला शुद्ध बाहरी टॉर्क शून्य होता है (उदाहरण के लिए फिगर स्केटर)

L: कोनेदार गति I: निष्क्रियता के पल ω: कोणीय वेग

5

समानांतर अक्ष प्रमेय (स्टाइनर)

I = I_cm + M·d²

सेंट्रोइडल अक्ष के समानांतर किसी भी अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण, जो दूरी d से अलग होता है

I: लक्ष्य समानांतर अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण I_cm: द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से जड़ता का क्षण M: शरीर का कुल द्रव्यमान d: अक्षों के बीच लंबवत दूरी

6

लंबवत अक्ष प्रमेय (प्लानर लैमिनस)

I_z = I_x + I_y

यह विशेष रूप से xy-प्लेन में पड़े 2डी समतल पिंडों पर लागू होता है

I_z: सामान्य z-अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण I_x, I_y: समतल x और y अक्षों के बारे में जड़ता के क्षण

7

आवर्तन का अर्ध व्यास

k = √IM, I = M·k²

प्रभावी रेडियल दूरी जिस पर पूरे द्रव्यमान को I में परिवर्तन किए बिना केंद्रित किया जा सकता है

k: आवर्तन का अर्ध व्यास I: निष्क्रियता के पल M: द्रव्यमान

8

घूर्णी गतिज ऊर्जा

K_rot = ½·I·ω²

गतिज ऊर्जा विशेष रूप से स्थिर या गतिमान अक्ष के चारों ओर घूर्णी स्पिन से जुड़ी होती है

K_rot: घूर्णी गतिज ऊर्जा I: निष्क्रियता के पल ω: कोणीय वेग

9

शुद्ध रोलिंग गति में कुल गतिज ऊर्जा

K_total = K_trans + K_rot = ½M·v_cm² + ½I_cm·ω² = ½M·v_cm²·(1 +k²R²)

फिसलन के बिना शुद्ध रोलिंग के लिए संयुक्त अनुवादात्मक और घूर्णी गतिज ऊर्जा (v_cm = ωR)

K_total: कुल रोलिंग ऊर्जा v_cm: द्रव्यमान गति का केंद्र k: आवर्तन का अर्ध व्यास R: बाहरी त्रिज्या

10

शरीर के नीचे की ओर लुढ़कने का त्वरण

a = g·sinθ1 + I_cmM·R² = g·sinθ1 +k²R²

ढलान के एक झुके हुए तल पर रैखिक त्वरण θ (ठोस क्षेत्र > डिस्क > वलय)

a: रैखिक रोलिंग त्वरण θ: झुका हुआ कोण

11

जड़ता संदर्भ के मानक क्षण

Thin Rod: 112 ML², Ring: MR², Solid Disc: ½MR²,Solid Sphere: 25 MR²,Hollow Sphere: 23 MR²

मानक एकसमान ज्यामितीय निकायों के लिए जड़त्व के केन्द्रक क्षण

M: द्रव्यमान R, L: त्रिज्या/लंबाई

🪐

अध्याय 5: सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण एवं कक्षीय यांत्रिकी

10 सूत्र

न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का सार्वभौमिक नियम, गुरुत्वाकर्षण क्षमता, पलायन वेग, कक्षीय वेग, केप्लर के नियम और उपग्रह कक्षाएँ

1

न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम

F = G·(M·m)r²

दूरी r द्वारा अलग किए गए किन्हीं दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच व्युत्क्रम-वर्ग आकर्षण

G: सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक (6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²) M, m: अंतःक्रियात्मक बिंदु द्रव्यमान r: केन्द्रों के बीच पृथक्करण

2

सतही गुरुत्वीय त्वरण

g = G·MR² = (43)·π·G·ρ·R

द्रव्यमान M और त्रिज्या R के एक ग्रहीय गोले की सतह पर मुक्त गिरावट त्वरण

g: सतही गुरुत्वाकर्षण (पृथ्वी ~9.81 मी/से²) M: ग्रह द्रव्यमान R: ग्रह त्रिज्या ρ: माध्य घनत्व

3

ऊँचाई के साथ गुरुत्वाकर्षण में परिवर्तन h

g_h = g·(RR + h)² ≈ g·(1 -2hR) [for h ≪ R]

ग्रह की सतह से ऊँचाई h के साथ गुरुत्वाकर्षण त्वरण में कमी

g_h: ऊंचाई पर गुरुत्वाकर्षण h h: जमीन से ऊंचाई R: पृथ्वी की त्रिज्या (~6,371 किमी)

4

गहराई के साथ गुरुत्वाकर्षण का परिवर्तन d

g_d = g·(1 -dR)

पृथ्वी के अंदर गुरुत्वाकर्षण त्वरण की रैखिक कमी (केंद्र d = R पर शून्य हो जाती है)

g_d: गहराई पर गुरुत्वाकर्षण D d: जमीन के नीचे की गहराई

5

गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा (सार्वभौमिक)

U(r) = -G·M·mr

अनंत पृथक्करण r → ∞ पर संदर्भ शून्य के साथ नकारात्मक बाध्य अवस्था ऊर्जा

U(r): गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा r: केंद्र से दूरी

6

गुरुत्वाकर्षण क्षमता V(r)

V(r) = -G·Mr, E_g = -dVdr

इकाई परीक्षण द्रव्यमान को अनंत से दूरी r तक लाने में किया गया कार्य

V(r): गुरुत्वाकर्षण क्षमता

7

पलायन वेग

v_esc = √2G·MR = √2g·R

ग्रहों के गुरुत्वाकर्षण से बचने के लिए किसी शक्तिहीन प्रक्षेप्य के लिए आवश्यक न्यूनतम प्रारंभिक गति (पृथ्वी के लिए ~11.2 किमी/सेकेंड)

v_esc: भागने की गति M: ग्रह द्रव्यमान R: ग्रह त्रिज्या

8

उपग्रह का कक्षीय वेग

v_orb = √G·MR + h = v_esc√2 (near surface)

ग्रह के चारों ओर स्थिर कक्षा के लिए आवश्यक गोलाकार गति (पृथ्वी की सतह के निकट ~7.92 किमी/सेकेंड)

v_orb: कक्षीय गति h: सतह से ऊपर कक्षीय ऊँचाई

9

उपग्रह कक्षीय समय अवधि

T = 2π·(R + h)^(32)√GM = 2π·√r³GM

एक उपग्रह को एक पूर्ण क्रांति पूरा करने के लिए आवश्यक समय (जियोस्टेशनरी कक्षा के लिए h ~35,786 किमी पर 24 घंटे)

T: कक्षीय अवधि r: कक्षीय त्रिज्या (आर + एच)

10

केप्लर का तीसरा नियम (हार्मोनिक नियम)

T²a³ = 4π²G·M = const

कक्षीय अवधि का वर्ग अर्ध-प्रमुख अक्ष ए के घन के समानुपाती होता है

T: कक्षीय अवधि a: अर्ध-प्रमुख कक्षीय अक्ष

🧱

अध्याय 6: ठोसों के यांत्रिक गुण एवं प्रत्यास्थता

5 सूत्र

हुक का नियम, तनाव, तनाव, यंग का मापांक, थोक मापांक, कतरनी मापांक, पॉइसन का अनुपात और लोचदार ऊर्जा घनत्व

1

हुक का नियम और यंग का मापांक

Stress = Y·Strain ⟹ FA = Y·(ΔLL)

लोचदार सीमा के भीतर तन्य/संपीड़ित तनाव और अनुदैर्ध्य तनाव के बीच रैखिक संबंध

Y: यंग का लोच मापांक σ = FA: तनाव ε = ΔLL: अनुदैर्ध्य तनाव (आयाम रहित) ΔL: बढ़ाव/संपीड़न

2

थोक मापांक एवं संपीडनशीलता

B = - V·(ΔPΔV), K = 1B

हाइड्रोस्टैटिक दबाव ΔP के तहत समान वॉल्यूमेट्रिक संपीड़न के लिए पदार्थ का प्रतिरोध

B: समान बल के खिलाफ किसी वस्तु का प्रतिरोध K: दबाव ΔP: लागू हाइड्रोस्टेटिक दबाव में वृद्धि ΔVV: वॉल्यूमेट्रिक फ्रैक्शनल स्ट्रेन

3

कतरनी मापांक (कठोरता का मापांक)

G = η = FAθ = F·LA·Δx

कोणीय स्पर्शरेखा कतरनी विरूपण का प्रतिरोध θ बिना आयतन परिवर्तन के

G or η: कतरनी मापांक / कठोरता θ: कतरनी कोण विरूपण Δx: पार्श्व शीर्ष विस्थापन

4

पिज़ोन अनुपात

ν = -Lateral StrainLongitudinal Strain = -ΔddΔLL

अनुप्रस्थ संकुचन और अनुदैर्ध्य विस्तार का अनुपात (सैद्धांतिक सीमाएँ: -1 < ν < 0.5; व्यावहारिक: 0 से 0.5)

ν: पॉइसन का अनुपात (आयाम रहित) d: अनुप्रस्थ व्यास/मोटाई L: लंबाई

5

लोचदार तनाव ऊर्जा घनत्व

u = ½·Stress·Strain = ½·Y·(Strain)² = (Stress)²2Y

विकृत लोचदार सामग्री में प्रति इकाई आयतन में संग्रहीत लोचदार स्थितिज ऊर्जा

u: तनाव ऊर्जा घनत्व U_total: कुल विकृति ऊर्जा = u × आयतन

💧

अध्याय 7: तरल यांत्रिकी, द्रवस्थैतिकी एवं श्यानता

10 सूत्र

हाइड्रोस्टैटिक दबाव, आर्किमिडीज़ की उछाल, निरंतरता समीकरण, बर्नौली का प्रमेय, टोरिसेली इफ्लक्स, स्टोक्स का नियम, टर्मिनल वेग और सतह तनाव

1

गहराई के साथ हाइड्रोस्टेटिक दबाव

P = P₀ + ρ·g·h

घनत्व ρ के स्थिर द्रव में गहराई h पर कुल निरपेक्ष दबाव

P: गहराई पर पूर्ण दबाव P₀: वायुमंडलीय दबाव (101,325 Pa) ρ: द्रव घनत्व h: द्रव सतह के नीचे गहराई स्तंभ

2

पास्कल का सिद्धांत (हाइड्रोलिक लिफ्ट)

P₁ = P₂ ⟹ F₁A₁ = F₂A₂

संलग्न असंपीड्य द्रव पर लगाया गया दबाव बिना कम हुए समान रूप से प्रसारित होता है

F₁, F₂: इनपुट और आउटपुट पिस्टन पर बल A₁, A₂: पिस्टन सतह क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र

3

आर्किमिडीज़ का उत्प्लावन सिद्धांत

F_B = ρ_fluid·V_submerged·g = Weight of displaced fluid

जलमग्न वस्तु द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल

F_B: उत्प्लावन उत्क्षेप बल ρ_fluid: द्रव माध्यम का घनत्व V_sub: जलमग्न वस्तु का आयतन

4

निरंतरता का समीकरण (द्रव्यमान का संरक्षण)

A₁·v₁ = A₂·v₂ = dVdt = Q (Flow Rate)

स्थिर असंपीड्य द्रव प्रवाह के लिए, वॉल्यूमेट्रिक डिस्चार्ज दर Q स्थिर रहती है

A₁, A₂: क्रॉस-सेक्शनल पाइप क्षेत्र v₁, v₂: द्रव प्रवाह वेग Q: वॉल्यूम प्रवाह दर निर्वहन

5

बर्नौली का प्रमेय (ऊर्जा संरक्षण)

P + ½·ρ·v² + ρ·g·h = constant

स्थैतिक दबाव, गतिशील गतिज दबाव और हाइड्रोस्टैटिक क्षमता का योग एक स्ट्रीमलाइन के साथ स्थिर होता है

P: स्थैतिक द्रव दबाव ½ρv²: गतिशील दबाव सिर ρgh: गुरुत्वाकर्षण संभावित दबाव

6

टोरिसेली का इफ्लक्स गति का नियम

v_efflux = √2·g·h

खुली सतह के नीचे h गहराई पर खुलने वाले एक छोटे छिद्र वाले टैंक से निकलने वाले तरल पदार्थ की गति

v_efflux: प्रवाह वेग h: तरल शीर्ष के नीचे छिद्र छिद्र की गहराई

7

स्टोक्स का विस्कोस ड्रैग का नियम

F_v = 6π·η·r·v

लामिना तरल पदार्थ के माध्यम से घूमने वाले एक छोटे गोले द्वारा अनुभव किया जाने वाला मंद चिपचिपा ड्रैग बल

F_v: श्यान प्रतिरोधी बल η: गतिशील चिपचिपाहट गुणांक r: गोले की त्रिज्या v: द्रव के माध्यम से गति

8

गिरते क्षेत्र का अंतिम वेग

v_t = 2·r²·(ρ - σ)·g9η

स्थिर स्थिर वेग तब प्राप्त होता है जब गुरुत्वाकर्षण उत्प्लावन बल + चिपचिपा खिंचाव के बराबर होता है

v_t: टर्मिनल गति ρ: गोला घनत्व σ: आसपास के तरल पदार्थ का घनत्व η: गतिशील द्रव चिपचिपापन

9

बूंद और बुलबुले में अतिरिक्त दबाव

ΔP_drop = 2TR, ΔP_bubble = 4TR

यंग-लाप्लास अतिरिक्त आंतरिक दबाव: साबुन के बुलबुले में 2 मुक्त तरल-वायु इंटरफेस होते हैं

T: सतह तनाव गुणांक R: बूंद/बुलबुले की वक्रता की त्रिज्या ΔP: परिवेश पर आंतरिक दबाव की अधिकता

10

केशिका आरोहण/अवसाद (ज्यूरिन का नियम)

h = 2T·cosθρ·g·r

ऊंचाई का तरल संपर्क कोण θ के साथ त्रिज्या r की एक संकीर्ण केशिका ट्यूब में ऊपर उठता है

h: केशिका स्तंभ उन्नयन ऊंचाई θ: तरल-ठोस मेनिस्कस संपर्क कोण r: आंतरिक केशिका ट्यूब त्रिज्या

🌡️

अध्याय 8: ऊष्मीय भौतिकी एवं गैसों का अणुगति सिद्धांत

7 सूत्र

थर्मल विस्तार, कैलोरीमेट्री, आदर्श गैस कानून, गतिज सिद्धांत दबाव, आणविक गति (आरएमएस/एवीजी/एमपी), और दाढ़ ताप क्षमता

1

थर्मल विस्तार (रैखिक, सतही, वॉल्यूमेट्रिक)

ΔL = α·L₀·ΔT, ΔA = 2α·A₀·ΔT, ΔV = 3α·V₀·ΔT = γ·V₀·ΔT

तापमान वृद्धि के आनुपातिक आंशिक आयामी विस्तार ΔT (β = 2α, γ = 3α)

α: रैखिक थर्मल विस्तार गुणांक ΔT: तापमान परिवर्तन (T_f - T_i)

2

चरण परिवर्तन की संवेदनशील ऊष्मा और गुप्त ऊष्मा

Q = m·c·ΔT, Q_phase = m·L

तापमान बढ़ाने या आइसोथर्मल ठोस/तरल/गैस चरण संक्रमण को प्रभावित करने के लिए आवश्यक गर्मी

Q: ऊष्मा ऊर्जा अवशोषित या मुक्त होती है c: विशिष्ट ताप क्षमता (पानी: 4186 J/kg·K) L: विशिष्ट गुप्त ऊष्मा (संलयन/वाष्पीकरण)

3

आदर्श गैस अवस्था समीकरण

P·V = n·R·T = N·k_B·T

आदर्श गैस के दबाव, आयतन, तापमान और मात्रा से संबंधित संवैधानिक समीकरण

P: पूर्ण दबाव V: आयतन n: मोल्स की संख्या R: सार्वभौमिक गैस स्थिरांक (8.31446 J/(mol·K)) k_B: बोल्ट्ज़मान स्थिरांक (1.38065 × 10⁻²³ J/K) T: निरपेक्ष तापमान

4

गैस के दबाव का गतिज सिद्धांत

P = ⅓·ρ·v_rms² = ⅓·(N·mV)·v_rms²

आणविक गति टकरावों से स्थूल गैस दबाव की सूक्ष्म सांख्यिकीय व्युत्पत्ति

ρ: गैस घनत्व (M_total/V) v_rms: मूल-माध्य-वर्ग आणविक गति

5

आरएमएस, औसत और सर्वाधिक संभावित गैस गति

v_rms = √3RTM, v_avg = √8RTπM, v_mp = √2RTM

विशेषता मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आणविक वेग वितरण गति (v_rms > v_avg > v_mp)

M: गैस का मोलर द्रव्यमान T: निरपेक्ष तापमान

6

आंतरिक ऊर्जा और स्वतंत्रता की डिग्री

U = (f2)·n·R·T, E_k(per molecule) = (f2)·k_B·T

समविभाजन प्रमेय: स्वतंत्रता की प्रत्येक द्विघात डिग्री प्रति अणु ½ k_B T का योगदान करती है

f: स्वतंत्रता की कोटि (मोनो=3, व्यास=5, पॉली=6) U: कुल आंतरिक तापीय ऊर्जा

7

मेयर का संबंध और ताप क्षमता अनुपात γ

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v = 1 + (2f)

स्थिर दबाव (C_p) और स्थिर आयतन (C_v) पर मोलर ताप क्षमता के बीच संबंध

C_p, C_v: दाढ़ ताप क्षमता γ: रुद्धोष्म सूचकांक/पॉइसन अनुपात (मोनो=1.67, व्यास=1.40)

🔥

अध्याय 9: ऊष्मागतिकी एवं ऊष्मा अंतरण

10 सूत्र

थर्मोडायनामिक्स का पहला नियम, थर्मोडायनामिक कार्य प्रक्रियाएं (आइसोथर्मल, एडियाबेटिक, आइसोबैरिक, आइसोकोरिक), कार्नोट इंजन दक्षता, स्टीफन-बोल्ट्जमैन कानून और वीन विस्थापन

1

ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम

ΔU = Q - W ⟹ Q = ΔU + W, W = ∫ P dV

थर्मोडायनामिक प्रणालियों के लिए ऊर्जा का संरक्षण (सिस्टम में Q, सिस्टम द्वारा किया गया W कार्य)

ΔU: आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन (n C_v ΔT) Q: सिस्टम में गर्मी जुड़ गई W: तंत्र विस्तार द्वारा किया गया कार्य

2

इज़ोटेर्मल प्रक्रिया में किया गया कार्य (T = const, ΔU = 0)

W_iso = n·R·T·ln(V_fV_i) = n·R·T·ln(P_iP_f)

कड़ाई से स्थिर तापमान पर अर्धस्थैतिक प्रतिवर्ती विस्तार/संपीड़न

W_iso: इज़ोटेर्मल कार्य किया गया V_i, V_f: आरंभिक और अंतिम खंड

3

रुद्धोष्म प्रक्रिया और किया गया कार्य (क्यू = 0, पीवी^γ = स्थिरांक)

P·V^γ = const, W_adi = P_i·V_i - P_f·V_fγ - 1 = n·R·(T_i - T_f)γ - 1

परिवेश के साथ शून्य ताप विनिमय के साथ प्रतिवर्ती प्रक्रिया (टी वी^(γ-1) = स्थिरांक)

W_adi: रुद्धोष्म कार्य γ: ताप क्षमता अनुपात (C_p / C_v)

4

आइसोबैरिक (पी = स्थिरांक) और आइसोकोरिक (वी = स्थिरांक) कार्य

W_isobaric = P·ΔV = n·R·ΔT, W_isochoric = 0 (since dV = 0)

निरंतर दबाव में, कार्य आयताकार क्षेत्र PΔV है; स्थिर आयतन के अंतर्गत शून्य कार्य किया जाता है

P: स्थिर तापमान ΔV: वॉल्यूम परिवर्तन

5

कार्नोट हीट इंजन अधिकतम दक्षता

η = W_outQ_in = 1 - (Q_CQ_H) = 1 - (T_CT_H)

तापमान T_H और T_C के बीच संचालन दक्षता पर सैद्धांतिक ऊपरी थर्मोडायनामिक सीमा

η: थर्मल दक्षता (0 ≤ η < 1) T_H: गर्म जलाशय का तापमान T_C: शीत सिंक जलाशय तापमान

6

प्रदर्शन का गुणांक (रेफ्रिजरेटर / हीट पंप)

COP_ref = Q_CW = T_CT_H - T_C, COP_hp = Q_HW = T_HT_H - T_C

यांत्रिक कंप्रेसर कार्य इनपुट की प्रति यूनिट कूलिंग या हीटिंग आउटपुट ऊर्जा प्रदान की जाती है

COP: प्रदर्शन का गुणांक W: कार्य इनपुट आवश्यक है

7

थर्मल चालन (फूरियर का नियम)

dQdt = k·A·(T_H - T_C)L

तापीय चालकता k और मोटाई L के एक स्लैब में स्थिर-अवस्था ऊष्मा चालन की दर

dQdt: ऊष्मा अंतरण दर k: ऊष्मीय चालकता A: क्रॉस-सेक्शनल चालन क्षेत्र L: स्लैब की मोटाई

8

तापीय विकिरण का स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मैन नियम

P = e·σ·A·(T⁴ - T₀⁴)

T₀ पर परिवेशी वातावरण में उत्सर्जकता e के धूसर पिंड द्वारा उत्सर्जित शुद्ध विकिरण शक्ति

P: दीप्तिमान शक्ति उत्सर्जित σ: स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मान स्थिरांक (5.67037 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)) e: सतह की उत्सर्जनशीलता (0 < e ≤ 1, ब्लैकबॉडी = 1) T: निरपेक्ष सतह का तापमान

9

वियन का विस्थापन नियम (शिखर तरंगदैर्घ्य)

λ_max·T = b = 2.89777 × 10⁻³ m·K

ब्लैकबॉडी स्पेक्ट्रम की चरम उत्सर्जन तरंग दैर्ध्य पूर्ण तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है

λ_max: चरम वर्णक्रमीय चमक की तरंग दैर्ध्य T: निरपेक्ष तापमान b: वीन का विस्थापन स्थिरांक

10

न्यूटन का शीतलन नियम

dTdt = -k·(T - T_env) ⟹ T(t) = T_env + (T₀ - T_env)·e^(-kt)

संवहन/विकिरण द्वारा ऊष्मा हानि की दर परिवेश पर अतिरिक्त तापमान के समानुपाती होती है

T(t): समय पर तापमान टी T_env: परिवेश का तापमान k: शीतलन दर स्थिर

⏳

अध्याय 10: सरल आवर्त गति एवं दोलन

8 सूत्र

एसएचएम की गतिकी, सरल पेंडुलम, स्प्रिंग-मास सिस्टम, श्रृंखला/समानांतर स्प्रिंग्स, भौतिक पेंडुलम, कुल ऊर्जा और नम दोलन

1

एसएचएम में विस्थापन, वेग और त्वरण

x = A·sin(ωt + φ), v = dxdt = ω·√A² - x², a = d²xdt² = -ω²·x

परिभाषित पुनर्स्थापना स्थिति ∝ -x के साथ रैखिक एसएचएम की मौलिक गतिकी

A: आयाम ω = 2πf: कोणीय आवृत्ति φ: प्रारंभिक चरण युग कोण x: तात्कालिक विस्थापन

2

सरल पेंडुलम (छोटे कोण) की समयावधि

T = 2π·√Lg, f = (12π)·√gL

एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र g में लंबाई L के पेंडुलम की अवधि (बॉब द्रव्यमान m से स्वतंत्र)

T: दोलन की समयावधि L: पेंडुलम की प्रभावी लंबाई g: गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

3

स्प्रिंग-मास ऑसिलेटर की समय अवधि

T = 2π·√mk, ω = √km

कठोरता k के क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर घर्षण रहित स्प्रिंग पर ब्लॉक द्रव्यमान m की दोलन अवधि

T: दोलन काल m: दोलनशील द्रव्यमान k: वसंत स्थिरांक

4

स्प्रिंग संयोजन (श्रृंखला और समानांतर)

1k_series = 1k₁+1k₂, k_parallel = k₁ + k₂

श्रृंखला या समानांतर में एकाधिक युग्मित स्प्रिंग्स के लिए समतुल्य स्प्रिंग कठोरता

k_s, k_p: समतुल्य वसंत स्थिरांक

5

भौतिक (यौगिक) पेंडुलम अवधि

T = 2π·√Im·g·d = 2π·√k_g² + d²g·d

अपने द्रव्यमान के केंद्र से दूरी d पर घूमे हुए मनमाने ढंग से कठोर शरीर का दोलन

I: निलंबन धुरी अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण d: निलंबन धुरी से द्रव्यमान के केंद्र तक की दूरी

6

मरोड़ पेंडुलम अवधि

T = 2π·√Iκ, τ = -κ·θ

मरोड़ कठोरता स्थिरांक κ के साथ तार द्वारा समर्थित डिस्क का घूर्णी दोलन

I: मरोड़ वाले तार अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण κ: टॉर्सनल स्प्रिंग स्थिरांक (प्रति रेडियन टॉर्क बहाल करना)

7

एसएचएम में कुल यांत्रिक ऊर्जा

E = K + U = ½m·v² + ½k·x² = ½k·A² = ½m·ω²·A²

गतिज और संभावित रूपों के बीच बारी-बारी से कुल यांत्रिक ऊर्जा सख्ती से स्थिर रहती है

E: कुल स्थिर यांत्रिक ऊर्जा A: दोलन आयाम

8

नम हार्मोनिक थरथरानवाला

x(t) = A₀·e^(-γt)·cos(ω't + φ), ω' = √ω₀² - γ², γ = b2m

चिपचिपा प्रतिरोध एफ = -बीवी के तहत भिगोना क्षीणन कारक γ के साथ आयाम तेजी से घटता है

b: चिपचिपा अवमंदन गुणांक γ: अवमंदन गुणांक (बी/2एम) ω': नम कोणीय आवृत्ति

🔊

अध्याय 11: तरंग गति, ध्वनि एवं ध्वनिकी

9 सूत्र

तरंग समीकरण, तार पर तरंग की गति, तरल पदार्थ/गैसों में ध्वनि का वेग, डेसीबल तीव्रता का पैमाना, पाइप/तार में खड़ी तरंगें, धड़कन और डॉपलर प्रभाव

1

हार्मोनिक यात्रा तरंग समीकरण

y(x, t) = A·sin(k·x ∓ ω·t + φ), k = 2πλ, ω = 2π·f

निर्देशांक x और समय t पर माध्यम का अनुप्रस्थ या अनुदैर्ध्य विस्थापन (- +x दिशा के लिए)

y(x,t): तरंग विस्थापन A: तरंग आयाम k: कोणीय तरंग संख्या λ: वेवलेंथ f: आवृत्ति

2

तरंग गति संबंध

v = f·λ = ωk = λT

स्थानिक तरंगदैर्घ्य और लौकिक आवृत्ति को जोड़ने वाला मौलिक वेग संबंध

v: तरंग प्रसार गति f: आवृत्ति λ: वेवलेंथ

3

तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति

v = √T_tensionμ, μ = mL (Linear mass density)

तनावग्रस्त स्ट्रिंग पर प्रसार वेग तनाव टी और द्रव्यमान प्रति इकाई लंबाई μ द्वारा नियंत्रित होता है

v: अनुप्रस्थ तरंग गति T_tension: स्ट्रिंग यांत्रिक तनाव μ: रैखिक द्रव्यमान घनत्व

4

आदर्श गैस में ध्वनि की गति (लाप्लास फॉर्मूला)

v_sound = √γ·Pρ = √γ·R·TM

तापमान T पर गैस में रुद्धोष्म ध्वनिक तरंग गति (20°C पर हवा में ~343 m/s)

v_sound: ध्वनि की ध्वनिक गति γ: रुद्धोष्म सूचकांक (द्विपरमाणुक वायु के लिए 1.40) M: गैस का मोलर द्रव्यमान (वायु के लिए 0.029 किग्रा/मोल)

5

ध्वनि तीव्रता स्तर (डेसीबल स्केल)

β = 10·log₁₀(II₀), I₀ = 10⁻¹² Wm²

मानव श्रवण की सीमा I₀ के सापेक्ष लघुगणकीय डेसीबल पैमाना

β: ध्वनि की तीव्रता का स्तर I: ध्वनिक ध्वनि तीव्रता I₀: श्रवण सीमा (10⁻¹² W/m²)

6

स्थायी तरंगें (स्थिर स्ट्रिंग और खुली पाइप)

f_n = n·(v2L) = n·f₁ (n = 1, 2, 3, 4...)

दोनों सिरों पर लगी एक स्ट्रिंग या दोनों सिरों पर खुले ऑर्गन पाइप के लिए हार्मोनिक आवृत्तियाँ (सभी हार्मोनिक्स मौजूद)

f_n: एन-वें हार्मोनिक की आवृत्ति L: स्ट्रिंग/पाइप की लंबाई n: हार्मोनिक पूर्णांक क्रम

7

एक सिरे पर बंद पाइप में खड़ी लहरें

f_n = (2n - 1)·(v4L) (n = 1, 2, 3... ⟹ 1f₁, 3f₁, 5f₁...)

एक सिरे पर बंद पाइप में गुंजयमान आवृत्तियाँ (केवल विषम हार्मोनिक्स का समर्थन करती हैं: पहला, तीसरा, पाँचवाँ...)

f_n: गुंजयमान ध्वनिक आवृत्ति L: पाइप की लंबाई

8

मारो आवृत्ति

f_beat = |f₁ - f₂|

आवधिक रचनात्मक/विनाशकारी तीव्रता मॉड्यूलेशन जब करीबी आवृत्तियों की दो तरंगें सुपरपोज़ होती हैं

f_beat: बीट मॉड्यूलेशन आवृत्ति f₁, f₂: दो सुपरपोज़िंग स्रोतों की आवृत्तियाँ

9

ध्वनि तरंगों के लिए डॉपलर प्रभाव

f' = f·[v ± v_observerv ∓ v_source ]

माध्यम के माध्यम से पर्यवेक्षक (v_o) और स्रोत (v_s) की सापेक्ष गति के कारण स्पष्ट आवृत्ति स्थानांतरित हो गई

f': स्पष्ट आवृत्ति देखी गई f: स्रोत सत्य उत्सर्जित आवृत्ति v: माध्यम में ध्वनि की गति v_o, v_s: प्रेक्षक और स्रोत वेग (+ की ओर, - दूर)

⚡

अध्याय 12: स्थिरवैद्युतिकी एवं विद्युत धारिता

11 सूत्र

कूलम्ब का नियम, विद्युत क्षेत्र, विद्युत विभव, विद्युत द्विध्रुव, गॉस का नियम, धारिता, श्रृंखला/समानांतर संधारित्र, और क्षेत्र ऊर्जा घनत्व

1

कूलम्ब का स्थिरवैद्युत बल का नियम

F = (14πε₀)·(|q₁·q₂|r²) = k_e·(|q₁·q₂|r²)

दो स्थिर बिंदु आवेशों के बीच व्युत्क्रम-वर्ग इलेक्ट्रोस्टैटिक आकर्षण या प्रतिकर्षण

k_e = 14πε₀: कूलम्ब स्थिरांक (~8.98755 × 10⁹ N·m²/C²) ε₀: मुक्त स्थान की पारगम्यता (8.85419 × 10⁻¹² C²/(N·m²)) q₁, q₂: विद्युत आवेश परिमाण r: पृथक्करण दूरी

2

बिंदु आवेश का विद्युत क्षेत्र

E = Fq₀ = (14πε₀)·(qr²)·r̂

विद्युत क्षेत्र में रखे गए प्रति यूनिट सकारात्मक परीक्षण चार्ज q₀ पर अनुभव किया गया बल

E: विद्युत क्षेत्र की तीव्रता q: स्रोत बिंदु प्रभार

3

विद्युत क्षमता और क्षेत्र के साथ संबंध

V = (14πε₀)·(qr), E = -dVdr = -∇V

इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश को बिना त्वरण के अनंत से दूरी r तक लाने में किया गया कार्य

V: विद्युतीय संभाव्यता E: विद्युत क्षेत्र

4

चार्ज जोड़ी की इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा

U = (14πε₀)·(q₁·q₂)r

दूरी r द्वारा अलग किए गए दो आवेशों के विन्यास में संग्रहीत ऊर्जा (समान के लिए सकारात्मक, विपरीत के लिए नकारात्मक)

U: इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा

5

इलेक्ट्रिक डिपोल मोमेंट, टॉर्क और संभावित ऊर्जा

p = q·2a, τ = p × E = p·E·sinθ, U = - p·E = - p·E·cosθ

द्विध्रुव सदिश ऋणात्मक से धनात्मक आवेश की ओर इंगित करता है; बाहरी क्षेत्र ई के साथ संरेखित होता है

p: विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण τ: टॉर्क बहाल करना U: द्विध्रुव की संभावित ऊर्जा

6

गॉस का इलेक्ट्रोस्टैटिक्स का नियम

Φ_E = ∮ E·dA = Q_enclosedε₀

किसी भी बंद गॉसियन सतह के माध्यम से कुल विद्युत प्रवाह ε₀ से विभाजित संलग्न चार्ज के बराबर होता है

Φ_E: विद्युत प्रवाह Q_enclosed: शुद्ध आंतरिक प्रभार संलग्न

7

लाइन चार्ज और अनंत शीट का विद्युत क्षेत्र

E_line = λ2πε₀·r, E_sheet = σ2ε₀, E_cond = σε₀

एकसमान रैखिक आवेश घनत्व λ और सतह आवेश घनत्व σ के लिए गॉस नियम से व्युत्पन्न

λ: रैखिक आवेश घनत्व σ: सतह चार्ज घनत्व

8

समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता

C = κ·ε₀·Ad

प्लेट क्षेत्र ए और ढांकता हुआ स्थिरांक के लिए आनुपातिक समाई; पृथक्करण के व्युत्क्रमानुपाती d

C: समाई κ: माध्यम का ढांकता हुआ स्थिरांक (वैक्यूम κ = 1) A: प्लेट ओवरलैप क्षेत्र d: प्लेट पृथक्करण दूरी

9

श्रृंखला और समानांतर संयोजन में कैपेसिटर

1C_series = 1C₁+1C₂+ ..., C_parallel = C₁ + C₂ + ...

श्रृंखला में: चार्ज Q सभी कैपेसिटर में समान है; समानांतर में: वोल्टेज V समान है

C_s, C_p: समतुल्य धारिता

10

संधारित्र में संग्रहीत इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा

U = ½·C·V² = Q²2C = ½·Q·V

संभावित अंतर V पर आवेशित संधारित्र प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र में संग्रहीत ऊर्जा

U: संग्रहित इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा Q: संग्रहित चार्ज (Q = C·V) V: वोल्टेज संभावित अंतर

11

विद्युत क्षेत्र ऊर्जा घनत्व

u_E = ½·ε₀·E²

विद्युत क्षेत्र ई द्वारा घेरे गए स्थान की प्रति इकाई मात्रा में संग्रहीत इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा

u_E: ऊर्जा घनत्व E: विद्युत क्षेत्र का परिमाण

🔌

अध्याय 13: विद्युत धारा एवं DC परिपथ

9 सूत्र

बहाव वेग, ओम का नियम, प्रतिरोधकता, तापमान निर्भरता, किरचॉफ के नियम (केसीएल/केवीएल), व्हीटस्टोन ब्रिज, आंतरिक प्रतिरोध और आरसी सर्किट

1

विद्युत धारा एवं बहाव वेग

I = n·e·A·v_d, v_d = e·E·τm

स्थूल धारा I को सूक्ष्म इलेक्ट्रॉन बहाव वेग v_d और विश्राम समय τ से संबंधित करता है

I: मौजूदा n: प्रति इकाई आयतन में मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व e: प्राथमिक इलेक्ट्रॉन आवेश (1.602 × 10⁻¹⁹ C) A: कंडक्टर पार-अनुभागीय क्षेत्र v_d: बहाव वेग τ: माध्य टकराव विश्राम समय

2

वर्तमान घनत्व एवं सूक्ष्मदर्शी ओम का नियम

j = IA = σ·E = Eρ, σ = 1ρ = n·e²·τm

वर्तमान घनत्व j को विद्युत क्षेत्र E और चालकता σ से जोड़ने वाले ओम के नियम का वेक्टर रूप

j: वर्तमान घनत्व σ: इलेक्ट्रिकल कंडक्टीविटी ρ: प्रतिरोधकता

3

प्रतिरोध, प्रतिरोधकता और तापमान गुणांक

R = ρ·(LA), R(T) = R₀·[1 + α·(T - T₀)]

लंबाई और तापमान के साथ प्रतिरोध पैमाने; अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A के व्युत्क्रमानुपाती

R: विद्युत प्रतिरोध ρ: सामग्री विद्युत प्रतिरोधकता α: प्रतिरोध का तापमान गुणांक

4

ओम का नियम और विद्युत शक्ति अपव्यय

V = I·R, P = V·I = I²·R = V²R, H = I²·R·t

जूल का ताप नियम: विद्युत शक्ति एक प्रतिरोधक आर में ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है

V: वोल्टेज संभावित अंतर I: मौजूदा P: विद्युत शक्ति अपव्यय H: जूल तापीय ऊष्मा नष्ट हो गई

5

श्रृंखला और समानांतर में प्रतिरोधक

R_series = R₁ + R₂ + ...,1R_parallel = 1R₁+1R₂+ ...

नेटवर्क तत्वों के संयोजन के लिए समतुल्य प्रतिरोध नियम

R_s, R_p: समतुल्य सर्किट प्रतिरोध

6

सेल इलेक्ट्रोमोटिव बल और आंतरिक प्रतिरोध

V = E_emf - I·r, I = E_emfR + r

डिस्चार्ज के दौरान आंतरिक प्रतिरोध r के कारण टर्मिनल वोल्टेज V ओपन-सर्किट EMF ℰ से कम है

ℰ: ओपन-सर्किट इलेक्ट्रोमोटिव बल ईएमएफ V: टर्मिनल आउटपुट वोल्टेज r: बैटरी/सेल का आंतरिक प्रतिरोध R: बाहरी लोड सर्किट प्रतिरोध

7

किरचॉफ के वर्तमान और वोल्टेज कानून (केसीएल और केवीएल)

KCL (Junction): ∑ I_in = ∑ I_out, KVL (Loop): ∑ ΔV = ∑ E_emf - ∑ I·R = 0

केसीएल चार्ज संरक्षण का प्रतिनिधित्व करता है; केवीएल बंद लूपों में इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा संरक्षण का प्रतिनिधित्व करता है

∑ I: नोडल जंक्शन धाराओं का योग ∑ ΔV: लूप में शाखा संभावित बूंदों का योग

8

व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलन स्थिति

R₁R₂ = R₃R₄ ⟹ I_galvanometer = 0

अज्ञात प्रतिरोध के सटीक माप के लिए मीटर ब्रिज और पोस्ट ऑफिस बॉक्स में उपयोग किया जाता है

R₁, R₂, R₃, R₄: चार ब्रिज आर्म प्रतिरोध

9

आरसी सर्किट चार्जिंग और डिस्चार्जिंग क्षणिक

Charging: q(t) = Q₀·(1 - e^(-tRC)), Discharging: q(t) = Q₀·e^(-tRC), τ = R·C

संधारित्र एक समय स्थिरांक τ = RC में अधिकतम Q₀ के 63.2% तक चार्ज होता है (36.8% तक डिस्चार्ज होता है)

τ = RC: कैपेसिटिव समय स्थिरांक Q₀: अधिकतम स्थिर-अवस्था शुल्क (C·V₀)

🧲

अध्याय 14: चुंबकत्व, बायो-सावर्ट नियम एवं लॉरेंट्ज़ बल

10 सूत्र

चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल, वर्तमान तार बल, साइक्लोट्रॉन त्रिज्या, बायोट-सावर्ट कानून, सीधे तार क्षेत्र, सोलनॉइड/टोरॉयड, समानांतर धाराएं, और चुंबकीय द्विध्रुवीय टोक़

1

गतिशील आवेश पर चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल

F_B = q·(v × B) = q·v·B·sinθ

चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर कार्य करने वाला लंबवत विक्षेपक बल (शून्य कार्य किया गया)

F_B: चुंबकीय बल q: आवेश परिमाण v: वेग सदिश B: चुंबकीय प्रवाह घनत्व θ: वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण

2

कुल संयुक्त लोरेंत्ज़ बल (ई + बी फ़ील्ड)

F_total = q·(E + v × B)

एक साथ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र में आरोपित बल (वेग चयनकर्ता: v = E/B)

E: विद्युत क्षेत्र B: चुंबकीय क्षेत्र

3

करंट ले जाने वाले कंडक्टर पर चुंबकीय बल

F = I·(L × B) = I·L·B·sinθ

एकसमान क्षेत्र B में रखे गए I धारा प्रवाहित लंबाई L के सीधे तार पर बल

F: तार पर चुंबकीय बल I: कंडक्टर करंट L: वर्तमान दिशा में लंबाई वेक्टर

4

साइक्लोट्रॉन कक्षा त्रिज्या और आवृत्ति

r = m·vq·B, f = q·B2π·m, T = 2π·mq·B

अनुप्रस्थ चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के पेचदार/वृत्ताकार कक्षा पैरामीटर (आवृत्ति वेग-स्वतंत्र है)

r: जाइरोरेडियस/लार्मोर त्रिज्या f: साइक्लोट्रॉन अनुनाद आवृत्ति

5

मैग्नेटोस्टैटिक्स का बायोट-सावर्ट नियम

dB = (μ₀4π)·[I·dl × r̂r²] = μ₀·I·dl·sinθ4π·r²

वर्तमान तत्व I dl द्वारा दूरी r पर उत्पन्न अनंत चुंबकीय क्षेत्र

μ₀4π: चुंबकीय पारगम्यता स्थिरांक (10⁻⁷ T·m/A) μ₀: निर्वात की पारगम्यता (4π × 10⁻⁷ H/m या T·m/A) dl: लंबाई तत्व वेक्टर

6

लंबे सीधे तार का चुंबकीय क्षेत्र

B = μ₀·I2π·r

एक अनंत लंबे सीधे तार से रेडियल दूरी r पर संकेंद्रित गोलाकार चुंबकीय क्षेत्र

B: चुंबकीय प्रवाह घनत्व I: स्थिर धारा r: तार अक्ष से लंबवत दूरी

7

वृत्ताकार लूप का चुंबकीय क्षेत्र (केंद्र और अक्ष)

B_center = μ₀·N·I2R, B_axis = μ₀·N·I·R²[2·(R² + x²)^(32)]

अक्ष के अनुदिश x दूरी पर R त्रिज्या के N फेरों की एक वृत्ताकार कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र

N: वृत्ताकार घुमावों की संख्या R: लूप त्रिज्या x: केंद्रीय कुंडल अक्ष के अनुदिश दूरी

8

एम्पीयर का सर्किटल लॉ और सोलेनॉइड फील्ड

∮ B·dl = μ₀·I_encl, B_solenoid = μ₀·n·I (n = NL)

प्रति इकाई लंबाई में n घुमावों के साथ कसकर लपेटे गए सोलनॉइड के अंदर एकसमान आंतरिक अक्षीय चुंबकीय क्षेत्र

B_solenoid: कोर चुंबकीय क्षेत्र n = NL: प्रति इकाई लंबाई में घुमाव

9

दो समानांतर धारा प्रवाहित तारों के बीच बल

FL = μ₀·I₁·I₂2π·d

समान दिशा में समानांतर धाराओं के लिए आकर्षक बल; प्रतिसमानांतर धाराओं के लिए प्रतिकारक (एसआई एम्पीयर परिभाषा)

FL: प्रति इकाई लंबाई पर बल d: समानांतर कंडक्टरों के बीच पृथक्करण दूरी

10

करंट लूप पर चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण और टॉर्क

M = N·I·A, τ = M × B = N·I·A·B·sinθ, U = - M·B

मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर, डीसी मोटर्स और परमाणु चुंबकीय क्षणों का संचालन सिद्धांत

M: चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण A: लूप संलग्न क्षेत्र वेक्टर τ: विक्षेपण बलाघूर्ण

⚡

अध्याय 15: विद्युतचुंबकीय प्रेरण एवं AC परिपथ

10 सूत्र

फैराडे का नियम, लेन्ज़ का नियम, गतिमान ईएमएफ, स्व/पारस्परिक प्रेरण, चुंबकीय ऊर्जा घनत्व, आरएमएस मान, एलसीआर सर्किट में प्रतिबाधा, अनुनाद और ट्रांसफार्मर

1

फैराडे का विद्युत चुम्बकीय प्रेरण का नियम और लेन्ज़ का नियम

E_ind = - N·(dΦ_Bdt), Φ_B = B·A = B·A·cosθ

प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल लूप के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह के परिवर्तन की नकारात्मक समय दर के बराबर होता है (लेन्ज़ कारण का विरोध करता है)

ℰ: प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल (ईएमएफ) Φ_B: चुंबकीय प्रवाह N: घुमावों की संख्या

2

मूविंग कंडक्टर में मोशनल ईएमएफ

E_motional = B·L·v·sinθ

क्षेत्र B के पार v गति से घूम रही L लंबाई की एक संवाहक छड़ के सिरों पर EMF प्रेरित होता है

ℰ: मोटिवेशनल ईएमएफ B: चुंबकीय क्षेत्र L: कंडक्टर की लंबाई v: वेग

3

स्व-प्रेरकत्व और पारस्परिक प्रेरण

E_self = - L·(dIdt), E_mutual = - M·(dI₁dt), L_solenoid = μ₀·n²·A·l

किसी कुंडली (स्वयं) या युग्मित आसन्न कुंडली (पारस्परिक) में धारा में परिवर्तन का विरोध

L, M: स्व और पारस्परिक प्रेरण dIdt: वर्तमान परिवर्तन की दर

4

प्रेरक और ऊर्जा घनत्व में चुंबकीय ऊर्जा

U_B = ½·L·I², u_B = B²2μ₀

एक सक्रिय प्रारंभकर्ता के अंदर स्थापित चुंबकीय क्षेत्र में संग्रहीत संभावित ऊर्जा

U_B: संग्रहित चुंबकीय ऊर्जा u_B: चुंबकीय ऊर्जा घनत्व

5

प्रत्यावर्ती धारा/वोल्टेज का आरएमएस और चरम मान

V_rms = V₀√2 ≈ 0.707 V₀, I_rms = I₀√2 ≈ 0.707 I₀

साइनसॉइडल प्रत्यावर्ती वोल्टेज और धारा के लिए प्रभावी समतुल्य डीसी ताप मान

V_rms, I_rms: मूल-माध्य-वर्ग मान (जैसे 230V / 120V मेन) V₀, I₀: शिखर साइनसोइडल आयाम

6

आगमनात्मक और कैपेसिटिव प्रतिक्रिया

X_L = ω·L = 2π·f·L, X_C = 1ω·C = 12π·f·C

इंडक्टर्स और कैपेसिटर द्वारा प्रस्तुत वर्तमान प्रवाह के लिए फ्रीक्वेंसी-निर्भर एसी विरोध

X_L: आगमनात्मक प्रतिक्रिया (वर्तमान वोल्टेज से 90° पीछे) X_C: कैपेसिटिव रिएक्शन (करंट लीड वोल्टेज 90°) f: एसी आवृत्ति

7

श्रृंखला एलसीआर सर्किट प्रतिबाधा और चरण कोण

Z = √[ R² + (X_L - X_C)² ], tanφ = X_L - X_CR

श्रृंखला आर-एल-सी सर्किट में कुल संयुक्त एसी विद्युत प्रतिबाधा विरोध वेक्टर

Z: कुल सर्किट प्रतिबाधा φ: वोल्टेज और करंट के बीच चरण कोण

8

एलसीआर सर्किट की गुंजयमान आवृत्ति और गुणवत्ता कारक क्यू

f₀ = 12π·√L·C, Q = ω₀·LR = (1R)·√LC

अनुनाद स्थिति X_L = X_C जहां सर्किट प्रतिबाधा पूर्ण न्यूनतम Z = R तक पहुंच जाती है और करंट अधिकतम हो जाता है

f₀: प्राकृतिक विद्युत अनुनाद आवृत्ति Q: गुणवत्ता कारक / अनुनाद की तीक्ष्णता (आयाम रहित)

9

एसी ट्रू पावर और पावर फैक्टर

P_avg = V_rms·I_rms·cosφ, Power Factor: cosφ = RZ

वाट में खपत की गई वास्तविक बिजली (cosφ = 0 के साथ शुद्ध प्रतिक्रियाशील सर्किट शून्य औसत वाट रहित बिजली की खपत करते हैं)

P_avg: वास्तविक औसत विद्युत शक्ति cosφ: पावर फैक्टर (0 ≤ cosφ ≤ 1)

10

ट्रांसफार्मर टर्न अनुपात और दक्षता

V_sV_p = N_sN_p = I_pI_s = k, η = P_outP_in = V_s·I_sV_p·I_p

स्टेप-अप (k > 1) या स्टेप-डाउन (k <1) पारस्परिक एसी वोल्टेज परिवर्तन संरक्षण शक्ति

V_p, V_s: प्राथमिक और द्वितीयक वोल्टेज N_p, N_s: प्राथमिक और द्वितीयक कुंडल घुमाव I_p, I_s: प्राथमिक और द्वितीयक धाराएँ

⚛️

अध्याय 16: प्रकाशिकी, क्वांटम एवं आधुनिक नाभिकीय भौतिकी

12 सूत्र

मिरर/लेंस समीकरण, स्नेल का नियम, यंग का डबल स्लिट, फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव, डी ब्रोगली पदार्थ तरंगें, बोह्र परमाणु, रेडियोधर्मी क्षय और द्रव्यमान-ऊर्जा सापेक्षता

1

गोलाकार दर्पण सूत्र एवं आवर्धन

1f = 1v+1u, m = -vu = h_ih_o

मानक कार्टेशियन संकेत सम्मेलन के साथ फोकल लंबाई एफ, छवि दूरी वी और ऑब्जेक्ट दूरी यू से संबंधित है

f: फोकल लंबाई (f = R/2) u: ध्रुव से वस्तु की दूरी v: पोल से छवि की दूरी m: रैखिक अनुप्रस्थ आवर्धन

2

स्नेल का अपवर्तन एवं पूर्ण आंतरिक परावर्तन का नियम

n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂, sin(θ_c) = n₂n₁ (for n₁ > n₂)

पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए प्रकाश किरण का ऑप्टिकल सीमाओं और क्रांतिक कोण θ_c पर झुकना

n₁, n₂: मीडिया के अपवर्तक सूचकांक (एन = सी / वी) θ₁, θ₂: आपतन और अपवर्तन के कोण θ_c: पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए क्रांतिक कोण

3

लेंस निर्माता का सूत्र और पतला लेंस समीकरण

1f = (n - 1)·(1R₁-1R₂),1f = 1v-1u, P = 1f(m)

अपवर्तनांक n और वक्रता त्रिज्या R₁, R₂ से डायोप्टर (D = m⁻¹) में ऑप्टिकल पावर P की गणना करता है

f: लेंस की फोकल लंबाई P: लेंस की ऑप्टिकल शक्ति R₁, R₂: गोलाकार वक्रता की त्रिज्या

4

यंग की डबल स्लिट इंटरफेरेंस फ्रिंज चौड़ाई

β = λ·Dd, y_n(bright) = n·(λ·Dd), y_n(dark) = (2n - 1)·(λ·D2d)

दूरी D पर एक स्क्रीन पर लगातार हस्तक्षेप फ्रिंजों के बीच स्थानिक फ्रिंज रिक्ति β

β: फ्रिंज चौड़ाई अंतर λ: प्रकाश तरंगदैर्घ्य D: स्लिट से स्क्रीन तक की दूरी d: भट्ठा पृथक्करण दूरी

5

आइंस्टीन का फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण

E_photon = h·f = Φ₀ + K_max = h·f₀ + e·V_s

फोटॉन ऊर्जा एचएफ धातु कार्य फ़ंक्शन Φ₀ पर काबू पाती है और अधिकतम गतिज ऊर्जा K_max प्रदान करती है

h: प्लैंक स्थिरांक (6.62607 × 10⁻³⁴ J·s) f: घटना फोटॉन आवृत्ति Φ₀ = h·f₀: धातु का दहलीज कार्य कार्य V_s: संभावित वोल्टेज को रोकना

6

द्रव्य तरंगों की डी ब्रोगली तरंगदैर्घ्य

λ = hp = hm·v = h√2m·K = h√2m·q·V

तरंग-कण द्वंद्व: प्रत्येक गतिमान कण में एक संबद्ध क्वांटम डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य होता है

λ: डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य p: कण संवेग V: संभावित वोल्टेज में तेजी लाना

7

बोहर का हाइड्रोजन परमाणु मॉडल (ऊर्जा और त्रिज्या)

r_n = n²·h²·ε₀π·m·e² = 0.529·n² Å, E_n = -13.6n² eV

हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं के लिए परिमाणित इलेक्ट्रॉन कक्षीय त्रिज्या r_n और बाध्य स्थिर ऊर्जा स्थिति E_n

n: प्रमुख क्वांटम संख्या (n = 1, 2, 3...) E_n: n-वें कक्षीय स्तर की कुल ऊर्जा

8

हाइड्रोजन स्पेक्ट्रल श्रृंखला के लिए रिडबर्ग फॉर्मूला

1λ = R_H·[1n₁²-1n₂²] (Lyman n₁ = 1, Balmer n₁ = 2, Paschen n₁ = 3)

परमाणु संक्रमणों में उत्सर्जन/अवशोषण वर्णक्रमीय रेखा तरंग दैर्ध्य की गणना करता है (n₂ > n₁)

R_H: रिडबर्ग स्थिरांक (1.097373 × 10⁻m⁻¹) n₁, n₂: निचले और ऊपरी क्वांटम ऊर्जा स्तर

9

बड़े पैमाने पर दोष और परमाणु बंधन ऊर्जा

Δm = [Z·m_p + (A - Z)·m_n] - M_nucleus, E_b = Δm·c² = Δm(amu) × 931.5 MeV

किसी परमाणु नाभिक को अलग-अलग घटक प्रोटॉन और न्यूट्रॉन में विघटित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा

Δm: सामूहिक दोष E_b: कुल परमाणु बंधन ऊर्जा

10

रेडियोधर्मी क्षय कानून और आधा जीवन

N(t) = N₀·e^(-λt), T_half = ln(2)λ ≈ 0.693λ, A = λ·N

अस्थिर रेडियोन्यूक्लाइड्स की सांख्यिकीय क्षय दर (बेकेरेल्स बीक्यू में मापी गई गतिविधि = क्षय/एस)

N(t): शेष अविक्षय रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या T_half: आधा जीवन काल λ: रेडियोधर्मी क्षय स्थिरांक A: गतिविधि

11

आइंस्टीन की द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता और सापेक्ष ऊर्जा

E = m·c² = γ·m₀·c², E² = (p·c)² + (m₀·c²)²

कुल सापेक्षतावादी ऊर्जा E, संवेग p, और विश्राम द्रव्यमान m₀ को जोड़ने वाला अपरिवर्तनीय चार-संवेग ऊर्जा संबंध

c: निर्वात में प्रकाश की गति (299,792,458 मी/से.) m₀: बाकी अपरिवर्तनीय द्रव्यमान γ: लोरेंत्ज़ कारक

12

सापेक्ष समय फैलाव और लंबाई संकुचन

Δt = γ·Δt₀ = Δt₀√1 -v²c², L = L₀γ = L₀·√1 -v²c²

चलती हुई घड़ियाँ धीमी गति से चलती हैं (समय का फैलाव); गतिमान छड़ों को गति की दिशा में छोटा किया जाता है (लंबाई संकुचन)

Δt₀, L₀: उचित समय और उचित विश्राम अवधि v: प्रेक्षक फ्रेम का सापेक्ष वेग

🧪

पूर्ण रसायन विज्ञान सुइट

आदर्श गैस नियम, रासायनिक ऊष्मागतिकी, अभिक्रिया वेग नियम, साम्य स्थिरांक, नर्नस्ट समीकरण, pH और नाभिकीय क्षय।

83+ समीकरण

🧪

अध्याय 1: मोल संकल्पना, रससमीकरणमिति एवं सांद्रता पद

10 सूत्र

मात्रात्मक द्रव्यमान-मोल रूपांतरण, अवोगाद्रो संबंध, मोलरता, मोललिटी, सामान्यता, पीपीएम, और प्रतिक्रिया उपज

1

मोल संकल्पना, नमूना द्रव्यमान और कण गणना

n = mM = NN_A

नमूना द्रव्यमान, मोल और प्राथमिक कणों के बीच परिवर्तित होने वाला मौलिक संबंध

n: मोल्स की संख्या m: नमूना द्रव्यमान M: पदार्थ का दाढ़ द्रव्यमान N: कुल कण गणना (परमाणु, अणु, आयन) N_A: अवोगाद्रो स्थिरांक (6.02214 × 10²³ mol⁻¹)

2

एसटीपी पर मोलर गैस की मात्रा

V = n·V_m = n·22.414 L

मानक तापमान और दबाव पर किसी आदर्श गैस के एक मोल द्वारा लिया गया आयतन

V: एसटीपी पर गैस की मात्रा n: मोल्स की संख्या V_m: मानक मोलर गैस की मात्रा (1 एटीएम पर 22.414 एल/मोल, 1 बार पर 22.71 एल/मोल)

3

मोलरिटी (मोलर सांद्रण)

M = n_soluteV_solution = w_B × 1000M_B × V_mL

प्रति लीटर घोल में घुले विलेय के मोलों की संख्या

M: मोलरिटी एकाग्रता w_B: घुले हुए विलेय का द्रव्यमान M_B: विलेय का दाढ़ द्रव्यमान V_mL: घोल की मात्रा मिलीलीटर में

4

मोललिटी (तापमान-स्वतंत्र एकाग्रता)

m = n_soluteW_solvent = w_B × 1000M_B × W_A

शुद्ध विलायक के प्रति किलोग्राम विलेय के मोल; तापीय तापमान परिवर्तन के साथ परिवर्तन नहीं होता है

m: मोलैलिटी एकाग्रता w_B: विलेय द्रव्यमान W_A: ग्राम में विलायक द्रव्यमान M_B: विलेय का दाढ़ द्रव्यमान

5

सामान्यता और समतुल्य वजन

N = w_B × 1000E_B × V_mL = M·n_factor

प्रति लीटर ग्राम समतुल्य सांद्रता; एन-फैक्टर अम्लता, बुनियादीता या वैलेंस परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है

N: साधारण अवस्था E_B: समतुल्य वजन (एम/एन-कारक) n_factor: संयोजकता कारक/इलेक्ट्रॉन विनिमय गणना M: मोलरिटी

6

मोल फ़्रैक्शन और योग कानून

X_A = n_An_A + n_B, X_A + X_B = 1

घटक मोल्स का कुल समाधान मोल्स का आयामहीन अनुपात

X_A: घटक ए का मोल अंश n_A, n_B: व्यक्तिगत घटकों के मोल

7

द्रव्यमान प्रतिशत (% w/w) और पार्ट्स प्रति मिलियन (पीपीएम)

%(ww) = (w_solutew_total) × 100, ppm = (w_solutew_total) × 10⁶

जल परीक्षण और वायुमंडलीय विश्लेषण में बड़े पैमाने पर ट्रेस एकाग्रता मेट्रिक्स का उपयोग किया जाता है

w_solute: विलेय द्रव्यमान w_total: कुल समाधान द्रव्यमान ppm: भाग प्रति मिलियन सांद्रण

8

वॉल्यूमेट्रिक समाधान कमजोर पड़ने का फॉर्मूला

M₁·V₁ = M₂·V₂, N₁·V₁ = N₂·V₂

प्रारंभिक से अंतिम मात्रा तक विलायक तनुकरण के दौरान विलेय के मोल का संरक्षण

M₁, N₁: कमजोर पड़ने से पहले स्टॉक एकाग्रता V₁: स्टॉक विभाज्य मात्रा M₂, N₂: लक्ष्य पतला एकाग्रता V₂: अंतिम पतला समाधान मात्रा

9

रासायनिक प्रतिक्रिया का प्रतिशत उपज

% Yield = (Actual YieldTheoretical Yield) × 100

सीमित अभिकारक से स्टोइकोमेट्रिक अधिकतम तक प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त उत्पाद का अनुपात

Actual Yield: प्रयोग से पृथक उत्पाद का द्रव्यमान Theoretical Yield: परिकलित स्टोइकोमेट्रिक द्रव्यमान

10

आण्विक सूत्र गुणक के लिए अनुभवजन्य

n = M_molecularM_empirical, Molecular Formula = (Empirical Formula)_n

पूर्णांक गुणक वास्तविक आणविक सूत्र के लिए सरलतम पूर्ण-संख्या परमाणु अनुपात को स्केल करता है

n: इंटीग्रल स्टोइकोमेट्रिक गुणक (1, 2, 3...) M_molecular: वास्तविक आणविक द्रव्यमान M_empirical: अनुभवजन्य सूत्र जन

⚛️

अध्याय 2: परमाणु संरचना, क्वांटम यांत्रिकी एवं रेडियोधर्मिता

8 सूत्र

बोह्र मॉडल कक्षाएँ, रिडबर्ग वर्णक्रमीय संक्रमण, डी ब्रोगली तरंग-कण द्वैत, हाइजेनबर्ग सिद्धांत, और क्षय गतिकी

1

प्लैंक-आइंस्टीन फोटॉन ऊर्जा संबंध

E = h·ν = h·cλ = h·c·ν_bar

आवृत्ति ν और तरंग दैर्ध्य λ के विद्युत चुम्बकीय फोटॉन द्वारा ली गई मात्राबद्ध ऊर्जा

E: फोटॉन क्वांटम ऊर्जा h: प्लैंक स्थिरांक (6.62607 × 10⁻³⁴ J·s) c: प्रकाश की गति (2.998 × 10⁸ मी/से) λ: वेवलेंथ ν_bar: वेवनंबर (1/λ)

2

बोह्र हाइड्रोजन-जैसी परमाणु कक्षा त्रिज्या

r_n = n²·h²·ε₀π·m·Z·e² = 0.529·(n²Z) Å

परमाणु परमाणु संख्या Z के साथ हाइड्रोजन परमाणुओं की परिमाणित कक्षीय त्रिज्या

r_n: एन-वें बोह्र कक्षा की त्रिज्या n: प्रमुख क्वांटम संख्या (1, 2, 3...) Z: परमाणु परमाणु क्रमांक (आवेश)

3

बोहर इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्तर

E_n = -13.6·(Z²n²) eV = -2.18 × 10⁻¹⁸·(Z²n²) J

n-वें प्रमुख कोश में बंधे इलेक्ट्रॉन की कुल बंधन ऊर्जा की मात्रा निर्धारित की गई

E_n: कुल इलेक्ट्रॉन कक्षीय ऊर्जा Z: परमाणु संख्या n: प्रमुख क्वांटम स्तर

4

रिडबर्ग उत्सर्जन स्पेक्ट्रम समीकरण

1λ = R_H·Z²·(1n₁²-1n₂²)

वर्णक्रमीय संक्रमण तरंग दैर्ध्य की भविष्यवाणी करता है (लाइमन n₁=1, बामर n₁=2, पासचेन n₁=3, ब्रैकेट n₁=4, Pfund n₁=5)

R_H: रिडबर्ग स्थिरांक (1.09677 × 10⁷ m⁻¹) n₁: निम्न ऊर्जा अवस्था n₂: उच्च उत्तेजित ऊर्जा अवस्था (n₂ > n₁)

5

डी ब्रॉगली मैटर वेवलेंथ

λ = hp = hm·v = h√2·m·E_k = h√2·m·q·V

तरंग-कण द्वंद्व दर्शाता है कि गतिमान कण गति के विपरीत आनुपातिक रूप से तरंग दैर्ध्य प्रदर्शित करते हैं

λ: डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य m: कण द्रव्यमान v: कण गति V: इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता में तेजी लाना

6

हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत

Δx·Δp ≥ h4π, ΔE·Δt ≥ h4π

स्थिति और संयुग्मित गति की एक साथ सटीकता पर मौलिक क्वांटम सीमा

Δx: स्थानिक स्थिति में अनिश्चितता Δp: रैखिक गति में अनिश्चितता Δv: वेग में अनिश्चितता

7

आइंस्टीन का फोटोइलेक्ट्रिक काइनेटिक ऊर्जा समीकरण

h·ν = Φ + K_max = h·ν₀ + ½·m·v_max²

फोटॉन अवशोषण और फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जन के दौरान ऊर्जा का संरक्षण

Φ: धात्विक सतह का कार्य फलन (h·ν₀) ν₀: दहलीज कटऑफ़ आवृत्ति V_s: रुकने की सम्भावना

8

परमाणु रेडियोधर्मी क्षय कानून और आधा जीवन

N(t) = N₀·e^(-λ·t), t_½ = ln(2)λ = 0.693λ

प्रथम-क्रम सहज परमाणु विघटन दर और रेडियोधर्मी आधा जीवन

N(t): समय t पर अवक्षयित रेडियोधर्मी नाभिक शेष N₀: प्रारंभिक रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या t = 0 है λ: रेडियोधर्मी क्षय स्थिरांक t_½: रेडियोधर्मी आधा जीवन

💨

अध्याय 3: गैसीय अवस्था एवं गतिज आण्विक सिद्धांत

8 सूत्र

आदर्श गैस संबंध, डाल्टन आंशिक दबाव, ग्राहम प्रवाह, आणविक गति और वैन डेर वाल्स वास्तविक गैसें

1

आदर्श गैस कानून एवं गैस घनत्व संबंध

P·V = n·R·T, P·M = ρ·R·T

दबाव, आयतन, तापमान और घनत्व को जोड़ने वाली आदर्श गैस की स्थिति का समीकरण

P: गैस दाब V: गैस की मात्रा n: मात्रा मोल्स में R: गैस स्थिरांक (0.0821 L·atm/(mol·K) = 8.314 J/(mol·K)) T: निरपेक्ष तापमान ρ: गैस द्रव्यमान घनत्व

2

संयुक्त गैस कानून (बॉयल, चार्ल्स, गे-लुसाक)

P₁·V₁T₁ = P₂·V₂T₂

बॉयल (पीवी=के), चार्ल्स (वी/टी=के), और गे-लुसाक (पी/टी=के) गैस कानूनों को एकीकृत करता है

P₁, V₁, T₁: प्रारंभिक अवस्था दबाव, आयतन और निरपेक्ष तापमान P₂, V₂, T₂: अंतिम अवस्था दबाव, आयतन और निरपेक्ष तापमान

3

डाल्टन का आंशिक दबाव का नियम

P_total = P_A + P_B + P_C, P_A = X_A·P_total

गैर-प्रतिक्रियाशील गैस मिश्रण में कुल दबाव व्यक्तिगत आंशिक दबावों के योग के बराबर होता है

P_total: कुल कंटेनर दबाव P_A: गैस का आंशिक दबाव A X_A: मिश्रण में गैस A का मोल अंश

4

ग्राहम का प्रसार एवं प्रवाह का नियम

r₁r₂ = √M₂M₁ = √ρ₂ρ₁ = V₁t₁V₂t₂

छिद्रित पिनहोल के माध्यम से गैस प्रवाह/प्रसार की दर दाढ़ द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है

r₁, r₂: प्रसार/प्रवाह की दरें M₁, M₂: गैसों का दाढ़ द्रव्यमान

5

आरएमएस, औसत और सर्वाधिक संभावित आणविक गति

u_rms = √3RTM, u_avg = √8RTπM, u_mp = √2RTM

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण गति अनुपात: u_mp : u_avg : u_rms = 1 : 1.128 : 1.224 = √2 : √(8/π) : √3

u_rms: मूल माध्य वर्ग वेग u_avg: औसत अंकगणितीय गति u_mp: चरम वितरण पर सर्वाधिक संभावित गति M: प्रति मोल किलोग्राम में मोलर द्रव्यमान

6

गतिज गैस ऊर्जा और माध्य गतिज ऊर्जा

E_k,total = (32)·n·R·T, E_k,molecule = (32)·k_B·T

कुल और प्रति-अणु स्थानान्तरणीय गतिज ऊर्जा पूर्णतः निरपेक्ष तापमान पर निर्भर करती है

k_B: बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक (1.38065 × 10⁻²³ J/K) T: निरपेक्ष तापमान

7

वास्तविक गैसों के लिए वैन डेर वाल्स समीकरण

(P +a·n²V²)·(V - n·b) = n·R·T

अंतर-आणविक आकर्षण बलों (ए) और अपवर्जित परिमित आणविक आयतन (बी) के लिए आदर्श गैस नियम को सही करता है

a: अंतरआण्विक आकर्षण गुणांक b: बहिष्कृत आयतन / सह-आयतन गुणांक (4 × आणविक आयतन)

8

संपीडनशीलता कारक और महत्वपूर्ण स्थिरांक

Z = P·V_mR·T, T_c = 8a27Rb, P_c = a27b², V_c = 3b

आदर्श व्यवहार से विचलन को मापता है (Z=1)। क्रांतिक तापमान T_c से ऊपर गैस को द्रवीकृत नहीं किया जा सकता

Z: संपीड़न कारक (Z > 1 सकारात्मक विचलन, Z < 1 नकारात्मक) T_c: गंभीर तापमान P_c: गंभीर दबाव V_c: गंभीर दाढ़ की मात्रा

🔥

अध्याय 4: रासायनिक ऊष्मागतिकी एवं ऊष्मारसायन

9 सूत्र

प्रथम नियम, हेस नियम, बंधन ऊर्जा, एन्ट्रापी परिवर्तन, गिब्स मुक्त ऊर्जा, और संतुलन युग्मन

1

ऊष्मप्रवैगिकी और विस्तार कार्य का पहला नियम

ΔU = q + w, w = -P_ext·ΔV = -∫ P_ext dV

IUPAC परिपाटी: सिस्टम पर किया गया कार्य धनात्मक (+) होता है, सिस्टम द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक (-) होता है

ΔU: आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन q: सिस्टम द्वारा अवशोषित ऊष्मा w: सिस्टम पर/द्वारा किया गया कार्य P_ext: बाहरी विरोधी दबाव

2

आदर्श गैस का प्रतिवर्ती इज़ोटेर्मल कार्य

w_rev = -n·R·T·ln(V₂V₁) = -2.303·n·R·T·log(P₁P₂)

धीमी अर्ध-स्थैतिक इज़ोटेर्मल विस्तार के दौरान प्राप्त अधिकतम संभव थर्मोडायनामिक कार्य

w_rev: अधिकतम प्रतिवर्ती कार्य V₁, V₂: आरंभिक और विस्तारित खंड

3

एन्थैल्पी परिभाषा और गैसीय मोल संबंध

H = U + P·V ⟹ ΔH = ΔU + Δn_g·R·T

स्थिर दबाव (ΔH = q_p) और स्थिर आयतन (ΔU = q_v) पर प्रतिक्रिया ताप को जोड़ता है

ΔH: एन्थैल्पी परिवर्तन ΔU: आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन Δn_g: गैसीय मोल्स में परिवर्तन: ∑ n_g(उत्पाद) - ∑ n_g(अभिकारक)

4

मोलर ताप क्षमता और मेयर संबंध

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v, ΔH = n·C_p·ΔT, ΔU = n·C_v·ΔT

मोनोआटोमिक (γ=1.66), डायटोमिक (γ=1.40), और पॉलीआटोमिक गैसों के लिए विशिष्ट ताप क्षमता संबंध

C_p: स्थिर दबाव पर मोलर ताप क्षमता C_v: स्थिर आयतन पर मोलर ताप क्षमता γ: रुद्धोष्म ताप क्षमता अनुपात (पॉइसन सूचकांक)

5

गठन एन्थैल्पी से प्रतिक्रिया की मानक एन्थैल्पी

ΔH_rxn° = ∑ ν_p·ΔH_f°(products) - ∑ ν_r·ΔH_f°(reactants)

मानक प्रतिक्रिया एन्थैल्पी की गणना करता है (मानक अवस्थाओं में शुद्ध तत्वों का ΔH_f° शून्य है)

ΔH_rxn°: मानक प्रतिक्रिया एन्थैल्पी ΔH_f°: गठन की मानक एन्थैल्पी ν_p, ν_r: स्टोइकोमेट्रिक गुणांक

6

बॉन्ड पृथक्करण ऊर्जा से प्रतिक्रिया एन्थैल्पी

ΔH_rxn = ∑ Bond Energy(broken in reactants) - ∑ Bond Energy(formed in products)

औसत सहसंयोजक बंधन पृथक्करण ऊर्जा से गैसीय प्रतिक्रिया एन्थैल्पी का अनुमान लगाता है

B.E.: आबंध पृथक्करण एन्थैल्पी

7

किरचॉफ का तापमान-एन्थैल्पी नियम

ΔH_T2 = ΔH_T1 + ΔC_p·(T₂ - T₁)

ताप क्षमता ज्ञात होने पर विभिन्न तापमानों पर प्रतिक्रिया की ऊष्मा का मूल्यांकन करता है

ΔC_p: ∑ C_p(उत्पाद) - ∑ C_p(अभिकारक)

8

गिब्स मुक्त ऊर्जा एवं सहजता मानदंड

ΔG = ΔH - T·ΔS

स्थिर तापमान और दबाव पर थर्मोडायनामिक प्रतिक्रिया दिशा निर्धारित करता है

ΔG: गिब्स मुक्त ऊर्जा परिवर्तन ΔH: एन्थैल्पी परिवर्तन ΔS: एन्ट्रापी परिवर्तन T: निरपेक्ष तापमान

9

मानक मुक्त ऊर्जा और संतुलन लगातार युग्मन

ΔG° = -R·T·ln(K_eq) = -2.303·R·T·log(K_eq)

रासायनिक थर्मोडायनामिक क्षमताओं को मैक्रोस्कोपिक संतुलन स्थिरांक से जोड़ने वाली मौलिक कड़ी

ΔG°: मानक मुक्त ऊर्जा परिवर्तन K_eq: थर्मोडायनामिक संतुलन स्थिरांक

⚖️

अध्याय 5: रासायनिक साम्यावस्था एवं ला शातेलिए नियम

5 सूत्र

सामूहिक क्रिया कानून, केसी और केपी संबंध, प्रतिक्रिया भागफल क्यू, पृथक्करण की डिग्री, और वैन टी हॉफ समीकरण

1

सामूहिक कार्रवाई का नियम संतुलन स्थिरांक (केसी और केपी)

K_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b, K_p = P_C^c·P_D^dP_A^a·P_B^b

उत्पाद सांद्रता और अभिकारक सांद्रता का अनुपात संतुलन पर स्टोइकोमेट्रिक शक्तियों तक बढ़ाया गया

K_c: दाढ़ सांद्रता में संतुलन स्थिरांक K_p: आंशिक दबाव में संतुलन स्थिरांक

2

केपी और केसी के बीच संबंध

K_p = K_c·(R·T)^(Δn_g)

दबाव और एकाग्रता संतुलन स्थिरांक से संबंधित है; यदि Δn_g = 0, तो K_p = K_c

Δn_g: गैस के स्टोइकोमेट्रिक मोल में परिवर्तन R: गैस स्थिरांक (0.0821 L·atm/(mol·K)) T: केल्विन में पूर्ण तापमान

3

प्रतिक्रिया भागफल (क्यू) और दिशा मानदंड

Q_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b

संतुलन की ओर सहज दिशा की भविष्यवाणी करने के लिए गैर-संतुलन तात्कालिक अनुपात की गणना करता है

Q_c: तात्कालिक गैर-संतुलन प्रतिक्रिया भागफल K_c: संतुलन स्थिरांक

4

वैन टी हॉफ तापमान-संतुलन आइसोकोर

ln(K₂K₁) = (ΔH°R)·(1T₁-1T₂)

तापमान के साथ संतुलन स्थिर बदलाव की भविष्यवाणी करता है (एंडोथर्मिक ΔH > 0 के लिए T के साथ K बढ़ता है)

K₁, K₂: तापमान T₁ और T₂ पर संतुलन स्थिरांक ΔH°: मानक प्रतिक्रिया एन्थैल्पी

5

वाष्प घनत्व से पृथक्करण की डिग्री (α)।

α = D - d(n - 1)·d = M_theoretical - M_observed(n - 1)·M_observed

प्रारंभिक अणुओं का अंश संतुलन पर अलग हो जाता है जहां n प्रति मोल प्रतिक्रियाशील उत्पादों का मोल है

α: पृथक्करण की डिग्री (0 ≤ α ≤ 1) D: प्रारंभिक सैद्धांतिक वाष्प घनत्व d: वाष्प घनत्व का संतुलन देखा गया n: प्रति अभिकारक मोल उत्पादित उत्पाद मोल की संख्या

🧪

अध्याय 6: आयनिक साम्यावस्था, अम्ल, क्षार एवं बफर विलयन

6 सूत्र

ओस्टवाल्ड तनुकरण, पीएच स्केल, हेंडरसन-हसलबल्च बफर समीकरण, नमक हाइड्रोलिसिस, और केएसपी घुलनशीलता उत्पाद

1

कमजोर इलेक्ट्रोलाइट्स के लिए ओस्टवाल्ड का तनुकरण नियम

K_a = C·α²1 - α ≈ C·α² ⟹ α = √K_aC

पृथक्करण अंश α << 1 होने पर कमजोर अम्ल/क्षार के लिए मान्य

K_a: अम्ल आयनीकरण स्थिरांक C: प्रारंभिक दाढ़ एकाग्रता α: आयनीकरण की डिग्री

2

जल और pH-pOH स्केल का स्वआयनीकरण

K_w = [H⁺]·[OH⁻] = 1.0 × 10⁻¹⁴, pH + pOH = pK_w = 14

मौलिक लघुगणकीय पैमाने: pH = -log₁₀[H⁺] और pOH = -log₁₀[OH⁻]

[H⁺]: हाइड्रोनियम आयन मोलरिटी [OH⁻]: हाइड्रॉक्साइड आयन मोलरिटी K_w: जल स्वआयनीकरण उत्पाद

3

हेंडरसन-हसलबल्च समीकरण (अम्लीय बफर)

pH = pK_a + log₁₀([Conjugate Base][Weak Acid]) = pK_a + log₁₀([Salt][Acid])

अम्लीय बफर मिश्रण (जैसे CH₃COOH + CH₃COONa) के pH की गणना करता है

pK_a: कमजोर अम्ल का -log₁₀(K_a)। [A⁻]: संयुग्म आधार/नमक की सांद्रता [HA]: अविघटित दुर्बल अम्ल की सांद्रता

4

हेंडरसन-हसलबल्च समीकरण (बेसिक बफर)

pOH = pK_b + log₁₀([Conjugate Acid][Weak Base]), pH = 14 - pOH

बुनियादी बफर समाधान के पीओएच और पीएच की गणना करता है (उदाहरण के लिए एनएच₄ओएच + एनएच₄सीएल)

pK_b: - कमजोर आधार का लॉग₁₀(K_b)। [Salt]: संयुग्मित नमक की दाढ़ सांद्रता [Base]: कमजोर आधार की दाढ़ सांद्रता

5

नमक हाइड्रोलिसिस पीएच सूत्र

WA-SB: pH = 7 + ½pK_a + ½log(C), SA-WB: pH = 7 - ½pK_b - ½log(C), WA-WB: pH = 7 + ½pK_a - ½pK_b

कमजोर अम्ल और कमजोर क्षारीय लवणों के धनायनिक/आयनिक हाइड्रोलिसिस के परिणामस्वरूप पीएच की गणना करता है

C: नमक के घोल की मोलर सांद्रता

6

घुलनशीलता उत्पाद स्थिरांक (केएसपी) और मोलर घुलनशीलता (एस)

A_x B_y ⇌ x A^(y+) + y B^(x-) ⟹ K_sp = x^x·y^y·S^(x+y)

अल्प घुलनशील लवणों के लिए संतुलन स्थिरांक (1:1 नमक: K_sp = S²; 1:2 नमक: K_sp = 4S³; 1:3 नमक: K_sp = 27S⁴)

K_sp: घुलनशीलता उत्पाद स्थिरांक S: नमक की मोलर घुलनशीलता

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अध्याय 7: रासायनिक बलगतिकी एवं अभिक्रिया वेग

6 सूत्र

विभेदक और एकीकृत दर कानून, अर्ध-जीवन समीकरण, अरहेनियस सक्रियण ऊर्जा, और टकराव सिद्धांत

1

सामान्य प्रतिक्रिया दर और दर कानून अभिव्यक्ति

Rate = -(1a)·(d[A]dt) = (1c)·(d[C]dt) = k·[A]^m·[B]^n

समग्र प्रतिक्रिया क्रम = एम + एन; दर स्थिरांक k की इकाइयाँ (mol/L)^(1-n) · s⁻¹ हैं

k: विशिष्ट प्रतिक्रिया दर स्थिरांक m, n: प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित प्रतिक्रिया आदेश

2

शून्य-आदेश एकीकृत दर कानून और आधा जीवन

[A] = [A]₀ - k·t, t_½ = [A]₀2k

दर अभिकारक सांद्रता से स्वतंत्र है; अर्ध-जीवन प्रारंभिक एकाग्रता के सीधे आनुपातिक है

[A]₀: t = 0 पर प्रारंभिक सांद्रता [A]: समय t पर एकाग्रता शेष रहना k: शून्य-आदेश दर स्थिरांक

3

प्रथम-क्रम एकीकृत दर कानून और आधा जीवन

k = (2.303t)·log([A]₀[A]), [A] = [A]₀·e^(-k·t), t_½ = ln(2)k = 0.693k

पहले क्रम का आधा जीवन प्रारंभिक प्रतिक्रियाशील एकाग्रता से सख्ती से स्वतंत्र है

k: प्रथम-क्रम दर स्थिरांक t_½: आधा जीवन काल

4

द्वितीय-क्रम एकीकृत दर कानून और आधा जीवन

1[A] = 1[A]₀ + k·t, t_½ = 1k·[A]₀

अर्ध-आयु प्रारंभिक अभिकारक सांद्रता के व्युत्क्रमानुपाती होती है

k: दूसरे क्रम की दर स्थिर

5

अरहेनियस दर-तापमान समीकरण

k = A·e^(-E_aR·T) ⟹ ln(k) = ln(A) -E_aR·T

तापमान और सक्रियण ऊर्जा अवरोध के साथ घातीय दर त्वरण की मात्रा निर्धारित करता है

k: दर स्थिर A: पूर्व-घातीय अरहेनियस आवृत्ति कारक E_a: सक्रियण ऊर्जा R: गैस स्थिरांक (8.314 J/(mol·K)) T: निरपेक्ष तापमान

6

दो-तापमान अरहेनियस अनुपात सूत्र

log(k₂k₁) = (E_a2.303·R)·(T₂ - T₁T₁·T₂)

दो अलग-अलग तापमानों पर मापे गए दर स्थिरांक से सक्रियण ऊर्जा E_a की गणना करता है

k₁, k₂: तापमान T₁ और T₂ पर दर स्थिरांक

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अध्याय 8: विद्युतरसायन एवं गैल्वेनिक सेल

6 सूत्र

मानक ईएमएफ क्षमताएं, नर्नस्ट समीकरण, गिब्स विद्युत कार्य, कोहलराउश चालकता, और फैराडे इलेक्ट्रोलिसिस कानून

1

मानक सेल क्षमता (EMF)

E_cell° = E_cathode° - E_anode° = E_reduction(RHE)° - E_reduction(LHE)°

मानक परिस्थितियों में इलेक्ट्रोमोटिव बल (1 एम सांद्रता, 1 एटीएम गैस दबाव, 298 के)

E_cell°: मानक इलेक्ट्रोमोटिव बल E_cathode°: कैथोड की मानक कमी क्षमता E_anode°: एनोड की मानक कमी क्षमता

2

298 K (25°C) पर नर्नस्ट समीकरण

E_cell = E_cell° - (0.0591n)·log₁₀(Q)

गैर-एकता अभिकारक/उत्पाद गतिविधियों के लिए गैर-मानक इलेक्ट्रोकेमिकल सेल क्षमता की गणना करता है

E_cell: वास्तविक सेल क्षमता n: संतुलित प्रतिक्रिया के प्रति मोल स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों के मोल Q: प्रतिक्रिया भागफल ([एनोड आयन] / [कैथोड आयन]) F: फैराडे स्थिरांक (96,485 C/mol e⁻)

3

गिब्स मुक्त ऊर्जा एवं मानक सेल क्षमता

ΔG° = -n·F·E_cell°, E_cell° = (0.0591n)·log₁₀(K_c)

मानक इलेक्ट्रोकेमिकल सेल क्षमता को अधिकतम गैर-विस्तार विद्युत कार्य और संतुलन से जोड़ता है

ΔG°: मानक गिब्स मुक्त ऊर्जा परिवर्तन K_c: विद्युतरासायनिक संतुलन स्थिरांक

4

विशिष्ट एवं मोलर इलेक्ट्रोलाइटिक चालकता

κ = G·(lA) = (1R)·G*, Λ_m = κ × 1000M

इलेक्ट्रोलाइट के प्रति मोल मोलर चालकता (इकाइयाँ: S·cm²·mol⁻¹)

κ: विशिष्ट चालकता (इलेक्ट्रोलाइटिक चालकता) G*: सेल स्थिरांक (एल/ए) Λ_m: मोलर चालकता M: इलेक्ट्रोलाइट की मात्रा

5

कोहलराउश का स्वतंत्र आयन प्रवासन का नियम

Λ_m° = ν₊·λ₊° + ν₋·λ₋°, α = Λ_mΛ_m°

अनंत तनुकरण पर प्रत्येक आयन दाढ़ चालन में स्वतंत्र रूप से योगदान देता है; कमजोर इलेक्ट्रोलाइट पृथक्करण α निर्धारित करता है

Λ_m°: अनंत तनुकरण पर मोलर चालकता को सीमित करना λ₊°, λ₋°: धनायन और ऋणायन की आयनिक चालकता को सीमित करना α: इलेक्ट्रोलाइटिक पृथक्करण की डिग्री

6

फैराडे के इलेक्ट्रोलिसिस के नियम

m = Z·I·t = M·I·tn·F,m₁E₁ = m₂E₂

किसी इलेक्ट्रोड पर जमा या मुक्त किया गया द्रव्यमान आवेश Q के समानुपाती होता है (फैराडे स्थिरांक F = 96485 C/mol)

m: मुक्त/निक्षेपित पदार्थ का द्रव्यमान Z: विद्युतरासायनिक समतुल्य (ई/96485) I: विद्युत धारा t: इलेक्ट्रोलिसिस अवधि E: समतुल्य वजन (एम/एन)

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अध्याय 9: विलयन एवं अणुसंख्य गुणधर्म

6 सूत्र

वाष्प दबाव, क्वथनांक उन्नयन, हिमीकरण अवसाद, आसमाटिक दबाव और वैन टी हॉफ कारक का राउल्ट नियम

1

राउल्ट का नियम और वाष्प दबाव का सापेक्षिक रूप से कम होना

P_A = X_A·P_A°,P_A° - P_AP_A° = X_B = n_Bn_A + n_B

सापेक्ष वाष्प दबाव कम होना गैर-वाष्पशील विलेय के मोल अंश के बराबर होता है

P_A°: शुद्ध विलायक का वाष्प दबाव P_A: विलयन का वाष्प दाब X_B: गैर-वाष्पशील विलेय का मोल अंश

2

क्वथनांक ऊंचाई (एबुलियोस्कोपी)

ΔT_b = i·K_b·m = i·(K_b × w_B × 1000M_B × w_A)

एबुलियोस्कोपिक स्थिरांक K_b पूरी तरह से विलायक प्रकृति पर निर्भर करता है: K_b = (R·T_b²·M_solvent) / (1000·ΔH_vap)

ΔT_b: क्वथनांक उन्नयन K_b: मोलल क्वथनांक उन्नयन स्थिरांक (पानी के लिए 0.512 K·kg/mol) m: विलयन की मोललिटी i: वान टी हॉफ कारक

3

हिमांक बिंदु अवसाद (क्रायोस्कोपी)

ΔT_f = i·K_f·m = i·(K_f × w_B × 1000M_B × w_A)

क्रायोस्कोपिक स्थिरांक K_f: K_f = (R·T_f²·M_विलायक) / (1000·ΔH_fus) (पानी के लिए 1.86 K·kg/mol)

ΔT_f: हिमांक अवनमन K_f: मोलल हिमांक बिंदु अवसाद स्थिरांक m: मोलैलिटी

4

वान टी हॉफ आसमाटिक दबाव कानून

Π = i·C·R·T = i·(n_BV)·R·T = i·(w_B·R·T)M_B·V

अर्ध-पारगम्य झिल्ली में विलायक परासरण को पूरी तरह से रोकने के लिए हाइड्रोस्टैटिक दबाव की आवश्यकता होती है

Π: परासरणी दवाब C: दाढ़ एकाग्रता M_B: विलेय दाढ़ द्रव्यमान (पॉलिमर/प्रोटीन के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है)

5

वान टी हॉफ फैक्टर (i) पृथक्करण और एसोसिएशन के लिए

i = 1 + (n - 1)·α_diss, i = 1 + (1n- 1)·α_assoc

समाधान में इलेक्ट्रोलाइट आयनीकरण या डिमराइजेशन के कारण असामान्य आणविक द्रव्यमान का हिसाब

i: वान टी हॉफ फैक्टर (i > 1 पृथक्करण के लिए, i <1 एसोसिएशन के लिए) α: जुड़ाव/पृथक्करण की डिग्री n: आयनों की संख्या या साहचर्य डिग्री

6

तरल में गैस घुलनशीलता का हेनरी का नियम

p_gas = K_H·X_gas, m_gas = k_H·p_gas

तरल में घुली गैस सीधे तरल के ऊपर आंशिक दबाव के समानुपाती होती है (K_H T के साथ बढ़ता है)

p_gas: तरल के ऊपर गैस का आंशिक दबाव K_H: हेनरी का नियम स्थिरांक X_gas: घुली हुई गैस का मोल अंश

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अध्याय 10: ठोस अवस्था एवं क्रिस्टल विज्ञान

4 सूत्र

यूनिट सेल घनत्व, क्यूबिक क्रिस्टल ज्यामिति (एससी, बीसीसी, एफसीसी), त्रिज्या अनुपात नियम, और ब्रैग एक्स-रे विवर्तन

1

यूनिट सेल क्रिस्टल घनत्व फॉर्मूला

ρ = z·Ma³·N_A

जाली किनारे की लंबाई a और प्रभावी परमाणु गणना z से सैद्धांतिक क्रिस्टल द्रव्यमान घनत्व

ρ: क्रिस्टल घनत्व z: प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की प्रभावी संख्या (एससी: 1, बीसीसी: 2, एफसीसी: 4) M: पदार्थ का दाढ़ द्रव्यमान a: यूनिट सेल किनारे की लंबाई N_A: एवोगैड्रो की संख्या (6.022 × 10²³ mol⁻¹)

2

घन जाली ज्यामिति और पैकिंग क्षमताएँ

SC: r = a2 (52.4%), BCC: r = (√34)·a (68.0%), FCC: r = a2√2 (74.0%)

परमाणु त्रिज्या r, किनारे की लंबाई a, और स्थान-भरण पैकिंग दक्षता के बीच ज्यामितीय संबंध

r: परमाणु त्रिज्या a: जालीदार किनारे की लंबाई

3

सीमित त्रिज्या अनुपात नियम और समन्वय ज्यामिति

Linear: <0.155 (CN 2),  Triangular: 0.155-0.225 (CN 3),  Tetrahedral: 0.225-0.414 (CN 4),  Octahedral: 0.414-0.732 (CN 6),  Cubic: 0.732-1.000 (CN 8)

धनायन/आयन त्रिज्या अनुपात से आयनिक क्रिस्टल समन्वय संख्या (सीएन) और अंतरालीय ज्यामिति की भविष्यवाणी करता है

r₊r₋: धनायन से ऋणायन त्रिज्या अनुपात

4

ब्रैग का एक्स-रे विवर्तन का नियम

n·λ = 2·d·sin(θ)

अलग-अलग दूरी पर स्थित क्रिस्टल जाली विमानों द्वारा बिखरे हुए मोनोक्रोमैटिक एक्स-रे के लिए रचनात्मक हस्तक्षेप की स्थिति

n: विवर्तन क्रम पूर्णांक (1, 2, 3...) λ: एक्स-रे तरंगदैर्घ्य d: जाली तलों के बीच अंतर्तलीय रिक्ति θ: ब्रैग नज़र/बिखरने वाला कोण

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अध्याय 11: पृष्ठ रसायन एवं कोलॉइडी अवस्था

3 सूत्र

फ्रायंडलिच और लैंगमुइर सोखना इज़ोटेर्म, हार्डी-शुल्ज़ नियम, और ज़ेटा क्षमता

1

फ्रायंडलिच सोखना इज़ोटेर्म

xm = k·P^(1n) ⟹ log(xm) = log(k) + (1n)·log(P)

मध्यम दबाव सीमा पर ठोस अधिशोषक सतह पर गैस अधिशोषण के लिए अनुभवजन्य मॉडल

x: अधिशोषित गैस का द्रव्यमान m: ठोस अधिशोषक का द्रव्यमान P: संतुलन गैस दबाव k, n: दिए गए अधिशोषक-गैस युग्म के लिए अधिशोषण स्थिरांक

2

लैंगमुइर मोनोलेयर सोखना इज़ोटेर्म

xm = a·P1 + b·P ⟹ Pxm = 1a+ (ba)·P

सैद्धांतिक मॉडल सजातीय मोनोलेयर सतह कवरेज और स्थानीयकृत समान साइटों को मानता है

a, b: लैंगमुइर गतिज सोखना-अवशोषण पैरामीटर P: संतुलन दबाव

3

कोलाइडल जमाव के लिए हार्डी-शुल्ज़ नियम

Coagulating Power ∝ (Valency of Oppositely Charged Ion)⁴

इलेक्ट्रोलाइट आयन की जमावट शक्ति इसकी चार्ज वैलेंसी z के साथ नाटकीय रूप से बढ़ जाती है

z: सक्रिय जमावट आयन का वैलेंस चार्ज

🔗

अध्याय 12: रासायनिक आबंधन एवं आण्विक संरचना

5 सूत्र

द्विध्रुव क्षण, पॉलिंग आयनिक चरित्र, आणविक कक्षीय बंधन क्रम, औपचारिक शुल्क और केवल स्पिन चुंबकीय क्षण

1

विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण (डेबाई)

μ = q·d, 1 Debye (D) = 3.33564 × 10⁻³⁰ C·m = 10⁻¹⁸ esu·cm

आवेश पृथक्करण q से आबंध दूरी d पर आणविक विद्युत ध्रुवता की मात्रा निर्धारित करता है

μ: आणविक द्विध्रुव आघूर्ण q: पृथक आंशिक आवेश का परिमाण d: आवेशों के बीच बंधन दूरी

2

पॉलिंग प्रतिशत आयनिक चरित्र

% Ionic = 16·|χ_A - χ_B| + 3.5·(χ_A - χ_B)²

इलेक्ट्रोनगेटिविटी अंतर से सहसंयोजक बंधन के प्रतिशत आयनिक चरित्र का अनुमान लगाता है

χ_A, χ_B: बंधे हुए परमाणुओं की पॉलिंग इलेक्ट्रोनगेटिविटीज

3

आण्विक कक्षीय (एमओ) बांड आदेश

Bond Order = ½·(N_b - N_a)

नेट बॉन्डिंग स्थिरता: बॉन्ड ऑर्डर > 0 स्थिर अणु को इंगित करता है; उच्च बांड क्रम का अर्थ है कम बांड लंबाई और उच्च बांड ऊर्जा

N_b: आबंधन आणविक कक्षा में इलेक्ट्रॉनों की संख्या (बीएमओ) N_a: एंटी-बॉन्डिंग आणविक ऑर्बिटल्स (ABMO) में इलेक्ट्रॉनों की संख्या

4

लुईस संरचना परमाणु पर औपचारिक आरोप

FC = V - N_lone - ½·N_bonding

सबसे स्थिर अनुनाद लुईस संरचना निर्धारित करने के लिए वैलेंस इलेक्ट्रॉनों का बहीखाता

V: मुक्त तटस्थ परमाणु के वैलेंस इलेक्ट्रॉन N_lone: गैर-बंधन अकेला युग्म इलेक्ट्रॉन N_bonding: कुल साझा आबंधन इलेक्ट्रॉन

5

संक्रमण धातु आयनों का स्पिन-केवल चुंबकीय क्षण

μ_s = √n·(n + 2) BM

अयुग्मित डी-इलेक्ट्रॉनों की संख्या से अनुचुंबकीय चुंबकीय क्षण की गणना करता है n (n=1: 1.73 BM, n=2: 2.83 BM, n=3: 3.87 BM, n=4: 4.90 BM, n=5: 5.92 BM)

μ_s: स्पिन-केवल चुंबकीय क्षण n: अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या

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अध्याय 13: रेडॉक्स अभिक्रियाएं एवं आयतनी अनुमापन

3 सूत्र

ऑक्सीकरण संख्या, समतुल्य भार, रेडॉक्स न्यूट्रलाइजेशन, और अनुपातहीन स्टोइकोमेट्री

1

ऑक्सीकरण और कम करने वाले एजेंटों का समतुल्य वजन

E = Molar MassNumber of electrons gained or lost per molecule

उदाहरण: अम्लीय माध्यम में KMnO₄ (n=5) E = M/5; तटस्थ माध्यम में (n=3) E = M/3; मूल माध्यम में (n=1) E = M/1

E: समान वज़न M: दाढ़ जन

2

रासायनिक समकक्षों का नियम एवं अनुमापन नियम

N₁·V₁ = N₂·V₂ ⟹ n₁·M₁·V₁ = n₂·M₂·V₂

स्टोइकोमेट्रिक तुल्यता बिंदु पर, टाइट्रेंट के समकक्ष विश्लेषण के समकक्ष के बराबर होते हैं

N₁, N₂: प्रतिक्रियाशील समाधानों की सामान्यताएँ V₁, V₂: अनुमापांक मात्रा का उपभोग किया गया n₁, n₂: रासायनिक प्रजातियों पर प्रतिक्रिया करने के एन-कारक

3

अनुपातहीन प्रतिक्रियाओं में समतुल्य भार

E_total = E_oxidation + E_reduction = Mn₁+Mn₂

रेडॉक्स प्रतिक्रियाओं के लिए जहां एक ही रासायनिक तत्व एक साथ ऑक्सीकरण और कमी से गुजरता है

n₁, n₂: ऑक्सीकरण और अपचयन अर्ध-प्रतिक्रियाओं में इलेक्ट्रॉन बदलते हैं

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अध्याय 14: कार्बनिक रसायन के सिद्धांत एवं त्रिविम रसायन

4 सूत्र

हाइड्रोजन की कमी का सूचकांक (आईएचडी), विशिष्ट ऑप्टिकल रोटेशन, एनैन्टीओमेरिक अतिरिक्त, और हैमेट समीकरण

1

हाइड्रोजन की कमी का सूचकांक (असंतृप्ति की डिग्री)

IHD = C + 1 - (H2) - (X2) + (N2)

रिंगों और π-बॉन्ड की कुल संख्या निर्धारित करता है (डबल बॉन्ड = 1, ट्रिपल बॉन्ड = 2, बेंजीन रिंग = 4)

C: कार्बन परमाणुओं की संख्या H: हाइड्रोजन परमाणुओं की संख्या X: हैलोजन परमाणुओं की संख्या (एफ, सीएल, बीआर, आई) N: नाइट्रोजन परमाणुओं की संख्या

2

बायोट का विशिष्ट ऑप्टिकल रोटेशन कानून

[α]_D^T = α_obsl·c

मानक किरल ऑप्टिकल गतिविधि को सोडियम डी-लाइन (589 एनएम) पोलारिमेट्री का उपयोग करके मापा जाता है

[α]_D^T: विशिष्ट ऑप्टिकल रोटेशन α_obs: पोलामीटर में ऑप्टिकल रोटेशन कोण का अवलोकन किया गया l: पोलारिमीटर नमूना ट्यूब पथ लंबाई c: नमूना समाधान एकाग्रता

3

एनैन्टीओमेरिक अतिरिक्त (% ईई) और ऑप्टिकल शुद्धता

% ee = (|R -S|R + S) × 100 = (α_obsα_pure) × 100

रेसमिक मिश्रण पर एक एनैन्टीओमर की चिरल अधिकता की मात्रा निर्धारित करता है (50:50 मिश्रण में 0% ईई है)

% ee: एनैन्टीओमेरिक अतिरिक्त प्रतिशत [R], [S]: आर और एस एनैन्टीओमर्स का मोल प्रतिशत

4

हैममेट रैखिक मुक्त ऊर्जा संबंध

log(KK₀) = σ·ρ, log(kk₀) = σ·ρ

मेटा/पैरा प्रतिस्थापक इलेक्ट्रॉनिक प्रभाव (σ) और प्रतिक्रिया संवेदनशीलता (ρ) को प्रतिस्थापित बेंजोइक एसिड दरों से संबंधित करता है

σ: हैममेट प्रतिस्थापक स्थिरांक (इलेक्ट्रॉन-निकासी σ > 0, दान σ < 0) ρ: प्रतिक्रिया संवेदनशीलता स्थिरांक K, K₀: प्रतिस्थापन के साथ और उसके बिना संतुलन स्थिरांक