Fórmulas - Mathematics, Physics & Chemistry

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Suite de Fórmulas Trigonométricas

Identidades pitagóricas, suma/diferencia de ángulos, ángulos dobles/mitad, fórmula de Euler, leyes de senos y cosenos.

92+ Ecuaciones

📊

Tabla de Valores de Ángulos del Círculo Unitario Estándar

Razones trigonométricas exactas para ángulos de referencia en grados y radianes

Referencia Estándar

Grados (x)	Radianes (rad)	sin(x)	cos(x)	tan(x)	csc(x)	sec(x)	cot(x)
0°	0	0	1	0	indefinido	1	indefinido
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3	2	2√3/3	√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1	√2	√2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3	2√3/3	2	√3/3
90°	π/2	1	0	indefinido	1	indefinido	0
120°	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	2√3/3	-2	-√3/3
135°	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	√2	-√2	-1
150°	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	2	-2√3/3	-√3
180°	π	0	-1	0	indefinido	-1	indefinido
270°	3π/2	-1	0	indefinido	-1	indefinido	0
360°	2π	0	1	0	indefinido	1	indefinido

🔄

Identidades recíprocas y cocientes

8 fórmulas

Relaciones fundamentales entre razones trigonométricas primarias y recíprocas

1

Seno recíproco

sin(x) = 1csc(x)

csc(x) ≠ 0; x ≠ nπ

2

Cosecante recíproca

csc(x) = 1sin(x)

sin(x) ≠ 0; x ≠ nπ

3

Coseno recíproco

cos(x) = 1sec(x)

sec(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

4

Secante recíproca

sec(x) = 1cos(x)

cos(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

5

Tangente recíproca

tan(x) = 1cot(x)

cot(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

6

Cotangente recíproco

cot(x) = 1tan(x)

tan(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

7

Cociente tangente

tan(x) = sin(x)cos(x)

Proporción de opuesto a adyacente en un triángulo rectángulo

8

Cociente cotangente

cot(x) = cos(x)sin(x)

Relación de adyacente a opuesto en un triángulo rectángulo

🪞

Fórmulas de ángulos opuestos (funciones pares e impares)

6 fórmulas

Comportamiento de simetría de funciones trigonométricas bajo negación de ángulos.

1

Ángulo seno negativo (función impar)

sin(-x) = -sin(x)

Simétrico con respecto al origen.

2

Ángulo negativo del coseno (función par)

cos(-x) = cos(x)

Simétrico con respecto al eje y

3

Ángulo tangente negativo (función impar)

tan(-x) = -tan(x)

Extraña simetría alrededor del origen

4

Ángulo negativo cotangente (función impar)

cot(-x) = -cot(x)

Extraña simetría alrededor del origen

5

Ángulo secante negativo (función par)

sec(-x) = sec(x)

Hereda incluso la simetría del coseno.

6

Ángulo negativo cosecante (función impar)

csc(-x) = -csc(x)

Hereda simetría impar del seno.

📐

Fórmulas de cofunción (ángulos complementarios)

6 fórmulas

Identidades que conectan funciones trigonométricas de ángulos complementarios (π/2 - x o 90° - x)

1

Cofunción seno

sin(π2- x) = cos(x)

Además: sin(90° - x) = cos(x)

2

Cofunción coseno

cos(π2- x) = sin(x)

Además: cos(90° - x) = sin(x)

3

Cofunción tangente

tan(π2- x) = cot(x)

Además: tan(90° - x) = cot(x)

4

Cofunción cotangente

cot(π2- x) = tan(x)

Además: cot(90° - x) = tan(x)

5

Cofunción secante

sec(π2- x) = csc(x)

Además: sec(90° - x) = csc(x)

6

Cofunción cosecante

csc(π2- x) = sec(x)

Además: csc(90° - x) = sec(x)

🔺

Identidades pitagóricas y formas algebraicas

9 fórmulas

Derivado directamente del círculo unitario (x² + y² = 1) y trigonometría de triángulo rectángulo

1

Identidad pitagórica primaria

sin²(x) + cos²(x) = 1

Identidad fundamental válida para todos los ángulos reales x

2

Seno en términos de coseno

sin(x) = ±√1 - cos²(x)

Signo elegido según el cuadrante de x

3

Coseno en términos de seno

cos(x) = ±√1 - sin²(x)

Signo elegido según el cuadrante de x

4

Identidad pitagórica tangente-secante

1 + tan²(x) = sec²(x)

Se obtiene dividiendo sin²(x) + cos²(x) = 1 por cos²(x)

5

Forma de diferencia secante-tangente

sec²(x) - tan²(x) = 1

Válido donde cos(x) ≠ 0

6

Identidad pitagórica cotangente-cosecante

1 + cot²(x) = csc²(x)

Se obtiene dividiendo sin²(x) + cos²(x) = 1 por sin²(x)

7

Forma de diferencia cosecante-cotangente

csc²(x) - cot²(x) = 1

Válido donde sin(x) ≠ 0

8

Normalización de radicales de círculo unitario

√sin²(x) + cos²(x) = 1

Longitud de la hipotenusa geométrica en un círculo unitario

9

Identidades de unidad de producto

sin(x)·csc(x) = 1, cos(x)·sec(x) = 1, tan(x)·cot(x) = 1

Productos recíprocos iguales a la unidad.

➕

Suma y resta de ángulos (ángulos compuestos)

8 fórmulas

Fórmulas para las razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos (A ± B)

1

Seno de suma de ángulos

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Fórmula clave de ángulos compuestos para la suma de senos

2

Seno de diferencia de ángulo

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Fórmula clave de ángulo compuesto para diferencia de senos

3

Coseno de la suma de los ángulos

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Observe el signo menos en la expansión de la suma del coseno.

4

Coseno de diferencia de ángulos

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Observe el signo más en la expansión de diferencia de coseno

5

Tangente de la suma de los ángulos

tan(A + B) = tan(A) + tan(B)1 - tan(A)tan(B)

Requiere tan(A)tan(B) ≠ 1

6

Tangente de diferencia de ángulos

tan(A - B) = tan(A) - tan(B)1 + tan(A)tan(B)

Requiere tan(A)tan(B) ≠ -1

7

Cotangente de la suma de ángulos

cot(A + B) = cot(A)cot(B) - 1cot(B) + cot(A)

Fórmula compuesta para suma cotangente

8

Cotangente de diferencia de ángulos

cot(A - B) = cot(A)cot(B) + 1cot(B) - cot(A)

Fórmula compuesta para la diferencia cotangente

✖️2️⃣

Fórmulas de doble ángulo (2x)

7 fórmulas

Expresar funciones de ángulo doble (2x) en términos de ángulo simple (x)

1

Ángulo doble sinusoidal

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

Incluye forma de parametrización tangente racional.

2

Coseno doble ángulo (diferencia estándar)

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Consecuencia directa de cos(x + x)

3

Coseno Doble Ángulo (Sólo Coseno)

cos(2x) = 2 cos²(x) - 1

Crucial para la integración y la reducción de energía

4

Ángulo doble coseno (solo seno)

cos(2x) = 1 - 2 sin²(x)

Crucial para la integración y la derivación de medio ángulo

5

Coseno Doble Ángulo (Parametrización Tangente)

cos(2x) = 1 - tan²(x)1 + tan²(x)

Relación de sustitución de Weierstrass para el coseno

6

Tangente de doble ángulo

tan(2x) = 2 tan(x)1 - tan²(x)

Requiere tan²(x) ≠ 1

7

Ángulo doble cotangente

cot(2x) = cot²(x) - 12 cot(x)

Requiere cot(x) ≠ 0

3️⃣

Fórmulas de triple ángulo (3x)

4 fórmulas

Funciones trigonométricas de 3x expresadas en formas polinomiales de un solo ángulo

1

Ángulo triple sinusoidal

sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin³(x)

Útil para resolver ecuaciones cúbicas y álgebra.

2

Coseno triple ángulo

cos(3x) = 4 cos³(x) - 3 cos(x)

Polinomio cúbico directo de Chebyshev T₃(x) = 4x³ - 3x

3

Ángulo triple tangente

tan(3x) = 3 tan(x) - tan³(x)1 - 3 tan²(x)

Requiere 3tan²(x) ≠ 1

4

Triple ángulo cotangente

cot(3x) = 3 cot(x) - cot³(x)1 - 3 cot²(x)

Requiere 3 cot²(x) ≠ 1

½

Fórmulas de medio ángulo (x/2)

6 fórmulas

Fórmulas exactas para semiángulos con signo determinado por el cuadrante de x/2

1

Medio ángulo sinusoidal

sin(x2) = ±√1 - cos(x)2

Signo ± elegido en función del cuadrante que contiene x/2

2

Medio ángulo del coseno

cos(x2) = ±√1 + cos(x)2

Signo ± elegido en función del cuadrante que contiene x/2

3

Medio ángulo tangente (forma radical)

tan(x2) = ±√1 - cos(x)1 + cos(x)

Forma de medio ángulo de raíz cuadrada para tangente

4

Medio ángulo tangente (forma racional 1)

tan(x2) = 1 - cos(x)sin(x)

Sin ambigüedad de signos; exacto para todo x ≠ nπ

5

Medio ángulo tangente (forma racional 2 / diferencia)

tan(x2) = sin(x)1 + cos(x) = csc(x) - cot(x)

Equivalente a la diferencia csc(x) - cot(x)

6

Medio ángulo cotangente

cot(x2) = 1 + cos(x)sin(x) = csc(x) + cot(x)

Equivalente a la suma csc(x) + cot(x)

⚡

Fórmulas reductoras de potencia (potencias al cuadrado y superiores)

7 fórmulas

Convierte potencias de funciones trigonométricas en múltiplos de primer grado de x (esencial para la integración de cálculo)

1

Reducción de potencia seno al cuadrado

sin²(x) = 1 - cos(2x)2

Cálculo fundamental de reducción de primitivas: ∫sin²(x)dx

2

Reducción de potencia del coseno al cuadrado

cos²(x) = 1 + cos(2x)2

Cálculo fundamental de reducción de primitivas: ∫cos²(x)dx

3

Reducción de potencia tangente al cuadrado

tan²(x) = 1 - cos(2x)1 + cos(2x)

Forma de fracción de coseno racional para tan²(x)

4

Reducción de potencia sinusoidal cúbica

sin³(x) = 3 sin(x) - sin(3x)4

Derivado directamente de la identidad del triple ángulo sin(3x)

5

Reducción de potencia al cubo del coseno

cos³(x) = 3 cos(x) + cos(3x)4

Derivado directamente de la identidad del triple ángulo cos(3x)

6

Reducción de cuarta potencia sinusoidal

sin⁴(x) = 3 - 4 cos(2x) + cos(4x)8

Utilizado para series de Fourier e integrales de orden superior.

7

Reducción de cuarta potencia del coseno

cos⁴(x) = 3 + 4 cos(2x) + cos(4x)8

Utilizado para series de Fourier e integrales de orden superior.

✖️➡️➕

Fórmulas de producto a suma

4 fórmulas

Convierte productos de seno y coseno en términos de suma y diferencia (crucial para la mecánica ondulatoria e integrales)

1

Producto seno × seno

sin(A) sin(B) = ½ [cos(A - B) - cos(A + B)]

Transforma productos de interferencia de ondas en componentes aditivos.

2

Producto coseno × coseno

cos(A) cos(B) = ½ [cos(A - B) + cos(A + B)]

Transforma productos de coseno en componentes aditivos.

3

Producto seno × coseno

sin(A) cos(B) = ½ [sin(A + B) + sin(A - B)]

Fórmula de producto de modulación de señal estándar

4

Producto coseno × seno

cos(A) sin(B) = ½ [sin(A + B) - sin(A - B)]

Descomposición complementaria del producto.

➕➡️✖️

Fórmulas de suma a producto

6 fórmulas

Convierte sumas y diferencias de funciones trigonométricas en productos multiplicativos.

1

Seno + suma seno

sin(A) + sin(B) = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)

Explica el fenómeno de la frecuencia de batido en la acústica de ondas acústicas.

2

Seno - Diferencia seno

sin(A) - sin(B) = 2 sin(A - B2) cos(A + B2)

Formulario de análisis de onda diferencial

3

Coseno + Suma De Coseno

cos(A) + cos(B) = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)

Incluso conversión de suma a producto

4

Coseno - Diferencia de coseno

cos(A) - cos(B) = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)

Observe el signo negativo inicial (u orden inverso B - A)

5

Tangente + Suma Tangente

tan(A) + tan(B) = sin(A + B)cos(A) cos(B)

Calcula pendientes tangentes combinadas

6

Tangente - Diferencia tangente

tan(A) - tan(B) = sin(A - B)cos(A) cos(B)

Calcula la diferencia de pendientes tangentes.

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Leyes del triángulo y relaciones geométricas

7 fórmulas

Leyes para resolver triángulos oblicuos generales (Ley de senos, cosenos, tangentes y fórmulas de Mollweide)

1

Ley de los senos

asin(A) = bsin(B) = csin(C) = 2R

R es el radio del círculo circunscrito (circumradius)

a, b, c: longitudes laterales A, B, C: ángulos opuestos R: Circunradio

2

Ley de los cosenos (Lado a / Ángulo A)

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

Resuelve SAS (Lado-Ángulo-Lado) o SSS (Lado-Lado-Lado)

3

Ley de los cosenos (lado b y lado c)

b² = a² + c² - 2ac cos(B), c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Versiones simétricas para los lados b y c

4

Ley de las tangentes

a - ba + b = tan[½(A - B)]tan[½(A + B)]

Utilizado históricamente para cálculos logarítmicos en navegación.

5

La primera fórmula de Mollweide

a + bc = cos[½(A - B)]sin(½C)

Excelente fórmula para comprobar la consistencia del solucionador de triángulos

6

La segunda fórmula de Mollweide

a - bc = sin[½(A - B)]cos(½C)

Relación de consistencia complementaria de Mollweide

7

Área del triángulo trigonométrico (SAS)

Area = ½ a b sin(C) = ½ b c sin(A) = ½ a c sin(B)

Calcula el área desde dos lados y el ángulo incluido.

⭕

Longitud de arco, sectores y movimiento circular

3 fórmulas

Relaciones que conectan el ángulo en radianes con la distancia curva, el área del sector y la velocidad angular

1

Fórmula de longitud de arco

S = r x

El ángulo x DEBE expresarse en radianes (x = x° × π / 180°)

S: Longitud del arco r: Radio del círculo x: Ángulo central (radianes)

2

Área Sectorial Circular

Area = ½ r² x = ½ r S

x en radianes; es igual a ½ × radio × longitud de arco

3

Velocidad lineal y velocidad angular

v = r ω, ω = xt = 2π f

Relaciona la velocidad tangencial lineal v con la velocidad angular ω y la frecuencia f

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Fórmula de Euler, De Moivre y trigonometría compleja

5 fórmulas

Puente que conecta el análisis complejo exponencial y la trigonometría polar

1

Fórmula de Euler

e^(ix) = cos(x) + i sin(x) = cis(x)

Conecta la función exponencial directamente con el seno y el coseno; para x=π da e^(iπ) + 1 = 0

2

La fórmula de De Moivre

(r cis x)ⁿ = rⁿ cis(nx) = rⁿ [cos(nx) + i sin(nx)]

Calcula potencias y raíces de números complejos instantáneamente.

3

Multiplicación y división polar

(r₁ cis x)(r₂ cis φ) = r₁r₂ cis(x + φ),r₁ cis xr₂ cis φ = (r₁r₂) cis(x - φ)

Las magnitudes se multiplican/dividen; argumentos de ángulo sumar/restar

4

Definición exponencial de coseno

cos(x) = e^(ix) + e^(-ix)2

Expresa el coseno algebraicamente usando exponenciales complejas

5

Definición exponencial de seno

sin(x) = e^(ix) - e^(-ix)2i

Expresa el seno algebraicamente usando exponenciales complejas

↩️

Identidades trigonométricas inversas

6 fórmulas

Propiedades, identidades de ramas de valores principales y fórmulas de suma para funciones circulares inversas

1

Identidades complementarias inversas

sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x) = π2, tan⁻¹(x) + cot⁻¹(x) = π2, sec⁻¹(x) + csc⁻¹(x) = π2

Válido en dominios respectivos: x ∈ [-1, 1], x ∈ ℝ, |x| ≥ 1

2

Fórmula de suma tangente inversa

tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x + y1 - xy)

Si xy > 1 y x,y > 0, suma π al resultado

3

Fórmula de diferencia tangente inversa

tan⁻¹(x) - tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x - y1 + xy)

Fórmula estándar de resta de tangente inversa

4

Doble tangente inversa Representaciones múltiples

2 tan⁻¹(x) = sin⁻¹(2x1 + x²) = cos⁻¹(1 - x²1 + x²) = tan⁻¹(2x1 - x²)

Crucial para el cálculo Sustitución t de Weierstrass (t = tan(x/2))

5

Argumento Negativo Identidades Inversas

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹(x), tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹(x), cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹(x)

Tenga en cuenta que cos⁻¹(-x) produce π - cos⁻¹(x)

6

Relaciones de función recíproca inversa

csc⁻¹(x) = sin⁻¹(1x), sec⁻¹(x) = cos⁻¹(1x), cot⁻¹(x) = tan⁻¹(1x) [x > 0]

Mapeo de argumentos recíprocos para funciones inversas

⚡

Reglas de Derivación y Derivadas

Reglas de la potencia, producto, cociente y cadena, derivadas exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas.

44+ Ecuaciones

⚡

Reglas y operaciones fundamentales de las derivadas

9 fórmulas

Reglas básicas de diferenciación operativa para constantes, potencias y combinaciones algebraicas

1

Derivada por primeros principios (definición de límite)

f'(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x))h

Definición fundamental de derivada como tasa de cambio instantánea

2

Regla constante

ddx [c] = 0

La derivada de cualquier constante c es cero.

3

Regla de poder

ddx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

Válido para todos los exponentes reales n (n ∈ ℝ)

4

Regla múltiple constante

ddx [c·f(x)] = c·f'(x)

Factor de constantes fuera de la diferenciación

5

Regla de suma y diferencia

ddx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

La diferenciación es un operador lineal.

6

Regla del producto (regla de Leibniz)

ddx [f(x)·g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Diferenciar primero, mantener segundo, más mantener primero, diferenciar segundo

7

Regla del cociente

ddx [f(x)g(x)] = g(x)f'(x) - f(x)g'(x)[g(x)]²

Requiere g(x) ≠ 0

8

Regla de la cadena (funciones compuestas)

ddx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

Diferenciar la función externa evaluada en la interna, multiplicarla por la derivada de la interna

9

Regla de función recíproca

ddx [1f(x)] = -f'(x)[f(x)]²

Atajo directo para funciones alternativas

📈

Derivadas exponenciales y logarítmicas

7 fórmulas

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales de base general naturales

1

Derivada exponencial natural

ddx [eˣ] = eˣ

La función única distinta de cero igual a su propia derivada

2

Derivada exponencial natural compuesta

ddx [e^(f(x))] = e^(f(x))·f'(x)

Regla de la cadena aplicada a exponencial natural

3

Derivada exponencial de base general

ddx [aˣ] = aˣ·ln(a)

Válido para a > 0, a ≠ 1

4

Derivada del logaritmo natural

ddx [ln(x)] = 1x

Para valores absolutos: d/dx [ln|x|] = 1 / x (x ≠ 0)

5

Derivada del logaritmo natural compuesto

ddx [ln(f(x))] = f'(x)f(x)

Derivada logarítmica / tasa de cambio relativa

6

Derivada del logaritmo de base general

ddx [log_a(x)] = 1x·ln(a)

Cambio de fórmula de diferenciación de bases.

7

Base variable y exponente variable (xˣ)

ddx [xˣ] = xˣ·(1 + ln(x))

Derivado usando diferenciación logarítmica y = xˣ ⇒ ln y = x ln x

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Derivadas de funciones trigonométricas

7 fórmulas

Derivadas de las seis funciones trigonométricas estándar (sin, cos, tan, cot, sec, csc)

1

Derivada del seno

ddx [sin(x)] = cos(x)

La tasa de cambio del seno es coseno.

2

Derivada del coseno

ddx [cos(x)] = -sin(x)

Observe el signo negativo de la función "co-".

3

Derivada de tangente

ddx [tan(x)] = sec²(x)

También igual a 1 + tan²(x)

4

Derivada de la cotangente

ddx [cot(x)] = -csc²(x)

También igual a -(1 + cot²(x))

5

Derivada de la secante

ddx [sec(x)] = sec(x)·tan(x)

Producto de secante y tangente

6

Derivada de cosecante

ddx [csc(x)] = -csc(x)·cot(x)

Producto de cosecante y cotangente con signo negativo

7

Forma de cadena trigonométrica compuesta

ddx [sin(f(x))] = cos(f(x))·f'(x), ddx [cos(f(x))] = -sin(f(x))·f'(x)

Regla de la cadena trigonométrica generalizada estándar

↩️

Derivadas trigonométricas inversas

6 fórmulas

Derivadas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante inversas

1

Derivada del seno inverso

ddx [sin⁻¹(x)] = 1√1 - x²

Dominio estrictamente entre -1 y 1

2

Derivada del coseno inverso

ddx [cos⁻¹(x)] = -1√1 - x²

Negativo exacto de la derivada seno inversa

3

Derivada de la tangente inversa

ddx [tan⁻¹(x)] = 11 + x²

Válido para todos los números reales sin singularidad.

4

Derivada de la cotangente inversa

ddx [cot⁻¹(x)] = -11 + x²

Negativo exacto de la derivada tangente inversa

5

Derivada de la secante inversa

ddx [sec⁻¹(x)] = 1|x|·√x² - 1

Requiere |x| > 1

6

Derivada de la cosecante inversa

ddx [csc⁻¹(x)] = -1|x|·√x² - 1

Negativo exacto de la derivada secante inversa

〰️

Derivadas hiperbólicas e hiperbólicas inversas

9 fórmulas

Derivadas de sinh, cosh, tanh y sus respectivas funciones inversas

1

Derivada del seno hiperbólico (sinh x)

ddx [sinh(x)] = cosh(x)

No observe ningún signo negativo (a diferencia del coseno normal)

2

Derivada del coseno hiperbólico (cosh x)

ddx [cosh(x)] = sinh(x)

Tasa de cambio positiva

3

Derivada de la tangente hiperbólica (tanh x)

ddx [tanh(x)] = sech²(x)

Crucial para la retropropagación de la activación de la red neuronal

4

Derivada de la cotangente hiperbólica (coth x)

ddx [coth(x)] = -csch²(x)

Cosecante hiperbólica negativa al cuadrado

5

Derivada de la secante hiperbólica (sech x)

ddx [sech(x)] = -sech(x)·tanh(x)

Producto hiperbólico negativo

6

Derivada de la cosecante hiperbólica (csch x)

ddx [csch(x)] = -csch(x)·coth(x)

Producto hiperbólico negativo

7

Derivada del seno hiperbólico inverso

ddx [arsinh(x)] = 1√x² + 1

Válido para todos los reales x

8

Derivada del coseno hiperbólico inverso

ddx [arcosh(x)] = 1√x² - 1

Válido para x > 1

9

Derivada de la tangente hiperbólica inversa

ddx [artanh(x)] = 11 - x²

Válido para |x| < 1

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Técnicas y teoremas avanzados de diferenciación

6 fórmulas

Diferenciación implícita, curvas paramétricas, regla de L'Hôpital y expansiones de Taylor

1

Primera derivada paramétrica (dy/dx)

dydx = dydtdxdt

Calcula la pendiente tangente de la curva a partir de las ecuaciones paramétricas x(t), y(t)

2

Segunda derivada paramétrica (d²y/dx²)

d²ydx² = [ddt (dydx)]dxdt

Calcula la concavidad de curvas paramétricas.

3

Regla de L'Hôpital (límites 0/0 o ∞/∞)

lim[x→c] f(x)g(x) = lim[x→c] f'(x)g'(x)

Resuelve límites indeterminados diferenciando numerador y denominador de forma independiente

4

Teorema del valor medio (MVT)

f'(c) = f(b) - f(a)b - a

Garantiza un punto donde la tasa de cambio instantánea es igual a la tasa de cambio promedio

5

Expansión de la serie de Taylor alrededor de x = a

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(a)n!)·(x - a)ⁿ

Aproximación polinómica de funciones diferenciables suaves

6

Expansión de la serie Maclaurin (a = 0)

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(0)n!)·xⁿ

Serie de Taylor centrada en el origen (x = 0)

∫

Integración y Primitivas Estándar

Primitivas estándar de examen, métodos de sustitución, exponenciales, trigonométricas e integración por partes.

54+ Ecuaciones

∫

Reglas y poderes fundamentales de integración

6 fórmulas

Reglas elementales de antiderivadas para constantes, potencias algebraicas y combinaciones lineales.

1

integral constante

∫ k dx = k·x + C

La primitiva de una constante k es k·x + C

2

Regla de poder de integración

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

Válido para todas las potencias reales n excepto n = -1

3

Integral de función recíproca (1/x)

∫ (1x) dx = ln|x| + C

Caso especial crucial para n = -1 en la regla de potencia

4

Regla de linealidad de integración

∫ [a·f(x) ± b·g(x)] dx = a ∫ f(x) dx ± b ∫ g(x) dx

La integración es una operación funcional lineal.

5

Regla de potencia compuesta lineal

∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

Atajo para potencias binomiales lineales

6

Integral recíproca compuesta lineal

∫ (1ax + b) dx = (1a)·ln|ax + b| + C

Fórmula de integración de denominador lineal estándar

📈

Integrales exponenciales y logarítmicas

6 fórmulas

Antiderivadas que involucran eˣ natural, base general aˣ y términos logarítmicos

1

Integral exponencial natural

∫ eˣ dx = eˣ + C

La función es igual a su propia antiderivada hasta C constante

2

Integral exponencial escalada (eᵃˣ)

∫ e^(ax) dx = (1a)·e^(ax) + C

Regla de integración exponencial escalada estándar

3

Integral exponencial de base general (aˣ)

∫ aˣ dx = aˣln(a)+ C

Se divide por ln(a) porque la derivada se multiplica por ln(a)

4

Integral de logaritmo natural

∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x + C

Derivado usando integración por partes con u = ln x, dv = dx

5

Integral del logaritmo de base general

∫ log_a(x) dx = x·ln(x) - xln(a)+ C

Cambio de integración de base para logaritmos.

6

Integral del producto (x · eˣ)

∫ x·eˣ dx = eˣ(x - 1) + C

Integración clásica por aplicación de piezas.

📐

Integrales trigonométricas básicas

6 fórmulas

Antiderivadas directas correspondientes a derivadas trigonométricas estándar

1

Integral de seno

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

Nótese el signo negativo en la primitiva del seno.

2

Integral de coseno

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Antiderivada trigonométrica estándar directa

3

Integral de secante al cuadrado

∫ sec²(x) dx = tan(x) + C

Porque la derivada de la tangente es secante al cuadrado.

4

Integral de cosecante al cuadrado

∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C

Porque la derivada de la cotangente es -csc²(x)

5

Integral de secante × tangente

∫ sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C

Inversión derivada directa de sec(x)

6

Integral de cosecante × cotangente

∫ csc(x) cot(x) dx = -csc(x) + C

Inversión de derivada directa de csc(x)

⚡

Integrales trigonométricas extendidas y cuadradas

8 fórmulas

Integrales de términos trigonométricos tan, cot, sec, csc y cuadrado

1

Integral de tangente

∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C = -ln|cos(x)| + C

Evaluado por sustitución u = cos(x)

2

Integral de cotangente

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C = -ln|csc(x)| + C

Evaluado por sustitución u = sin(x)

3

Integral de secante

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Famosa integral de cálculo multiplicada por (sec x + tan x)/(sec x + tan x)

4

Integral de cosecante

∫ csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C = ln|tan(x2)| + C

Integral cosecante logarítmica estándar

5

Integral de seno al cuadrado (sen² x)

∫ sin²(x) dx = (x2) - (sin(2x)4) + C

Evaluado utilizando la identidad de reducción de potencia sin²(x) = (1 - cos 2x)/2

6

Integral de coseno al cuadrado (cos² x)

∫ cos²(x) dx = (x2) + (sin(2x)4) + C

Evaluado utilizando la identidad de reducción de potencia cos²(x) = (1 + cos 2x)/2

7

Integral de tangente al cuadrado (tan² x)

∫ tan²(x) dx = tan(x) - x + C

Evaluado usando identidad tan²(x) = sec²(x) - 1

8

Integral de Cotangente al cuadrado (cot² x)

∫ cot²(x) dx = -cot(x) - x + C

Evaluado usando identidad cot²(x) = csc²(x) - 1

↩️

Integrales que producen funciones trigonométricas inversas

5 fórmulas

Integrales de fracciones algebraicas estándar cuyas primitivas son funciones trigonométricas inversas

1

Seno inverso de rendimiento integral

∫ (1√a² - x²) dx = sin⁻¹(xa) + C

Observe que no hay factor 1/a afuera para el seno inverso

2

Tangente inversa de rendimiento integral

∫ (1a² + x²) dx = (1a)·tan⁻¹(xa) + C

El coeficiente 1/a es necesario a diferencia del seno inverso

3

Secante inversa de rendimiento integral

∫ (1x·√x² - a²) dx = (1a)·sec⁻¹(|x|a) + C

Incluye coeficiente 1/a y valor absoluto |x|

4

Integral de 1 / (x² - a²)

∫ (1x² - a²) dx = (12a)·ln|(x - a)x + a| + C

Obtenido mediante descomposición en fracciones parciales 1/(x²-a²)

5

Integral de 1 / (a² - x²)

∫ (1a² - x²) dx = (12a)·ln|(a + x)a - x| + C

Obtenido mediante descomposición en fracciones parciales 1/(a²-x²)

√

Integrales radicales especiales de raíz cuadrada

4 fórmulas

Integrales radicales estándar resueltas mediante sustitución trigonométrica (x = a sin θ, a tan θ, a sec θ)

1

Integral de √(a² - x²)

∫ √a² - x² dx = (x2)√a² - x² + (a²2)sin⁻¹(xa) + C

Se utiliza para calcular áreas de sectores circulares y elípticos.

2

Integral de √(x² + a²)

∫ √x² + a² dx = (x2)√x² + a² + (a²2)ln|x + √x² + a²| + C

Resuelto usando sustitución x = a tan θ o x hiperbólica = a sinh u

3

Integral de √(x² - a²)

∫ √x² - a² dx = (x2)√x² - a² - (a²2)ln|x + √x² - a²| + C

Resuelto usando sustitución x = a sec θ o x hiperbólica = a cosh u

4

Integral de 1 / √(x² ± a²)

∫ (1√x² ± a²) dx = ln|x + √x² ± a²| + C

También igual a arsinh(x/a) y arcosh(x/a) respectivamente

〰️

Integrales de funciones hiperbólicas

6 fórmulas

Antiderivadas de formas trigonométricas sinh, cosh, tanh y hiperbólicas

1

Integral del seno hiperbólico (sinh x)

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

Cosh positivo(x) + C (sin signo negativo)

2

Integral del coseno hiperbólico (cosh x)

∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

Antiderivada hiperbólica directa

3

Integral de tangente hiperbólica (tanh x)

∫ tanh(x) dx = ln(cosh x) + C

Dado que cosh x > 0 para todo x real, no se requiere valor absoluto

4

Integral de la Secante Hiperbólica al Cuadrado (sech² x)

∫ sech²(x) dx = tanh(x) + C

Antiderivada directa que produce tanh(x)

5

Integral de cosecante hiperbólica al cuadrado (csch² x)

∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C

Cotangente hiperbólica negativa

6

Integral de sech(x) · tanh(x)

∫ sech(x) tanh(x) dx = -sech(x) + C

Antiderivada del producto secante-tangente hiperbólico

🛠️

Técnicas y métodos de integración

4 fórmulas

Métodos generales de integración analítica: partes, sustitución y fracciones parciales

1

Fórmula de integración por partes

∫ u dv = u·v - ∫ v du

Elija u usando la regla LIATE (logarítmica, trigonométrica inversa, algebraica, trigonométrica, exponencial)

2

Integración por Sustitución U (Cambio de Variables)

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du

Invierte la regla de la cadena de diferenciación

3

Sustitución de medio ángulo de Weierstrass (t = tan(x/2))

sin(x) = 2t1+t², cos(x) = 1-t²1+t², dx = 2dt1+t²

Transforma cualquier integral trigonométrica racional en una integral algebraica polinómica racional

4

Forma derivada logarítmica (∫ f'(x)/f(x) dx)

∫ (f'(x)f(x)) dx = ln|f(x)| + C

Siempre que el numerador sea derivada exacta del denominador

📊

Integrales definidas y teoremas fundamentales

5 fórmulas

Teorema fundamental del cálculo (FTC), propiedades de simetría y regla de Leibniz

1

Teorema fundamental del cálculo (Parte 1 - Diferenciación de integrales)

ddx [ ∫xa f(t) dt ] = f(x)

Conecta la diferenciación y la integración como operaciones matemáticas inversas.

2

Teorema fundamental del cálculo (Parte 2 - Teorema de evaluación)

∫ba f(x) dx = F(b) - F(a)

Evalúa el área neta y el cambio acumulado en el intervalo [a, b]

3

Regla de Leibniz para diferenciar bajo el signo integral

ddx [ ∫v(x)u(x) f(t) dt ] = f(v(x))·v'(x) - f(u(x))·u'(x)

Regla de la cadena extendida a límites de integración superiores e inferiores variables

4

Simetría de función par/impar integral definida en [-a, a]

Even: ∫a-a f(x) dx = 2 ∫a0 f(x) dx, Odd: ∫a-a f(x) dx = 0

Simplificación instantánea para límites de integración simétricos [-a, a]

5

Teorema del valor medio para integrales definidas

f_avg = (1b - a)·∫ba f(x) dx = f(c)

Calcula el valor promedio verdadero de una función continua sobre [a, b]

🔁

Fórmulas de reducción trigonométrica

4 fórmulas

Fórmulas de reducción recursiva para integrar potencias trigonométricas superiores (senⁿ x, cosⁿ x, tanⁿ x, secⁿ x)

1

Fórmula de reducción de potencia sinusoidal

∫ sinⁿ(x) dx = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x)n+ (n - 1n) ∫ sinⁿ⁻²(x) dx

Reduce la potencia del seno en 2 en cada iteración.

2

Fórmula de reducción de potencia del coseno

∫ cosⁿ(x) dx = cosⁿ⁻¹(x)sin(x)n+ (n - 1n) ∫ cosⁿ⁻²(x) dx

Reduce la potencia del coseno en 2 en cada iteración.

3

Fórmula de reducción de potencia tangente

∫ tanⁿ(x) dx = tanⁿ⁻¹(x)n - 1 - ∫ tanⁿ⁻²(x) dx

Reducción algebraica rápida para tanⁿ(x)

4

Fórmula de reducción de potencia secante

∫ secⁿ(x) dx = secⁿ⁻²(x)tan(x)n - 1 + (n - 2n - 1) ∫ secⁿ⁻²(x) dx

Reduce potencias más altas de secante (por ejemplo, ∫sec³ x dx)

🧮

Suite Completa de Matemáticas

Identidades algebraicas, geometría 2D y 3D, operaciones matriciales, vectores, series, ecuaciones diferenciales y probabilidad.

54+ Ecuaciones

🔢

Capítulo 1: Identidades algebraicas, polinomios y desigualdades

9 fórmulas

Expansiones binomiales, suma/diferencia de cubos, relaciones de Vieta, teorema del binomio y desigualdades fundamentales

1

Fórmula de ecuación cuadrática y raíces

x = -b ± √b² - 4ac2a

Soluciones a la ecuación cuadrática estándar ax² + bx + c = 0; discriminante Δ = b² - 4ac determina la naturaleza real/compleja

x: Raíces de ecuación cuadrática a, b, c: Coeficientes polinomiales (a ≠ 0) Δ = b² - 4ac: Discriminante (Δ > 0 real distinto, Δ = 0 repetido, Δ < 0 conjugados complejos)

2

Identidades de expansión binomial de cuadrado y cubo

(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Expansiones polinómicas fundamentales de binomios algebraicos

a, b: Términos algebraicos o números reales

3

Identidad del cuadrado del trinomio

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

Expansión del cuadrado de una suma de tres términos.

a, b, c: Variables algebraicas

4

Factorización de diferencia y suma de cubos

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Factorizaciones algebraicas exactas para suma y diferencia de términos cúbicos

a, b: Términos básicos

5

Identidad cúbica de tres variables de Euler

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

Caso especial: si a + b + c = 0, entonces a³ + b³ + c³ = 3abc

a, b, c: Variables reales o complejas

6

Teorema general del binomio

(x + y)ⁿ = ∑[k = 0 to n] (n!k!(n - k)!)·xⁿ⁻ᵏ·yᵏ

Expande cualquier potencia entera positiva de una suma binomial usando coeficientes combinatorios

n: Potencia entera no negativa k: Índice de términos (0 a n)

7

Fórmulas de Vieta para raíces polinomiales

Quadratic: r₁ + r₂ = -ba, r₁·r₂ = ca; Cubic: ∑ r_i = -ba, ∑ r_i r_j = ca, r₁r₂r₃ = -da

Relaciones directas entre raíces polinomiales y coeficientes.

r_i: Raíces del polinomio P(x) = 0

8

AM-GM-HM Desigualdad de medios clásicos

AM ≥ GM ≥ HM ⟹ a₁ + a₂ + ... + a_nn ≥ ⁿ√a₁·a₂·...·a_n ≥ n1a₁+1a₂+ ... +1a_n

La igualdad se cumple si y sólo si todos los elementos a₁ = a₂ = ... = a_n

AM: Media aritmética GM: Media geométrica HM: Media armónica

9

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

(∑[i = 1 to n] a_i·b_i)² ≤ (∑[i = 1 to n] a_i²)·(∑[i = 1 to n] b_i²)

Desigualdad universal en espacios de producto interno real/complejo

a_i, b_i: Secuencias de números reales o componentes vectoriales.

📐

Capítulo 2: Geometría de coordenadas 2D y secciones cónicas

8 fórmulas

Distancia, fórmulas de sección, líneas rectas, círculos, parábolas, elipses e hipérbolas.

1

Fórmula de sección y distancia euclidiana 2D

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², x = m·x₂ ± n·x₁m ± n

Distancia en línea recta y división de relación interna/externa del segmento de línea que conecta (x₁, y₁) y (x₂, y₂)

d: distancia euclidiana m : n: Relación de división de segmentos

2

Fórmula del área del polígono y el triángulo del cordón de los zapatos

Area = ½·|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

Calcula el área plana a partir de coordenadas de 3 vértices; área cero implica colinealidad

(x_i, y_i): Coordenadas de vértice

3

Ecuaciones de línea recta y distancia perpendicular

y - y₁ = m·(x - x₁), d_perp = |A·x₀ + B·y₀ +C|√A² + B²

Ecuación punto-pendiente y distancia perpendicular más corta desde el punto (x₀, y₀) a la recta Ax + By + C = 0

m: Pendiente de la línea (tan θ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) d_perp: Distancia perpendicular a la línea

4

Ángulo entre dos líneas que se cruzan

tan(θ) = |(m₂ - m₁)1 + m₁·m₂|

Ángulo de intersección agudo; las líneas paralelas tienen m₁ = m₂; las rectas perpendiculares tienen m₁·m₂ = -1

m₁, m₂: Pendientes de las dos líneas que se cruzan

5

Círculo estándar y forma general

(x - h)² + (y - k)² = r², x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ⟹ r = √g² + f² - c

Ecuación circular con centro (h, k) y radio r

(h, k): Coordenadas del centro del círculo r: Radio del círculo

6

Forma estándar de parábola y excentricidad

y² = 4ax, Focus: (a, 0), Directrix: x = -a, Latus Rectum: 4a, e = 1

Lugar geométrico de puntos equidistantes del foco y la directriz (excentricidad e = 1)

a: Parámetro de distancia focal

7

Forma estándar, excentricidad y área de elipse

x²a²+y²b² = 1, e = √1 -b²a², Foci: (±ae, 0), Area = π·a·b

Elipse horizontal estándar con semieje mayor a, semieje menor b y excentricidad e <1

a, b: Ejes semimayor y semimenor e: Excentricidad (0 < e < 1)

8

Forma estándar de hipérbola y asíntotas

x²a²-y²b² = 1, e = √1 +b²a², Asymptotes: y = ±(ba)·x

Sección cónica con excentricidad e > 1 y asíntotas lineales que pasan por el origen

e: Excentricidad hiperbólica (e > 1)

🧊

Capítulo 3: Geometría y medición de sólidos 3D

6 fórmulas

Distancia 3D, esferas, cilindros, conos, troncos, toroides y ecuaciones de planos 3D

1

Fórmula de distancia 3D y ecuación de esfera

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)², (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

Distancia euclidiana en espacio cartesiano 3D y ecuación de esfera con centro (x₀, y₀, z₀) y radio R

d: distancia espacial 3D R: Radio de la esfera

2

Fórmulas de medición de esferas y cilindros

Sphere: V = (43)·π·R³, A = 4·π·R²; Cylinder: V = π·r²·h, A_total = 2·π·r·(r + h)

Fórmulas de capacidad volumétrica y área de superficie total para esferas y cilindros sólidos en 3D

R, r: Radios h: altura del cilindro

3

Cono circular recto y volumen fructum

Cone: V = (13)·π·r²·h, l = √r² + h²; Frustum: V = (13)·π·h·(R² + r² + R·r)

Altura inclinada l, área de superficie lateral A_lat = π·r·l y volumen de cono truncado

R, r: Radios base y superior del tronco h: altura vertical l: altura inclinada

4

Volumen y área de superficie del toroide (rosquilla)

V_torus = 2·π²·R·r², A_torus = 4·π²·R·r

Sólido de revolución generado al hacer girar un círculo de radio r alrededor de un eje de radio mayor R desde el centro (R ≥ r)

R: Radio mayor (distancia desde el centro del tubo al centro del toroide) r: Radio menor (radio del tubo)

5

Ecuación del plano 3D y vector normal

A·(x - x₀) + B·(y - y₀) + C·(z - z₀) = 0 ⟹ Ax + By + Cz + D = 0

Ecuación del plano que pasa por el punto (x₀, y₀, z₀) con vector normal n = <A, B, C>

A, B, C: Números de dirección del vector normal.

6

Distancia más corta entre líneas oblicuas en 3D

d = |(a₂ - a₁)·(b₁ × b₂)||b₁ × b₂|

Calcula la distancia más corta absoluta entre dos líneas 3D no paralelas y que no se cruzan r₁ = a₁ + λb₁ y r₂ = a₂ + μb₂

a₁, a₂: Vectores de posición en las líneas 1 y 2 b₁, b₂: Vectores de dirección de las líneas 1 y 2.

📊

Capítulo 4: Álgebra lineal y teoría de matrices

5 fórmulas

Determinantes, inversas de matrices, regla de Cramer, valores propios, vectores propios y teorema de Cayley-Hamilton

1

Determinante de matriz (2×2 y 3×3)

det(A_2x2) = ad - bc, det(A_3x3) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Volumen de escalamiento de valor escalar bajo transformación lineal; det(A) = 0 indica matriz singular no invertible

det(A): Determinante de la matriz A

2

Fórmula inversa y conjugada de matriz

A⁻¹ = (1det(A))·adj(A) = (1det(A))·(C)^T

Matriz inversa donde adj(A) es la transpuesta de la matriz cofactor C

A⁻¹: Matriz inversa multiplicativa tal que A · A⁻¹ = I adj(A): Matriz adjunta / clásica adjunta

3

Regla de Cramer para sistemas lineales

x_i = det(A_i)det(A)

Fórmula algebraica explícita para resolver un sistema de n ecuaciones lineales Ax = b donde A_i tiene la columna i reemplazada por b

x_i: Componentes del vector de solución A_i: Matriz formada reemplazando la i-ésima columna con el vector constante b

4

Valores propios y ecuación característica

det(A - λ·I) = 0, (A - λ·I)·v = 0

Las raíces polinómicas características producen valores propios escalares λ; los vectores correspondientes distintos de cero v son vectores propios

λ: escalar de valores propios I: Matriz de identidad v: Vector propio

5

Relaciones de traza y valores propios determinantes

tr(A) = ∑[i = 1 to n] λ_i = ∑[i = 1 to n] a_ii, det(A) = ∏[i = 1 to n] λ_i

La traza de la matriz es igual a la suma de los valores propios; determinante es igual al producto de todos los valores propios

tr(A): Traza de matriz (suma de elementos de la diagonal principal) λ_i: Conjunto de todos los valores propios

🧭

Capítulo 5: Cálculo vectorial y operadores de campo

5 fórmulas

Productos punto y cruz, productos triples, gradiente, divergencia, curvatura y laplaciano

1

Productos vectoriales de punto (escalar) y cruz (vectorial)

u·v = |u||v|·cos(θ) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z, |u × v| = |u||v|·sin(θ)

Productos vectoriales fundamentales: el producto escalar produce una proyección escalar; El producto cruzado produce un vector ortogonal.

u·v: Producto escalar u × v: Producto vectorial θ: Ángulo entre vectores

2

Productos triples (triple escalar y regla BAC-CAB)

[u v w] = u·(v × w), a × (b × c) = b·(a·c) - c·(a·b)

El producto triple escalar calcula el volumen del paralelepípedo; La regla BAC-CAB amplía los productos cruzados

[u v w]: Volumen de paralelepípedo formado por los vectores u, v, w

3

Gradiente de un campo escalar (∇f)

∇f = (∂f∂x)·î + (∂f∂y)·ĵ + (∂f∂z)·k̂

Vector que apunta en la dirección de máxima tasa de aumento de la función escalar f; magnitud es igual a la pendiente máxima

∇f: Campo vectorial degradado f(x, y, z): Campo escalar diferenciable

4

Divergencia (∇·F) y curvatura (∇×F) de campos vectoriales

∇·F = ∂F_x∂x+∂F_y∂y+∂F_z∂z,  ∇ × F = (∂F_z∂y-∂F_y∂z)·î + (∂F_x∂z-∂F_z∂x)·ĵ + (∂F_y∂x-∂F_x∂y)·k̂

La divergencia mide la densidad del flujo de salida (∇·F = 0 es solenoidal); Curl mide la vorticidad rotacional (∇×F = 0 es irrotacional)

∇·F: Campo escalar de divergencia ∇ × F: Campo vectorial de rizo

5

Operador Laplaciano (∇²f)

∇²f = ∇·(∇f) = ∂²f∂x² + ∂²f∂y² + ∂²f∂z²

Operador diferencial de segundo orden que rige los potenciales armónicos, la difusión de calor y la propagación de ondas.

∇²f: Campo escalar laplaciano (∇²f = 0 es la ecuación de Laplace)

🔄

Capítulo 6: Teoremas integrales multivariables

4 fórmulas

Teorema de Green, teorema de Stokes, teorema de divergencia de Gauss y jacobianos

1

Teorema de Green en el plano

∮[C] (L dx + M dy) = ∬[D] (∂M∂x - ∂L∂y) dA

Relaciona la integral de línea en sentido antihorario alrededor de una curva cerrada simple C orientada positivamente con la integral doble sobre la región cerrada D

C: Curva límite ∂D D: Región plana 2D cerrada

2

Teorema del rizo de Stokes

∮[C] F·dr = ∬[S] (∇ × F)·dS

Relaciona la integral de línea de circulación a lo largo de la curva límite C con la integral de flujo de superficie del rizo ∇×F sobre la superficie orientable S

F: campo vectorial S: Superficie lisa orientada delimitada por la curva C

3

Teorema de la divergencia de Gauss

∯[S] F·dS = ∭[V] (∇·F) dV

El flujo neto hacia afuera del campo vectorial F a través de la superficie cerrada S es igual a la integral de volumen de la divergencia ∇·F a lo largo del volumen interior V

S: Superficie límite cerrada ∂V V: Volumen espacial 3D cerrado

4

Determinante jacobiano de sustitución de coordenadas

J = ∂(x, y)∂(u, v) = (∂x∂u)(∂y∂v) - (∂x∂v)(∂y∂u), dx dy = |J| du dv

Factor de escala de área/volumen durante el cambio multivariable de variables (Polar: J = r; Esférico: J = ρ² sin φ)

J: Determinante de la matriz jacobiana

🌐

Capítulo 7: Números complejos y análisis complejo

4 fórmulas

Fórmula de Euler, teorema de De Moivre, analiticidad de Cauchy-Riemann y teorema del residuo de Cauchy

1

Representación compleja polar, de módulo y de Euler

z = x + iy = r·(cos(θ) + i·sin(θ)) = r·e^(iθ), r = √x² + y², θ = tan⁻¹(yx)

Representación geométrica de números complejos en el plano de Argand.

r = |z|: Módulo / magnitud absoluta θ: Ángulo de fase del argumento principal i: Unidad imaginaria (i² = -1)

2

Teorema de De Moivre y enésimas raíces de la unidad

(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ) = e^(inθ), z_k = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)n)

Calcula potencias enteras/fraccionarias y raíces enésimas simétricas en el plano complejo

n: Índice de potencia o raíz k: Índice de rama raíz (0, 1, ..., n-1)

3

Ecuaciones de analiticidad de Cauchy-Riemann

∂u∂x = ∂v∂y, ∂u∂y = -(∂v∂x)

Condiciones necesarias y suficientes para que la función compleja f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) sea holomorfa / diferenciable por complejos

u(x, y): Parte real de una función compleja. v(x, y): Parte imaginaria de una función compleja.

4

Fórmula integral de Cauchy y teorema del residuo

f(z₀) = (12πi)·∮[C] (f(z)z - z₀) dz, ∮[C] f(z) dz = 2πi·∑ Res(f, z_k)

Evalúa integrales de contorno mediante singularidades cerradas y residuos Res(f, z₀) = lim[z→z₀] (z - z₀)f(z)

Res(f, z_k): Residuo en polo aislado z_k

📈

Capítulo 8: Secuencias, series infinitas y análisis de Fourier

4 fórmulas

Series geométricas y AGP, expansiones de Taylor y Maclaurin y series de Fourier

1

Progresión geométrica (suma finita e infinita)

S_n = a·(1 - rⁿ)1 - r, S_∞ = a1 - r (|r| < 1)

Suma de progresión geométrica con primer término a y razón común r

a: primer término r: proporción común S_∞: Suma infinita (converge si |r| < 1)

2

Expansión de la serie Taylor & Maclaurin

f(x) = ∑[n = 0 to ∞] (fⁿ(a)n!)·(x - a)ⁿ = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)2!)(x - a)² + ...

Representación de una función suave como suma polinómica infinita de derivadas en el punto de expansión a (Maclaurin cuando a = 0)

fⁿ(a): n-ésima derivada de f evaluada en el punto a n!: Factorial (n! = n · (n - 1) · ... · 1)

3

Serie Maclaurin estándar (eˣ, sen x, cos x, ln(1+x))

eˣ = 1 + x +x²2!+x³3!+ ..., sin x = x -x³3!+x⁵5!- ..., cos x = 1 -x²2!+x⁴4!- ...

Representaciones de series de potencias infinitas con radio de convergencia infinito (R = ∞)

x: Variable real o compleja

4

Expansión en serie de Fourier de la función periódica

f(x) = a₀2+ ∑[n = 1 to ∞] [a_n·cos(nπxL) + b_n·sin(nπxL)]

Descompone la forma de onda periódica del período 2L en una suma infinita de componentes ortogonales sinusoidales armónicos

a_n, b_n: Coeficientes espectrales de Fourier: a_n = (1/L) ∫[-L a L] f(x) cos(nπx/L) dx 2L: Periodo fundamental de función.

⚡

Capítulo 9: Ecuaciones diferenciales (ODE y PDE)

4 fórmulas

Factores integrantes de primer orden, EDO de coeficiente constante de segundo orden, transformadas de Laplace y PDE

1

EDO lineal de primer orden (método del factor integrante)

dydx + P(x)·y = Q(x) ⟹ y·e^(∫ P dx) = ∫ Q(x)·e^(∫ P dx) dx + C

Método de solución general utilizando el factor integrador I(x) = exp(∫P dx)

I(x): Factor integrante e^(∫ P dx) C: Constante arbitraria de integración

2

EDO homogénea lineal de segundo orden (raíces características)

a·y'' + b·y' + c·y = 0 ⟹ a·λ² + b·λ + c = 0, λ = -b ± √b² - 4ac2a

Las raíces determinan la forma de la solución: real distinta (C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x), repetida ((C₁ + C₂x)e^λx), compleja α±iβ (e^αx(C₁cos βx + C₂sin βx))

λ: Raíces de la ecuación característica. C₁, C₂: Constantes de condición inicial/límite

3

Transformada de Laplace y propiedad derivada

L{f(t)} = F(s) = ∫∞0 e^(-st)·f(t) dt, L{f'(t)} = s·F(s) - f(0)

Transforma ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en el dominio s de frecuencia compleja

F(s): Función de dominio s de Laplace s: Parámetro de frecuencia complejo (σ + iω)

4

Ecuaciones diferenciales parciales clásicas (onda, calor, Laplace)

Wave: ∂²u∂t² = c²·(∂²u∂x²);   Heat: ∂u∂t = α·(∂²u∂x²);   Laplace: ∂²u∂x² + ∂²u∂y² = 0

Tres ecuaciones diferenciales parciales lineales fundamentales de segundo orden que rigen la física y la ingeniería

c: Velocidad de propagación de la onda α: Constante de difusividad térmica

🎲

Capítulo 10: Probabilidad y distribuciones estadísticas

5 fórmulas

Teorema de Bayes, valor esperado, varianza, distribuciones binomial, de Poisson y normal gaussiana

1

Teorema de Bayes y ley de probabilidad total

P(A | B) = P(B | A)·P(A)P(B) = P(B | A)·P(A)∑ P(B | A_i)·P(A_i)

Calcula la probabilidad posterior P(A|B) dada la probabilidad anterior P(A) y la probabilidad condicional P(B|A)

P(A | B): Probabilidad posterior de que ocurra el evento A dado que ocurrió el evento B P(A): Probabilidad previa de A P(B | A): Probabilidad de B dado A

2

Valor esperado y relaciones de varianza

E[X] = ∑ x_i·P(x_i), Var(X) = E[X²] - (E[X])² = σ², SD(X) = σ = √Var(X)

Primer y segundo momento central que miden el centro medio y la dispersión alrededor de la media.

E[X]: Expectativa matemática / media poblacional (μ) Var(X): Varianza poblacional (σ²) σ: Desviación estándar

3

Distribución de probabilidad binomial

P(X = k) = (n!k!(n - k)!)·pᵏ·(1 - p)ⁿ⁻ᵏ, μ = n·p, σ² = n·p·(1 - p)

Probabilidad de exactamente k éxitos en n ensayos independientes de Bernoulli con probabilidad de éxito p

n: Total de ensayos independientes k: Número de éxitos p: Probabilidad de éxito por prueba

4

Distribución de probabilidad de Poisson

P(X = k) = λᵏ·e^(-λ)k!, μ = λ, σ² = λ

Modela ocurrencias de eventos discretos raros en un intervalo fijo de tiempo/espacio con una tasa promedio constante λ

λ: Parámetro de tasa de ocurrencia promedio (λ > 0) k: Recuento de eventos (0, 1, 2...)

5

Distribución normal gaussiana y puntuación Z

f(x) = (1σ·√2π)·e^(-(x - μ)²2σ²), Z = X - μσ

Función de densidad de probabilidad continua simétrica en forma de campana que rige el teorema del límite central

μ: Centro medio de distribución σ: Parámetro de dispersión de desviación estándar Z: Puntuación Z estandarizada (distancia adimensional de la media en unidades de σ)

⚛️

Suite Completa de Física

Cinemática, leyes de Newton, dinámica rotacional, gravitación, termodinámica, ondas, ecuaciones de Maxwell y física cuántica.

158+ Ecuaciones

🏃

Capítulo 1: Cinemática y movimiento 1D/2D

13 fórmulas

Ecuaciones de movimiento, desplazamiento, velocidad media e instantánea, aceleración y trayectoria del proyectil.

1

Velocidad promedio

v_avg = ΔxΔt = x_f - x_it_f - t_i

Relación entre el desplazamiento total y el intervalo de tiempo total tomado

v_avg: Velocidad promedio Δx: Desplazamiento Δt: Tiempo transcurrido

2

Velocidad instantánea

v = dxdt = lim[Δt→0] (ΔxΔt)

Derivada por primera vez del vector de coordenadas de posición con respecto al tiempo

v: Velocidad instantánea x(t): Función de posición del tiempo.

3

Aceleración instantánea

a = dvdt = d²xdt² = v·(dvdx)

Tasa de cambio de velocidad con respecto al tiempo o la posición.

a: Aceleración v: Velocidad

4

SUVAT 1ª Ecuación de Movimiento (Velocidad-Tiempo)

v = u + a·t

Relaciona la velocidad final con la velocidad inicial bajo aceleración uniforme a

v: velocidad final u: Velocidad inicial a: Aceleración constante t: Tiempo transcurrido

5

SUVAT 2da Ecuación de Movimiento (Desplazamiento-Tiempo)

s = u·t + ½·a·t²

Calcula el desplazamiento lineal total bajo aceleración constante

s: Desplazamiento u: Velocidad inicial a: Aceleración constante t: Tiempo transcurrido

6

SUVAT 3.ª ecuación de movimiento (velocidad-desplazamiento)

v² = u² + 2·a·s

Relación cinemática independiente del tiempo para aceleración constante

v: velocidad final u: Velocidad inicial a: Aceleración constante s: Desplazamiento

7

Desplazamiento en el enésimo Segundo

s_n = u + (a2)·(2n - 1)

Calcula el desplazamiento durante específicamente el enésimo segundo de movimiento.

s_n: Desplazamiento en enésimo segundo n: Segundo número (n = 1, 2, 3...)

8

Desplazamiento usando velocidad promedio

s = ½·(u + v)·t

Válido para movimiento bajo aceleración lineal uniforme y constante.

s: Desplazamiento u, v: Velocidades iniciales y finales

9

Altura máxima del proyectil

H_max = u²·sin²θ2g

Altitud vertical máxima alcanzada por un proyectil lanzado en un ángulo θ

u: Velocidad inicial de lanzamiento θ: Ángulo de lanzamiento con horizontal. g: Aceleración gravitacional (9,81 m/s²)

10

Tiempo total de vuelo del proyectil

T = 2u·sinθg

Tiempo total en vuelo desde el lanzamiento hasta el aterrizaje en terreno llano

T: Tiempo total de vuelo u: Velocidad de lanzamiento inicial

11

Alcance horizontal del proyectil

R = u²·sin(2θ)g

Distancia horizontal máxima recorrida (máxima en el ángulo de lanzamiento θ = 45°)

R: rango horizontal u: Velocidad de lanzamiento θ: Ángulo de proyección

12

Ecuación de la trayectoria parabólica del proyectil

y = x·tanθ -g·x²2u²·cos²θ = x·tanθ·(1 -xR)

Coordenadas de trayectoria cartesiana (x, y) que demuestran movimiento parabólico puro

(x, y): Coordenadas de posición instantáneas R: rango horizontal

13

Vector de velocidad relativa

v_(AB) = v_A - v_B, v_(AB) = √v_A² + v_B² - 2v_A·v_B·cosθ

Velocidad del cuerpo A observada desde el sistema de referencia del cuerpo en movimiento B

v_(AB): Velocidad relativa de A w.r.t B θ: Ángulo entre vectores de velocidad

⚖️

Capítulo 2: Leyes del movimiento, la fricción y la dinámica circular

12 fórmulas

Las tres leyes de Newton: momento lineal, impulso, fricción estática/cinética, fuerza centrípeta y ángulos de inclinación

1

Momento lineal

p = m·v

Producto de masa y velocidad; conservado en sistemas aislados con fuerza externa cero

p: impulso lineal m: Masa v: Velocidad

2

Segunda ley del movimiento de Newton

F_net = dpdt = m·a (for constant mass)

La fuerza externa neta es igual a la tasa de cambio instantáneo del momento lineal.

F_net: Fuerza resultante neta m: masa inercial a: Aceleración

3

Teorema del impulso-momento

J = ∫ F dt = F_avg·Δt = Δp = m·v_f - m·v_i

El impulso de una fuerza durante la duración Δt es igual al cambio total en el momento producido

J: Impulso F_avg: Fuerza de impacto promedio Δp: Cambio en el momento lineal

4

Fricción límite estática máxima

f_s(max) = μ_s·N

Fuerza resistiva autoajustable que se opone a la tendencia del movimiento relativo hasta el umbral

f_s: Fuerza de fricción estática μ_s: Coeficiente de fricción estática (adimensional) N: Fuerza de contacto de reacción normal

5

Fricción cinética/deslizante

f_k = μ_k·N

Fuerza resistiva constante que se opone al movimiento deslizante relativo activo (típicamente μ_k < μ_s)

f_k: Fuerza de fricción cinética μ_k: Coeficiente de fricción cinética N: fuerza normal

6

Ángulo de fricción y ángulo de reposo

tan(θ_repose) = μ_s, tan(λ) = f_s(max)N = μ_s

Ángulo de inclinación mínimo en el que un cuerpo comienza a deslizarse hacia abajo bajo la gravedad.

θ_repose: Ángulo de reposo μ_s: Coeficiente de fricción estática

7

Aceleración centrípeta

a_c = v²r = ω²·r = v·ω = 4π²·rT²

Aceleración dirigida radialmente hacia adentro para una trayectoria circular de radio r

a_c: Aceleración centrípeta v: Velocidad lineal tangencial ω: velocidad angular r: Radio de curvatura

8

Fuerza centrípeta

F_c = m·v²r = m·ω²·r

Fuerza neta hacia adentro requerida para mantener el movimiento de trayectoria circular

F_c: Fuerza centrípeta m: Masa del objeto r: Radio de órbita / giro

9

Velocidad óptima segura en carreteras con curvas peraltadas

v_opt = √r·g·tanθ

Velocidad a la que un vehículo realiza una curva sin desgaste por fricción lateral

v_opt: Velocidad bancaria ideal θ: Ángulo de elevación del peralte r: Radio de curva circular

10

Velocidad máxima segura en carreteras peraltadas con fricción

v_max = √[r·g·(μ_s + tanθ)1 - μ_s·tanθ ]

Límite de velocidad superior antes de que se produzca un derrape hacia afuera en una superficie inclinada con fricción

v_max: Velocidad máxima de giro μ_s: Coeficiente de fricción estática en carretera.

11

Período de tiempo del péndulo cónico

T = 2π·√L·cosθg, Tension: T_string = m·gcosθ

Período de la masa que describe el círculo horizontal del ángulo del cono θ y la longitud de la cuerda L

T: Periodo de revolución L: Longitud de la cuerda θ: Ángulo semivertical con vertical.

12

Velocidades críticas del movimiento circular vertical

v_bottom ≥ √5gr, v_top ≥ √gr, T_bottom - T_top = 6mg

Velocidades de umbral mínimas para completar un bucle vertical sin aflojar la cuerda

r: Radio del bucle vertical T_bottom, T_top: Tensiones de cuerdas en los puntos más bajos y más altos.

⚡

Capítulo 3: Trabajo, energía, potencia y colisiones

11 fórmulas

Teorema trabajo-energía, energía cinética/potencial, elasticidad del resorte, fuerzas conservativas, potencia y colisiones elásticas/inelásticas.

1

Trabajo realizado por fuerza constante

W = F·d·cosθ = F·d

Producto escalar del vector de fuerza y del vector de desplazamiento

W: trabajo mecanico realizado F: Magnitud de la fuerza aplicada d: Desplazamiento θ: Ángulo entre fuerza y desplazamiento.

2

Trabajo realizado por fuerza variable (integral)

W = ∫x_fx_i F(x) dx

Área bajo el gráfico Fuerza-Desplazamiento entre las posiciones inicial y final

F(x): Función de fuerza dependiente de la posición dx: Elemento de desplazamiento infinitesimal

3

Teorema trabajo-energía

W_net = ΔK = K_f - K_i = ½m·v_f² - ½m·v_i²

El trabajo neto realizado por todas las fuerzas (conservadoras, no conservadoras, externas) es igual al cambio en la energía cinética

W_net: trabajo neto realizado ΔK: Cambio de energía cinética

4

Energía Cinética (Relación con el Momento)

K = ½·m·v² = p²2m, p = √2m·K

Energía que posee un cuerpo debido a su estado de movimiento.

K: Energía cinética p: impulso lineal m: Masa

5

Energía potencial gravitacional (cerca de la Tierra)

U_g = m·g·h

Energía potencial almacenada en una masa m elevada a una altura vertical h en un campo uniforme g

U_g: Energía potencial gravitacional m: Masa h: Altura sobre el dato de referencia

6

Energía potencial elástica del resorte (ley de Hooke)

U_s = ½·k·x², F_spring = -k·x

Energía almacenada cuando un resorte de rigidez constante k se estira/comprime por x

U_s: Energía potencial del resorte k: Constante de rigidez del resorte x: Desplazamiento del alargamiento del equilibrio.

7

Fuerza conservadora como gradiente de potencial negativo

F = -dUdx, F_vec = -∇U = -(∂U∂x i + ∂U∂y j + ∂U∂z k)

Las fuerzas conservadoras siempre apuntan en la dirección de la mayor disminución de energía potencial.

U: Campo escalar de energía potencial ∇U: gradiente de energía potencial

8

Potencia mecánica (media e instantánea)

P = dWdt = F·v·cosθ = F·v

Tasa de tiempo al que se realiza el trabajo mecánico o se transfiere energía

P: Fuerza F: Fuerza v: Velocidad

9

Coeficiente de Restitución (Colisiones)

e = v₂ - v₁u₁ - u₂ = Relative velocity of separationRelative velocity of approach

Mide la elasticidad: e=1 (energía cinética conservada), e=0 (los objetos se pegan)

u₁, u₂: Velocidades antes de la colisión v₁, v₂: Velocidades después de la colisión e: Coeficiente de restitución (0 ≤ e ≤ 1)

10

Velocidades finales en colisión elástica 1D

v₁ = [m₁ - m₂m₁ + m₂]·u₁ + [2m₂m₁ + m₂]·u₂,  v₂ = [2m₁m₁ + m₂]·u₁ + [m₂ - m₁m₁ + m₂]·u₂

Velocidades exactas post-colisión para dos masas que chocan elásticamente en 1 dimensión

m₁, m₂: Masas de cuerpos en colisión. u₁, u₂: Velocidades iniciales v₁, v₂: Velocidades finales posteriores a la colisión

11

Pérdida de energía cinética en colisión inelástica

ΔK_loss = ½·[m₁·m₂m₁ + m₂ ]·(u₁ - u₂)²·(1 - e²)

Energía cinética convertida en deformación térmica interna y energía acústica.

ΔK_loss: Energía cinética perdida e: Coeficiente de restitución

🔄

Capítulo 4: Movimiento de rotación y momento de inercia

11 fórmulas

Torque, momento angular, cinemática rotacional, teoremas de ejes paralelos/perpendiculares y dinámica de rodadura

1

Centro de coordenadas de masa

r_cm = ∑ m_i·r_i∑ m_i = (1M) ∫ r dm

Posición media de distribución de masa para cuerpos sólidos discretos o continuos.

r_cm: Vector de posición del centro de masa M: Masa total del sistema (∑ m_i)

2

Ecuaciones cinemáticas rotacionales

ω = ω₀ + α·t, θ = ω₀·t + ½α·t², ω² = ω₀² + 2α·θ

Equivalentes rotacionales de SUVAT para aceleración angular constante α

θ: desplazamiento angular ω₀, ω: Velocidad angular inicial y final α: aceleración angular t: Tiempo

3

Torque (momento de fuerza)

τ = r × F = r·F·sinθ = I·α = dLdt

Equivalente rotacional de la fuerza lineal que causa la aceleración angular α

τ: Esfuerzo de torsión r: Distancia de la palanca del brazo de momento I: Momento de inercia α: aceleración angular

4

Momento angular y conservación

L = r × p = I·ω, τ_net = 0 ⟹ L = const

Se conserva cuando el par externo neto que actúa sobre el sistema es cero (por ejemplo, patinador artístico)

L: Momento angular I: Momento de inercia ω: velocidad angular

5

Teorema de los ejes paralelos (Steiner)

I = I_cm + M·d²

Momento de inercia alrededor de cualquier eje paralelo al eje centroidal separado por una distancia d

I: Momento de inercia respecto al eje paralelo del objetivo. I_cm: Momento de inercia a través del centro de masa. M: Masa total del cuerpo d: Distancia perpendicular entre ejes

6

Teorema del eje perpendicular (láminas planas)

I_z = I_x + I_y

Se aplica exclusivamente a cuerpos planos 2D que se encuentran en el plano xy.

I_z: Momento de inercia con respecto al eje z normal. I_x, I_y: Momentos de inercia respecto de los ejes x e y en el plano

7

Radio de giro

k = √IM, I = M·k²

Distancia radial efectiva a la que se podría concentrar toda la masa sin alterar I

k: Radio de giro I: Momento de inercia M: Masa

8

Energía cinética rotacional

K_rot = ½·I·ω²

Energía cinética asociada exclusivamente con el giro rotacional alrededor de un eje fijo o en movimiento.

K_rot: Energía cinética rotacional I: Momento de inercia ω: velocidad angular

9

Energía cinética total en movimiento rodante puro

K_total = K_trans + K_rot = ½M·v_cm² + ½I_cm·ω² = ½M·v_cm²·(1 +k²R²)

Energía cinética combinada de traslación y rotación para un rodamiento puro sin deslizamiento (v_cm = ωR)

K_total: Energía rodante total v_cm: Centro de velocidad de masa k: Radio de giro R: Radio exterior

10

Aceleración del cuerpo rodando hacia abajo en una pendiente

a = g·sinθ1 + I_cmM·R² = g·sinθ1 +k²R²

Aceleración lineal hacia abajo en un plano inclinado de pendiente θ (Esfera sólida > Disco > Anillo)

a: Aceleración de rodadura lineal θ: Ángulo de inclinación

11

Referencia de momentos de inercia estándar

Thin Rod: 112 ML², Ring: MR², Solid Disc: ½MR²,Solid Sphere: 25 MR²,Hollow Sphere: 23 MR²

Momentos de inercia centroidales para cuerpos geométricos uniformes estándar

M: Masa R, L: Radio / Longitud

🪐

Capítulo 5: Gravitación universal y mecánica orbital

10 fórmulas

Ley universal de gravitación de Newton, potencial gravitacional, velocidad de escape, velocidad orbital, leyes de Kepler y órbitas de satélites.

1

Ley de gravitación universal de Newton

F = G·(M·m)r²

Atracción del cuadrado inverso entre dos masas puntuales cualesquiera separadas por una distancia r

G: Constante gravitacional universal (6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²) M, m: Masas puntuales que interactúan r: Separación entre centros

2

Aceleración gravitacional superficial

g = G·MR² = (43)·π·G·ρ·R

Aceleración en caída libre en la superficie de una esfera planetaria de masa M y radio R

g: Gravedad superficial (Tierra ~9,81 m/s²) M: Masa del planeta R: Radio del planeta ρ: Densidad media

3

Variación de la gravedad con la altitud h

g_h = g·(RR + h)² ≈ g·(1 -2hR) [for h ≪ R]

Disminución de la aceleración gravitacional con la altura h sobre la superficie planetaria

g_h: Gravedad en altitud h h: Altura sobre el suelo R: Radio de la Tierra (~6.371 km)

4

Variación de la gravedad con la profundidad d

g_d = g·(1 -dR)

Disminución lineal de la aceleración gravitacional dentro de la Tierra (se vuelve cero en el centro d = R)

g_d: Gravedad en profundidad d d: Profundidad bajo tierra

5

Energía potencial gravitacional (universal)

U(r) = -G·M·mr

Energía de estado ligado negativo con referencia cero en separación infinita r → ∞

U(r): Energía potencial gravitacional r: Distancia desde el centro

6

Potencial gravitacional V(r)

V(r) = -G·Mr, E_g = -dVdr

Trabajo realizado para llevar la masa unitaria de prueba desde el infinito hasta la distancia r

V(r): potencial gravitacional

7

Velocidad de escape

v_esc = √2G·MR = √2g·R

Velocidad inicial mínima requerida para que un proyectil sin propulsión escape de la gravedad planetaria (~11,2 km/s para la Tierra)

v_esc: velocidad de escape M: Masa del planeta R: Radio del planeta

8

Velocidad orbital del satélite

v_orb = √G·MR + h = v_esc√2 (near surface)

Velocidad circular requerida para una órbita estable alrededor del planeta (~7,92 km/s cerca de la superficie de la Tierra)

v_orb: velocidad orbital h: Altitud orbital sobre la superficie

9

Período de tiempo orbital del satélite

T = 2π·(R + h)^(32)√GM = 2π·√r³GM

Tiempo necesario para que un satélite complete una revolución completa (24 horas para una órbita geoestacionaria a h ~35 786 km)

T: período orbital r: Radio orbital (R + h)

10

Tercera Ley de Kepler (Ley Armónica)

T²a³ = 4π²G·M = const

El cuadrado del período orbital es estrictamente proporcional al cubo del semieje mayor a.

T: período orbital a: Eje orbital semimayor

🧱

Capítulo 6: Propiedades mecánicas de los sólidos y elasticidad

5 fórmulas

Ley de Hooke, tensión, deformación, módulo de Young, módulo de volumen, módulo de corte, relación de Poisson y densidad de energía elástica

1

Ley de Hooke y módulo de Young

Stress = Y·Strain ⟹ FA = Y·(ΔLL)

Relación lineal entre tensión de tracción/compresión y deformación longitudinal dentro del límite elástico

Y: Módulo de elasticidad de Young σ = FA: Estrés ε = ΔLL: Deformación longitudinal (adimensional) ΔL: Elongación/Compresión

2

Módulo de masa y compresibilidad

B = - V·(ΔPΔV), K = 1B

Resistencia de la sustancia a la compresión volumétrica uniforme bajo presión hidrostática ΔP

B: módulo de volumen K: Compresibilidad ΔP: Aumento de la presión hidrostática aplicada ΔVV: Deformación fraccionaria volumétrica

3

Módulo de corte (módulo de rigidez)

G = η = FAθ = F·LA·Δx

Resistencia a la distorsión por corte tangencial angular θ sin alteración de volumen

G or η: Módulo de corte / Rigidez θ: Distorsión del ángulo de corte Δx: Desplazamiento lateral superior

4

Relación de Poisson

ν = -Lateral StrainLongitudinal Strain = -ΔddΔLL

Relación de contracción transversal a expansión longitudinal (límites teóricos: -1 < ν < 0,5; práctico: 0 a 0,5)

ν: Relación de Poisson (adimensional) d: Diámetro/espesor transversal L: Longitud

5

Densidad de energía de deformación elástica

u = ½·Stress·Strain = ½·Y·(Strain)² = (Stress)²2Y

Energía potencial elástica almacenada por unidad de volumen en un material elástico deformado.

u: Densidad de energía de deformación U_total: Energía de deformación total = u × Volumen

💧

Capítulo 7: Mecánica de fluidos, hidrostática y viscosidad

10 fórmulas

Presión hidrostática, flotabilidad de Arquímedes, ecuación de continuidad, teorema de Bernoulli, eflujo de Torricelli, ley de Stokes, velocidad terminal y tensión superficial

1

Presión hidrostática con profundidad

P = P₀ + ρ·g·h

Presión absoluta total a una profundidad h en un fluido estático de densidad ρ

P: Presión absoluta en profundidad P₀: Presión atmosférica (101.325 Pa) ρ: Densidad del fluido h: Columna de profundidad debajo de la superficie del fluido

2

Principio de Pascal (elevación hidráulica)

P₁ = P₂ ⟹ F₁A₁ = F₂A₂

La presión aplicada a un fluido encerrado e incompresible se transmite sin disminución por igual

F₁, F₂: Fuerzas sobre los pistones de entrada y salida. A₁, A₂: Áreas de sección transversal de la superficie del pistón

3

Principio de flotabilidad de Arquímedes

F_B = ρ_fluid·V_submerged·g = Weight of displaced fluid

Fuerza de flotación hacia arriba igual al peso del fluido desplazado por el objeto sumergido

F_B: Fuerza de empuje ascendente ρ_fluid: Densidad del medio fluido. V_sub: Volumen del objeto sumergido

4

Ecuación de continuidad (conservación de masa)

A₁·v₁ = A₂·v₂ = dVdt = Q (Flow Rate)

Para un flujo constante de fluido incompresible, la tasa de descarga volumétrica Q permanece constante

A₁, A₂: Áreas de tubería de sección transversal v₁, v₂: Velocidades de flujo de fluidos Q: Descarga de caudal volumétrico

5

Teorema de Bernoulli (Conservación de Energía)

P + ½·ρ·v² + ρ·g·h = constant

La suma de la presión estática, la presión cinética dinámica y el potencial hidrostático es constante a lo largo de una línea de corriente.

P: Presión de fluido estática ½ρv²: Cabeza de presión dinámica ρgh: Presión potencial gravitacional

6

Ley de velocidad de salida de Torricelli

v_efflux = √2·g·h

Velocidad del líquido que sale de un tanque con un pequeño orificio que se abre a una profundidad h por debajo de la superficie abierta.

v_efflux: Velocidad de salida h: Profundidad del orificio debajo de la superficie del líquido

7

Ley de Stokes de arrastre viscoso

F_v = 6π·η·r·v

Fuerza de arrastre viscoso retardante experimentada por una pequeña esfera que se mueve a través de un fluido laminar

F_v: Fuerza resistiva viscosa η: Coeficiente de viscosidad dinámica r: Radio de la esfera v: Velocidad a través del fluido

8

Velocidad terminal de la esfera que cae

v_t = 2·r²·(ρ - σ)·g9η

Velocidad constante y estable que se alcanza cuando la gravedad es igual a la fuerza de flotación + la resistencia viscosa

v_t: velocidad terminal ρ: Densidad de esfera σ: Densidad del fluido circundante η: Viscosidad del fluido dinámico

9

Exceso de presión en gotas y burbujas

ΔP_drop = 2TR, ΔP_bubble = 4TR

Exceso de presión interna de Young-Laplace: la burbuja de jabón tiene 2 interfaces líquido-aire libres

T: Coeficiente de tensión superficial R: Radio de curvatura de la gota/burbuja ΔP: Exceso de presión interna sobre la ambiental

10

Ascenso/Depresión Capilar (Ley de Jurin)

h = 2T·cosθρ·g·r

El líquido en altura asciende en un tubo capilar estrecho de radio r con ángulo de contacto θ

h: Altura de elevación de la columna capilar θ: Ángulo de contacto del menisco líquido-sólido r: Radio del tubo capilar interno

🌡️

Capítulo 8: Física térmica y teoría cinética de los gases

7 fórmulas

Expansión térmica, calorimetría, ley de los gases ideales, presión de la teoría cinética, velocidades moleculares (RMS/avg/mp) y capacidades caloríficas molares.

1

Expansión Térmica (Lineal, Superficial, Volumétrica)

ΔL = α·L₀·ΔT, ΔA = 2α·A₀·ΔT, ΔV = 3α·V₀·ΔT = γ·V₀·ΔT

Expansión dimensional fraccionaria proporcional al aumento de temperatura ΔT (β = 2α, γ = 3α)

α: Coeficiente de expansión térmica lineal ΔT: Cambio de temperatura (T_f - T_i)

2

Calor sensible y calor latente de cambio de fase

Q = m·c·ΔT, Q_phase = m·L

Calor necesario para elevar la temperatura o efectuar una transición isotérmica de fase sólido/líquido/gas

Q: Energía calorífica absorbida o liberada. c: Capacidad calorífica específica (agua: 4186 J/kg·K) L: Calor latente específico (fusión/vaporización)

3

Ecuación del estado del gas ideal

P·V = n·R·T = N·k_B·T

Ecuación constitutiva que relaciona presión, volumen, temperatura y cantidad de gas ideal

P: presión absoluta V: Volumen n: numero de moles R: Constante universal de los gases (8,31446 J/(mol·K)) k_B: Constante de Boltzmann (1,38065 × 10⁻²³ J/K) T: temperatura absoluta

4

Teoría cinética de la presión del gas.

P = ⅓·ρ·v_rms² = ⅓·(N·mV)·v_rms²

Derivación estadística microscópica de la presión macroscópica del gas a partir de colisiones de momento molecular.

ρ: Densidad del gas (M_total / V) v_rms: Velocidad molecular cuadrática media

5

RMS, velocidades de gas promedio y más probables

v_rms = √3RTM, v_avg = √8RTπM, v_mp = √2RTM

Velocidades de distribución de velocidad molecular características de Maxwell-Boltzmann (v_rms > v_avg > v_mp)

M: Masa molar de gas T: temperatura absoluta

6

Energía interna y grados de libertad

U = (f2)·n·R·T, E_k(per molecule) = (f2)·k_B·T

Teorema de equipartición: cada grado de libertad cuadrático f aporta ½ k_B T por molécula

f: Grados de libertad (mono=3, dia=5, poli=6) U: Energía térmica interna total

7

Relación de Mayer y relación de capacidad calorífica γ

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v = 1 + (2f)

Relación entre capacidades caloríficas molares a presión constante (C_p) y volumen constante (C_v)

C_p, C_v: Capacidades caloríficas molares γ: Índice adiabático/relación de Poisson (mono=1,67, dia=1,40)

🔥

Capítulo 9: Termodinámica y transferencia de calor

10 fórmulas

Primera ley de la termodinámica, procesos de trabajo termodinámicos (isotérmico, adiabático, isobárico, isocórico), eficiencia del motor de Carnot, ley de Stefan-Boltzmann y desplazamiento de Wien.

1

Primera ley de la termodinámica

ΔU = Q - W ⟹ Q = ΔU + W, W = ∫ P dV

Conservación de energía para sistemas termodinámicos (Q en el sistema, W trabajo realizado por el sistema)

ΔU: Cambio de energía interna (n C_v ΔT) Q: Calor agregado al sistema W: Trabajo realizado por el sistema en expansión.

2

Trabajo realizado en proceso isotérmico (T = const, ΔU = 0)

W_iso = n·R·T·ln(V_fV_i) = n·R·T·ln(P_iP_f)

Expansión/compresión reversible cuasiestática a temperatura estrictamente constante

W_iso: trabajo isotérmico realizado V_i, V_f: Volúmenes iniciales y finales

3

Proceso adiabático y trabajo realizado (Q = 0, PV^γ = const)

P·V^γ = const, W_adi = P_i·V_i - P_f·V_fγ - 1 = n·R·(T_i - T_f)γ - 1

Proceso reversible con cero intercambio de calor con el entorno (T V^(γ-1) = const)

W_adi: Trabajo adiabático γ: Relación de capacidad calorífica (C_p / C_v)

4

Trabajo isobárico (P = constante) e isocórico (V = constante)

W_isobaric = P·ΔV = n·R·ΔT, W_isochoric = 0 (since dV = 0)

Bajo presión constante, el trabajo es un área rectangular PΔV; A volumen constante no se realiza trabajo.

P: Presión constante ΔV: cambio de volumen

5

Motor Térmico Carnot Máxima Eficiencia

η = W_outQ_in = 1 - (Q_CQ_H) = 1 - (T_CT_H)

Límite termodinámico superior teórico de eficiencia operativa entre temperaturas T_H y T_C

η: Eficiencia térmica (0 ≤ η < 1) T_H: Temperatura del depósito caliente T_C: Temperatura del depósito del disipador de frío

6

Coeficiente de rendimiento (refrigerador/bomba de calor)

COP_ref = Q_CW = T_CT_H - T_C, COP_hp = Q_HW = T_HT_H - T_C

Energía de salida de refrigeración o calefacción entregada por unidad de entrada de trabajo del compresor mecánico

COP: Coeficiente de rendimiento W: Se requiere entrada de trabajo

7

Conducción térmica (ley de Fourier)

dQdt = k·A·(T_H - T_C)L

Tasa de conducción de calor en estado estacionario a través de una losa de conductividad térmica k y espesor L

dQdt: Tasa de transferencia de calor k: Conductividad térmica A: Área de conducción transversal L: Espesor de losa

8

Ley de Stefan-Boltzmann de la radiación térmica

P = e·σ·A·(T⁴ - T₀⁴)

Potencia radiativa neta radiada por un cuerpo gris de emisividad e al ambiente en T₀

P: Energía radiante emitida σ: Constante de Stefan-Boltzmann (5,67037 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)) e: Emisividad de la superficie (0 < e ≤ 1, cuerpo negro = 1) T: Temperatura superficial absoluta

9

Ley de desplazamiento de Viena (longitud de onda máxima)

λ_max·T = b = 2.89777 × 10⁻³ m·K

La longitud de onda máxima de emisión del espectro del cuerpo negro es inversamente proporcional a la temperatura absoluta

λ_max: Longitud de onda de la radiación espectral máxima. T: temperatura absoluta b: Constante de desplazamiento de Viena

10

Ley de enfriamiento de Newton

dTdt = -k·(T - T_env) ⟹ T(t) = T_env + (T₀ - T_env)·e^(-kt)

La tasa de pérdida de calor por convección/radiación es proporcional al exceso de temperatura sobre la ambiente.

T(t): Temperatura en el momento t T_env: Temperatura ambiente circundante k: Velocidad de enfriamiento constante

⏳

Capítulo 10: Movimiento armónico simple y oscilaciones

8 fórmulas

Cinemática de MAS, péndulo simple, sistemas resorte-masa, resortes en serie/paralelo, péndulo físico, energía total y oscilaciones amortiguadas.

1

Desplazamiento, velocidad y aceleración en SHM

x = A·sin(ωt + φ), v = dxdt = ω·√A² - x², a = d²xdt² = -ω²·x

Cinemática fundamental del MAS lineal con definición de la condición de restauración a ∝ -x

A: Amplitud ω = 2πf: frecuencia angular φ: Ángulo de época de fase inicial x: Desplazamiento instantáneo

2

Período de tiempo del péndulo simple (ángulos pequeños)

T = 2π·√Lg, f = (12π)·√gL

Período de un péndulo de longitud L en un campo gravitacional uniforme g (independiente de la masa de la pesa m)

T: Periodo de oscilación L: Longitud efectiva del péndulo g: Aceleración debida a la gravedad.

3

Período de tiempo del oscilador de masa primaveral

T = 2π·√mk, ω = √km

Período de oscilación de la masa del bloque m sobre un resorte horizontal o vertical sin fricción de rigidez k

T: Periodo de oscilación m: masa oscilante k: constante de resorte

4

Combinaciones de resortes (serie y paralelo)

1k_series = 1k₁+1k₂, k_parallel = k₁ + k₂

Rigidez de resorte equivalente para múltiples resortes acoplados en serie o en paralelo

k_s, k_p: Constantes de resorte equivalentes

5

Período del péndulo físico (compuesto)

T = 2π·√Im·g·d = 2π·√k_g² + d²g·d

Oscilación de un cuerpo rígido arbitrario pivotado a una distancia d de su centro de masa

I: Momento de inercia respecto del eje de pivote de la suspensión. d: Distancia desde el pivote de suspensión al centro de masa

6

Período de péndulo de torsión

T = 2π·√Iκ, τ = -κ·θ

Oscilación rotacional de un disco sostenido por un alambre con rigidez torsional constante κ

I: Momento de inercia respecto al eje del alambre torsional. κ: Constante del resorte de torsión (par de recuperación por radianes)

7

Energía mecánica total en MAS

E = K + U = ½m·v² + ½k·x² = ½k·A² = ½m·ω²·A²

La energía mecánica total permanece estrictamente constante, alternando entre formas cinética y potencial.

E: Energía mecánica constante total A: amplitud de oscilación

8

Oscilador armónico amortiguado

x(t) = A₀·e^(-γt)·cos(ω't + φ), ω' = √ω₀² - γ², γ = b2m

La amplitud decae exponencialmente con el factor de atenuación de amortiguación γ bajo resistencia viscosa F = -bv

b: Coeficiente de amortiguación viscosa γ: Coeficiente de amortiguación (b/2m) ω': Frecuencia angular amortiguada

🔊

Capítulo 11: Movimiento ondulatorio, sonido y acústica

9 fórmulas

Ecuación de onda, velocidad de onda en cuerdas, velocidad del sonido en fluidos/gases, escala de intensidad de decibelios, ondas estacionarias en tuberías/cuerdas, ritmos y efecto Doppler

1

Ecuación de onda viajera armónica

y(x, t) = A·sin(k·x ∓ ω·t + φ), k = 2πλ, ω = 2π·f

Desplazamiento transversal o longitudinal del medio en la coordenada x y el tiempo t (- para la dirección +x)

y(x,t): Desplazamiento de olas A: amplitud de onda k: Número de onda angular λ: Longitud de onda f: Frecuencia

2

Relación de velocidad de onda

v = f·λ = ωk = λT

Relación de velocidad fundamental que conecta la longitud de onda espacial y la frecuencia temporal.

v: Velocidad de propagación de la onda f: Frecuencia λ: Longitud de onda

3

Velocidad de onda transversal en una cuerda estirada

v = √T_tensionμ, μ = mL (Linear mass density)

Velocidad de propagación en una cuerda tensada gobernada por la tensión T y la masa por unidad de longitud μ

v: Velocidad de onda transversal T_tension: Tensión mecánica de la cuerda μ: Densidad de masa lineal

4

Velocidad del sonido en un gas ideal (fórmula de Laplace)

v_sound = √γ·Pρ = √γ·R·TM

Velocidad de onda acústica adiabática en gas a temperatura T (~343 m/s en aire a 20°C)

v_sound: Velocidad acústica del sonido. γ: Índice adiabático (1,40 para aire diatómico) M: Masa molar del gas (0,029 kg/mol de aire)

5

Nivel de intensidad del sonido (escala de decibeles)

β = 10·log₁₀(II₀), I₀ = 10⁻¹² Wm²

Escala logarítmica de decibelios relativa al umbral de audición humana I₀

β: Nivel de intensidad del sonido I: Intensidad del sonido acústico I₀: Umbral de audición (10⁻¹² W/m²)

6

Ondas estacionarias (cuerda fija y tubería abierta)

f_n = n·(v2L) = n·f₁ (n = 1, 2, 3, 4...)

Frecuencias armónicas para una cuerda fijada en ambos extremos o un tubo de órgano abierto en ambos extremos (todos los armónicos presentes)

f_n: Frecuencia del n-ésimo armónico L: Longitud de la cuerda/tubo n: Orden entero armónico

7

Ondas estacionarias en una tubería cerrada por un extremo

f_n = (2n - 1)·(v4L) (n = 1, 2, 3... ⟹ 1f₁, 3f₁, 5f₁...)

Frecuencias resonantes en un tubo cerrado por un extremo (sólo admite armónicos impares: 1º, 3º, 5º...)

f_n: Frecuencia acústica resonante L: Longitud de la tubería

8

Frecuencia de batido

f_beat = |f₁ - f₂|

Modulación periódica de intensidad constructiva/destructiva cuando se superponen dos ondas de frecuencias cercanas

f_beat: Frecuencia de modulación de ritmo f₁, f₂: Frecuencias de dos fuentes superpuestas

9

Efecto Doppler para ondas sonoras

f' = f·[v ± v_observerv ∓ v_source ]

La frecuencia aparente cambió debido al movimiento relativo del observador (v_o) y la fuente (v_s) a través del medio.

f': Frecuencia aparente observada f: Fuente de frecuencia real emitida v: Velocidad del sonido en medio. v_o, v_s: Velocidades del observador y la fuente (+ hacia, - lejos)

⚡

Capítulo 12: Electrostática y capacitancia

11 fórmulas

Ley de Coulomb, campo eléctrico, potencial eléctrico, dipolo eléctrico, ley de Gauss, capacitancia, condensadores en serie/paralelo y densidad de energía de campo.

1

Ley de Coulomb de la fuerza electrostática

F = (14πε₀)·(|q₁·q₂|r²) = k_e·(|q₁·q₂|r²)

Atracción o repulsión electrostática de cuadrado inverso entre dos cargas puntuales estacionarias

k_e = 14πε₀: Constante de Coulomb (~8,98755 × 10⁹ N·m²/C²) ε₀: Permitividad del espacio libre (8.85419 × 10⁻¹² C²/(N·m²)) q₁, q₂: Magnitudes de carga eléctrica r: Distancia de separación

2

Campo eléctrico de carga puntual

E = Fq₀ = (14πε₀)·(qr²)·r̂

Fuerza experimentada por unidad de carga de prueba positiva q₀ colocada en un campo eléctrico

E: Intensidad del campo eléctrico q: Cargo por punto de origen

3

Potencial eléctrico y relación con el campo

V = (14πε₀)·(qr), E = -dVdr = -∇V

Trabajo realizado para llevar una unidad de carga de prueba positiva desde el infinito hasta la distancia r sin aceleración

V: Potencial electrico E: Campo eléctrico

4

Energía potencial electrostática del par de carga

U = (14πε₀)·(q₁·q₂)r

Energía almacenada en configuración de dos cargas separadas por una distancia r (positiva para iguales, negativa para diferentes)

U: Energía potencial electrostática

5

Momento dipolar eléctrico, par y energía potencial

p = q·2a, τ = p × E = p·E·sinθ, U = - p·E = - p·E·cosθ

El vector dipolo apunta de carga negativa a positiva; se alinea con el campo externo E

p: Momento dipolar eléctrico τ: Restauración del par U: Energía potencial del dipolo

6

Ley de electrostática de Gauss

Φ_E = ∮ E·dA = Q_enclosedε₀

El flujo eléctrico total a través de cualquier superficie gaussiana cerrada es igual a la carga encerrada dividida por ε₀

Φ_E: flujo electrico Q_enclosed: Carga interior neta adjunta

7

Campo eléctrico de carga lineal y hoja infinita

E_line = λ2πε₀·r, E_sheet = σ2ε₀, E_cond = σε₀

Derivado de la ley de Gauss para densidad de carga lineal uniforme λ y densidad de carga superficial σ

λ: Densidad de carga lineal σ: Densidad de carga superficial

8

Capacitancia del condensador de placas paralelas

C = κ·ε₀·Ad

Capacitancia proporcional al área de la placa A y constante dieléctrica κ; inversamente proporcional a la separación d

C: Capacidad κ: Constante dieléctrica del medio (vacío κ = 1) A: Área de superposición de placas d: Distancia de separación de placas

9

Condensadores en combinaciones en serie y en paralelo

1C_series = 1C₁+1C₂+ ..., C_parallel = C₁ + C₂ + ...

En serie: la carga Q es idéntica en todos los condensadores; en paralelo: la tensión V es idéntica

C_s, C_p: capacitancia equivalente

10

Energía electrostática almacenada en el condensador

U = ½·C·V² = Q²2C = ½·Q·V

Energía almacenada en el campo eléctrico entre placas de condensadores cargadas a una diferencia de potencial V

U: Energía electrostática almacenada Q: Carga almacenada (Q = C·V) V: Diferencia de potencial de voltaje

11

Densidad de energía del campo eléctrico

u_E = ½·ε₀·E²

Energía electrostática almacenada por unidad de volumen de espacio ocupado por el campo eléctrico E

u_E: Densidad de energía E: Magnitud del campo eléctrico

🔌

Capítulo 13: Electricidad actual y circuitos de CC

9 fórmulas

Velocidad de deriva, ley de Ohm, resistividad, dependencia de la temperatura, leyes de Kirchhoff (KCL/KVL), puente de Wheatstone, resistencia interna y circuitos RC

1

Corriente eléctrica y velocidad de deriva

I = n·e·A·v_d, v_d = e·E·τm

Relaciona la corriente macroscópica I con la velocidad microscópica de deriva de electrones v_d y el tiempo de relajación τ

I: Actual n: Densidad de electrones libres por unidad de volumen e: Carga de electrones elementales (1,602 × 10⁻¹⁹ C) A: Área de sección transversal del conductor v_d: Velocidad de deriva τ: Tiempo medio de relajación de colisión

2

Densidad de corriente y ley de Ohm microscópica

j = IA = σ·E = Eρ, σ = 1ρ = n·e²·τm

Forma vectorial de la ley de Ohm que conecta la densidad de corriente j con el campo eléctrico E y la conductividad σ

j: Densidad actual σ: Conductividad eléctrica ρ: Resistividad

3

Resistencia, resistividad y coeficiente de temperatura

R = ρ·(LA), R(T) = R₀·[1 + α·(T - T₀)]

Escalas de resistencia con longitud y temperatura; inversamente con el área de la sección transversal A

R: Resistencia electrica ρ: Resistividad eléctrica del material α: Coeficiente de temperatura de resistencia.

4

Ley de Ohm y disipación de energía eléctrica

V = I·R, P = V·I = I²·R = V²R, H = I²·R·t

Ley de calentamiento de Joule: potencia eléctrica disipada como calor en una resistencia R

V: Diferencia de potencial de voltaje I: Actual P: Disipación de energía eléctrica H: Calor térmico Joule disipado

5

Resistencias en serie y paralelo

R_series = R₁ + R₂ + ...,1R_parallel = 1R₁+1R₂+ ...

Reglas de resistencia equivalentes para combinar elementos de red.

R_s, R_p: Resistencia del circuito equivalente

6

Fuerza electromotriz de celda y resistencia interna

V = E_emf - I·r, I = E_emfR + r

El voltaje terminal V es menor que el EMF de circuito abierto ℰ debido a la resistencia interna r durante la descarga

ℰ: Fuerza electromotriz de circuito abierto EMF V: Tensión de salida terminal r: Resistencia interna de la batería/celda R: Resistencia del circuito de carga externa

7

Leyes de corriente y voltaje de Kirchhoff (KCL y KVL)

KCL (Junction): ∑ I_in = ∑ I_out, KVL (Loop): ∑ ΔV = ∑ E_emf - ∑ I·R = 0

KCL representa la conservación de la carga; KVL representa la conservación de energía electrostática en circuitos cerrados.

∑ I: Suma de corrientes de unión nodal ∑ ΔV: Suma de caídas de potencial de rama en el bucle.

8

Condición del equilibrio del puente de Wheatstone

R₁R₂ = R₃R₄ ⟹ I_galvanometer = 0

Se utiliza en puentes de medidores y apartados postales para medir con precisión resistencias desconocidas.

R₁, R₂, R₃, R₄: Cuatro resistencias de brazo de puente.

9

Carga y descarga del circuito RC transitorio

Charging: q(t) = Q₀·(1 - e^(-tRC)), Discharging: q(t) = Q₀·e^(-tRC), τ = R·C

El condensador se carga al 63,2 % del Q₀ máximo en una constante de tiempo τ = RC (se descarga al 36,8 %)

τ = RC: Constante de tiempo capacitiva Q₀: Carga máxima en estado estacionario (C·V₀)

🧲

Capítulo 14: Magnetismo, Fuerza de Biot-Savart y Lorentz

10 fórmulas

Fuerza magnética de Lorentz, fuerza de corriente en el cable, radio del ciclotrón, ley de Biot-Savart, campo de cable recto, solenoide/toroide, corrientes paralelas y par dipolar magnético

1

Fuerza magnética de Lorentz sobre carga en movimiento

F_B = q·(v × B) = q·v·B·sinθ

Fuerza de desviación perpendicular que actúa sobre una carga en movimiento en un campo magnético (trabajo realizado cero)

F_B: fuerza magnética q: Magnitud de carga v: vector de velocidad B: Densidad de flujo magnético θ: Ángulo entre la velocidad y el campo magnético.

2

Fuerza Lorentz total combinada (campos E + B)

F_total = q·(E + v × B)

Fuerza superpuesta en campos eléctricos y magnéticos simultáneos (Selector de velocidad: v = E/B)

E: Campo eléctrico B: Campo magnético

3

Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente

F = I·(L × B) = I·L·B·sinθ

Fuerza sobre un alambre recto de longitud L que transporta corriente I colocado en un campo uniforme B

F: Fuerza magnética sobre el alambre. I: Corriente del conductor L: Vector de longitud en la dirección actual

4

Radio y frecuencia de la órbita del ciclotrón

r = m·vq·B, f = q·B2π·m, T = 2π·mq·B

Parámetros de la órbita helicoidal/circular de una partícula cargada en un campo magnético transversal (la frecuencia es independiente de la velocidad)

r: Giroradio / Radio de Larmor f: Frecuencia de resonancia del ciclotrón

5

Ley de Biot-Savart de la Magnetostática

dB = (μ₀4π)·[I·dl × r̂r²] = μ₀·I·dl·sinθ4π·r²

Campo magnético infinitesimal generado por el elemento actual I dl a una distancia r

μ₀4π: Constante de permeabilidad magnética (10⁻⁷ T·m/A) μ₀: Permeabilidad del vacío (4π × 10⁻⁷ H/m o T·m/A) dl: Vector de elemento de longitud

6

Campo magnético de alambre largo y recto

B = μ₀·I2π·r

Campo magnético circular concéntrico a una distancia radial r de un alambre recto infinitamente largo

B: Densidad de flujo magnético I: corriente constante r: Distancia perpendicular al eje del alambre

7

Campo magnético de bucle circular (centro y eje)

B_center = μ₀·N·I2R, B_axis = μ₀·N·I·R²[2·(R² + x²)^(32)]

Campo magnético producido por una bobina circular de N vueltas de radio R a una distancia x a lo largo del eje

N: Número de vueltas circulares R: Radio de bucle x: Distancia a lo largo del eje central de la bobina

8

Ley del circuito de Ampère y campo de solenoide

∮ B·dl = μ₀·I_encl, B_solenoid = μ₀·n·I (n = NL)

Campo magnético axial interno uniforme dentro de un solenoide fuertemente enrollado con n vueltas por unidad de longitud

B_solenoid: Campo magnético central n = NL: Vueltas por unidad de longitud

9

Fuerza entre dos cables portadores de corriente paralelos

FL = μ₀·I₁·I₂2π·d

Fuerza de atracción para corrientes paralelas en la misma dirección; repulsivo para corrientes antiparalelas (definición de amperios SI)

FL: Fuerza por unidad de longitud d: Distancia de separación entre conductores paralelos

10

Momento dipolar magnético y par en el bucle de corriente

M = N·I·A, τ = M × B = N·I·A·B·sinθ, U = - M·B

Principio de funcionamiento del galvanómetro de bobina móvil, motores de CC y momentos magnéticos atómicos.

M: Momento dipolar magnético A: Vector de área cerrada de bucle τ: Torque de desviación

⚡

Capítulo 15: Inducción electromagnética y circuitos de CA

10 fórmulas

Ley de Faraday, ley de Lenz, EMF de movimiento, inductancia propia/mutua, densidad de energía magnética, valores RMS, impedancia en circuitos LCR, resonancia y transformadores.

1

Ley de inducción electromagnética de Faraday y ley de Lenz

E_ind = - N·(dΦ_Bdt), Φ_B = B·A = B·A·cosθ

La fuerza electromotriz inducida es igual a la tasa de cambio temporal negativa del flujo magnético a través del circuito (Lenz se opone a la causa)

ℰ: Fuerza electromotriz inducida (EMF) Φ_B: flujo magnético N: numero de vueltas

2

EMF en movimiento en un conductor en movimiento

E_motional = B·L·v·sinθ

EMF inducida a través de los extremos de una varilla conductora de longitud L que se mueve con velocidad v a través del campo B

ℰ: EMF en movimiento B: Campo magnético L: Longitud del conductor v: Velocidad

3

Autoinductancia e inductancia mutua

E_self = - L·(dIdt), E_mutual = - M·(dI₁dt), L_solenoid = μ₀·n²·A·l

Oposición al cambio de corriente en una bobina (auto) o bobina adyacente acoplada (mutua)

L, M: Inductancia propia y mutua dIdt: Tasa de cambio actual

4

Energía magnética en inductores y densidad de energía

U_B = ½·L·I², u_B = B²2μ₀

Energía potencial almacenada en el campo magnético establecido dentro de un inductor energizado.

U_B: Energía magnética almacenada u_B: Densidad de energía magnética

5

RMS y valores máximos de corriente/voltaje alterna

V_rms = V₀√2 ≈ 0.707 V₀, I_rms = I₀√2 ≈ 0.707 I₀

Valor calorífico equivalente efectivo de CC para tensión y corriente alternas sinusoidales

V_rms, I_rms: Valores cuadráticos medios (p. ej. red eléctrica de 230 V/120 V) V₀, I₀: Amplitudes sinusoidales máximas

6

Reactancia inductiva y capacitiva

X_L = ω·L = 2π·f·L, X_C = 1ω·C = 12π·f·C

Oposición de CA dependiente de la frecuencia al flujo de corriente ofrecida por inductores y condensadores

X_L: Reactancia inductiva (la corriente retrasa la tensión en 90°) X_C: Reactancia capacitiva (la corriente conduce al voltaje en 90°) f: frecuencia CA

7

Impedancia del circuito serie LCR y ángulo de fase

Z = √[ R² + (X_L - X_C)² ], tanφ = X_L - X_CR

Vector de oposición de impedancia eléctrica de CA combinada total en circuitos R-L-C en serie

Z: Impedancia total del circuito φ: Ángulo de fase entre tensión y corriente.

8

Frecuencia resonante y factor de calidad Q del circuito LCR

f₀ = 12π·√L·C, Q = ω₀·LR = (1R)·√LC

Condición de resonancia X_L = X_C donde la impedancia del circuito alcanza el mínimo absoluto Z = R y la corriente se maximiza

f₀: Frecuencia de resonancia eléctrica natural. Q: Factor de calidad / Nitidez de la resonancia (adimensional)

9

Potencia real de CA y factor de potencia

P_avg = V_rms·I_rms·cosφ, Power Factor: cosφ = RZ

Potencia real consumida en Watts (los circuitos reactivos puros con cosφ = 0 consumen cero potencia promedio sin vatios)

P_avg: Potencia eléctrica promedio real cosφ: Factor de potencia (0 ≤ cosφ ≤ 1)

10

Relación de vueltas y eficiencia del transformador

V_sV_p = N_sN_p = I_pI_s = k, η = P_outP_in = V_s·I_sV_p·I_p

Transformación mutua de voltaje CA elevadora (k > 1) o reductora (k < 1) que preserva la energía

V_p, V_s: Tensiones primarias y secundarias. N_p, N_s: Espiras de bobina primaria y secundaria I_p, I_s: Corrientes primarias y secundarias.

⚛️

Capítulo 16: Óptica, Física Cuántica y Nuclear Moderna

12 fórmulas

Ecuaciones espejo/lente, ley de Snell, doble rendija de Young, efecto fotoeléctrico, ondas de materia de De Broglie, átomo de Bohr, desintegración radiactiva y relatividad masa-energía

1

Fórmula y aumento del espejo esférico

1f = 1v+1u, m = -vu = h_ih_o

Relaciona la distancia focal f, la distancia de la imagen v y la distancia del objeto u con la convención de signos cartesiana estándar

f: Distancia focal (f = R/2) u: Distancia del objeto al poste v: Distancia de la imagen desde el poste m: Ampliación transversal lineal

2

Ley de refracción de Snell y reflexión interna total

n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂, sin(θ_c) = n₂n₁ (for n₁ > n₂)

Curvatura del rayo de luz a través de límites ópticos y ángulo crítico θ_c para una reflexión interna completa

n₁, n₂: Índices de refracción de los medios (n = c / v) θ₁, θ₂: Ángulos de incidencia y refracción. θ_c: Ángulo crítico para la reflexión interna total.

3

Fórmula del fabricante de lentes y ecuación de lentes delgadas

1f = (n - 1)·(1R₁-1R₂),1f = 1v-1u, P = 1f(m)

Calcula la potencia óptica P en dioptrías (D = m⁻¹) a partir del índice de refracción n y los radios de curvatura R₁, R₂

f: Longitud focal de la lente P: Potencia óptica de la lente. R₁, R₂: Radios de curvatura esférica.

4

Ancho de franja de interferencia de doble rendija de Young

β = λ·Dd, y_n(bright) = n·(λ·Dd), y_n(dark) = (2n - 1)·(λ·D2d)

Espaciado de franjas espaciales β entre franjas de interferencia consecutivas en una pantalla a una distancia D

β: Espaciado del ancho de franja λ: Longitud de onda de la luz D: Distancia de las rendijas a la pantalla d: Distancia de separación de hendiduras

5

La ecuación fotoeléctrica de Einstein

E_photon = h·f = Φ₀ + K_max = h·f₀ + e·V_s

La energía del fotón hf supera la función de trabajo del metal Φ₀ e imparte energía cinética máxima K_max

h: Constante de Planck (6,62607 × 10⁻³⁴ J·s) f: Frecuencia de fotones incidentes Φ₀ = h·f₀: Función umbral de trabajo del metal. V_s: Detener el voltaje potencial

6

Longitud de onda de De Broglie de las ondas de materia

λ = hp = hm·v = h√2m·K = h√2m·q·V

Dualidad onda-partícula: cada partícula en movimiento tiene asociada una longitud de onda cuántica de Broglie

λ: Longitud de onda de De Broglie p: impulso de partícula V: Tensión potencial de aceleración

7

Modelo atómico de hidrógeno de Bohr (energía y radio)

r_n = n²·h²·ε₀π·m·e² = 0.529·n² Å, E_n = -13.6n² eV

Radios orbitales de electrones cuantificados r_n y estados de energía estacionarios ligados E_n para átomos similares al hidrógeno

n: Número cuántico principal (n = 1, 2, 3...) E_n: Energía total del n-ésimo nivel orbital

8

Fórmula de Rydberg para series espectrales de hidrógeno

1λ = R_H·[1n₁²-1n₂²] (Lyman n₁ = 1, Balmer n₁ = 2, Paschen n₁ = 3)

Calcula longitudes de onda de líneas espectrales de emisión/absorción en transiciones atómicas (n₂ > n₁)

R_H: Constante de Rydberg (1,097373 × 10⁷ m⁻¹) n₁, n₂: Niveles de energía cuántica superior e inferior.

9

Defecto de masa y energía de enlace nuclear

Δm = [Z·m_p + (A - Z)·m_n] - M_nucleus, E_b = Δm·c² = Δm(amu) × 931.5 MeV

Energía necesaria para desmantelar un núcleo atómico en protones y neutrones constituyentes individuales

Δm: defecto masivo E_b: Energía nuclear total de enlace

10

Ley de desintegración radiactiva y vida media

N(t) = N₀·e^(-λt), T_half = ln(2)λ ≈ 0.693λ, A = λ·N

Tasa de desintegración estadística de radionucleidos inestables (Actividad medida en Becquerels Bq = desintegraciones/s)

N(t): Número de núcleos radiactivos no desintegrados que quedan T_half: Periodo de vida media λ: Constante de desintegración radiactiva A: Actividad

11

Equivalencia masa-energía y energía relativista de Einstein

E = m·c² = γ·m₀·c², E² = (p·c)² + (m₀·c²)²

Relación de energía invariante de cuatro momentos que conecta la energía relativista total E, el momento p y la masa en reposo m₀

c: Velocidad de la luz en el vacío (299.792.458 m/s) m₀: Masa invariante en reposo γ: factor de Lorentz

12

Dilatación del tiempo relativista y contracción de la longitud

Δt = γ·Δt₀ = Δt₀√1 -v²c², L = L₀γ = L₀·√1 -v²c²

Los relojes en movimiento funcionan más lento (dilatación del tiempo); Las barras móviles se acortan en la dirección del movimiento (contracción de longitud).

Δt₀, L₀: Tiempo adecuado y duración adecuada del descanso. v: Velocidad relativa del marco del observador.

🧪

Suite Completa de Química

Leyes de gases ideales y reales, termodinámica química, leyes de velocidad, equilibrios, ecuación de Nernst, pH y decaimiento nuclear.

83+ Ecuaciones

🧪

Capítulo 1: Concepto de mol, estequiometría y términos de concentración

10 fórmulas

Conversiones cuantitativas masa-mol, relación de Avogadro, molaridad, molalidad, normalidad, ppm y rendimientos de reacción.

1

Concepto molar, masa de muestra y recuento de partículas

n = mM = NN_A

Relación fundamental de conversión entre masa de muestra, moles y partículas elementales.

n: numero de moles m: Masa de muestra M: Masa molar de sustancia N: Recuento total de partículas (átomos, moléculas, iones) N_A: Constante de Avogadro (6,02214 × 10²³ mol⁻¹)

2

Volumen molar de gas en STP

V = n·V_m = n·22.414 L

Volumen ocupado por un mol de cualquier gas ideal a temperatura y presión estándar

V: Volumen de gas en STP n: numero de moles V_m: Volumen de gas molar estándar (22,414 L/mol a 1 atm, 22,71 L/mol a 1 bar)

3

Molaridad (concentración molar)

M = n_soluteV_solution = w_B × 1000M_B × V_mL

Número de moles de soluto disueltos por litro de volumen de solución

M: Concentración de molaridad w_B: Masa de soluto disuelto M_B: Masa molar de soluto V_mL: Volumen de solución en mililitros

4

Molalidad (concentración independiente de la temperatura)

m = n_soluteW_solvent = w_B × 1000M_B × W_A

Moles de soluto por kilogramo de disolvente puro; no varía con los cambios de temperatura térmica

m: Concentración de molalidad w_B: masa de soluto W_A: Masa de disolvente en gramos M_B: Masa molar de soluto

5

Normalidad y peso equivalente

N = w_B × 1000E_B × V_mL = M·n_factor

Concentración equivalente en gramos por litro; El factor n representa acidez, basicidad o cambio de valencia.

N: Normalidad E_B: Peso equivalente (factor M / n) n_factor: Factor de valencia / recuento de intercambio de electrones M: Molaridad

6

Ley de suma y fracción molar

X_A = n_An_A + n_B, X_A + X_B = 1

Relación adimensional de moles de componentes a moles totales de solución

X_A: Fracción molar del componente A n_A, n_B: Moles de componentes individuales.

7

Porcentaje de masa (% p/p) y partes por millón (ppm)

%(ww) = (w_solutew_total) × 100, ppm = (w_solutew_total) × 10⁶

Métricas de concentración de trazas utilizadas ampliamente en pruebas de agua y análisis atmosféricos.

w_solute: masa de soluto w_total: Masa total de la solución ppm: Concentración de partes por millón

8

Fórmula de dilución de solución volumétrica

M₁·V₁ = M₂·V₂, N₁·V₁ = N₂·V₂

Conservación de moles de soluto durante la dilución de disolvente desde el volumen inicial al final

M₁, N₁: Concentración de stock antes de la dilución. V₁: Volumen de alícuotas de existencias M₂, N₂: Concentración diluida objetivo V₂: Volumen final de solución diluida

9

Rendimiento porcentual de la reacción química

% Yield = (Actual YieldTheoretical Yield) × 100

Relación entre el producto obtenido experimentalmente y el máximo estequiométrico del reactivo limitante

Actual Yield: Masa de producto aislado del experimento. Theoretical Yield: Masa estequiométrica calculada

10

Multiplicador de fórmula empírica a molecular

n = M_molecularM_empirical, Molecular Formula = (Empirical Formula)_n

Multiplicador de enteros que escala la relación atómica de números enteros más simple a la fórmula molecular real

n: Multiplicador estequiométrico integral (1, 2, 3...) M_molecular: Masa molecular real M_empirical: Masa de fórmula empírica

⚛️

Capítulo 2: Estructura atómica, mecánica cuántica y radiactividad

8 fórmulas

Órbitas del modelo de Bohr, transiciones espectrales de Rydberg, dualidad onda-partícula de De Broglie, principio de Heisenberg y cinética de desintegración

1

Relación de energía de fotones de Planck-Einstein

E = h·ν = h·cλ = h·c·ν_bar

Energía cuantificada transportada por un fotón electromagnético de frecuencia ν y longitud de onda λ

E: Energía cuántica de fotones h: Constante de Planck (6,62607 × 10⁻³⁴ J·s) c: Velocidad de la luz (2,998 × 10⁸ m/s) λ: Longitud de onda ν_bar: Número de onda (1/λ)

2

Radio de órbita atómica similar al hidrógeno de Bohr

r_n = n²·h²·ε₀π·m·Z·e² = 0.529·(n²Z) Å

Radio orbital cuantificado de átomos de hidrógeno con número atómico nuclear Z

r_n: Radio de la enésima órbita de Bohr n: Número cuántico principal (1, 2, 3...) Z: Número atómico nuclear (carga)

3

Niveles de energía electrónicos de Bohr

E_n = -13.6·(Z²n²) eV = -2.18 × 10⁻¹⁸·(Z²n²) J

Energía de enlace total cuantificada del electrón unido en la n-ésima capa principal

E_n: Energía orbital total del electrón Z: Número atómico n: Nivel cuántico principal

4

Ecuación del espectro de emisión de Rydberg

1λ = R_H·Z²·(1n₁²-1n₂²)

Predice longitudes de onda de transición espectral (Lyman n₁=1, Balmer n₁=2, Paschen n₁=3, Brackett n₁=4, Pfund n₁=5)

R_H: Constante de Rydberg (1,09677 × 10⁷ m⁻¹) n₁: Estado de energía más bajo n₂: Estado de energía excitada superior (n₂ > n₁)

5

Longitud de onda de la materia de Broglie

λ = hp = hm·v = h√2·m·E_k = h√2·m·q·V

Dualidad onda-partícula que muestra que las partículas en movimiento exhiben una longitud de onda inversamente proporcional al momento

λ: longitud de onda de Broglie m: Masa de partícula v: Velocidad de partícula V: Aceleración del potencial electrostático

6

El principio de incertidumbre de Heisenberg

Δx·Δp ≥ h4π, ΔE·Δt ≥ h4π

Límite cuántico fundamental de la precisión simultánea de la posición y el momento conjugado

Δx: Incertidumbre en la posición espacial Δp: Incertidumbre en el momento lineal Δv: Incertidumbre en la velocidad

7

Ecuación de la energía cinética fotoeléctrica de Einstein

h·ν = Φ + K_max = h·ν₀ + ½·m·v_max²

Conservación de energía durante la absorción de fotones y la emisión de fotoelectrones.

Φ: Función de trabajo de la superficie metálica (h·ν₀) ν₀: Frecuencia de corte umbral V_s: Potencial de parada

8

Ley de desintegración radiactiva nuclear y vida media

N(t) = N₀·e^(-λ·t), t_½ = ln(2)λ = 0.693λ

Tasa de desintegración nuclear espontánea de primer orden y vida media radiactiva

N(t): Núcleos radiactivos sin desintegrar que quedan en el momento t N₀: Recuento inicial de núcleos radiactivos en t = 0 λ: Constante de desintegración radiactiva t_½: Vida media radiactiva

💨

Capítulo 3: Estado gaseoso y teoría molecular cinética

8 fórmulas

Relaciones de gases ideales, presiones parciales de Dalton, derrame de Graham, velocidades moleculares y gases reales de Van der Waals

1

Ley del gas ideal y relación de densidad del gas

P·V = n·R·T, P·M = ρ·R·T

Ecuación de estado del gas ideal conectando presión, volumen, temperatura y densidad.

P: Presión de gas V: Volumen de gas n: cantidad en moles R: Constante de los gases (0,0821 L·atm/(mol·K) = 8,314 J/(mol·K)) T: temperatura absoluta ρ: Densidad de masa de gas

2

Ley combinada de los gases (Boyle, Charles, Gay-Lussac)

P₁·V₁T₁ = P₂·V₂T₂

Unifica las leyes de los gases de Boyle (PV=k), Charles (V/T=k) y Gay-Lussac (P/T=k)

P₁, V₁, T₁: Presión, volumen y temperatura absoluta del estado inicial. P₂, V₂, T₂: Presión, volumen y temperatura absoluta del estado final.

3

Ley de presiones parciales de Dalton

P_total = P_A + P_B + P_C, P_A = X_A·P_total

La presión total en una mezcla de gases que no reacciona es igual a la suma de las presiones parciales individuales

P_total: Presión total del contenedor P_A: Presión parcial del gas A X_A: Fracción molar del gas A en la mezcla

4

Ley de difusión y efusión de Graham

r₁r₂ = √M₂M₁ = √ρ₂ρ₁ = V₁t₁V₂t₂

La tasa de efusión/difusión de gas a través de un orificio poroso es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa molar

r₁, r₂: Tasas de difusión/efusión M₁, M₂: Masas molares de gases

5

RMS, velocidades moleculares medias y más probables

u_rms = √3RTM, u_avg = √8RTπM, u_mp = √2RTM

Relaciones de velocidad de distribución de Maxwell-Boltzmann: u_mp : u_avg : u_rms = 1 : 1,128 : 1,224 = √2 : √(8/π) : √3

u_rms: Velocidad cuadrática media u_avg: Velocidad aritmética media u_mp: Velocidad más probable en la distribución máxima M: Masa molar en kilogramos por mol

6

Energía cinética del gas y energía cinética media

E_k,total = (32)·n·R·T, E_k,molecule = (32)·k_B·T

Energía cinética de traslación total y por molécula que depende puramente de la temperatura absoluta

k_B: Constante de Boltzmann (1,38065 × 10⁻²³ J/K) T: temperatura absoluta

7

Ecuación de Van der Waals para gases reales

(P +a·n²V²)·(V - n·b) = n·R·T

Corrige la ley de los gases ideales para fuerzas de atracción intermoleculares (a) y volumen molecular finito excluido (b)

a: Coeficiente de atracción intermolecular b: Volumen excluido/coeficiente de co-volumen (4 × volumen molecular)

8

Factor de compresibilidad y constantes críticas

Z = P·V_mR·T, T_c = 8a27Rb, P_c = a27b², V_c = 3b

Mide la desviación del comportamiento ideal (Z=1). Por encima de la temperatura crítica T_c el gas no se puede licuar

Z: Factor de compresibilidad (Z > 1 desviación positiva, Z < 1 negativo) T_c: Temperatura crítica P_c: Presión crítica V_c: Volumen molar crítico

🔥

Capítulo 4: Termodinámica química y termoquímica

9 fórmulas

Primera ley, ley de Hess, energías de enlace, cambios de entropía, energía libre de Gibbs y acoplamiento de equilibrio

1

Primera ley de la termodinámica y el trabajo de expansión

ΔU = q + w, w = -P_ext·ΔV = -∫ P_ext dV

Convención IUPAC: el trabajo realizado en el sistema es positivo (+), el trabajo realizado por el sistema es negativo (-)

ΔU: Cambio en la energía interna. q: Calor absorbido por el sistema. w: Trabajo realizado en/por el sistema P_ext: Presión opuesta externa

2

Trabajo isotérmico reversible del gas ideal

w_rev = -n·R·T·ln(V₂V₁) = -2.303·n·R·T·log(P₁P₂)

Máximo trabajo termodinámico posible obtenido durante una lenta expansión isotérmica cuasiestática

w_rev: Trabajo reversible máximo V₁, V₂: Volúmenes iniciales y ampliados

3

Definición de entalpía y relación de moles gaseosos

H = U + P·V ⟹ ΔH = ΔU + Δn_g·R·T

Conecta el calor de reacción a presión constante (ΔH = q_p) y volumen constante (ΔU = q_v)

ΔH: cambio de entalpía ΔU: Cambio de energía interna Δn_g: Cambio en moles gaseosos: ∑ n_g(productos) - ∑ n_g(reactivos)

4

Capacidades caloríficas molares y relación de Mayer

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v, ΔH = n·C_p·ΔT, ΔU = n·C_v·ΔT

Relaciones de capacidad calorífica específica para gases monoatómicos (γ=1,66), diatómicos (γ=1,40) y poliatómicos.

C_p: Capacidad calorífica molar a presión constante. C_v: Capacidad calorífica molar a volumen constante γ: Relación de capacidad calorífica adiabática (índice de Poisson)

5

Entalpía estándar de reacción a partir de entalpías de formación

ΔH_rxn° = ∑ ν_p·ΔH_f°(products) - ∑ ν_r·ΔH_f°(reactants)

Calcula la entalpía de reacción estándar (ΔH_f° de elementos puros en estados estándar es cero)

ΔH_rxn°: Entalpía de reacción estándar ΔH_f°: Entalpía estándar de formación ν_p, ν_r: Coeficientes estequiométricos

6

Entalpía de reacción de las energías de disociación de enlaces

ΔH_rxn = ∑ Bond Energy(broken in reactants) - ∑ Bond Energy(formed in products)

Calcula las entalpías de reacción gaseosas a partir de las energías de disociación de enlaces covalentes promedio.

B.E.: Entalpía de disociación de enlaces

7

Ley de temperatura-entalpía de Kirchhoff

ΔH_T2 = ΔH_T1 + ΔC_p·(T₂ - T₁)

Evalúa el calor de reacción a diferentes temperaturas cuando se conocen las capacidades caloríficas.

ΔC_p: ∑ C_p(productos) - ∑ C_p(reactivos)

8

Criterio de espontaneidad y energía libre de Gibbs

ΔG = ΔH - T·ΔS

Determina la dirección de la reacción termodinámica a temperatura y presión constantes.

ΔG: Cambio de energía libre de Gibbs ΔH: cambio de entalpía ΔS: cambio de entropía T: temperatura absoluta

9

Energía libre estándar y acoplamiento constante de equilibrio

ΔG° = -R·T·ln(K_eq) = -2.303·R·T·log(K_eq)

Vínculo fundamental que conecta los potenciales termodinámicos químicos con las constantes de equilibrio macroscópicas

ΔG°: Cambio de energía gratuito estándar K_eq: Constante de equilibrio termodinámico

⚖️

Capítulo 5: Equilibrio químico y principio de Le Chatelier

5 fórmulas

Ley de acción de masas, relaciones Kc y Kp, cociente de reacción Q, grado de disociación y ecuación de Van t Hoff.

1

Ley de las constantes de equilibrio de acción de masas (Kc y Kp)

K_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b, K_p = P_C^c·P_D^dP_A^a·P_B^b

Relación de concentraciones de producto a concentraciones de reactivo elevadas a potencias estequiométricas en equilibrio

K_c: Constante de equilibrio en concentraciones molares. K_p: Constante de equilibrio en presiones parciales

2

Relación entre Kp y Kc

K_p = K_c·(R·T)^(Δn_g)

Relaciona las constantes de equilibrio de presión y concentración; si Δn_g = 0, entonces K_p = K_c

Δn_g: Cambio en moles estequiométricos de gas. R: Constante del gas (0,0821 L·atm/(mol·K)) T: Temperatura absoluta en Kelvin

3

Cociente de reacción (Q) y criterio de dirección

Q_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b

Calcula la relación instantánea de no equilibrio para predecir la dirección espontánea hacia el equilibrio.

Q_c: Cociente de reacción instantánea de desequilibrio K_c: Constante de equilibrio

4

Isócora de equilibrio de temperatura de Van 't Hoff

ln(K₂K₁) = (ΔH°R)·(1T₁-1T₂)

Predice cambios constantes de equilibrio con la temperatura (K aumenta con T para endotérmico ΔH > 0)

K₁, K₂: Constantes de equilibrio a temperaturas T₁ y T₂ ΔH°: Entalpía de reacción estándar

5

Grado de disociación (α) de la densidad de vapor

α = D - d(n - 1)·d = M_theoretical - M_observed(n - 1)·M_observed

Fracción de moléculas iniciales disociadas en equilibrio donde n es moles de productos por mol de reactivo

α: Grado de disociación (0 ≤ α ≤ 1) D: Densidad de vapor teórica inicial d: Densidad de vapor de equilibrio observada n: Número de moles de producto producidos por mol de reactivo

🧪

Capítulo 6: Equilibrio iónico, ácidos, bases y tampones

6 fórmulas

Dilución de Ostwald, escalas de pH, ecuaciones del tampón Henderson-Hasselbalch, hidrólisis de sales y producto de solubilidad de Ksp

1

Ley de dilución de Ostwald para electrolitos débiles

K_a = C·α²1 - α ≈ C·α² ⟹ α = √K_aC

Válido para ácidos/bases débiles cuando la fracción de disociación α << 1

K_a: Constante de ionización ácida C: Concentración molar inicial α: Grado de ionización

2

Autoionización del agua y escala pH-pOH

K_w = [H⁺]·[OH⁻] = 1.0 × 10⁻¹⁴, pH + pOH = pK_w = 14

Escalas logarítmicas fundamentales: pH = -log₁₀[H⁺] y pOH = -log₁₀[OH⁻]

[H⁺]: Molaridad del ion hidronio [OH⁻]: Molaridad del ion hidróxido K_w: Producto de autoionización del agua.

3

Ecuación de Henderson-Hasselbalch (tampón ácido)

pH = pK_a + log₁₀([Conjugate Base][Weak Acid]) = pK_a + log₁₀([Salt][Acid])

Calcula el pH de una mezcla de tampón ácida (por ejemplo, CH₃COOH + CH₃COONa)

pK_a: -log₁₀(K_a) del ácido débil [A⁻]: Concentración de base conjugada/sal [HA]: Concentración de ácido débil no disociado.

4

Ecuación de Henderson-Hasselbalch (búfer básico)

pOH = pK_b + log₁₀([Conjugate Acid][Weak Base]), pH = 14 - pOH

Calcula el pOH y el pH de una solución tampón básica (por ejemplo, NH₄OH + NH₄Cl)

pK_b: -log₁₀(K_b) de la base débil [Salt]: Concentración molar de sal conjugada [Base]: Concentración molar de base débil.

5

Fórmulas de pH de hidrólisis de sal

WA-SB: pH = 7 + ½pK_a + ½log(C), SA-WB: pH = 7 - ½pK_b - ½log(C), WA-WB: pH = 7 + ½pK_a - ½pK_b

Calcula el pH resultante de la hidrólisis catiónica/aniónica de sales de ácidos y bases débiles.

C: Concentración molar de la solución salina.

6

Constante del producto de solubilidad (Ksp) y solubilidad molar (S)

A_x B_y ⇌ x A^(y+) + y B^(x-) ⟹ K_sp = x^x·y^y·S^(x+y)

Constante de equilibrio para sales poco solubles (sal 1:1: K_sp = S²; sal 1:2: K_sp = 4S³; sal 1:3: K_sp = 27S⁴)

K_sp: Constante del producto de solubilidad S: Solubilidad molar de la sal.

⏱️

Capítulo 7: Cinética química y dinámica de reacciones

6 fórmulas

Leyes de velocidad diferencial e integrada, ecuaciones de vida media, energía de activación de Arrhenius y teoría de colisiones

1

Velocidad de reacción general y expresión de la ley de velocidad

Rate = -(1a)·(d[A]dt) = (1c)·(d[C]dt) = k·[A]^m·[B]^n

Orden de reacción general = m + n; la constante de velocidad k tiene unidades de (mol/L)^(1-n) · s⁻¹

k: Constante de velocidad de reacción específica m, n: Órdenes de reacción determinadas experimentalmente.

2

Ley de tasa integrada de orden cero y vida media

[A] = [A]₀ - k·t, t_½ = [A]₀2k

La tasa es independiente de la concentración del reactivo; La vida media es directamente proporcional a la concentración inicial.

[A]₀: Concentración inicial en t = 0 [A]: Concentración restante en el momento t k: Constante de tasa de orden cero

3

Ley de Tarifa Integrada de Primer Orden y Vida Media

k = (2.303t)·log([A]₀[A]), [A] = [A]₀·e^(-k·t), t_½ = ln(2)k = 0.693k

La vida media de primer orden es estrictamente independiente de la concentración inicial del reactivo.

k: Constante de tasa de primer orden t_½: Periodo de vida media

4

Ley de Tarifa Integrada de Segundo Orden y Vida Media

1[A] = 1[A]₀ + k·t, t_½ = 1k·[A]₀

La vida media es inversamente proporcional a la concentración inicial del reactivo.

k: Constante de tasa de segundo orden

5

Ecuación de Arrhenius tasa-temperatura

k = A·e^(-E_aR·T) ⟹ ln(k) = ln(A) -E_aR·T

Cuantifica la aceleración exponencial con la temperatura y la barrera de energía de activación.

k: Tasa constante A: Factor de frecuencia de Arrhenius preexponencial E_a: Energía de activación R: Constante de los gases (8,314 J/(mol·K)) T: temperatura absoluta

6

Fórmula de relación de Arrhenius de dos temperaturas

log(k₂k₁) = (E_a2.303·R)·(T₂ - T₁T₁·T₂)

Calcula la energía de activación E_a a partir de constantes de velocidad medidas a dos temperaturas distintas

k₁, k₂: Constantes de velocidad a temperaturas T₁ y T₂

⚡

Capítulo 8: Electroquímica y celdas galvánicas

6 fórmulas

Potenciales EMF estándar, ecuación de Nernst, trabajo eléctrico de Gibbs, conductividad de Kohlrausch y leyes de electrólisis de Faraday

1

Potencial de celda estándar (EMF)

E_cell° = E_cathode° - E_anode° = E_reduction(RHE)° - E_reduction(LHE)°

Fuerza electromotriz en condiciones estándar (concentraciones de 1 M, presión de gas de 1 atm, 298 K)

E_cell°: Fuerza electromotriz estándar E_cathode°: Potencial de reducción estándar del cátodo. E_anode°: Potencial de reducción estándar del ánodo.

2

Ecuación de Nernst a 298 K (25°C)

E_cell = E_cell° - (0.0591n)·log₁₀(Q)

Calcula el potencial de celda electroquímica no estándar para actividades de reactivos/productos no unitarios.

E_cell: Potencial celular real n: Moles de electrones transferidos por mol de reacción equilibrada Q: Cociente de reacción ([iones ánodos] / [iones cátodos]) F: Constante de Faraday (96.485 C/mol e⁻)

3

Energía libre de Gibbs y potencial de celda estándar

ΔG° = -n·F·E_cell°, E_cell° = (0.0591n)·log₁₀(K_c)

Vincula el potencial de la celda electroquímica estándar con el trabajo y el equilibrio eléctricos máximos sin expansión.

ΔG°: Cambio de energía libre de Gibbs estándar K_c: Constante de equilibrio electroquímico

4

Conductividad electrolítica específica y molar

κ = G·(lA) = (1R)·G*, Λ_m = κ × 1000M

Conductividad molar por mol de electrolito (unidades: S·cm²·mol⁻¹)

κ: Conductividad específica (conductividad electrolítica) G*: Constante de celda (l/A) Λ_m: Conductividad molar M: Molaridad del electrolito

5

Ley de Kohlrausch de migración de iones independientes

Λ_m° = ν₊·λ₊° + ν₋·λ₋°, α = Λ_mΛ_m°

En dilución infinita, cada ion contribuye independientemente a la conductancia molar; determina la disociación débil de electrolitos α

Λ_m°: Limitar la conductividad molar en dilución infinita. λ₊°, λ₋°: Limitar las conductividades iónicas de cationes y aniones. α: Grado de disociación electrolítica.

6

Leyes de la electrólisis de Faraday

m = Z·I·t = M·I·tn·F,m₁E₁ = m₂E₂

La masa depositada o liberada en un electrodo es proporcional a la carga Q (constante de Faraday F = 96485 C/mol)

m: Masa de sustancia liberada/depositada Z: Equivalente electroquímico (E/96485) I: Corriente eléctrica t: Duración de la electrólisis E: Peso equivalente (M/n)

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Capítulo 9: Soluciones y propiedades coligativas

6 fórmulas

Ley de Raoult de presión de vapor, elevación del punto de ebullición, depresión por congelación, presión osmótica y factor de Van t Hoff

1

Ley de Raoult y reducción relativa de la presión de vapor

P_A = X_A·P_A°,P_A° - P_AP_A° = X_B = n_Bn_A + n_B

La reducción de la presión de vapor relativa equivale a la fracción molar de soluto no volátil

P_A°: Presión de vapor del disolvente puro. P_A: Presión de vapor de la solución X_B: Fracción molar de soluto no volátil

2

Elevación del punto de ebullición (ebullioscopia)

ΔT_b = i·K_b·m = i·(K_b × w_B × 1000M_B × w_A)

La constante ebullioscópica K_b depende únicamente de la naturaleza del disolvente: K_b = (R·T_b²·M_solvente) / (1000·ΔH_vap)

ΔT_b: Elevación del punto de ebullición K_b: Constante de elevación del punto de ebullición molal (0,512 K·kg/mol para agua) m: Molalidad de la solución i: Factor Van 't Hoff

3

Depresión del punto de congelación (crioscopia)

ΔT_f = i·K_f·m = i·(K_f × w_B × 1000M_B × w_A)

Constante crioscópica K_f: K_f = (R·T_f²·M_solvente) / (1000·ΔH_fus) (1,86 K·kg/mol para agua)

ΔT_f: Depresión del punto de congelación K_f: Constante de depresión del punto de congelación molal m: Molalidad

4

Ley de presión osmótica de Van 't Hoff

Π = i·C·R·T = i·(n_BV)·R·T = i·(w_B·R·T)M_B·V

Presión hidrostática necesaria para evitar completamente la ósmosis de disolvente a través de una membrana semipermeable

Π: Presión osmótica C: Concentración molar M_B: Masa molar del soluto (ampliamente utilizada para polímeros/proteínas)

5

Factor Van 't Hoff (i) de disociación y asociación

i = 1 + (n - 1)·α_diss, i = 1 + (1n- 1)·α_assoc

Representa masas moleculares anormales debido a la ionización o dimerización de electrolitos en solución.

i: Factor de Van 't Hoff (i > 1 para disociación, i < 1 para asociación) α: Grado de asociación/disociación n: Número de iones o grado asociativo

6

Ley de Henry de solubilidad de gases en líquidos

p_gas = K_H·X_gas, m_gas = k_H·p_gas

El gas disuelto en líquido es directamente proporcional a la presión parcial sobre el líquido (K_H aumenta con T)

p_gas: Presión parcial del gas sobre el líquido. K_H: constante de la ley de henry X_gas: Fracción molar de gas disuelto

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Capítulo 10: Estado sólido y cristalografía

4 fórmulas

Densidad de celda unitaria, geometrías de cristal cúbico (SC, BCC, FCC), reglas de relación de radio y difracción de rayos X de Bragg

1

Fórmula de densidad cristalina de celda unitaria

ρ = z·Ma³·N_A

Densidad de masa cristalina teórica a partir de la longitud del borde de la red a y el recuento efectivo de átomos z

ρ: Densidad cristalina z: Número efectivo de átomos por celda unitaria (SC: 1, BCC: 2, FCC: 4) M: Masa molar de sustancia a: Longitud del borde de la celda unitaria N_A: Número de Avogadro (6,022 × 10²³ mol⁻¹)

2

Geometrías de celosía cúbica y eficiencias de empaquetamiento

SC: r = a2 (52.4%), BCC: r = (√34)·a (68.0%), FCC: r = a2√2 (74.0%)

Relaciones geométricas entre el radio atómico r, la longitud del borde a y la eficiencia del empaque para llenar el espacio

r: Radio atómico a: Longitud del borde de la celosía

3

Reglas limitantes de relación de radio y geometría de coordinación

Linear: <0.155 (CN 2),  Triangular: 0.155-0.225 (CN 3),  Tetrahedral: 0.225-0.414 (CN 4),  Octahedral: 0.414-0.732 (CN 6),  Cubic: 0.732-1.000 (CN 8)

Predice el número de coordinación de cristales iónicos (CN) y la geometría intersticial a partir de la relación de radio catión/anión

r₊r₋: Relación de radio catión a anión

4

Ley de Bragg de difracción de rayos X

n·λ = 2·d·sin(θ)

Condición de interferencia constructiva para rayos X monocromáticos dispersos por planos de red cristalina espaciados d

n: Entero de orden de difracción (1, 2, 3...) λ: longitud de onda de rayos X d: Espaciado interplanar entre planos de red θ: Ángulo de mirada / dispersión de Bragg

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Capítulo 11: Química de superficies y estado coloidal

3 fórmulas

Isotermas de adsorción de Freundlich y Langmuir, regla de Hardy-Schulze y potencial zeta

1

Isoterma de adsorción de Freundlich

xm = k·P^(1n) ⟹ log(xm) = log(k) + (1n)·log(P)

Modelo empírico para la adsorción de gas en una superficie adsorbente sólida en rangos de presión moderados

x: Masa de gas absorbido m: Masa de adsorbente sólido P: Presión de equilibrio del gas k, n: Constantes de adsorción para un par adsorbente-gas dado

2

Isoterma de adsorción monocapa de Langmuir

xm = a·P1 + b·P ⟹ Pxm = 1a+ (ba)·P

Modelo teórico que supone una cobertura de superficie monocapa homogénea y sitios idénticos localizados

a, b: Parámetros cinéticos de adsorción-desorción de Langmuir. P: Presión de equilibrio

3

Regla de Hardy-Schulze para la coagulación coloidal

Coagulating Power ∝ (Valency of Oppositely Charged Ion)⁴

El poder de coagulación de un ion electrolito aumenta dramáticamente con su valencia de carga z

z: Carga de valencia del ion coagulante activo.

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Capítulo 12: Enlace químico y estructura molecular

5 fórmulas

Momentos dipolares, carácter iónico de Pauling, orden de enlace de los orbitales moleculares, cargas formales y momentos magnéticos de sólo espín.

1

Momento dipolar eléctrico (Debye)

μ = q·d, 1 Debye (D) = 3.33564 × 10⁻³⁰ C·m = 10⁻¹⁸ esu·cm

Cuantifica la polaridad eléctrica molecular a partir de la separación de carga q a lo largo de la distancia de enlace d

μ: Momento dipolar molecular q: Magnitud de la carga parcial separada d: Distancia de enlace entre cargas

2

Carácter iónico porcentual de Pauling

% Ionic = 16·|χ_A - χ_B| + 3.5·(χ_A - χ_B)²

Estima el porcentaje de carácter iónico de un enlace covalente a partir de la diferencia de electronegatividad Δχ

χ_A, χ_B: Electronegatividades de Pauling de átomos enlazados.

3

Orden de enlace del orbital molecular (MO)

Bond Order = ½·(N_b - N_a)

Estabilidad neta del enlace: Orden de enlace > 0 indica molécula estable; Un orden de enlace más alto significa una longitud de enlace más corta y una energía de enlace más alta.

N_b: Número de electrones en orbitales moleculares enlazantes (BMO) N_a: Número de electrones en orbitales moleculares antienlazantes (ABMO)

4

Carga formal en el átomo de la estructura de Lewis

FC = V - N_lone - ½·N_bonding

Contabilidad de electrones de valencia para determinar la estructura de Lewis de resonancia más estable

V: Electrones de valencia del átomo neutro libre. N_lone: Pares de electrones solitarios no enlazantes N_bonding: Total de electrones de enlace compartidos.

5

Momento magnético de solo giro de iones metálicos de transición

μ_s = √n·(n + 2) BM

Calcula el momento magnético paramagnético a partir del número de electrones d no apareados n (n=1: 1,73 BM, n=2: 2,83 BM, n=3: 3,87 BM, n=4: 4,90 BM, n=5: 5,92 BM)

μ_s: Momento magnético de solo giro n: Número de electrones desapareados

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Capítulo 13: Reacciones Redox y Titulaciones Volumétricas

3 fórmulas

Números de oxidación, pesos equivalentes, neutralización redox y estequiometría de desproporción.

1

Peso equivalente de agentes oxidantes y reductores

E = Molar MassNumber of electrons gained or lost per molecule

Ejemplo: KMnO₄ en medio ácido (n=5) E = M/5; en medio neutro (n=3) E = M/3; en medio básico (n=1) E = M/1

E: Peso equivalente M: masa molar

2

Ley de Equivalentes Químicos y Ley de Titulación

N₁·V₁ = N₂·V₂ ⟹ n₁·M₁·V₁ = n₂·M₂·V₂

En el punto de equivalencia estequiométrica, los equivalentes de valorante son iguales a los equivalentes de analito.

N₁, N₂: Normalidades de las soluciones reaccionantes. V₁, V₂: Volúmenes de título consumidos n₁, n₂: n-factores de especies químicas reaccionantes

3

Peso equivalente en reacciones de desproporción

E_total = E_oxidation + E_reduction = Mn₁+Mn₂

Para reacciones redox donde el mismo elemento químico sufre simultáneamente oxidación y reducción.

n₁, n₂: Cambios electrónicos en semirreacciones de oxidación y reducción.

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Capítulo 14: Principios de química orgánica y estereoquímica

4 fórmulas

Índice de Deficiencia de Hidrógeno (IHD), rotación óptica específica, exceso enantiomérico y ecuación de Hammett

1

Índice de Deficiencia de Hidrógeno (Grado de Insaturación)

IHD = C + 1 - (H2) - (X2) + (N2)

Determina el número total de anillos y enlaces π (doble enlace = 1, triple enlace = 2, anillo de benceno = 4)

C: Número de átomos de carbono H: Número de átomos de hidrógeno X: Número de átomos de halógeno (F, Cl, Br, I) N: Número de átomos de nitrógeno

2

Ley específica de rotación óptica de Biot

[α]_D^T = α_obsl·c

Actividad óptica quiral estándar medida mediante polarimetría de línea D de sodio (589 nm)

[α]_D^T: Rotación óptica específica α_obs: Ángulo de rotación óptica observado en polarímetro. l: Longitud del recorrido del tubo de muestra del polarímetro c: Concentración de la solución de muestra

3

Exceso enantiomérico (% ee) y pureza óptica

% ee = (|R -S|R + S) × 100 = (α_obsα_pure) × 100

Cuantifica el exceso quiral de un enantiómero sobre la mezcla racémica (la mezcla 50:50 tiene 0 % de ee)

% ee: Porcentaje de exceso enantiomérico [R], [S]: Porcentajes molares de enantiómeros R y S

4

Relación de energía libre lineal de Hammett

log(KK₀) = σ·ρ, log(kk₀) = σ·ρ

Relaciona los efectos electrónicos de los sustituyentes meta/para (σ) y la sensibilidad de la reacción (ρ) con las tasas de ácido benzoico sustituido.

σ: Constante del sustituyente de Hammett (retirada de electrones σ > 0, donación σ < 0) ρ: Constante de sensibilidad de reacción K, K₀: Constantes de equilibrio con y sin sustituyente